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浙教版2023-2024学年七下数学第2章二元一次方程组 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A．5x-2=x B．8x=3y C．x+=0 D．3x-y=xy
2．二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
3．若是关于x、y的方程组的解，则m-n的值为（ ）
A．4 B．-4 C．8 D．-8
4．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（ ）
A． B． C． D．
5．如果x，y满足方程组 ，那么x﹣2y的值是（ ）
A．﹣4 B．2 C．6 D．8
6．如果关于x，y的方程组的解中x与y互为相反数，则k的值（ ）
A．9 B． C．1 D．
7．已知关于x，y的方程组无解，则m的值是（ ）
A．9 B．6 C．-6 D．-9
8．以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺（绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺）；若将绳四折测之，绳多一尺．现设绳长x尺，井深y尺，则可得方程组为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．请你写出一个以为解的二元一次方程组：
12．已知关于x，y的二元一次方程组，则 ．
13．已知=3，则a= ．
14．当a= 时，关于x、y的方程组的解中．x、y互为相反数．
15．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，安排 名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
16．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是，x＝ ，y＝ ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1） （2） （3）
18．已知二元一次方程x+3y= 10．
（1）直接写出它所有的正整数解．
（2）请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程有相同的一个解为
19．
（1）若方程组①的解为，求方程组②的解时，令方程组②中的x+2=a，y-1=b，则方程组②转化为方程组①，可得x+2=8.3，y-1=1.2，故方程组②的解为： .
（2）方程组的解为： .
20．某出租车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元．为了减少环境污染，市场推出一种改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的。公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的
（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的出租车平均每辆每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之几？
（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？
21．对，定义一种新运算：．
例如：当，时，．
（1）若，，求和的值；
（2）若是非负数，，求的取值范围．
22．某场篮球赛，门票共两种，价格为：成人票30元/张，儿童票10元/张，门票总收入：4700元.
（1）若售出门票总数160张，求售出的成人票张数.
（2）设售出门票总数a张，其中儿童票b张.
①求a b满足什么关系.
②若售出的门票中成人票比儿童票的7倍还多10张，求b的值.
23．小聪到某超市购买、、三种商品，其中、两种商品的单价之和恰好等于商品的单价，小聪前两次购买商品的数量和总费用如下表：
商品的数量 商品的数量 商品的数量 总费用元
第一次 3 2 4 160
第二次 2 5 3 170
（1）求、、三种商品的单价．
（2）若小聪第三次需要购买、、三种商品共个每种商品至少购买1个，其中商品的数量是商品的数量的2倍，恰好花了270元钱．
求的最大值．
若小聪在第三次购买、、三种商品时正好遇上“买一送一”促销活动，即购买一个商品即可赠送一个商品或一个商品优先赠送商品，求的值．
24．如图，某工厂准备用A型正方形板材和B型长方形板材制作成竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若现有A型板材120张，B型板材240张可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用12000元资金去购买A，B两种型号板材，制作竖式，横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元，发现资金恰好用完，问可以制作竖式箱子多少个？
（3）若该工厂新购得65张边长为3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割的板材制作成两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
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浙教版2023-2024学年七下数学第2章二元一次方程组 培优测试卷（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A．5x-2=x B．8x=3y C．x+=0 D．3x-y=xy
【答案】B
【解析】A、此方程中只含有1个未知数，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，则本项不符合题意；
B、此方程中含有2个未知数，并且所含未知项都为1次方，符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，则本项符合题意；
C、此方程中含有2个未知数，但是所含未知项不都为1次方，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，则本项不符合题意；
D、此方程中含有2个未知数，但是所含未知项不都为1次方，不符合二元一次方程的定义，不是二元一次方程，则本项不符合题意；
故答案为：B.
2．二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、把代入原方程得：则本项不符合题意；
B、把代入原方程得：则本项符合题意；
C、把代入原方程得：则本项不符合题意；
D、把代入原方程得：则本项不符合题意；
故答案为：B.
3．若是关于x、y的方程组的解，则m-n的值为（ ）
A．4 B．-4 C．8 D．-8
【答案】A
【解析】将代入方程组中，
得到：
∴
故答案为：A.
4．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将①代入②中得5x-2(2x+1)=7，
∴5x-4x-2=7.
故答案为：A.
5．如果x，y满足方程组 ，那么x﹣2y的值是（ ）
A．﹣4 B．2 C．6 D．8
【答案】D
【解析】 ，
由②-①得： ，
即 ，
故答案为：D．
6．如果关于x，y的方程组的解中x与y互为相反数，则k的值（ ）
A．9 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】∵ x与y互为相反数，
∴x+y=0，
联立，解得，
把代入中，得k=9，
故答案为：A.
7．已知关于x，y的方程组无解，则m的值是（ ）
A．9 B．6 C．-6 D．-9
【答案】C
【解析】
由②得：，
将代入①得：
∴当时，原方程组无解，
故答案为：C.
8．以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺（绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺）；若将绳四折测之，绳多一尺．现设绳长x尺，井深y尺，则可得方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设绳长x尺，井深y尺，根据题意，则可得方程组为
故答案为：A．
9．若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】，
得：
将代入①得：
∵原方程组的解均为正整数，
∴共两个，
故答案为：B.
10．已知关于x，y的方程组 ，以下结论：①当k=0时，方程组的解也是方程 的解；②存在实数k，使得x+y=0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若3x+2y=6则k=1.其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】①当k=0时，方程组为，
由①×2-②得：y=1，
∴x+2×1=0，
∴x=-2，
将x=-2和y=1代入方程x-2y=4，等式成立，
∴①说法符合题意；
②∵x+y=0，
∴x=-y，
∴方程组变形为，
∴k=3k-1，
∴k=0.5，
∴②说法符合题意；
③∵方程组为，
∴由①×3-②得：x+3y=1，
∴无论k取什么实数，x+3y=1，
∴③说法符合题意；
④∵方程组为，
由①×2-②得：y=-k+1，
∴x+2（-k+1）=k
∴x=3k-2，
又∵3x+2y=6，
∴3（3k-2）+2（-k+1）=6，
整理，解得：k=，
∴④说法不符合题意，
∴正确的有①②③.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．请你写出一个以为解的二元一次方程组：
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵x=1，y=-2，
∴x+y=-1，x-y=3，
故以为解的二元一次方程组可以为：；
故答案为：（答案不唯一）.
12．已知关于x，y的二元一次方程组，则 ．
【答案】1
【解析】 ，
①+②得：4x+4y=4，
∴x+y=1，
故答案为：1.
13．已知=3，则a= ．
【答案】6
【解析】
解得：
故答案为：6.
14．当a= 时，关于x、y的方程组的解中．x、y互为相反数．
【答案】8
【解析】
①×2-②×3得-31y=a+54，
解得，
①×7+②×5得31x=19a-90，
解得，
∴该方程组的解为，
∵该方程组的解x、y互为相反数，
∴，
解得a=8，
∴当a=8时， 关于x、y的方程组的解中，x、y互为相反数.
故答案为：8.
15．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，安排 名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
【答案】25
【解析】设安排x名工人加工大齿轮，安排y名工人加工小齿轮，
∴
解得：
故答案为：25.
16．若方程组 的解是 ，则方程组 的解是，x＝ ，y＝ ．
【答案】-1；-3
【解析】∵方程组的解是
∴由①-②，可得
2(a1-a2)=c1-c2
方程组，
由③-④，可得
(a1-a2)x=(a1-a2)-(c1-c2)
∴ (a1-a2)x=(a1-a2)-2(a1-a2)=-(a1-a2)
∴ x=-1
把x=1代入③，得
-a1+y=a1-c1
∴ y=2a1-c1
由①，可得
y=-3
∴x=-1，y=-3.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程：
（1）（2）（3）
【答案】（1）解：
①+②得：
将代入①，得：
∴原方程组解为：
（2）解：将原方程组改写为：，
将②代入①得：
将代入②得：
∴原方程组解为：
（3）解：将原方程组化简为：
①×2+①得：
将代入①得：
∴原方程组解为：
18．已知二元一次方程x+3y= 10．
（1）直接写出它所有的正整数解．
（2）请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程有相同的一个解为
【答案】（1）解：∵x+3y=10，
∴x=10-3y，
∵x、y都是正整数，
∴当y=1时，x=7；当y=2时；x=4，当y=3时，x=1，
∴该方程的正整数解为：，，；
（2）解：答案不唯一，如x+y=2.
19．（1）若方程组①的解为，求方程组②的解时，令方程组②中的x+2=a，y-1=b，则方程组②转化为方程组①，可得x+2=8.3，y-1=1.2，故方程组②的解为： .
（2）方程组的解为： .
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）令，则原方程组为：，
解得：，
∴，
解得：，
（2）令，则原方程组为：，
解得：，
∴，
解得：.
20．某出租车公司有出租车100辆，平均每天每车消耗的汽油费为80元．为了减少环境污染，市场推出一种改烧汽油为天然气的装置，每辆车改装价格为4000元．公司第一次改装了部分车辆后核算：已改装的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的。公司第二次再改装同样多的车辆后，所有改装后的车辆每天的燃料费占剩下未改装车辆每天燃料费用的
（1）公司共改装了多少辆出租车？改装后的出租车平均每辆每天的燃料费比改装前的燃料费下降了百分之几？
（2）若公司一次性将全部出租车改装，多少天后就可以从节省的燃料费中收回成本？
【答案】（1）解：设第一次改装了x辆出租车，改装后的出租车平均每辆每天的燃料费为y元，
∴
解得：
∴
∴公司共改装了40辆出租车，改装后的出租车平均每辆每天的燃料费比改装前的燃料费下降了40%.
（2）解：一次性改装出租车的总花费：
每天节省的燃油费：
∴则需天就可以从节省的燃料费中收回成本.
21．对，定义一种新运算：．
例如：当，时，．
（1）若，，求和的值；
（2）若是非负数，，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意得：，
，
解得：，；
（2）解：根据，
得，
，
是非负数，
，
∴．
22．某场篮球赛，门票共两种，价格为：成人票30元/张，儿童票10元/张，门票总收入：4700元.
（1）若售出门票总数160张，求售出的成人票张数.
（2）设售出门票总数a张，其中儿童票b张.
①求a b满足什么关系.
②若售出的门票中成人票比儿童票的7倍还多10张，求b的值.
【答案】（1）解：设售出的成人票x张，儿童票y张，
由题意可得：，
解得：，
答：售出的成人票155张；
（2）解：①由题意可得：30（a-b）+10b＝4700，
∴3a-2b＝470；
②由题意可得：，
解得：，
答：b的值为20.
23．小聪到某超市购买、、三种商品，其中、两种商品的单价之和恰好等于商品的单价，小聪前两次购买商品的数量和总费用如下表：
商品的数量 商品的数量 商品的数量 总费用元
第一次 3 2 4 160
第二次 2 5 3 170
（1）求、、三种商品的单价．
（2）若小聪第三次需要购买、、三种商品共个每种商品至少购买1个，其中商品的数量是商品的数量的2倍，恰好花了270元钱．
求的最大值．
若小聪在第三次购买、、三种商品时正好遇上“买一送一”促销活动，即购买一个商品即可赠送一个商品或一个商品优先赠送商品，求的值．
【答案】（1）解：设商品的单价是元，商品的单价是元，则商品的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
．
答：商品的单价是10元，商品的单价是15元，商品的单价是25元；
（2）解：设购买个商品，个商品，则购买个商品．
根据题意得：，
，
，
，
随的增大而减小，
又为正整数，
当时，取得最大值，最大值，
的最大值为17；
根据题意得：，
，
又，均为正整数，且为非负整数，
，
，
的值为20．
24．如图，某工厂准备用A型正方形板材和B型长方形板材制作成竖式和横式两种无盖箱子．
（1）若现有A型板材120张，B型板材240张可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用12000元资金去购买A，B两种型号板材，制作竖式，横式箱子共100个，已知A型板材每张10元，B型板材每张30元，发现资金恰好用完，问可以制作竖式箱子多少个？
（3）若该工厂新购得65张边长为3m的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材（不计损耗），用切割的板材制作成两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10个，且材料恰好用完，则最多可以制作竖式箱子多少个？
【答案】（1）解：设可制作竖式无盖箱子m个，可制作横式无盖箱子n个
依题意有
解得
答：可制作竖式无盖箱子24个，可制作横式无盖箱子48个．
（2）解：设可制作竖式无盖箱子x个，可制作横式无盖箱子y个．
由题意得．
解得
答：可以制作竖式箱子50个．
（3）解：C型正方形板材可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，
65个C型就有列．
材料恰好用完，
最后A型的数量一定是3的倍数．
设制作竖式箱子a个，横式箱子b个．
1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，1个B型相当于3个A型，
．
．
，均为整数，，
或或或
答：最多可以制作竖式箱子45个．
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