专题2-1 二元一次方程 专题2-2 二元一次方程组- 2023-2024学年七年级下册数学同步课堂 培优题库(浙教版)(原卷版+解析卷)

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名称 专题2-1 二元一次方程 专题2-2 二元一次方程组- 2023-2024学年七年级下册数学同步课堂 培优题库(浙教版)(原卷版+解析卷)
格式 zip
文件大小 2.9MB
资源类型 试卷
版本资源 浙教版
科目 数学
更新时间 2024-02-18 08:40:19

文档简介

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专题2-1 二元一次方程 +专题2-2二元一次方程组
模块1:学习目标
1. 认识二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的定义;.
2. 会检验一组数是不是某个二元一次方程(组)的解。
模块2:知识梳理
1.二元一次方程:含有两个未知数,且所含未知数的次数项的次数都是1的方程。
2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值(有序数对)
3.检验二元一次方程解的方法:将有序数对带入方程中,若等式都成立,则为方程的解;若有等式不成立,则不是方程的解。
4.将几个相同未知数的一次方程联合起来,就组成了二元一次方程组。
注:二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成,方程个数也不一定是两个。
5.判断二元一次方程组的方法:
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
6.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。
7.检验二元一次方程组解的方法:将有序数对带入方程中,若方程组等式都成立,则为方程组的解;若有方程不成立,则不是方程的解。
注:方程组中只要有一个方程带入后不成立,则不是方程的解。
模块3:核心考点与典例
考点1. 二元一次方程的定义
例1.(2023·重庆璧山·七年级期中)下列各式中是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义选择即可.
【详解】A.方程中含未知数的项的最高次数为2,故该选项不是二元一次方程,不符合题意;
B.方程中含未知数的项的最高次数为2,故该选项不是二元一次方程,不符合题意;
C.不是整式方程,故该选项不是二元一次方程,不符合题意;
D.符合二元一次方程的定义,符合题意.故选:D.
【点睛】本题考查二元一次方程的定义.掌握含有两个未知数,且含未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程是解题关键.
变式1.(2023·河北·邯郸市七年级期中)下列方程中,是二元一次方程的是( )
A.x﹣y=1 B.xy+2y=3 C.π+2x=5 D.+y=4
【答案】A
【分析】直接利用二元一次方程的定义(含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程)分析得出答案.
【详解】解:A、符合二元一次方程的定义,故此选项符合题意;
B、含有未知数的项的最高次数为2,是二元二次方程,故此选项不合题意;
C、是一元一次方程,故此选项不合题意;
D、不是整式方程,故此选项不合题意.故选:A.
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义,正确把握相关定义是解题关键.
变式2.(2023·广东·七年级阶段练习)下列方程中是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据二元一次方程满足的条件:只含有2个未知数,最高次项的次数是1的整式方程,直接进行判断.
【详解】:解:A.该方程的最高次项的次数是2,是二元二次方程,故本选项错误;
B.该方程符合二元一次方程的定义,故本选项正确;
C.该方程中含有3个未知数,是三元一次方程,故本选项错误;
D.该方程不是整式方程,故本选项错误.故选:B.
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义.二元一次方程必须符合以下三个条件:(1)方程中只含有2个未知数;(2)含未知数项的最高次数为一次;(3)方程是整式方程.
考点2. 二元一次方程的解
例1.(2023·山东七年级月考)是下列哪个方程的解( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】将,分别代入方程计算即可.
【详解】解:当,时,
A.,故,不是方程的解,故选项A不符合题意;
B.,故,不是方程的解,故选项B不符合题意;
C.,故,不是方程的解,故选项C不符合题意;
D.,故,是方程的解,故选项D符合题意.故选:D.
【点睛】此题考查了二元一次方程的解,正确理解二元一次方程的解即为使方程等号左右两边相等的未知数的值是解题的关键.
变式1.(2023·陕西咸阳·八年级校考阶段练习)写出二元一次方程的一组解________.(写出一组即可)
【答案】(答案不唯一)
【分析】给x一个值,代入二元一次方程,求出y的值,即可得出二元一次方程的一个解.
【详解】解:令,则,解得:,
∴是二元一次方程的一组解.故答案为:.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解,解题的关键是理解二元一次方程解的定义.
变式2.(2023·河南·七年级课时练习)对于二元一次方程,下列说法不正确的是( )
A.它有无数多个解 B.它有无数多个整数解
C.它只有一个非负整数解 D.它没有正整数解
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的解的含义,整数解,非负整数解,正整数解的含义逐一判断即可.
【详解】解:二元一次方程,它有无数多个解,说法正确,故不符合题意;
它有无数多个整数解,说法正确,故不符合题意;它只有一个非负整数解,说法错误,
它的非负整数解为:有两个,故符合题意;
它没有正整数解,说法正确,故不符合题意;故选:
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解,掌握二元一次方程的解的个数,整数解,非负整数解,正整数解的含义是解题的关键.
考点3. 二元一次方程组的定义
例1.(2023·浙江长兴·期中)下到方程组中,属于二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可.
【解析】解:A、属于二元一次方程组,符合题意;B、有三个未知数,不属于二元一次方程组,不符合题意;C、属于二元二次方程组,不符合题意;
D、属于二元二次方程组,不符合题意,故选:A.
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义,熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键.
变式1.(2023·吉林七年级期中)下列方程组中,属于二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可.二元一次方程组:由两个一次方程组成,并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
【详解】解:A、中有3个未知数,不是二元一次方程组,不符合题意;
B、未知数x的次数是2,不是二元一次方程组,不符合题意;
C、由两个一次方程组成,并含有两个未知数,故是二元一次方程组,符合题意;
D、中xy的次数是2,不是二元一次方程组,不符合题意.故选:C.
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义,解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义.二元一次方程组:由两个一次方程组成,并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组.
变式2.(2023·浙江·九年级模拟)下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义判断即可.
【详解】A、不是整式方程,故此选项错误;B、符合二元一次方程组的定义,故此选项正确;
C、含有三个未知数,故此选项错误;D、未知数的次数是2,故此选项错误;故选:B.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义,一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”,细心观察排除,得出正确答案.
考点4. 二元一次方程组的解
例1.(2023·浙江台州·七年级期末)方程组的解是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可.
【详解】解:②-①得:,
把代入①得,解得:,
∴方程组的解为,故D正确.故选:D.
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组,解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤.
变式1.(2023·广西河池·七年级期末)下列方程组中,以为解的二元一次方程组是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】将解代入方程组的方程,判断是否使方程成立即可.
【详解】解:将代入中得:,方程左右两边相等,
将代入中得:,方程左右两边相等,
∴是方程组的解,故选:A.
【点睛】本题考查了方程组的解“二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解”.
变式2.(2023·江苏宿迁·七年级期末)二元一次方程有无数个解,下列各组数值中,不是该方程的解的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】将选项中的解代入方程中即可判断是否为正确的解.
【详解】解:A.,此选项不符合题意;B.,此选项符合题意;
C.,此选项不符合题意;D.,此选项不符合题意;故选:B.
【点睛】本题考查了二元一次方程组解的问题,解题的关键是进行正确的计算.
考点5. 根据二元一次方程的定义求参数
例1.(2023·四川眉山·七年级期末)若是关于x、y的二元一次方程,则k的值为( )
A. B. C.0 D.1
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义进行解答即可.
【详解】解:∵是关于x、y的二元一次方程,
∴,解得:,故C正确.故选:C.
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义,根据二元一次方程的定义列出是解题的关键.
变式1.(2023·广东·江东七年级阶段练习)若3-=5是二元一次方程,m+n=______.
【答案】3
【分析】含有两个未知数,且含未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程,根据定义得到2m-3=1,2n-1=1,求出m,n即可得到答案.
【详解】解:由题意的,2m-3=1,2n-1=1,解得m=2,n=1,∴m+n=2+1=3,故答案为:3.
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义,熟记定义是解题的关键.
变式2.(2023·广东·九年级期中)若关于x,y的方程x2m﹣1+4yn+2=6是二元一次方程,则m,n的值是(  )
A.m=1,n=﹣1 B.m=﹣1,n=1 C.m= ,n=- D.m=-,n=
【答案】A
【分析】根据二元一次方程定义可得2m﹣1=1,n+2=1,再解即可.
【详解】解:由题意得:2m﹣1=1,n+2=1,解得:m=1,n=﹣1,故选:A.
【点睛】此题主要考查了二元一次方程定义,掌握二元一次方程需满足三个条件是解题的关键:①首先是整式方程.②方程中共含有两个未知数.③所有未知项的次数都是一次.
考点6. 根据二元一次方程组的定义求参数
例1.(2023·日照市七年级期中)若方程组是二元一次方程组,则a的值为________.
【答案】-3
【分析】根据二元一次方程组的定义得到|a|-2=1且a-3≠0,然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值.
【详解】解:∵方程组是二元一次方程组,∴|a|-2=1且a-3≠0,∴a=-3,故答案为:-3.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义:把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.
变式1.(2023·成都·七年级)若是关于,的二元一次方程组,则__,__,__.
【答案】 3或2
【分析】二元一次方程组的定义:(1)含有两个未知数;(2)含有未知数的项的次数都是1,据此列式即可求解.
【详解】解:是关于,的二元一次方程组,
,或0,,解得:或2,,,答案:3或2,,
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义,利用它的定义即可求出代数式的解.
考点7:根据二元一次方程的解求参数
例1.(2023·山东临沂·七年级期末)已知是关于x,y的二元一次方程的一个解,那么a的值为( )
A.3 B.2 C. 2 D. 3
【答案】A
【分析】把代入方程,即可求解.
【详解】解:∵是关于x,y的二元一次方程的一个解,
∴,解得:.故选:A
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解,熟练掌握能使方程左右两边同时成立的一组未知数的值是方程的解是解题的关键.
变式1.(2023·吉林市七年级期末)已知是关于,为未知数的方程的解,则______.
【答案】
【分析】利用二元一次方程的解的意义将方程的解代入运算即可.
【详解】解:是关于,为未知数的方程的解,
,.故答案为:.
【点睛】本题考查二元一次方程的解,利用二元一次方程的解的意义将方程的解代入是解题的关键.
变式2.(2023·广西百色·统考二模)若是方程的一个解,则代数式____.
【答案】3
【分析】把代入方程nx+6y=4得出-2n+6m=4,求出3m-n=2,再代入求出即可.
【详解】解:∵是方程nx+6y=4的一个解,
∴代入得:-2n+6m=4,∴3m-n=2,∴3m-n+1=2+1=3,故答案为:3.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和求代数式的值,能求出3m-n=2是解此题的关键.
考点8:已知二元一次方程组的解求参数
例1.(2023·河南·七年级阶段练习)已知是二元一次方程组的解,则的值为( )
A.8 B.5 C.3 D.10
【答案】A
【分析】首先将x,y的值代入方程组得到关于m、n的方程组,解方程组即可求出答案.
【详解】解:由题意,得,解得,∴,故选:A.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解的定义、二元一次方程组的解法.熟练掌握一元二次方程组的解与二元一次方程的关系是解题的关键.
变式1.(2023浙江萧山·期末)若二元一次方程组的解为,则a+b的值是(   )
A.9 B.6 C.3 D.1
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的解及解二元一次方程组即可解答.
【解析】解:将代入方程组得解得:
∴a+b=1+2=3.故选:C.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组,正确理解二元一次方程组的解和灵活选择消元法解二元一次方程组是解题关键.
考点9:二元一次方程组的整数解问题
例1.(2023·河北昌黎·期末)方程在自然数范围内的解有( )
A.只有1组 B.只有4组 C.无数组 D.以上都不对
【答案】B
【分析】用y表示出x,令y为自然数求出x的值,即可确定出方程的自然数解.
【解析】方程变形得:x=7-2y,当y=0时,x=7;y=1时,x=5;y=2时,x=3;y=3时,x=1,
则方程在自然数范围内的解为,,,.故选B.
【点睛】此题考查了解二元一次方程,将y看做已知数求出x是解本题的关键.
变式1.(2023 宜宾期末)二元一次方程2x+3y=11的正整数解有(  )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【分析】把x看做已知数求出y,即可确定出正整数解.
【答案】解:方程2x+3y=11,解得:y=,
当x=1时,y=3;x=4时,y=1,则方程的正整数解有2组,故选:B.
【点睛】此题考查了解二元一次方程,解题的关键是将x看做已知数求出y.
变式2. (2023·湖南邵阳·七年级校考期中)方程的正整数解有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【答案】A
【分析】先将方程化为,再根据均为正整数进行分析即可得.
【详解】解:方程可化为,
∵,均为正整数,∴,且是的倍数,,且为偶数,
则当时,,即方程的正整数解为,共有1组,故选:A.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解,熟练掌握方程的解法是解题关键.
模块4:同步培优题库
全卷共25题 测试时间:80分钟 试卷满分:120分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2023·浙江·永嘉县七年级期中)下列方程属于二元一次方程的是(  )
A.2x-3=10 B.3+2y=10 C.xy+8=0 D.x+y=2
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义:含有两个未知数,且未知数的次数均为1,依次判断即可.
【详解】解:A.只有一个未知数,不符合题意;
B.未知数x的次数为2次,不符合题意;
C.含有未知数的项的次数为2次,不符合题意;
D.含有两个未知数,且次数均为1,符合题意;故选:D.
【点睛】题目主要考查二元一次方程的定义,理解此定义是解题关键.
2.(2023·射洪县七年级期中)下列方程组中是二元一次方程组的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】含有两个未知数且所含未知数的项的次数是1的整式方程组是二元一次方程组,根据定义解答.
【解析】A、B、C都不是二元一次方程组,D符合二元一次方程组的定义,故选:D.
【点睛】此题考查二元一次方程组的定义,正确理解定义并运用解题是关键.
3.(2023·内蒙古·七年级期末)若是关于,的二元一次方程,则,的值分别是( )
A., B., C., D.,
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义,从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别.
【详解】解:是关于,的二元一次方程,
,,解得,.故选:D
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义,二元一次方程必须符合以下三个条件:方程中只含有个未知数;含未知数项的最高次数为一次;方程是整式方程.
.3.(2023·贵州万山·七年级期中)二元一次方程的正整数解有几个( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【分析】将x看做已知数求出y,即可确定出正整数解的个数.
【详解】解:由方程2x+y=8, 得到y=8-2x,
当x=1时,y=6;当x=2时,y=4;当x=3时,y=2;则正整数解有3个. 故选B.
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程,解题的关键是将x看做已知数求出y.
4.(2023·江苏宿迁·七年级期末)二元一次方程有无数个解,下列各组数值中,不是该方程的解的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】将选项中的解代入方程中即可判断是否为正确的解.
【详解】解:A.,此选项不符合题意;B.,此选项符合题意;
C.,此选项不符合题意;D.,此选项不符合题意;故选:B.
【点睛】本题考查了二元一次方程组解的问题,解题的关键是进行正确的计算.
5.(2023·安徽·合肥市八年级阶段练习)下列方程组中,有无数组解的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】分别求解每一个选项的方程组的解,即可得出答案.
【详解】解:A、解得:,方程组有唯一一组解,故此选项不符合题意;
B、解得方程组无解,故此选项不符合题意;C、,
①×2②,得0x-0y=0,则x、y可取任何值,所以方程组有无数组解,故此选项符合题意;
D、解得:,方程组有唯一一组解,故此选项不符合题意;故选:C.
【点睛】本题考查二元一次方程组的解,解二元一次方程组,注意二元一次方程组的解的三种情况:①方程组有唯一一组解,②方程组有无数组解,③方程组无解.
6.(2023·重庆市七年级期中)若是方程的一个解,则的值为( )
A.1 B.3 C.7 D.4
【答案】C
【分析】把方程的解代入得3a+b=1,从而确定9a+3b=3,整体代入计算即可.
【详解】解:∵是方程的一个解,
∴3a+b=1,∴9a+3b=3,∴7,故选:C.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义,即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值,熟练掌握定义,灵活变形计算是解题的关键.
7.(2023·北京顺义·七年级期末)在下列方程:①,②,③,④中,任选两个组成二元一次方程组,若是该方程组的解,则选择的两个方程是( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
【答案】C
【分析】先把分别代入四个方程里面看看是不是方程的解即可
【详解】把代入①得,等式左边不等于右边,不成立;
把代入②得,等式左边等于右边,成立;
把代入③得,等式左边不等于右边,不成立;
把代入④得,等式左边等于右边,成立;∴只能由②和④组合故选C
【点睛】此题考查的是方程的公共解,也就是方程组的解,掌握找公共解的技巧是解题的关键.
8.(2023春·北京·七年级期末)已知二元一次方程,用含x的代数式表示y,正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】要用x的代数式表示y,先移项,再将系数化为1即可.
【详解】解:移项得,,
y的系数化为1得,.故选:B.
【点睛】本题主要考查解二元一次方程,解题时可以参照一元一次方程的解法,把一个未知数当做已知数来处理.
9.(2023春·湖南邵阳·七年级校考期中)方程的正整数解有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
【答案】A
【分析】先将方程化为,再根据均为正整数进行分析即可得.
【详解】解:方程可化为,
∵,均为正整数,∴,且是的倍数,,且为偶数,
则当时,,即方程的正整数解为,共有1组,故选:A.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解,熟练掌握方程的解法是解题关键.
10.(2023·浙江杭州·模拟预测)课本上有一例题:求方程组的自然数解,是这样解的:因为x,y为自然数,列表尝试如下:
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可见只有,符合这个方程组,所以方程组的解为
从上述过程可以看出,这个求方程组解的思路是( )
A.先消元,然后转化为一元一次方程,解这个一元一次方程,即可得方程组的解
B.先列出第一个方程的解,再列出第二个方程的解,然后找出两个方程的公共解,即为所求的解
C.先列出第一个方程的解,再将这些解顺次代入第二个方程进行检验,若等式成立,则可得方程组的解
D.先任意给出的一对自然数,假定是解,然后代入两个方程分别检验,两个都成立,则可得方程组的解
【答案】C
【分析】利用二元一次方程组的解的定义判断即可.
【详解】解:从上述过程可以看出,这个求方程组解的思路是,先列出第一个方程的解,再将这些解顺次代入第二个方程进行检验,若等式成立,则可得方程组的解.故选:C.
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,以及一元一次方程的解,方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2023·绵阳市·七年级课时练习)二元一次方程有______个解,有________个正整数解,它们是___________.
【答案】无穷多 4
【分析】将x看做已知数求出y,即可确定出正整数解的个数.
【详解】解:由方程,得到,
当x=1时,y=8;当x=2时,y=6;当x=3时,y=4;当x=4时,y=2.则正整数解有4个,
故答案为:无穷多;4;.
【点睛】本题考查了解二元一次方程,解题的关键是将x看做已知数求出y.
12.(2023·甘肃·七年级期末)若方程是关于的二元一次方程,则的值为______.
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可.
【详解】解:由题意,得
且,解得且,∴,故答案为:.
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义和利用平方根解方程,二元一次方程的定义:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程.
13.(2023·山东·邹城市七年级阶段练习)若是关于a,b的二元一次方程的一个解,则代数式的值是____.
【答案】9
【分析】根据二元一次方程的解的概念将代入中得到一个关于a,b的式子,然后整体代入求值即可.
【详解】∵是关于的二元一次方程的一个解,
∴ ,, ,故答案为:9.
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的概念和代数式求值,掌握二元一次方程的解的概念和整体代入法是解题的关键.
14.(2020·浙江绍兴·统考中考真题)若关于x,y的二元一次方程组的解为,则多项式A可以是_____(写出一个即可).
【答案】x﹣y(答案不唯一)
【分析】根据方程组的解的定义,应该满足所写方程组的每一个方程.因此,可以围绕列一组算式,然后用x,y代换即可.
【详解】∵关于x,y的二元一次方程组的解为,而1﹣1=0,
∴多项式A可以是答案不唯一,如x﹣y.故答案为:x﹣y(答案不唯一).
【点睛】此题考查二元一次方程组的定义,二元一次方程组的解,正确理解方程组的解与每个方程的关系是解题的关键.
15.(2023·甘肃·七年级期末)若方程是关于的二元一次方程,则的值为______.
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可.
【详解】解:由题意,得
且,解得且,∴,故答案为:.
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义和利用平方根解方程,二元一次方程的定义:含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的整式方程叫做二元一次方程.
16.(2023·山东·邹城市七年级阶段练习)若是关于a,b的二元一次方程的一个解,则代数式的值是____.
【答案】9
【分析】根据二元一次方程的解的概念将代入中得到一个关于a,b的式子,然后整体代入求值即可.
【详解】∵是关于的二元一次方程的一个解,
∴ ,, ,故答案为:9.
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的概念和代数式求值,掌握二元一次方程的解的概念和整体代入法是解题的关键.
17.(2021·浙江嘉兴·统考中考真题)已知二元一次方程,请写出该方程的一组整数解_____.
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据题意确定出方程的整数解即可.
【详解】解:方程的一组整数解为故答案为:(答案不唯一)
【点睛】此题考查了二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
18.(2023·贵州黔东南·模拟预测)在下列数对中:①;②;③;④,其中是方程的解的是______ ;是方程的解的是______ ;既是方程的解,又是方程的解的是______ 填序号
【答案】 ①③ ③ ③
【分析】把四组值分别代入方程和,然后根据二元一次方程的解的定义进行判断.
【详解】解:;;;,∴①③是方程的解;
当,时,,∴①不是方程的解;
当,时,,∴②不是方程的解;
当,时,,∴③是方程的解;
当,时,,∴④不是方程的解.故答案为①③;③;③.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解:一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.
三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2023.浙江七年级专项训练)哪些是二元一次方程?为什么?
(1)x2+y=20;(2)2x+5=10;(3)2a+3b=1;(4)x2+2x+1=0;(5)2x+y+z=1.
【答案】(3),见解析
【详解】解:(3)是二元一次方程,理由是含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.
20.(2023.山东七年级专项训练)判断是否为方程组的解.
【答案】是
【分析】把代入原方程组的两个方程,从而可得答案.
【详解】解:把代入①,
把代入②,
所以同时满足方程①与②,所以是二元一次方程组的解,
【点睛】本题考查的是判断二元一次方程组的解,掌握代入检验的方法判断二元一次方程组的解是解题的关键.
21.(2023河南省商丘市七年级期末)已知二元一次方程.(1)直接写出它所有的整数解;(2)请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程组成的方程组的解为
【答案】(1);(2)2x+y=0,(不唯一,合理即可).
【分析】(1)用看y的式子表示出x,确定出正整数解即可;
(2)根据题中方程组的解列出方程即可.
【详解】解:(1)方程x+3y=10,解得:x=-3y+10,
当y=1时,x=7;当y=2时,x=4;当y=3时,x=1,
则方程的正整数解为,,;
(2)根据题意得:2x+y=0.
【点睛】此题考查了解二元一次方程,以及二元一次方程的解,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
22.(2023.广西七年级期末)【阅读理解】我们知道方程2x+3y=12有无数个解,但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例如:由2x+3y=12,得:(x、y为正整数).
要使为正整数,则为正数可知:x为3的倍数,从而x=3,代入.
所以2x+3y=12的正整数解为.(1)【类比探究】请根据材料求出方程3x+2y=8的正整数解.
(2)【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管,在不造成浪费的情况下,共有几种截法?
【答案】(1)(2)共有3种截法
【分析】(1)根据二元一次方程的解得定义求出即可;
(2)设截成2米长的x段,截成3米长的y段,则根据题意得:2x+3y=20,其中x、y均为自然数,解该二元一次方程即可.
(1)解:由,得:(x,y为正整数),
要使为正整数,则为整数可知:x为2的倍数,
从而,代入,
所以方程的正整数解为.
(2)解:设截成2米长的钢管x段,3米长的钢管y段,
依题意,得:,∴,
又∵x,y均为正整数,
∴,,,∴共有3种截法.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的应用,能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键.
23.(2023.浙江七年级期末)定义:把(其中,是常数,,是未知数)这样的方程称为“优美二元一次方程”.当时,“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”.例如:当时,“优美二元一次方程”化为,解得:,故其“优美值”为4.
(1)求“优美二元一次方程”的“优美值”;
(2)若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3,求的值;
(3)是否存在,使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同?若存在,请求出的值及此时的“优美值”;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)(3)
【分析】(1)令,则“优美二元一次方程”化为:,解方程即可求解;
(2)令,则“优美二元一次方程”化为:,将把代入,即可求解;
(3)令,则“优美二元一次方程”化为:,令,则“优美二元一次方程”化为:,根据“优美值”相同,列出关于的一元一次方程,解方程即可求解.
【详解】(1)解:令,则“优美二元一次方程”化为:,.
其“优美值”为.
(2)解:令,则“优美二元一次方程”化为:,
把代入,得.
(3)解:令,则“优美二元一次方程”化为:,,
其“优美值”为.
令,则“优美二元一次方程”化为:,,
其“优美值”为.假设“优美值”相同,
∴,∴.∴即“优美值”为.
【点睛】本题考查二元一次方程的解,理解新定义,熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键.
24.(2023.重庆市八年级期末)阅读以下材料,并利用材料知识解决问题.
材料一:如果实数a,b满足,那么就称a和b是一组“创意数对”,用有序数对表示.例如:由于,所以是“创意数对”.
材料二:任何一个自然数M都能分解成两个因数的乘积:,对于M的所有分解,当最小时,我们称此分解为M的“和值分解”,并记.例如:对于,∵,∴是18的“和值分解”,.
(1)是否存在实数m,使得是“创意数对”?如果存在,请求解出m的值;若不存在,请说明理由;
(2)一个两位数N的十位数字为x,个位数字为y,若是“创意数对”,请求解的最小值.
【答案】(1)存在,m=2 (2)F(N)的最小值11
【分析】(1)根据“创意数对”列出方程解答便可得出结论;
(2)根据是“创意数对”,得y(x-1)=6-2x,再根据,x、y均为整数,求得x、y的值,进而根据“和值分解”定义,及公式F(M)=A +B求得F(N)的最小值.
(1)存在实数m,使得是“创意数对”,
根据新定义知,2(m-1)=6-2m,解得m=2;
(2)∵是“创意数对”,∴y(x-1)=6-2x,
∵一个两位数N的十位数字为x,个位数字为y,
∴,x、y均为整数,
∴x=2,y=2或x=3,y=0,∴N=22或30,当N=22时,
∵22=1×22=2×11,,
∴22=2×11是22的“和值分解”,∴F(N)=2+11=13;当N=30时,
∵30=1×30=2×15=3×10=5×6,,
∴30=5×6是30的“和值分解”,∴F(N)=5+6=11;综上,F(N)的最小值11.
【点睛】本题主要考查了新定义,涉及一元一次方程及二元一次方程的应用,关键是正确理解新定义.
25.(2023.北京市七年级期末)我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系,系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解.因此,在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式,规定:关于x,y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式.例如:可以写成矩阵的形式.
(1)填空:将写成矩阵形式为:;
(2)若矩阵所对应的方程组的解为,求a与b的值.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)根据题意中的定义将方程组转换为:,按照定义即可写出矩阵;
(2)根据矩阵形式写成方程组的形式,将题目告知的解代入方程组,解得系数a、b.
【详解】(1)解:整理方程得,,因此矩阵形式为:;
(2)根据矩阵形式得到方程组为: ,
将代入上述方程得,,解得:.
【点睛】本题是二元一次方程组求解题,解题关键在于正确理解题意并计算.
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专题2-1 二元一次方程 +专题2-2二元一次方程组
模块1:学习目标
1. 认识二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的定义;.
2. 会检验一组数是不是某个二元一次方程(组)的解。
模块2:知识梳理
1.二元一次方程:含有两个未知数,且所含未知数的次数项的次数都是1的方程。
2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值(有序数对)
3.检验二元一次方程解的方法:将有序数对带入方程中,若等式都成立,则为方程的解;若有等式不成立,则不是方程的解。
4.将几个相同未知数的一次方程联合起来,就组成了二元一次方程组。
注:二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成,方程个数也不一定是两个。
5.判断二元一次方程组的方法:
①方程组中是否一共有两个未知数;②含未知数的项的次数是否都是1;③是否含有多个方程组成.
6.二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。
7.检验二元一次方程组解的方法:将有序数对带入方程中,若方程组等式都成立,则为方程组的解;若有方程不成立,则不是方程的解。
注:方程组中只要有一个方程带入后不成立,则不是方程的解。
模块3:核心考点与典例
考点1. 二元一次方程的定义
例1.(2023·重庆璧山·七年级期中)下列各式中是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
变式1.(2023·河北·邯郸市七年级期中)下列方程中,是二元一次方程的是( )
A.x﹣y=1 B.xy+2y=3 C.π+2x=5 D.+y=4
变式2.(2023·广东·七年级阶段练习)下列方程中是二元一次方程的是( )
A. B. C. D.
考点2. 二元一次方程的解
例1.(2023·山东七年级月考)是下列哪个方程的解( )
A. B. C. D.
变式1.(2023·陕西咸阳·八年级校考阶段练习)写出二元一次方程的一组解________.(写出一组即可)
变式2.(2023·河南·七年级课时练习)对于二元一次方程,下列说法不正确的是( )
A.它有无数多个解 B.它有无数多个整数解
C.它只有一个非负整数解 D.它没有正整数解
考点3. 二元一次方程组的定义
例1.(2023·浙江长兴·期中)下到方程组中,属于二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
变式1.(2023·吉林七年级期中)下列方程组中,属于二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
变式2.(2023·浙江·九年级模拟)下列方程组中是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
考点4. 二元一次方程组的解
例1.(2023·浙江台州·七年级期末)方程组的解是( )
A. B. C. D.
变式1.(2023·广西河池·七年级期末)下列方程组中,以为解的二元一次方程组是( )
A. B. C. D.
变式2.(2023·江苏宿迁·七年级期末)二元一次方程有无数个解,下列各组数值中,不是该方程的解的是( )
A. B. C. D.
考点5. 根据二元一次方程的定义求参数
例1.(2023·四川眉山·七年级期末)若是关于x、y的二元一次方程,则k的值为( )
A. B. C.0 D.1
变式1.(2023·广东·江东七年级阶段练习)若3-=5是二元一次方程,m+n=______.
变式2.(2023·广东·九年级期中)若关于x,y的方程x2m﹣1+4yn+2=6是二元一次方程,则m,n的值是(  )
A.m=1,n=﹣1 B.m=﹣1,n=1 C.m= ,n=- D.m=-,n=
考点6. 根据二元一次方程组的定义求参数
例1.(2023·日照市七年级期中)若方程组是二元一次方程组,则a的值为________.
变式1.(2023·成都·七年级)若是关于,的二元一次方程组,则____ ,____,____.
考点7:根据二元一次方程的解求参数
例1.(2023·山东临沂·七年级期末)已知是关于x,y的二元一次方程的一个解,那么a的值为( )
A.3 B.2 C. 2 D. 3
变式1.(2023·吉林市七年级期末)已知是关于,为未知数的方程的解,则______.
变式2.(2023·广西百色·统考二模)若是方程的一个解,则代数式____.
考点8:已知二元一次方程组的解求参数
例1.(2023·河南·七年级阶段练习)已知是二元一次方程组的解,则的值为( )
A.8 B.5 C.3 D.10
变式1.(2023浙江萧山·期末)若二元一次方程组的解为,则a+b的值是(   )
A.9 B.6 C.3 D.1
考点9:二元一次方程组的整数解问题
例1.(2023·河北昌黎·期末)方程在自然数范围内的解有( )
A.只有1组 B.只有4组 C.无数组 D.以上都不对
变式1.(2023 宜宾期末)二元一次方程2x+3y=11的正整数解有(  )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
变式2. (2023·湖南邵阳·七年级校考期中)方程的正整数解有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
模块4:同步培优题库
全卷共25题 测试时间:80分钟 试卷满分:120分
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2023·浙江·永嘉县七年级期中)下列方程属于二元一次方程的是(  )
A.2x-3=10 B.3+2y=10 C.xy+8=0 D.x+y=2
2.(2023·射洪县七年级期中)下列方程组中是二元一次方程组的是(  )
A. B. C. D.
3.(2023·内蒙古·七年级期末)若是关于,的二元一次方程,则,的值分别是( )
A., B., C., D.,
.3.(2023·贵州万山·七年级期中)二元一次方程的正整数解有几个( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.(2023·江苏宿迁·七年级期末)二元一次方程有无数个解,下列各组数值中,不是该方程的解的是( )
A. B. C. D.
5.(2023·安徽·合肥市八年级阶段练习)下列方程组中,有无数组解的是( )
A. B. C. D.
6.(2023·重庆市七年级期中)若是方程的一个解,则的值为( )
A.1 B.3 C.7 D.4
7.(2023·北京顺义·七年级期末)在下列方程:①,②,③,④中,任选两个组成二元一次方程组,若是该方程组的解,则选择的两个方程是( )
A.①③ B.①④ C.②④ D.②③
8.(2023春·北京·七年级期末)已知二元一次方程,用含x的代数式表示y,正确的是(  )
A. B. C. D.
9.(2023春·湖南邵阳·七年级校考期中)方程的正整数解有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
10.(2023·浙江杭州·模拟预测)课本上有一例题:求方程组的自然数解,是这样解的:因为x,y为自然数,列表尝试如下:
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可见只有,符合这个方程组,所以方程组的解为
从上述过程可以看出,这个求方程组解的思路是( )
A.先消元,然后转化为一元一次方程,解这个一元一次方程,即可得方程组的解
B.先列出第一个方程的解,再列出第二个方程的解,然后找出两个方程的公共解,即为所求的解
C.先列出第一个方程的解,再将这些解顺次代入第二个方程进行检验,若等式成立,则可得方程组的解
D.先任意给出的一对自然数,假定是解,然后代入两个方程分别检验,两个都成立,则可得方程组的解
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
11.(2023·绵阳市·七年级课时练习)二元一次方程有______个解,有________个正整数解,它们是___________.
12.(2023·甘肃·七年级期末)若方程是关于的二元一次方程,则的值为______.
13.(2023·山东·邹城市七年级阶段练习)若是关于a,b的二元一次方程的一个解,则代数式的值是____.
14.(2020·浙江绍兴·统考中考真题)若关于x,y的二元一次方程组的解为,则多项式A可以是_____(写出一个即可).
15.(2023·甘肃·七年级期末)若方程是关于的二元一次方程,则的值为______.
16.(2023·山东·邹城市七年级阶段练习)若是关于a,b的二元一次方程的一个解,则代数式的值是____.
17.(2021·浙江嘉兴·统考中考真题)已知二元一次方程,请写出该方程的一组整数解_____.
18.(2023·贵州黔东南·模拟预测)在下列数对中:①;②;③;④,其中是方程的解的是______ ;是方程的解的是______ ;既是方程的解,又是方程的解的是______ 填序号
三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(2023.浙江七年级专项训练)哪些是二元一次方程?为什么?
(1)x2+y=20;(2)2x+5=10;(3)2a+3b=1;(4)x2+2x+1=0;(5)2x+y+z=1.
20.(2023.山东七年级专项训练)判断是否为方程组的解.
21.(2023河南省商丘市七年级期末)已知二元一次方程.(1)直接写出它所有的整数解;(2)请你写出一个二元一次方程,使它与已知方程组成的方程组的解为
22.(2023.广西七年级期末)【阅读理解】我们知道方程2x+3y=12有无数个解,但在实际问题中往往只需求出其正整数解.
例如:由2x+3y=12,得:(x、y为正整数).
要使为正整数,则为正数可知:x为3的倍数,从而x=3,代入.
所以2x+3y=12的正整数解为.(1)【类比探究】请根据材料求出方程3x+2y=8的正整数解.
(2)【拓展应用】把一根长20米的钢管截成2米长和3米长两种规格的钢管,在不造成浪费的情况下,共有几种截法?
23.(2023.浙江七年级期末)定义:把(其中,是常数,,是未知数)这样的方程称为“优美二元一次方程”.当时,“优美二元一次方程”中的值称为“优美二元一次方程”的“优美值”.例如:当时,“优美二元一次方程”化为,解得:,故其“优美值”为4.
(1)求“优美二元一次方程”的“优美值”;
(2)若“优美二元一次方程”的“优美值”是﹣3,求的值;
(3)是否存在,使得优美二元一次方程与优美二元一次方程的“优美值”相同?若存在,请求出的值及此时的“优美值”;若不存在,请说明理由.
24.(2023.重庆市八年级期末)阅读以下材料,并利用材料知识解决问题.
材料一:如果实数a,b满足,那么就称a和b是一组“创意数对”,用有序数对表示.例如:由于,所以是“创意数对”.
材料二:任何一个自然数M都能分解成两个因数的乘积:,对于M的所有分解,当最小时,我们称此分解为M的“和值分解”,并记.例如:对于,∵,∴是18的“和值分解”,.
(1)是否存在实数m,使得是“创意数对”?如果存在,请求解出m的值;若不存在,请说明理由;
(2)一个两位数N的十位数字为x,个位数字为y,若是“创意数对”,请求解的最小值.
25.(2023.北京市七年级期末)我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系,系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解.因此,在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式,规定:关于x,y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式.例如:可以写成矩阵的形式.
(1)填空:将写成矩阵形式为:;
(2)若矩阵所对应的方程组的解为,求a与b的值.
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