1.4平行线的性质-2023-2024学年浙教版七年级下 同步分层作业

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1.4平行线的性质 同步分层作业
基础过关
1. 如图，直线a与直线b、c都相交，若b∥c，∠1＝40°，则∠2＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．140°
2．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4； ③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3. 如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，已知AB∥CD，若∠ABC＝150°，则∠BCD的度数是（　　）
A．30° B．120° C．130° D．150°
4. 如图，
（1）如果AB∥CD，那么∠1+　 　＝180°，根据是　 　；
（2）如果∠2＝　 　，那么EF∥DG，根据是　 　；
（3）如果EF∥DG，那么∠3＝　 　，根据是　 　．
5. 同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a 　 　c．若a∥b，b∥c，则a 　 　c．若a∥b，b⊥c，则a 　 　c．
6. 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝42°13′，则∠2的度数为 　 　．
7. 如图，AB⊥AC，AB⊥BD，点C、D在线段AB的异侧，点E、F分别在线段AC、BD上，连结DE、CF分别交AB于点G、H．若∠C＝∠D，求证：∠1＝∠2．
请将下面的证明过程补充完整，并在括号内写出相应的证明依据．
证明：∵AB⊥AC，AB⊥BD（已知），
∴AC∥　　（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠BFH＝　　（ 　　）．
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠BFH＝　 　（ 　 　），
∴DE∥　 　（ 　 　），
∴∠1＝　 　（ 　 　）．
∵∠2＝∠3（ 　 　），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
8. 如图，∠AFD＝∠1，DF∥BC．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若∠1＝75°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
9.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
（1）求证：AC∥DF；
（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．
能力提升
10. 如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
11. 下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
12. 如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（　　）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2
13. 若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，则∠α的度数为（　　）
A．70° B．70°或86° C．86° D．30°或38°
14. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行．
A．16 B．60 C．66 D．114
15. 如图所示，∠AOB的一边OB为平面镜，∠AOB＝40°，一束光线（与水平线AO平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在OA上的点E处，则∠AED的度数是 　　．
16. 如图，在△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC上，过点D的直线与线段EF相交于点M，已知∠1+∠2＝180°．
（1）说明：AC∥DM；
（2）若DE∥BC，∠1＝115°，∠C＝50°，求∠3的度数．
17. [探究题]
小王在两根平行木条的端点A，C处系上橡皮筋，P是橡皮筋上任意一点，小王将P摆弄为如图所示的四种情况，就每种情况探究∠APC与∠PAB和∠PCD的关系，得出四个关系式．请写出这四个关系式，并从中任意选出一个，说明其结论的正确性．
18.已知，MN，EF分别表示两面互相平行的平面镜，即MN∥EF，一束光线AB照射到平面镜MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经平面镜EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
19.如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠MCD＝∠3，∠1＝∠2．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠CDE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝88°，∠CDE＝28°，求∠AEM的度数．
20.如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠1＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若DE平分∠ADC，∠ACB＝2∠B，求证：∠DFE＝∠DEC．
21.如图，已知点C，D在直线BQ上，BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．
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22. 如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（　　）
A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ
23. 如图1是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFB度数是 　　．
24. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜AB上，被平面镜AB反射到平面镜BC上，又被平面镜BC反射出光线n．则∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）若被平面镜BC反射出的光线n与入射光线m平行，且∠1＝40°，求∠4的度数；
（2）请你猜想：当两平面镜AB，BC的夹角∠ABC为多少度时？可使任何射到平面镜AB上的光线m，经过平面镜AB，BC的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，并说明理由．
25. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）填空：∠1与∠3的数量关系：　　；理由是 　　；
（2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　　；
（3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当BE∥AD时．画出图形，并求出∠ACE的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值．
26．如图1，若一束光线照射到平面镜上反射出时，始终有∠1＝∠2．如图2，MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2．
（1）【旧知新意】
若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）【尝试探究】
如图3，有两块互相垂直的平面镜MN，EF，有一束光线射在镜面MN上，经镜面EF反射，两束光线会平行吗？若平行，请说明理由；
（3）【拓展提升】
如图4，两面镜子的夹角为α（0＜α＜90°）时，进入光线与离开光线的夹角为β（0＜β＜90°），直接写出α与β之间的数量关系．
答案与解析
基础过关
1. 如图，直线a与直线b、c都相交，若b∥c，∠1＝40°，则∠2＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．140°
【点拨】根据平行线的性质可以得出∠3，然后再利用对顶角的定义，计算即可得出答案．
【解析】解：如图：
∵c∥b，∠1＝40°
∴∠3＝∠1＝40°，
∴∠2＝∠3＝40°
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4； ③∠2+∠4＝90°；④∠4+∠5＝180°，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】根据平行线的性质，直角三角板的性质对各小题进行验证即可得解．
【解析】解：∵纸条的两边互相平行，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠4+∠5＝180°，故①，②，④正确；
∵三角板是直角三角板，
∴∠2+∠4＝180°﹣90°＝90°，故③正确．
综上所述，正确的个数是4．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角板的性质，熟记性质与概念并准确识图是解题的关键．
3. 如图，一条街道有两个拐角∠ABC和∠BCD，已知AB∥CD，若∠ABC＝150°，则∠BCD的度数是（　　）
A．30° B．120° C．130° D．150°
【点拨】直接根据平行线的性质解答即可．
【解析】解：∵AB∥CD，∠ABC＝150°，
∴∠BCD＝∠ABC＝150°．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
4. 如图，
（1）如果AB∥CD，那么∠1+　∠3　＝180°，根据是　两直线平行，同旁内角互补　；
（2）如果∠2＝　∠D　，那么EF∥DG，根据是　同位角相等，两直线平行　；
（3）如果EF∥DG，那么∠3＝　∠D　，根据是　两直线平行，内错角相等　．
【点拨】根据平行线的判定定理与平行线的性质进行填空．
【解析】解：（1）如果AB∥CD，那么∠1+3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）如果∠2＝∠D，那么EF∥DG（同位角相等，两直线平行）；
（3）如果EF∥DG，那么∠3＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：（1）∠3；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠D；同位角相等，两直线平行；
（3）∠D；两直线平行，内错角相等．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
5. 同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a 　∥　c．若a∥b，b∥c，则a 　∥　c．若a∥b，b⊥c，则a 　⊥　c．
【点拨】根据同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，平行于同一直线的两直线平行，据此判断即可．
【解析】解：同一平面内的三条直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c．若a∥b，b∥c，则a∥c．若a∥b，b⊥c，则a⊥c．
故答案为：∥；∥；⊥．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
6. 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝42°13′，则∠2的度数为 　137°47′　．
【点拨】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角相等，得出角相等，再利用对顶角相等，等量代换得出即可．
【解析】解：∵a∥b，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠1＝180°，
∵∠1＝42°13′，
∴∠2＝180°﹣42°13′＝137°47′．
故答案为：137°47′．
【点睛】本题考查了对顶角性质，平行线的性质，度分的换算，解题关键是利用平行线性质解决问题．
7. 如图，AB⊥AC，AB⊥BD，点C、D在线段AB的异侧，点E、F分别在线段AC、BD上，连结DE、CF分别交AB于点G、H．若∠C＝∠D，求证：∠1＝∠2．
请将下面的证明过程补充完整，并在括号内写出相应的证明依据．
证明：∵AB⊥AC，AB⊥BD（已知），
∴AC∥　BD　（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠BFH＝　∠C　（ 　两直线平行，内错角相等　）．
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠BFH＝　∠D　（ 　等量代换　），
∴DE∥　CF　（ 　同位角相等，两直线平行　），
∴∠1＝　∠3　（ 　两直线平行，同位角相等　）．
∵∠2＝∠3（ 　对顶角相等　），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
【点拨】根据平行线的判定与性质求解即可．
【解析】证明：∵AB⊥AC，AB⊥BD（已知），
∴AC∥BD（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）．
∴∠BFH＝∠C（两直线平行，内错角相等）．
∵∠C＝∠D（已知），
∴∠BFH＝∠D（等量代换），
∴DE∥CF（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∵∠2＝∠3（对顶角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：BD；∠C；两直线平行，内错角相等；∠D；等量代换；CF；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；对顶角相等．
【点睛】此题考查了平行线的判定于性质，熟记“两直线平行，内错角相等”、“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
8. 如图，∠AFD＝∠1，DF∥BC．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若∠1＝75°，DF平分∠ADE，求∠B的度数．
【点拨】（1）首先根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，再由等量代换得出∠1＝∠C，从而判断出两直线平行．
（2）首先根据两直线平行内错角相等，得出相等的角，再由角平分线定义得出相等的角，由两直线平行同位角相等，得出即可．
【解析】（1）证明：∵DF∥BC，
∴∠AFD＝∠C，
又∵∠AFD＝∠1，
∴∠1＝∠C，
∴AC∥DE；
（2）∵DF∥BC，∠1＝75°，
∴∠EDF＝∠1＝75°，
又∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠EDF＝75°，
又∵DF∥BC，
∴∠B＝∠ADF＝75°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，解题关键是灵活运用平行线的性质和判定．
9.如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
（1）求证：AC∥DF；
（2）如果∠DEC＝105°，求∠C的度数．
【点拨】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明；
（2）根据两直线平行，内错角相等即可求出∠C的度数．
【解析】（1）证明：∵∠1＝∠2，
又∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴DB∥CE．
∴∠D＝∠FEC．
又∵∠C＝∠D，
∴∠C＝∠FEC．
∴AC∥DF．
（2）解：∵AC∥DF，
∴∠DEC+∠C＝180°，
又∵∠DEC＝105°，
∴∠C＝75°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．
能力提升
10. 如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B'，D'处．若∠1＝80°，则∠2的度数是（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【点拨】根据平行线的性质可得∠AEB′＝80°，从而利用平角定义求出∠BEB′＝100°，然后根据折叠的性质进行计算即可解答．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠AEB′＝80°，
∴∠BEB′＝180°﹣∠AEB′＝100°，
由折叠得：
∠2＝∠FEB′＝∠BEB′＝50°，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键．
11. 下列说法：
①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；
②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线；
③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
④同旁内角相等，两直线平行．
正确的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】分别根据平行线的判定以及平行线定义和平行公理分析得出即可．
【解析】解：①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题正确；
②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误；
④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质以及平行公理等知识，正确把握相关定理是解题关键．
12. 如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（　　）
A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360°
C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2
【点拨】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．
【解析】解：过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，
∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意两直线平行，内错角相等性质的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
13. 若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，则∠α的度数为（　　）
A．70° B．70°或86° C．86° D．30°或38°
【点拨】根据已知得出（2x+10）+（3x﹣20）＝180，2x+10＝3x﹣20，求出x＝38，x＝30，代入求出即可．
【解析】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，
∴（2x+10）+（3x﹣20）＝180或2x+10＝3x﹣20，x＝38或30
当x＝38时，∠α＝86°，
当x＝30时，∠α＝70°，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，注意：当两个角的两边分别平行时，这两个角相等或互补．
14. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行．
A．16 B．60 C．66 D．114
【点拨】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解析】解：∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，
∴∠ACB＝66°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝66°时，AM∥CB，
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
15. 如图所示，∠AOB的一边OB为平面镜，∠AOB＝40°，一束光线（与水平线AO平行）从点C射入经平面镜上的点D后，反射光线落在OA上的点E处，则∠AED的度数是 　80°　．
【点拨】过点D作DF⊥AO交OB于点F．根据题意知，DF是∠CDE的角平分线，可得∠1＝∠3；然后又由两直线CD∥OB推知内错角∠1＝∠2；最后求得∠CDE的度数是108°．
【解析】解：过点D作DF⊥OB交OB于点F．
∵入射角等于反射角，
∴∠CDF＝∠EDF，
∵CD∥OA，
∴∠BDC＝∠AOB（两直线平行，内错角相等）；
∴∠BDC＝∠EDO＝40°，
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝40°，
∴∠AED＝∠AOB+∠EDO＝80°；
故答案为：80°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质．解答本题的关键是根据题意找到法线，然后由法线的性质来解答问题．
16. 如图，在△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC上，过点D的直线与线段EF相交于点M，已知∠1+∠2＝180°．
（1）说明：AC∥DM；
（2）若DE∥BC，∠1＝115°，∠C＝50°，求∠3的度数．
【点拨】（1）根据邻补角及题意得出∠DME＝∠2，再由平行线的判定证明即可；
（2）根据平行线的判定和性质得出∠DEM＝65°，再由三角形内角和定理求解即可．
【解析】（1）证明：∵∠1+∠DME＝180°，∠1+∠2＝180°
∴∠DME＝∠2
∴AC∥DM；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠DEC+∠C＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠DEC＝130°，
又∵∠1＝115°，
∴∠DME＝65°．
∵∠DME＝∠2，
∴∠2＝65°，
∴∠DEM＝∠DEC﹣∠2＝130°﹣65°＝65°．
∴∠3＝180°﹣∠DME﹣∠DEM＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质及三角形内角和定理，根据题意找出各角之间的关系是解题关键．
17. [探究题]
小王在两根平行木条的端点A，C处系上橡皮筋，P是橡皮筋上任意一点，小王将P摆弄为如图所示的四种情况，就每种情况探究∠APC与∠PAB和∠PCD的关系，得出四个关系式．请写出这四个关系式，并从中任意选出一个，说明其结论的正确性．
【点拨】四幅图中，分别过P作PE∥AB，则PE∥CD∥AB，利用平行线的性质进行推理即可得到答案．
【解析】解：如图①所示，∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°；如图②所示，∠APC＝∠PAB+∠PCD；如图③所示∠APC＝∠PCD﹣∠PAB；如图④所示∠APC＝∠PAB﹣∠PCD；证明如下：
如图①所示，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD∥AB，
∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°；
如图②所示，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD∥AB，
∴∠APE＝∠PAB，∠CPE＝∠PCD，
∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD；
如图③所示，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD∥AB，
∴∠APE＝∠PAB，∠CPE＝∠PCD，
∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE＝∠PCD﹣∠PAB；
如图④所示，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD∥AB，
∴∠APE+∠PAB＝180°，∠CPE+∠PCD＝180，
∴∠APC＝∠CPE﹣∠APE＝（180°﹣∠PCD）﹣（180°﹣∠PAB）＝∠PAB﹣∠PCD；
综上所述，如图①所示，∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°；如图②所示，∠APC＝∠PAB+∠PCD；如图③所示∠APC＝∠PCD﹣∠PAB；如图④所示∠APC＝∠PAB﹣∠PCD．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
18.已知，MN，EF分别表示两面互相平行的平面镜，即MN∥EF，一束光线AB照射到平面镜MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经平面镜EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4．
求证：AB∥CD．
【点拨】根据平行线MN∥EF，推知内错角∠2＝∠3；又由已知条件∠1＝∠2，∠3＝∠4，根据等量代换求得∠1＝∠4；三角形的内角和定理知∠1+∠ABC+∠2＝∠3+∠BCD+∠4＝180．所以内错角∠ABC＝∠BCD，则两直线AB∥CD．
【解析】证明：∵MN∥EF，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠4．
∴∠1+∠2＝∠3+∠4；
∵∠1+∠ABC+∠2＝∠3+∠BCD+∠4＝180°．
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质．本题利用了“两直线平行，内错角相等”的性质、“内错角相等，两直线平行”的判定定理．
19.如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠MCD＝∠3，∠1＝∠2．
（1）求证：CE∥GF；
（2）试判断∠AED与∠CDE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF＝88°，∠CDE＝28°，求∠AEM的度数．
【点拨】（1）依据同位角相等，即可得到两直线平行；
（2）依据平行线的性质，可得出∠FGD＝∠3，进而判定AB∥CD，即可得出∠AED+∠D＝180°；
（3）依据已知条件求得∠CGF的度数，进而利用平行线的性质得出∠AEC的度数，则可求出∠AEM的度数．
【解析】（1）证明：∵∠1＝∠2，
∴CE∥GF；
（2）解：∠AED+∠CDE＝180°，
理由：∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
又∵∠C＝∠2，
∴∠FGD＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠CDE＝180°；
（3）解：∵∠2＝∠EHF＝88°，∠CDE＝28°，
∴∠CGF＝∠3+∠D＝88°+28°＝116°，
又∵CE∥GF，
∴∠C+∠CGF＝180°，
∴∠C＝180°﹣116°＝64°，
又∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠C＝64°，
∴∠AEM＝180°﹣64°＝116°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
20.如图，点D、E分别在△ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠1＝∠B，DE∥BC．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若DE平分∠ADC，∠ACB＝2∠B，求证：∠DFE＝∠DEC．
【点拨】（1）首先根据平行线的性质可判定∠ADE＝∠B，再结合已知条件可得出∠ADE＝∠1，据此再根据平行线的判定可得出结论；
（2）首先由（1）得到∠ADE＝∠1＝∠B，结合角平分线的定义可得到∠ADE＝∠CDE＝∠1＝∠B，再由DE∥BC即可得出∠BCD＝∠1＝∠B，结合∠ACB＝2∠B即可得此∠ACD＝∠B＝∠1，最后再由三角形的外角定理即可得出结论．
【解析】证明：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠1＝∠B，
∴∠ADE＝∠1，
∴AB∥EF．
（2）由（1）知：∠ADE＝∠1＝∠B，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠1＝∠B，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∴∠BCD＝∠1＝∠B，
∵∠ACB＝2∠B，
又∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACD＝2∠B，
∴∠ACD＝∠B＝∠1，
∴∠DFE＝∠ACD+∠CEF＝∠1+∠CEF＝∠DEC．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补．
21.如图，已知点C，D在直线BQ上，BQ∥GE，AF∥DE，∠1＝50°．
（1）求∠AFG的度数；
（2）若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACB的度数．
【点拨】（1）先根据BC∥EG得出∠E＝∠1＝50°，再由AF∥DE可知∠AFG＝∠E＝50°；
（2）作AM∥BQ，由平行线的传递性可知AM∥EG，故∠FAM＝∠AFG，再根据AM∥BC可知∠QAM＝∠Q，故∠FAQ＝∠FAM+∠QAM，再根据AQ平分∠FAC可知∠MAC＝∠QAC+∠QAM＝80°，根据AM∥BC即可得出结论．
【解析】解：（1）∵BQ∥GE，∠1＝50°，
∴∠E＝∠1＝50°，
∵AF∥DE，
∴∠AFG＝∠E＝50°．
（2）过点A作AM∥BQ，
由（1）得∠AFG＝∠E＝50°，
∵BQ∥GE，
∴AM∥BQ∥GE，
∴∠FAM＝∠AFG＝50°，∠MAQ＝∠Q＝15°，
∴∠FAQ＝∠FAM+∠MAQ＝65°，
∵AQ平分∠FAC，
∴∠QAC＝∠FAQ＝65°，
∴∠MAC＝∠QAC+∠MAQ＝80°，
∵AM∥BQ，
∴∠ACB＝∠MAC＝80°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，数据“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
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22. 如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（　　）
A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ
【点拨】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解析】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α，
∵∠β＝∠2+∠γ，
∴∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
23. 如图1是长方形纸带，∠DEF＝15°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFB度数是 　150°　．
【点拨】先根据平行线的性质得出∠DEF＝∠EFB，图2中根据图形折叠的性质得出∠GFC′的度数，图3中根据折叠的性质得出∠CFB＝∠GFC′即可得出结论．
【解析】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝15°，
∴∠CFE＝180°﹣∠EFB＝165°，
图2中，由折叠的性质得∠EFC′＝∠EFC＝165°，
∴∠GFC′＝∠EFC′﹣∠BFE＝165°﹣15°＝150°，
图3中，由折叠的性质得∠CFB＝∠GFC′＝150°．
故答案为：150°．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
24. 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜AB上，被平面镜AB反射到平面镜BC上，又被平面镜BC反射出光线n．则∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）若被平面镜BC反射出的光线n与入射光线m平行，且∠1＝40°，求∠4的度数；
（2）请你猜想：当两平面镜AB，BC的夹角∠ABC为多少度时？可使任何射到平面镜AB上的光线m，经过平面镜AB，BC的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，并说明理由．
【点拨】（1）由题意得∠1＝∠2＝40°，则∠5＝100°，由平行线的性质得到∠6＝80°，则由平角的定义可得∠3＝∠4＝50°；
（2）当∠ABC＝90°时，总有m∥n，根据三角形内角和定理可得∠2+∠3＝90°，进而得到∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即可推出∠5+∠6＝180°，则m∥n．
【解析】解：（1）∵∠1＝40°，∠1＝∠2，
∴∠1＝∠2＝40°，
∴∠5＝180°﹣∠1﹣∠2＝100°，
∵m∥n，
∴∠5+∠6＝180°，
∴∠6＝180°﹣∠5＝80°，
∴∠3+∠4+∠6＝180°，
∴∠3+∠4＝100°，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝∠4＝50°；
（2）当∠ABC＝90°时，总有m∥n，理由如下：
∵∠ABC＝90°，
∴∠2+∠3＝180﹣∠ABC＝90°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠4＝90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∵∠1+∠5+∠2+∠3+∠6+∠4＝360°，
∴∠5+∠6＝180°，
∴m∥n．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意是解题的关键．
25. 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）填空：∠1与∠3的数量关系：　∠1＝∠3　；理由是 　同角的余角相等　；
（2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　∠2+∠ACB＝180°　；
（3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题：
①当BE∥AD时．画出图形，并求出∠ACE的度数；
②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值．
【点拨】（1）由直角三角形中∠ACD＝∠BCE＝90°，可知∠1与∠3都是∠2的余角，根据同角的余角相等即可得出结论；
（2）结合图形可得∠1+∠2+∠3＝∠ACB，则可求解；
（3）①如图3，画出图形，作CF∥AD，可推出∠DCE＝∠D+∠E＝30°+45°＝75°，所以∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°；
②分四种情况讨论，①BC∥AD，②BE∥AC，③CE∥AD，④BE∥CD，画出图形，结合平行线的性质与进行求解即可．
【解析】解：（1）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠3（同角的余角相等），
故答案为：∠1＝∠3，同角的余角相等；
（2）∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠2＝180
∵∠1+∠2+∠3＝∠ACB，
∴∠2+∠ACB＝180°，
故答案为：∠2+∠ACB＝180°；
（3）①如图3，当BE∥AD时，作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝∠D+∠E＝30°+45°＝75°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°；
②存在，
如图4，当BC∥AD时，∠DCB＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝30°；
如图5，当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°；
如图6，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
如图7，当BE∥CD时，∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝90°+45°＝135°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
26．如图1，若一束光线照射到平面镜上反射出时，始终有∠1＝∠2．如图2，MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2．
（1）【旧知新意】
若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）【尝试探究】
如图3，有两块互相垂直的平面镜MN，EF，有一束光线射在镜面MN上，经镜面EF反射，两束光线会平行吗？若平行，请说明理由；
（3）【拓展提升】
如图4，两面镜子的夹角为α（0＜α＜90°）时，进入光线与离开光线的夹角为β（0＜β＜90°），直接写出α与β之间的数量关系．
【点拨】（1）根据题意可得∠ABC＝180°﹣2∠2，再由光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD，可得∠BCD＝180°﹣2∠BCE，根据MN∥EF，可得∠2＝∠BCE，即可求解；
（2）过点E作EH⊥OF，过点N作NG⊥OM，根据题意可得∠1＝∠2，∠，3＝∠4，OM⊥OF，∠OEN＝∠BEF，可得NG∥OF，从而得到∠2＝∠OEN，继而得到∠ANE+∠BEN＝180°，即可求解；
（3）根据题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，可得∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∠2+∠3＝180°﹣∠α，再由∠β＝180°﹣（∠5+∠6），即可求解．
【解析】解：（1）AB∥CD，理由如下：如图2，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2∠2，
∵光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD，
∴∠3＝∠4，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCD＝180°﹣2∠BCE，
∵MN∥EF，
∴∠2＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD；
（2）两束光线会平行，理由如下：
如图3，过点E作EH⊥OF，过点N作NG⊥OM，
根据题意得：∠1＝∠2，∠，3＝∠4，OM⊥OF，∠OEN＝∠BEF，
∴NG∥OF，
∴∠2＝∠OEN，
∵∠OEN+∠3+∠4+∠BEF＝180°，即2（∠3+∠OEN）＝180°，
∴2（∠3+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
即∠ANE+∠BEN＝180°，
∴AN∥BE，即两束光线会平行；
（3）α与β的数量关系为2α+β＝180°，理由如下：如图4，
根据题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∠2+∠3＝180°﹣∠α，
∴∠β＝180°﹣（∠5+∠6）
＝180°﹣（180°﹣2∠2+180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣∠α）﹣180°
＝180°﹣2∠α，
∴α与β的数量关系为2α+β＝180°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
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