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专题2-4 二元一次方程组的应用
模块1：学习目标
1. 初步掌握列二元一次方程组解应用题；
2. 掌握解二元一次方程组应用题的步骤；
3. 通过实际问题转化为数学问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
模块2：知识梳理
1）列方程组解应用题步骤
（1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
（2）解应用题的一般步骤为：
①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；
②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；
③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；
④解答。
2）分析数量关系的常用方法
（1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
（2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。该方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
模块3：核心考点与典例
考点1二元一次方程组的应用--年龄问题
例1.（2023·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得 解得
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
变式1．（2023·成都外国语学校八年级阶段练习）甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______．
【答案】42岁，23岁
【分析】设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁，
依题意，得：，解得：．
答：甲现在42岁，乙现在23岁．故答案为：42岁，23岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式2．（2023·江苏·七年级期末）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）；(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
(1)设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
(2)（年） （年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
考点2二元一次方程组的应用--数学文化问题
例2.（2023·陕西商洛·七年级期末）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有几只？（请列二元一次方程组解答此题）
【答案】笼中有23只鸡，12只兔
【分析】设笼中各有x只鸡，y只兔，据：①鸡数+兔数=35，②鸡足+兔足=94，列出方程组求解可得．
【详解】解：设笼中各有x只鸡，y只兔，根据题意得：
，解得，∴笼中有23只鸡，12只兔
答：笼中有23只鸡，12只兔．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键．
变式1．（2023·重庆八年级期中）《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格．小明用二元一次方程组解此问题，若已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，可知设每人出x文，总共y文，再列另一个方程即可．
【详解】∵，∴设每人出x文，总共y文，∴另一个方程为，故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，正确设未知数，灵活列方程是解题的关键．
变式2．（2023·北京市七年级期末）程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
下列是四位同学的解答：
①小明：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
②小丽：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
③小东：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为．
④小华：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为100-3x=．
其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】根据题意列出对应的二元一次方程组和一元一次方程组即可得到答案．
【详解】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
根据题意可列方程组为，故①正确，②错误；
设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为，故③错误，④正确．
故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组和一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
考点3.二元一次方程组的应用--和、差、倍、分问题
例3．（2023·福建·晋江市七年级阶段练习）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年结余比去年多11400元．
(1)今年结余_____元；(2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为____元，支出为____元；（以上两空用含x、y的式子表示）(3)列出关于x、y的方程组．
【答案】(1)23400 (2)1.2x；0.9y(3)
【分析】（1）根据去年菠萝的收入结余12000元，结余今年预计比去年多11400元，可以计算出今年的结余；（2）根据今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少10%，可以表示出今年的收入和支出；（3）根据题意“去年菠萝的收入结余12000元，今年结余比去年多11400元．”列出相应的方程组，即可．
（1）解：根据题意得：今年的结余为12000+11400=23400元；故答案为：23400
（2）解：设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为x+20%x=1.2x元，支出为y-10%y=0.9y元；故答案为：1.2x；0.9y
（3）解：根据题意得：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用方程的知识解答．
变式1．（2023·浙江温州·七年级期中）疫情期间，某单位采购了50包口罩和30瓶消毒液，一共花费1633元，其中消毒液的单价比口罩的单价多2元，求口罩的单价和消毒液的单价．设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据等量关系式：消毒液的单价=口罩的单价+2元，50包口罩+30瓶消毒液=1633元，列出方程组即可．
【详解】解：设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据题意得：
，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系式，是解题的关键．
变式2．（2023·浙江金华·七年级期末）浙教版七（下）数学书P44中有这样一个合作学习：游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍．设男孩有x人，女孩有y人，可列方程组________．
【答案】
【分析】利用每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色游泳帽是红色的2倍，进而分别得出等式即可．
【详解】解：设男孩x人，女孩有y人，根据题意得：
．故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据题目信息找出等量关系并列出方程组是解题的关键．
考点4二元一次方程组的应用--方案问题
例1．（2023·重庆市七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
【答案】(1)1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨(2)共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆；安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨，列出方程求解即可；
（2）设安排A货车辆，B货车辆，根据目前有190吨货物需要运输，列出方程求解即可．
（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨．
根据题意得解得．
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨．
（2）设安排A货车辆，B货车辆，依题意，得
，即，
又因为均为正整数，所以或或，
所以共有3种运输方案，方案1：安排A货车8辆，B货车2辆；
方案2：安排A货车5辆，B货车6辆；方案3：安排A货车2辆，B货车10辆．
方案1所需费用：500×8+400×2=4800（元）；
方案2所需费用：500×5+400×6=4900（元）；
方案3所需费用：500×2+400×10=5000（元）；
因为4800<4900<5000，所以安排A货车8辆，B货车2辆费用最少，最少费用为4800元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．
变式1．（2023·江西宜春·七年级阶段练习）小贤有一张面值为100元的人民币，需要兑换成面值为5元或10元的零钱，若要求包含两种面值，则共有___________种兑换方案．
【答案】9
【分析】设兑换成面值5元的人民币x张，面值10元的人民币y张，根据兑换成零钱的总价值为100元，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有9种兑换方案．
【详解】解：设兑换成面值5元的人民币x张，面值10元的人民币y张，
依题意得：5x＋10y＝100，∴x＝20 2y．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或或或或或或，
∴共有9种兑换方案．故答案为：9．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
变式2．（2023·山东·七年级期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨
(2)方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．(3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元
【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；（3）根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．
（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
依题意，得：，解得：．
答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．
（2）解：依题意，得：3a+4b=31，∴．
又∵a，b均为正整数，∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）解：方案1所需租金为100×9+120×1=1020（元）；
方案2所需租金为100×5+120×4=980（元）；
方案3所需租金为100×1+120×7=940（元）．
∵1020＞980＞940，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．
考点5二元一次方程组的应用--行程问题
例1．（2023·山东·七年级阶段练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；
(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
【答案】(1)a和b的值分别为60，40；(2)
【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等且时间为小时及建立方程组求出其解即可；（2）由乙车行驶的时间相等就可以得出两次的时间分别为小时，由两段路程之和等于120及建立方程组求出其解即可求出a、b的值，从而得到甲车前一半的时间为，从而得出相遇时甲车还没行驶到60km，则离A地的路程为相遇时间乘甲车开始的速度即可．
（1）解：∵甲车以两种速度行驶的路程相等，
∴甲车以两种速度行驶的路程均为60 km．
∴由题意得：，解得：；即a和b的值分别为60，40；
（2）∵乙车以两种速度行驶的时间相等，
∴乙车以两种速度行驶的时间均为小时
∴由题意得：解得：；∴甲车前一半的时间为：，
由于，则乙h时行的路程为：，
∵，∴甲车行驶到一半路程时，甲乙两车的路程和超过120km，
∴相遇时甲车还没行驶到60km，
∴相遇时间为：，
则离A地的路程为：．即：两车相遇时，离A地．
【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．
变式1．（2023·江苏·无锡七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
【答案】甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．
【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程－慢者走的路程＝环形周长建立方程组求出其解即可．
【详解】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，
由题意，得：，解得：，
∴甲的速度为：2.5×150＝375米/分；
答：甲的速度为375米/分，乙的速度为150米/分，环形场地的周长为900米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．
变式2．（2023·吉林四平·七年级期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时。请问从甲地到乙地上坡路与平路各是多少千米？
【答案】从甲地到乙地上坡路长为1.5千米，平路长为1.6千米
【分析】设从甲地到乙地上坡路长为千米，平路长为千米，根据题意即可列出二元一次方程组，解方程组，即可求得．
【详解】设从甲地到乙地上坡路长为千米，平路长为千米，
根据题意得：解得
答：从甲地到乙地上坡路长为1.5千米，平路长为1.6千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意列出方程组是解决本题的关键．
考点6. 二元一次方程组的应用--工程问题
例1.（2023·吉林·七年级阶段练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）
【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元
(2)单独请乙组，商店所需费用少 (3)安排甲乙合作施工更有利于商店
【分析】（1）根据题意建立方程组并求解；
（2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案；
（3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案．
（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元，
依题意得：，解得：．
答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元．
（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．
∵3600＞3360，∴单独请乙组，商店所需费用少．
（3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）；
选择②：（140+200）×24＝8160（元）；
选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键．
变式1．（2023·广东潮州·七年级期末）台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到；再根据“台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻”，得到．联立方程组，即可得到正确的选项．
【详解】台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，
根据题意得：．故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用问题，解本题关键在理解题意，并列出二元一次方程组．
变式2．（2023·河南南阳·七年级期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
【答案】(1)①；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；见解析(2)见解析
【分析】（1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．根据甲、乙两队共完成120米的整治河道任务且共同时20天，即可得出关于x，y的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出m，n表示的意义；
（2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论．
（1）① 故答案为：；
② m表示甲工程队工作的天数；n表示乙工程队工作的天数
故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数；
（2）选择① 解：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．则
解得 经检验，符合题意
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
选择②解：设甲工程队工作的天数是m天，乙工程队工作的天数是n天． 则
解得 经检验，符合题意
甲整治的河道长度：15×16=240米 ；乙整治的河道长度：5×24=120米
答：甲工程队整治河道240米，乙工程队整治河道120米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
考点7.二元一次方程组的应用--销售、利润问题
例1．（2023·北京市七年级期中）在新年联欢会上，同学们组织了精彩的猜谜活动，为了奖励猜对的同学，老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品，已知个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个
笔袋和筒彩色铅笔原价共需元．(1)求每个笔袋、每筒彩色铅笔的原价各多少元？(2)时逢新年期间，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过筒不优惠，超出筒的部分“八折”优惠．如果买个笔袋需要元，买筒彩色铅笔需要元．请用含，的代数式分别表示和；
(3)如果在（2）的条件下一共购买同一种奖品件，请分析买哪种奖品省钱．
【答案】(1)每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元
(2)，(3)购买彩色铅笔省钱
【分析】（1）设每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元，根据“个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总价单价数量，即可用含，的分别求出和的解析式；
（3）代入，求出，的值，比较后即可得出结论．
（1）解：设每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元，
依题意，得：，解得：，
答：每个笔袋的原价为元，每筒彩色铅笔的原价为元；
（2）解：依题意，得：，
当时，；当时，；
；
（3）解：当时，；
当时，；
，购买彩色铅笔省钱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、求函数解析式以及函数求值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列出函数解析式；（3）代入，求出，的值．
变式1．（2023·广东广州·七年级期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？
【答案】甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元
【分析】设甲服装的成本为元，乙服装的成本为元，则甲服装的定价为元，乙服装的定价为元，根据“甲、乙两件服装的成本共500元”和“两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元”建立方程组，解方程组即可得．
【详解】解：设甲服装的成本为元，乙服装的成本为元，则甲服装的定价为元，乙服装的定价为元，
由题意得：，解得，
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系并正确建立方程组是解题关键．
变式2．（2023·重庆·黔江区七年级期中）重庆某超市有A，B两种产品进行销售，购买50件A产品，30件B产品，一共花费1450元，如果购买60件A产品，10件B产品，则一共花费1350元．
(1)请问A、B两种产品的单价为多少元？(2)五一即将来临，超市分别针对A、B商品进行打折销售．购买A种商品数量超过20的每件商品打八折销售；购买B种品数超过30的每件商品打六折销售．小红去超市购买A，B两种产品54件，一共花费了640元，请问小红分别购买A、B两种产品多少件？
【答案】(1)种产品的单价为20元、种产品的单价为15元
(2)小红购买种产品为22件、种产品的32件或小红购买种产品为14件、种产品的40件
【分析】（1）设种产品的单价为元、种产品的单价为元，由题意列出方程组，解方程组即可；（2）设购买种产品为件、种产品的件，由题意列出方程组，解方程组解可．
（1）解：设种产品的单价为元、种产品的单价为元，
由题意得：，解得．
答：种产品的单价为20元、种产品的单价为15元．
（2）
解：设购买种产品为件、种产品的件，
①购买种商品数量超过20件，购买种品数超过30件，
由题意得：，解得：；
②购买种商品数量超过20件，购买种品数不超过30件，
由题意得：，解得：，不合题意舍去，
③购买种商品数量不超过20件，购买种品数超过30件，
由题意得：，解得：，
答：小红购买种产品为22件、种产品的32件或小红购买种产品为14件、种产品的40件．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，解答此类应用类题目的关键是仔细审题，得出等量关系，从而转化为方程解题，难度一般，第二问需要分类讨论，注意不要遗漏．
考点8二元一次方程组的应用--几何问题
例1.（2023·江苏·南京九年级阶段练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
【答案】(1)AB＝4，BC＝3(2)AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4
【分析】（1）根据；篱笆总长和门的长表示出AB、BC，列出方程即可．（2）根据围成矩形三边的篱笆总长小于10列出不等式，再由x和y为整数且xy=12确定出满足题意的方案．
（1）根据题意得：，即．
代入得：，整理得：．解得：或．
当时，，不符合题意；当时，，符合题意．则AB=4,BC=3．
（2）根据题意得：，即．
∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且．∴当y=6时，x=2；当y=4时，x=3．
则满足条件的围建方案为：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解题的关键．
变式1．（2023·河北唐山·七年级期中）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，观察图形，根据长方形墙砖长宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式，即可求出每块墙砖的截面面积．
【详解】解：设每块墙砖的长为x cm，宽为y cm，
由题意得：，解得：，∴xy=45×20=900，
∴每块墙砖的截面面积是900cm2．故选：B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式2．（2023·浙江温州市·七年级期末）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若，则AD等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设DE=x，EF=y，然后由边长的数量关系列出方程组，解方程组求出x、y，即可得到答案．
【详解】解：如图：设DE=x，EF=y，根据题意，则，
解得：，∴；故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题意，正确列出方程组进行解题．
考点9.二元一次方程组的应用--数字问题
例1．（2023·山东淄博·七年级期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：
时刻 9：00 9：48 11：00
里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0
如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么：
(1)小明9：00时看到的两位数为______；
(2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______；
(3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．
【答案】(1)(2)；(3)小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15
【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字即是此两位数；（2）同样用数位的概念进行表达即可，9：48时十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了，则十位数字为y，个位数字为x，11：00时看到的三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y；（3）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程，解出方程即可．
（1）∵两位数的十位数字为x，个位数字为y，∴两位数可表示为；故答案为；．
（2）∵9：48时看到的两位数十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
∴十位数字为y，个位数字为x，∴两位数可表示为；
∵11：00看到的数字是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0，
∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y，
∴11：00时的三位数可表示为：；故答案为；；．
（3）根据题意可知行驶速度不变，从9:00到9:48用时48分钟，到11:00用时120分钟，列方程如下：，解得：．
∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．
【点睛】本题考查了数位的概念和二元一次方程组的应用，理解数位的概念和表达方法，找到题中的等量关系列出方程是解题的关键．
变式1．（2023·湖北武汉·七年级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】设原两位数的个位为x， 十位为y，则这个两位数为10y+x， 所以交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y，再列方程10x+y 10y x=63， 找出符合条件的正整数解即可．
【详解】解：设原两位数的个位为x， 十位为y， 则这个两位数为10y+x，
交换其个位数与十位数的位置，所得新两位数为10x+y， 则10x+y 10y x=63，整理得：x y=7，
又∵x，y为正整数，且0【点睛】本题考查的是二元一次方程的应用，二元一次方程的正整数解，理解题意，用代数式正确的表示出一个两位数是解题的关键．
变式2．（2023·内蒙古·七年级阶段练习）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．
(1)在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出，的值；
(2)把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内．
【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据等量关系“各行、各列及对角线上三个数之和都相等”，列出方程组求解即可；
（2）根据计算出的x、y值，求出其它6个数即可．
（1）解：由已知条件可得，解得：．
（2）解：如图所示：
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据“各行、各列及对角线上三个数之和相等”从而列出关于x、y的二元一次方程组，是解题的关键．
考点10. 二元一次方程组的应用之配套问题
例10．（2023·福建福州·七年级期末）某包装厂承接一批礼品盒制作业务，他们以规格200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材按照截法一或截法二裁下A型与B型两种板材．如图甲（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值．
(2)若将625张标准板材用截法一裁剪，125张标准板材用截法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
【答案】(1)图甲中的值为，的值为
(2)可以做竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个
【分析】（1）观察圈形，根据标准板材的长度为200cm，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设可以做竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒y个，根据裁剪的两种型号的板材正好做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
（1）解：依题意，得：，解得：．
答：图甲中的值为，的值为．
（2）设可以做竖式无盖礼品盒m个，横式无盖礼品盒n个，
依题意（图乙），得：，解得：．
答：可以做竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式1．（2023·广东·七年级课时练习）有一些苹果箱，若每个装苹果，则剩余苹果无处装，若每个装苹果．则余20个空箱，这些苹果箱有（ ）
A．12个 B．60个 C．112个 D．128个
【答案】D
【分析】设这些苹果箱有个，苹果总重量为，则苹果总数为或，再列方程组，从而可得答案.
【详解】解：设这些苹果箱有个，苹果总重量为，则
解得：
方程组的解为： 答：这些苹果箱有个.故选：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，得出正确的相等关系是解题的关键.
变式2．（2023·天津·七年级期末）有支队名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队人，每名运动员只能参加一项比赛．设篮球队有支参赛，排球队有参赛，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设篮球队有支参赛，排球队有参赛，根据“支队名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队人，”即可列出方程组．
【详解】解：设篮球队有支参赛，排球队有参赛，根据题意得：，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江·哈尔滨市七年级阶段练习）六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是( )．
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
【答案】C
【详解】解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得：
，解得：．故选C．
2．（2023·广东·东莞市七年级期中）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：依题意，得：，故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3.（2023·福建·模拟预测）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【详解】解：设买甜果个，买苦果个，由题意可得，，故选：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
4．（2023·重庆北碚区·七年级期末）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？“译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？“如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【详解】解：设绳长x尺，井深y尺，根据题意可得故选：A
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题关键是明确题意，列出相应的方程组．
5．（2023·山西临汾·七年级期末）金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，；
购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，．
所列方程组为．故选：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2023·浙江台州·七年级期末）如图，用四个完全相同的长方形纸片拼成一个大正方形．若外面的大正方形和里面的小正方形的周长的差和面积的差数值相等，则下列说法正确的是（ ）
A．长方形纸片的长是2，宽无法确定 B．长方形纸片的宽是2，长无法确定
C．长方形纸片的长和宽之比为 D．条件不足不能求出长方形纸片的长或宽
【答案】A
【分析】设长方形纸片的长为x，宽为y，（x＞y），根据外面的大正方形和里面的小正方形的周长的差和面积的差数值相等，列出方程，即可求出，得出答案．
【详解】解：设长方形纸片的长为x，宽为y，（x＞y），根据题意得：
，整理得：，∵，∴，
因此长方形纸片的长是2，宽无法确定，故A正确．故选：A．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程解决实际问题，设出未知数，找出题目中的等量关系式，列出方程，是解题的关键．
7．（2023·巴中八年级期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（ ）
A．6台 B．7台 C．8台 D．9台
【答案】B
【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论．
【详解】解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，
依题意，得，解得：，
∵5ax=30a+5a，∴x=7．答：要同时开动7台机组．故选：B．
【点睛】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．
8．（2022·浙江·七年级期末）计算机的某种运算程序如图，已知输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7．若输入的数是x（x≠0）时输出的运算结果为P，输入的数是3x时输出的运算结果为Q，则（ ）
A．P：Q＝3 B．Q：P＝3 C．（Q﹣1）：（P﹣1）＝3 D．（Q+1）：（P+1）＝3
【答案】D
【分析】由运算程序可得3a+b=5，4a+b=7，求出a、b的值，再表示出P、Q，从而得出关系．
【详解】解：∵输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7．
∴，∴a=2，b=-1，∴P=2x-1，Q=6x-1，∴（Q+1）：（P+1）=（6x）：（2x）=3，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据运算程序列出二元一次方程组是解决问题的关键．
9.（2023·重庆江津·七年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设甲数为x，乙数为y．根据题意，列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y．根据题意，得方程组，故选A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解题的关键．
10．（2023·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）小明要用80元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，80元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
【答案】B
【分析】设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个，得，根据题意列出符合题目的购买方案即可解答；
【详解】解：设买A型号的口罩x个，B型号的口罩y个，且x、y均为正整数，
即有，变形，得，根据题意，且x、y均为正整数，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
符合题意，所以小明的购买方案有6种；故选：B．
【点睛】本题主要考查了求解二元一次方程的正整数解的知识，正确理解题意，找到两种口罩的数量关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·重庆大足·七年级期末）今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机．前三天售出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多50%，后两天售出的甲款手机的数量比前三天售出的甲款手机的数量少40%，结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲乙两款手机的总数量多12%，若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多24%，在整个销售期间甲乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为______．
【答案】17：32
【分析】设前三天售出的乙款手机的数量是x，则前三天售出的甲款手机的数量为1.5x，则后两天售出的甲款手机的数量是0.6x，后两天售出的乙款手机的数量是2.2x，设甲款手机的单价为a，乙款手机的单价为b，根据题意列出方程解答即可．
【详解】设前三天售出的乙款手机的数量是x，则前三天售出的甲款手机的数量为1.5x，则后两天售出的甲款手机的数量是0.6x，后两天售出的乙款手机的数量是2.2x，设甲款手机的单价为a，乙款手机的单价为b，依题意有0.6xa + 2.2xb= (1 + 24%) (xa + 1.5xb)，
化简得0.64a = 0.34b，则a：b=17：32，
故甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为17：32，故答案为17 ：32．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
12．（2023·山西吕梁·七年级期末）如图，在3×3的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则的值为________．
【答案】0
【分析】根据“各行各列及对角线上的三个数之和都相等”可列出相应的一元一次方程式组，解出x和y的值，进而求出m的值．
【详解】解：根据题意得：，解得： ，
各行各列及对角线上的三个数之和为：4×1﹣3+2＝3，
2+y+m＝3，即2+1+m＝3，解得m＝0．故答案为：0．
【点睛】本题考查二元一次方程组，读懂题意，找出等量关系，并据此列出方程组是解题的关键．
13．（2023·天津市八年级期末）一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过小刚追上小明，时小刚到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为_______．
【答案】2050
【分析】根据两人的全程的距离相同可得出，再由当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过时小刚追上小明，可以得到，解方程求出a、b的值，由此求解即可．
【详解】解：解：根据题意，得，解得：
所以m故答案为：2050
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出方程求解．
14．（2023·江西上饶·七年级期末）一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 _____．
【答案】26
【分析】设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，根据学生今年年龄减年龄差等于2，老师今年年龄加年龄差等于38，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设今年老师的岁数是x岁，学生的岁数是y岁，
依题意得：， 解得：．故答案为：26．
【点睛】本题考查二元一次方程组，设出恰当的未知数，准确抓住数量关系列出方程组是解题的关键．
15．（2023·湖北·九年级专题练习）某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住5折优惠措施，一个48人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1380元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共_____间．
【答案】19
【分析】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，根据总人数和总费用列得方程，求解即可．
【详解】设住了三人间普通客房x间，住双人间普通客房y间，
由题意得，，解得，∴x+y=19，
∴该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共19间，故答案为：19．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题的关键．
16．（2023·江苏·七年级阶段练习）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是__________．
【答案】16
【分析】设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为2a，宽为2a，根据图形中大小长方形长与宽之间的关系，列出二元一次方程组，进行计算即可得．
【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为2a，宽为2a，
依题意得，解得，，
∴大长方形的边长为：，∴，故答案为：16．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出二元一次方程组并正确求解．
17．（2020·湖南衡阳·中考真题）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有__ 名．
【答案】23
【分析】关系式为：男生人数+女生人数=52，男生人数=2×女生人数-17．把相关数值代入即可求解．
【解析】设男生人数为x人，女生人数为y人．由此可得方程组．解得，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
18．（2023·广东·丰顺县八年级开学考试）某校购新书本，共付元，其中科技书每本元，文艺书每本元，则科技书买了_____本，文艺书买了______本．
【答案】
【分析】根据题意列出二元一次方程组求解．
【详解】解：设科技书买了x本，文艺书买了y本，则由题意可得：
，解之可得：，故答案为：180；140．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的求解是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·青海·西宁七年级期中）在西宁市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
【答案】男生34人，女生20人
【分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，根据“男生人数+女生人数=54、男生人数=1.5×女生人数+4”列出方程组并解答．
【详解】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人，女生人数为y人，
依题意得：，解得，
答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为34人，女生人数为20人．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．弄清题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
20．（2023·陕西商洛·七年级期末）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有几只？（请列二元一次方程组解答此题）
【答案】笼中有23只鸡，12只兔
【分析】设笼中各有x只鸡，y只兔，根据：①鸡数+兔数=35，②鸡足+兔足=94，列出方程组求解可得．
【详解】解：设笼中各有x只鸡，y只兔，根据题意得：
，解得，∴笼中有23只鸡，12只兔
答：笼中有23只鸡，12只兔．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组求解是解题的关键．
21．（2023·浙江·七年级期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
【答案】(1)做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒
(2)竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3
【分析】（1）设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；
（2）由（1）结合题意可得：，解比例即可求解．
（1）解：设做成x个竖式纸盒，y个横式纸盒，
则需要正方形纸板（x+2y）张，需要长方形的纸板（4x+3y）张，
由题意可得：，解得：
答：做成40个竖式纸盒，260个横式纸盒；
（2）由题意可得：，解得：x＝3y，∴x：y＝3，
答：竖式纸盒与横式纸盒个数的比值为3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解，理解题意，找到等量关系列出方程组是解题的关键．
22．（2023·山西·七年级期末）某次篮球联赛部分积分如下：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
据表格提供的信息解答下列问题：（1）胜一场、负一场各积多少分？（2）某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由．
【答案】（1）胜一场积分，负一场积分；（2）不能，见解析
【分析】（1）设胜一场积分，负一场积分，根据A、B两队的得分情况列方程组，求解；
（2）设胜场数是，则负场数是，由“胜场总积分等于负场总积分”，列出方程求解并判断．
【详解】解：（1）设胜一场积分，负一场积分,
依题意得，解得 答：胜一场积分，负一场积分．
（2）不能
设胜场数是，则负场数是．若胜场总积分等于负场总积分，
依题意可得，解得．
必须为整数，胜场总积分不能等于负场总积分．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的应用，找出数量关系是关键．
23．（2023·江苏·七年级单元测试）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
【答案】(1)甲每小时行4千米，乙每小时行5千米(2)10分钟或30分钟
【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：20分钟×甲的速度+20分钟×乙的速度=3千米，3千米-30分钟×甲的速度=（3千米-30分钟×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意单位换算；
（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．
（1）解：设甲每小时行千米．乙每小时行千米．
依题意：解方程组得
答：甲每小时行4千米，乙每小时行5千米．
（2）相遇前：（3-1.5）÷（+）=1.5÷=10（分钟），
相遇后：（3+1.5）÷（+）=4.5÷=30（分钟）．
故在他们出发后10分钟或30分钟两人相距1.5千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．
24．（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）随着新能源汽车需求量的增加，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元．(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划恰好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均需购买），请你写出所有购买方案．
【答案】(1)A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元
(2)所有购买方案：购进7辆A型汽车，5辆型汽车；购进4辆A型汽车，10辆型汽车；购进1辆A型汽车，15辆型汽车
【分析】（1）设A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元，根据“辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元”，即可得关于x、y的一元二次方程组，解之即可；
（2）设购进辆A型汽车和辆型汽车，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．
（1）解：设A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元，
由题意知：， 解得：，
答：A型汽车每辆进价万元，型汽车每辆进价万元．
（2）解：设购进辆A型汽车和辆型汽车，
则，，
均为正整数，∴当b=5时，a=7或b=10时，a=4或b=15时，a=1，
∴所有购买方案如下：购进7辆A型汽车，5辆型汽车；购进4辆A型汽车，10辆型汽车；购进1辆A型汽车，15辆型汽车．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．
25．（2023·福建·七年级期中）杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．
【答案】(1)每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
(2)m的值为12．
【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设抽调m名熟练工人，由工作总量=工作效率×工作时间，即可得出关于n，m的二元一次方程，再根据n，m均为正整数且，即可求出m的值．
（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：解得：．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
（2）（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1-5%）=5700，整理得：，∵n，m均为正整数，且，∴（舍），（舍），，∴m的值为12．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
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专题2-4 二元一次方程组的应用
模块1：学习目标
1. 初步掌握列二元一次方程组解应用题；
2. 掌握解二元一次方程组应用题的步骤；
3. 通过实际问题转化为数学问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
模块2：知识梳理
1）列方程组解应用题步骤
（1）列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系。一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：
①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等。
（2）解应用题的一般步骤为：
①读题：找出题目中的数量关系，列写等量关系式；
②设元：以好表达等量关系式为原则，设不知道的量为未知数；
③列方程：依据等量关系式，结合未知数列写方程；
④解答。
2）分析数量关系的常用方法
（1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
（2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。该方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
模块3：核心考点与典例
考点1二元一次方程组的应用--年龄问题
例1.（2023·重庆市松树桥中学校七年级阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
变式1．（2023·成都外国语学校八年级阶段练习）甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______．
变式2．（2023·江苏·七年级期末）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）；(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
考点2二元一次方程组的应用--数学文化问题
例2.（2023·陕西商洛·七年级期末）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有几只？（请列二元一次方程组解答此题）
变式1．（2023·重庆八年级期中）《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格．小明用二元一次方程组解此问题，若已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·北京市七年级期末）程大位，明代商人，珠算发明家，被称为珠算之父、卷尺之父．少年时，读书极为广博，对数学颇感兴趣，60岁时完成其杰作《直指算法统宗》（简称《算法统宗》）．在《算法统宗》里记载了一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？
下列是四位同学的解答：
①小明：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
②小丽：设大和尚有x人，小和尚有y人，根据题意可列方程组为
③小东：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为．
④小华：设大和尚有x人，则小和尚有(100-x)人，根据题意可列方程为100-3x=．
其中，以上解答一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③
考点3.二元一次方程组的应用--和、差、倍、分问题
例3．（2023·福建·晋江市七年级阶段练习）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的收入结余12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年结余比去年多11400元．
(1)今年结余_____元；(2)若设去年的收入为x元，支出为y元，则今年的收入为____元，支出为____元；（以上两空用含x、y的式子表示）(3)列出关于x、y的方程组．
变式1．（2023·浙江温州·七年级期中）疫情期间，某单位采购了50包口罩和30瓶消毒液，一共花费1633元，其中消毒液的单价比口罩的单价多2元，求口罩的单价和消毒液的单价．设口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，依题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·浙江金华·七年级期末）浙教版七（下）数学书P44中有这样一个合作学习：游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽．每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽是红色游泳帽的2倍．设男孩有x人，女孩有y人，可列方程组________．
考点4二元一次方程组的应用--方案问题
例1．（2023·重庆市七年级期中）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
(1)请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元，请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少，最少费用为多少元．
变式1．（2023·江西宜春·七年级阶段练习）小贤有一张面值为100元的人民币，需要兑换成面值为5元或10元的零钱，若要求包含两种面值，则共有___________种兑换方案．
变式2．（2023·山东·七年级期中）今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
考点5二元一次方程组的应用--行程问题
例1．（2023·山东·七年级阶段练习）已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地，两车均先以每小时a千米的速度行驶，再以每小时b千米的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．
(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求a和b的值；(2)若，且乙车行驶的总时间为小时，求两车相遇时，离A地多少千米？
变式1．（2023·江苏·无锡七年级阶段练习）甲、乙二人在一个大型环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，当4分钟时两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
变式2．（2023·吉林四平·七年级期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果保持上坡路每小时走3千米，平路每小时走4千米，下坡路每小时走5千米，那么从甲地到乙地需0.9小时，从乙地到甲地需0.7小时。请问从甲地到乙地上坡路与平路各是多少千米？
考点6. 二元一次方程组的应用--工程问题
例1.（2023·吉林·七年级阶段练习）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论）
变式1．（2023·广东潮州·七年级期末）台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，台大收割机和台小收割机同时工作h共收割水稻，设台大收割机和台小收割机每小时收割水稻分别是公顷、公顷，则下列列式正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·河南南阳·七年级期中）我市在创建省级卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段长360米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治16米，乙工程队每天整治24米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？
(1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
①小明同学：设整治任务完成后单工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．
根据题意，得
②小华同学：设整治任务完成后，表示______，表示______；
则可列方程组为
请你补全小明、小华两位同学的解题思路．(2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程．
考点7.二元一次方程组的应用--销售、利润问题
例1．（2023·北京市七年级期中）在新年联欢会上，同学们组织了精彩的猜谜活动，为了奖励猜对的同学，老师决定购买笔袋或彩色铅笔作为奖品，已知个笔袋和筒彩色铅笔原价共需元；个
笔袋和筒彩色铅笔原价共需元．(1)求每个笔袋、每筒彩色铅笔的原价各多少元？(2)时逢新年期间，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过筒不优惠，超出筒的部分“八折”优惠．如果买个笔袋需要元，买筒彩色铅笔需要元．请用含，的代数式分别表示和；(3)如果在（2）的条件下一共购买同一种奖品件，请分析买哪种奖品省钱．
变式1．（2023·广东广州·七年级期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板决定将甲服装按的利润率定价，乙服装按的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？
变式2．（2023·重庆·黔江区七年级期中）重庆某超市有A，B两种产品进行销售，购买50件A产品，30件B产品，一共花费1450元，如果购买60件A产品，10件B产品，则一共花费1350元．
(1)请问A、B两种产品的单价为多少元？(2)五一即将来临，超市分别针对A、B商品进行打折销售．购买A种商品数量超过20的每件商品打八折销售；购买B种品数超过30的每件商品打六折销售．小红去超市购买A，B两种产品54件，一共花费了640元，请问小红分别购买A、B两种产品多少件？
考点8二元一次方程组的应用--几何问题
例1.（2023·江苏·南京九年级阶段练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
变式1．（2023·河北唐山·七年级期中）如图所示的是由截面为同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低，两块竖放的墙砖比两块横放的墙砖高，则每块墙砖的截面面积是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023·浙江温州市·七年级期末）长方形ABCD可以分割成如图所示的七个正方形．若，则AD等于（ ）
A． B． C． D．
考点9.二元一次方程组的应用--数字问题
例1．（2023·山东淄博·七年级期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：
时刻 9：00 9：48 11：00
里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0
如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么：
(1)小明9：00时看到的两位数为______；
(2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______；
(3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．
变式1．（2023·湖北武汉·七年级期末）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大63，这样的两位数共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式2．（2023·内蒙古·七年级阶段练习）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．
(1)在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出，的值；
(2)把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内．
考点10. 二元一次方程组的应用之配套问题
例1．（2023·福建福州·七年级期末）某包装厂承接一批礼品盒制作业务，他们以规格200cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材按照截法一或截法二裁下A型与B型两种板材．如图甲（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值．(2)若将625张标准板材用截法一裁剪，125张标准板材用截法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
变式1．（2023·广东·七年级课时练习）有一些苹果箱，若每个装苹果，则剩余苹果无处装，若每个装苹果．则余20个空箱，这些苹果箱有（ ）
A．12个 B．60个 C．112个 D．128个
变式2．（2023·天津·七年级期末）有支队名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队人，每名运动员只能参加一项比赛．设篮球队有支参赛，排球队有参赛，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·黑龙江·哈尔滨市七年级阶段练习）六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄是( )．
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
2．（2023·广东·东莞市七年级期中）一种饮料有两种包装，5大盒、3小盒共装150瓶，2大盒、6小盒共装100瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·福建·模拟预测）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果个，买苦果个，则下列关于、的二元一次方程组中符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·重庆北碚区·七年级期末）古代《折绳测井》“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？“译文大致是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等分，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等分，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？“如果设绳长x尺，井深y尺，根据题意列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山西临汾·七年级期末）金山银山不如绿水青山，某地准备购买一些松树苗和梭梭树苗绿化荒山，已知购买棵松树苗和棵梭梭树苗需要元，购买棵梭梭树苗比棵松树苗少花费元，设每棵松树苗元，每棵梭梭树苗元，则列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江台州·七年级期末）如图，用四个完全相同的长方形纸片拼成一个大正方形．若外面的大正方形和里面的小正方形的周长的差和面积的差数值相等，则下列说法正确的是（ ）
A．长方形纸片的长是2，宽无法确定 B．长方形纸片的宽是2，长无法确定
C．长方形纸片的长和宽之比为 D．条件不足不能求出长方形纸片的长或宽
7．（2023·巴中八年级期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（ ）
A．6台 B．7台 C．8台 D．9台
8．（2022·浙江·七年级期末）计算机的某种运算程序如图，已知输入3时输出的运算结果是5，输入4时输出的运算结果是7．若输入的数是x（x≠0）时输出的运算结果为P，输入的数是3x时输出的运算结果为Q，则（ ）
A．P：Q＝3 B．Q：P＝3 C．（Q﹣1）：（P﹣1）＝3 D．（Q+1）：（P+1）＝3
9.（2023·重庆江津·七年级阶段练习）甲乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的151倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1089．求这两个两位数？如果设甲数为x，乙数为y．则得方程组( )
A． B．
C． D．
10．（2023·福建省永春乌石中学七年级阶段练习）小明要用80元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买，80元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．10种
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·重庆大足·七年级期末）今年“五一”劳动节期间，某手机专卖店上架了甲、乙两款手机．前三天售出的甲款手机的数量比乙款手机的数量多50%，后两天售出的甲款手机的数量比前三天售出的甲款手机的数量少40%，结果后两天售出的甲乙两款手机的总数量比前三天售出的甲乙两款手机的总数量多12%，若后两天甲、乙两款手机的销售总额比前三天甲、乙两款手机的销售总额多24%，在整个销售期间甲乙两款手机的单价不变，则甲款手机的单价与乙款手机的单价的比值为______．
12．（2023·山西吕梁·七年级期末）如图，在3×3的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则的值为________．
13．（2023·天津市八年级期末）一次越野赛跑中，当小明跑了时，小刚跑了．此后两人分别以和匀速跑．又过小刚追上小明，时小刚到达终点，时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为_______．
14．（2023·江西上饶·七年级期末）一名学生问老师：“你今年多大了？”老师风趣地说“我像你这样大的时候，你才2岁；你到我这么大时，我已经38岁了”，则今年老师的岁数是 _____．
15．（2023·湖北·九年级专题练习）某酒店客房部有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住5折优惠措施，一个48人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1380元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共_____间．
16．（2023·江苏·七年级阶段练习）如图，正方形由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形的面积是__________．
17．（2020·湖南衡阳·中考真题）某班有52名学生，其中男生人数是女生人数的2倍少17人，则女生有__ 名．
18．（2023·广东·丰顺县八年级开学考试）某校购新书本，共付元，其中科技书每本元，文艺书每本元，则科技书买了_____本，文艺书买了______本．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·青海·西宁七年级期中）在西宁市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．
20．（2023·陕西商洛·七年级期末）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”意思是：有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿，问笼中鸡和兔各有几只？（请列二元一次方程组解答此题）
21．（2023·浙江·七年级期中）工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．
(1)若工作人员领取正方形纸板560张，长方形纸板940张，请问利用领取的纸板做了竖式与横式纸盒各多少个？(2)若工作人员某次领取的正方形纸板数与长方形纸板数之比为1：3，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．
22．（2023·山西·七年级期末）某次篮球联赛部分积分如下：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
据表格提供的信息解答下列问题：（1）胜一场、负一场各积多少分？（2）某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数；若不能，请说明理由．
23．（2023·江苏·七年级单元测试）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲所余路程为乙所余路程的2倍．(1)求甲、乙每小时各行多少千米？
(2)在他们出发后几分钟两人相距1.5千米（直接写出结果）？
24．（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）随着新能源汽车需求量的增加，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元；辆A型汽车和辆型汽车的进价共计万元．(1)A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划恰好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均需购买），请你写出所有购买方案．
25．（2023·福建·七年级期中）杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．
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