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专题2-5 三元一次方程组及其解法
模块1：学习目标
1. 理解三元一次方程（组）的含义；
2. 会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题。
模块2：知识梳理
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。
2）解三元一次方程组的方法和步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
模块3：核心考点与典例
考点1.三元一次方程组的解
例1．（2023·湖南·长沙市立信中学七年级期末）方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】方法1：将四个选项逐一代入方程检验即可得出，选项C符合题意；故选C．
方法2：解：，
由①得④，由②得⑤，
将④⑤代入③得，，解得，
将代入④得，将代入⑤得，
原方程组的解为．故选C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键．
变式1．（2023·鸡东县第三中学期中）三元一次方程组的解是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方法1：将四个选项逐一代入方程检验即可得出，选项A符合题意；故选A．
方法2：观察方程组的特点，可以让三个方程相加，得到x+y+z=6．然后将该方程与方程组中的各方程分别相减，可求得．故选A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
变式2．（2023·浙江·杭州七年级期中）已知是方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案
【详解】解：根据题意，
把代入方程组，得，
由①+②+③，得，∴；故选：A
【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算
考点2解三元一次方程组
例1.（2023·成都市课时练习）解方程组，先消去未知数________________比较方便，即：①+②得：____________________，②+③得：_____________________．
【答案】
【分析】根据题意先利用加减消元法消去y，转化为关于x、z的二元方程组即可解决．
【解析】解：，因为y的系数故先消去未知数y，
①+②得：，②+③得：．
故答案为：，，．
【点睛】本题考查三元方程组，解题的关键是三元方程组转化为二元方程组，学会转化的数学思想．
变式1.（2023·吉林·长春七年级阶段练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
【答案】C
【分析】注意到方程组z前面的系数都为1，所以直接相减消去
【详解】得： 得：
方程组变形为，刚好消去z故选：C
【点睛】本题考查对三元一次方程组的消元，善于观察是解题关键．
变式2．（2023·广东东莞·七年级期末）解三元一次方程组：
【答案】
【分析】先用方程①③消去位置是z，再与方程②结合求解x，y，再求解z，从而可得答案．
【详解】解：
①－③得－x＋2y＝1④，
④＋②得y＝2，将y＝2代入②得x＝3，
将x＝3，y＝2代入①得z＝1，
所以原方程组的解为．
【点睛】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握利用加减消元法解三元一次方程组的步骤是解本题的关键．
变式3．（2023·浙江·八年级课时练习）解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）先标号利用加减消元法①+②得，（③-②）÷2得，再利用加减消元法解二元一次方程组即可；（2）先标号用加减消元法先消去z，再解x与y的二元方程组即可．
【详解】解：（1），
①+②得，
（③-②）÷3得，
④+⑤×2得4x=8，解得x=2，
把x=2代入④得，
把代入②得y=-3，
∴；
（2），
①+③得，
（②+③）÷5×3得，
④-⑤得x=3，把x=3代入④得y=2，
把x=3，y=2代入①得z=5，
∴．
【点睛】本题考查三元一次方程组的解法，掌握三元方程组消元转化二元方程组来解是解题关键．
考点3三元一次方程组的特殊解法（整体构造）
例3.（2023·山东日照·七年级期末）已知方程组，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】将三个方程相加计算即可．
【详解】因为，将三个方程相加，得2（x+y+z）=2-1+3，
解得=2，故选B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握整体思想计算是解题的关键．
变式1．（2023·山东威海·七年级期中）已知方程组 那么的值为_______．
【答案】-3
【分析】把三个方程相加得到新的方程，再用新的方程分别减去三个方程得到x，y，z的值最后进行计算即可．
【详解】解：，将①+②+③，得x+y+z=6④，
由④-①得z=5，由④-②得x=1，由④-③得y=0，
∴=-3．故答案为：-3．
【点睛】本题考查三元一次方程组的计算，解决此题的关键是掌握一些基本的三元一次方程组的解法．
变式2．（2023·湖北·七年级期末）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】按照解三元一次方程组的步骤先求出、，后代入式子中进行计算即可解答．
【详解】解：，
由①+②得： ，∴ ③，
将③代入①，得 ，解得： ，
∴ = =3，故选：B．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，求代数式的值，熟练掌握解三元一次方程组的方法——代入消元法和加减消元法是解题的关键．
考点4三元一次方程组的应用（一）
例4．（2023·重庆秀山·七年级期末）一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“荔子初丹”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装8盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装6盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“荔子初丹”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出．第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓．也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春分”、“夏至”两款混合水果礼盒若干套．其中每套“春分”礼盒包含：1盒荔枝、4盒樱桃、5盒草莓；每套“夏至”礼盒包含：1盒荔枝、3盒樱桃、4盒草莓．若第二次的所有礼盒也全部卖出，且第二次“荔子初丹”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，“春分”和“夏至”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1350盒，则第一次销售的所有礼盒共有 _____套．
【答案】444
【分析】设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是x套，“荔子初丹”礼盒是y套，则“喜上莓梢”礼盒是（2x 30 y）套，设第二次销售的“春分”礼盒是a套，“夏至”礼盒是b套，根据第二次“荔子初丹”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，得到3y 2a 2b＝0①，根据第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，得到12x 6y 5a 4b＝546②，根据“春分”和“夏至”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1350盒，得到9a＋8b＝1350③，联立3个方程可求x，进一步求出第一次销售的所有礼盒数量．
【详解】解：设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是x套，“荔子初丹”礼盒是y套，则“喜上莓梢”礼盒是（2x 30 y）套，设第二次销售的“春分”礼盒是a套，“夏至”礼盒是b套，依题意有：
4y＝a＋b＋×4y，即3y 2a 2b＝0①，
6（2x 30 y）＝61×6＋5a＋4b，即12x 6y 5a 4b＝546②，
10a＋8b＝a＋1350，即9a＋8b＝1350③，
②＋③得12x 6y＋4a＋4b＝1896，即6x 3y＋2a＋2b＝948④，
①＋④得6x＝948，解得x＝158，
则x＋2x 30＝3x 30＝474 30＝444
故第一次销售的所有礼盒共有444套．故答案为：444．
【点睛】本题考查了应用类问题，理解题意，能够通过所给的量之间的关系列出正确的方程是解题的关键。
变式1．（2023·重庆黔江·七年级期末）代数式，当时值为；当时值为；当时值为，则这个代数式是__________．
【答案】
【分析】将x的值代入代数式中，解三元一次方程组即可．
【详解】解：分别将，，代入得：
解得：故答案为：．
【点睛】本题考查三元一次方程组的解法．利用消元法，把三元变二元，二元变一元是解题的关键．
变式2．（2023·重庆·七年级期末）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4 辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．
【答案】8．
【分析】设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意列出方程组解得x便可．
【详解】解：设每辆A型车满载重量为a，设每辆B型车满载重量为b，设每辆C型车满载重量为c，原计划用C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排A型车单独装运9次，余下的货物由B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运x次，根据题意得，
，②﹣①，得9a＝3c，∴a＝c，把a＝c代入②，得b＝c，
把a＝c，b＝c，代入③得，3c+cx﹣5c=0，∴cx＝8c，
∵c≠0，∴x＝8．故答案为8．
【点睛】本题考查方程组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出正确的方程组并求解．
考点5整体思想的方程组中的应用
例5.（2023·四川眉山·七年级期末）感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．
这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：
(1)已知二元一次方程组，则______，______．
(2)解方程组：
(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
【答案】(1)-1，5(2)(3)30元
【分析】（1）把两个方程相加可求，相减可求；
（2）把3个方程相加得，分别减三个方程可求解；
（3）设未知数列出方程组，用整体思想求解即可．
（1）解：
①+②得，解得，
①-②得，故答案为：-1，5．
（2）解：，
①+②+③得，，即④，
④-①得，，④-②得，，④-③得，，
方程组的解为．
（3）解：设购买1支铅笔a元，1块橡皮b元，1本日记本c元,
根据题意列方程组得，．
①×2-②得，，则；
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
【点睛】本题考查了利用整体思想解方程组，解题关键是熟练利用整体思想，通过整体运算求解．
变式1．（2023·湖南永州·七年级期末）小李去文具店购买、、三种学习用品各一种，已知一件学习用品比一件学习用品贵4元，一件学习用品比一件学习用品贵3元，那么一件学习用品比一件学习用品贵______元．
【答案】7
【分析】根据题意列方程组，再整体求解．
【详解】解：设A一件x元、B一件y元、C一件z元，
根据题意得：
，由①+②得：xz=7，
即一件A学习用品比一件C学习用品贵7元，故答案为：7．
【点睛】本题考查了三元一次方程的应用，整体求解是解题的关键．
变式2．（2023·江苏连云港·七年级期末）购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元；则购买铅笔11支，作业木5个，中性笔2支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【分析】设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元，然后根据购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元列出方程组求解即可
【详解】解：设铅笔的单价为元，作业本的单价为元，中性笔的单价为元，
依题意得， 用①×3-②得：，
购买铅笔支，作业木个，中性笔支共需元．故选D．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组是解题的关键．
变式3．（2023·吉林长春·七年级期末）【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足……①，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？(3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
【答案】(1)(2)购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元．(3)2
【分析】（1）分别①-②，①+②即可求得； （2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，根据题意得三元一次方程组，①×2-②求得x+y+z=6，即可解决问题．
（3）根据“3*5=16，4*8=30”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，利用2×①-②即可求出结论．
（1）解：， ①-②得x-y=-1，
①+②得3x+3y=15， ∴x+y=5， 故答案为：-1，5；
（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，
根据题意，得：， ①×2-②，得：x+y+z=6，
∴2x+2y+2z=2×6=12，
答：购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需12元．
（3）依题意得： ，
由2×①-②可得2a+2b+c=2， 即2*2=2a+2b+c=2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·遂宁市七年级期中）解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项
【答案】B
【分析】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y．
【详解】解：观察未知数的系数特点发现：
未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y，故选B
【点睛】本题考查的是解方程组，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键．
2．（2023·福建福州九年级阶段练习）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】设■，▲，●，由题可得，则可求解．
【详解】解：设■，▲，●，，，
又，，，，故选：C．
【点睛】题目主要考查三元一次方程的应用，理解题意，列出方程得出未知数的关系是解题关键．
3．（2023·甘肃·九年级期末）某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称（ ）
A．7次 B．6次 C．5次 D．4次
【答案】C
【分析】根据题意，可以拿其中的任意三袋称一称，列三元一次方程组求解，另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量．
【详解】解：拿出任意三袋，假设它们的重量分别为x千克、y千克、z千克，两两一称，记录下相应的重量，若分别等于a千克、b千克、c千克．
则有方程组，容易求出x、y、z；
另外两袋分别与已知重量的其中一袋一起称，即可求出其重量，所以需要称5次．故选：C．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的实际应用问题，能够运用数学知识解决实际生活中的问题，掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．
4．（2023·浙江·八年级开学考试）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，然后根据交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2，列出方程组求解即可
【详解】解：设这个三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，
∴这个三位数为100a+10b+c，交换后的三位数为100a+10c+b，
∵交换后所得的数就比原来小36，百位上的数与十位上的数之差是2，
∴∴，∴，故选B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意列出方程组求解是解题的关键．
5．（2023·湖北武汉·七年级期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒成本为145元，B盒成本为200元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）
A．150元 B．155元 C．165元 D．170元
【答案】B
【分析】设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价值为z元，根据A盒的成本为145元，B盒的成本为200元，列出方程组，解之即可．
【详解】设1个蓝牙耳机的价值为x元，1个多接口优盘的价值为y元，1个迷你音箱的价值为z元，
依题意得：，②÷2得：x+2y+z=100③，②-①得：y+z=55④，
③+④得：x+3y+2z=155，即C盒的成本为155元．故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
6．（2023·湖北武汉·七年级期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
【答案】A
【分析】根据题意所给步骤解方程即可求解．
【详解】解：由②×3，得6x+9y+3z=102④，
由④-①，得3x+7y+2z=63⑤，由⑤-①，得5y+z=24， ∴a=24，
由③×3，得3x+6y+9z=78⑥，由⑥-①，得4y+8z=39，∴b=4，故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是根据题干信息将方程组中的数字与图一一对应．
7．（2023·湖北黄冈·七年级阶段练习）购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，然后根据题意列方程组求出的值即可果．
【详解】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，圆珠笔的单价是元．购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元．
则由题意得由得
由得由得．故选：B．
【点睛】本题主要考查了方程组的应用，解答本题的关键是列出方程组以及用加减消元法求出方程组的解．
8．（2023·浙江舟山·七年级期末）根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查．已知金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下
收费出口编号 ①，② ②，③ ③，④ ④，⑤ ⑤，①
通过汽车数量（辆） 80 100 70 130 120
则下列说法错误的是：（ ）
A．①出口1小时通过汽车的数量最少；B．⑤出口1小时通过汽车的数量最多；
C．②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：
D．①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量．
【答案】D
【分析】设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆．根据表格中的数据列出方程组并解答．
【详解】解：设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为a辆、b辆、c辆、d辆、e辆，
根据题意，得．解得．所以a＜d＜c＜b＜e，b=2d，a+d＞c．
所以①出口1小时通过汽车的数量最少，⑤出口1小时通过汽车的数量最多，②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍，①和④出口1小时通过汽车的数量之和大于③出口1小时通过的汽车数量．观察选项，只有选项D符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查多元一次方程组，解题的关键的读懂题意，找到等量关系，列出方程组．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·上海理工大学附属初级中学期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______．
【答案】9
【分析】三个方程相加可得结论．
【详解】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18，
∴x+y+z＝9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会用整体思想解决问题，属于中考常考题型．
12．（2023·广东课时练习）解方程组时先消去未知数_____________比较方便，具体做法如下：先由①+②得方程______________________，再由①+③得方程_________________．
【答案】
【分析】利用解三元一次方程组的基本思想-消元的思想，即运用消元法先消去其中一个未知数，转化二元一次方程组，然后解这个方程组，本题因为z的系数比较简单，故选择先消去z，根据以上思路即可得各空答案．
【解析】解：由①+②得：5x+3y=-4 ④由①+③得：6x+7y=-11 ⑤
故答案为：，5x+3y=-4，6x+7y=-11．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13．（2023·广东·汕头市七年级期中）方程组的解为________．
【答案】
【分析】根据三元一次方程组的解法求解即可．
【详解】解：由①得：④，由③得：⑤，
把④和⑤代入到②得：，解得，
把代入④得：，把代入⑤得：，
∴方程组的解为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟知解三元一次方程组的方法是解题的关键．
14．（2023·重庆·九年级期中）新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．
【答案】1
【分析】设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，根据给出的已知条件找出等量关系进行求解，可得每种零食的价格，令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，根据给出的已知条件找出等量关系，再根据、、为正整数，即可得出结果．
【详解】解：设牛肉干、薄脆饼价格分别为，，坚果价格为元，
由题意得，解得，
则B、C礼包的成本为，
A礼包中零食袋数为袋，C礼包中零食袋数为袋，
令C礼包中牛肉干袋数为，薄脆饼袋数为，坚果袋数为，
则，解得，由知，，由知，
又、、为正整数，，，，，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三元方程组的应用，解本题要理解题意，通过找出三组等量关系进行求解．
15．（2023·江苏·扬州市七年级阶段练习）山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要_____分钟恰好把池塘中的水抽完．
【答案】12
【分析】设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x，根据一台A型抽水机1小时后正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b；根据用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，得，用x表示a和b．设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再进一步根据3tx=a+bt求解即可．
【详解】解：设池塘中的水有a，泉水每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x，
根据题意，得，解得：，
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，
则，解得：，
∴用三台A型抽水机同时抽，需要×60=12分钟恰好把池塘中的水抽完，故答案为：12．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，解决此题的关键是能够设出辅助未知数，根据题目中的等量关系列方程组求解．
16．（2023·湖北武汉·七年级期末）某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．
【答案】80
【分析】设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，根据“购买24个A种奖品和14个B种奖品则差30元，购买20个A种奖品和18个B种奖品则余20元”，即可得出关于a，b，c的三元一次方程组，用①×2-②，即可求出用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．
【详解】解：设A种奖品的单价为a元，B种奖品的单价为b元，学校拿来购买奖品的钱数为c元，
依题意得：，①×2-②得：28a+10b=c+80，
∴用这笔钱购买28个A种奖品和10个B种奖品差80元．故答案为：80．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
17．（2023·四川巴中·七年级期中）在五四青年节来临之际，某商家拟推出收费定制个性青年礼品，礼品主要包含三种：高端钢笔礼盒、学生运动手表和创意水杯，如果定制高端钢笔礼盒3个、学生运动手表2只和创意水杯5个，需付人民币315元；如果定制高端钢笔礼盒2个、学生运动手表1只和创意水杯1个，需付人民币220元；某人想定制高端钢笔礼盒4个、学生运动手表3只和创意水杯9个共需付人民币_______元．
【答案】410
【分析】设定制1个高端钢笔需要x元，1只学生运动手表需要y元，1个创意水杯需要z元，根据“如果定制高端钢笔礼盒3个、学生运动手表2只和创意水杯5个，需付人民币315元；如果定制高端钢笔礼盒2个、学生运动手表1只和创意水杯1个，需付人民币220元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，即可求解．
【详解】解：设定制1个高端钢笔需要x元，1只学生运动手表需要y元，1个创意水杯需要z元，
依题意得：，①×2-②，得4x+3y+9z=410．故答案为：410．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
18．（2023·重庆秀山·七年级期末）一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“荔子初丹”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装8盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装6盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“荔子初丹”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出．第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓．也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春分”、“夏至”两款混合水果礼盒若干套．其中每套“春分”礼盒包含：1盒荔枝、4盒樱桃、5盒草莓；每套“夏至”礼盒包含：1盒荔枝、3盒樱桃、4盒草莓．若第二次的所有礼盒也全部卖出，且第二次“荔子初丹”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，“春分”和“夏至”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1350盒，则第一次销售的所有礼盒共有 _____套．
【答案】444
【分析】设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是x套，“荔子初丹”礼盒是y套，则“喜上莓梢”礼盒是（2x 30 y）套，设第二次销售的“春分”礼盒是a套，“夏至”礼盒是b套，根据第二次“荔子初丹”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，得到3y 2a 2b＝0①，根据第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，得到12x 6y 5a 4b＝546②，根据“春分”和“夏至”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1350盒，得到9a＋8b＝1350③，联立3个方程可求x，进一步求出第一次销售的所有礼盒数量．
【详解】解：设第一次销售的“樱有尽有”礼盒是x套，“荔子初丹”礼盒是y套，则“喜上莓梢”礼盒是（2x 30 y）套，设第二次销售的“春分”礼盒是a套，“夏至”礼盒是b套，依题意有：
4y＝a＋b＋×4y，即3y 2a 2b＝0①，
6（2x 30 y）＝61×6＋5a＋4b，即12x 6y 5a 4b＝546②，
10a＋8b＝a＋1350，即9a＋8b＝1350③，
②＋③得12x 6y＋4a＋4b＝1896，即6x 3y＋2a＋2b＝948④，
①＋④得6x＝948，解得x＝158，则x＋2x 30＝3x 30＝474 30＝444
故第一次销售的所有礼盒共有444套．故答案为：444．
【点睛】本题考查了应用类问题，理解题意，能够通过所给的量之间的关系列出正确的方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·河北·石家庄市七年级阶段练习）解方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法求出解即可．
【详解】解方程组，
①＋②，得④，
，得⑤，④＋⑤，得，∴，
将代入③，得，∴，
将代入②，得，∴，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．
20．（2023·河南南阳·七年级期中）下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题．
例1 解方程组：
解 由方程②，得．……步骤一④
将④分别代入方程①和③，得……步骤二
整理，得 解这个二元一次方程组，得
代入④，得．所以原方程组的解是
(1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______．
(2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______．
【答案】(1)代入消元（代入） ， 二元一次方程组
(2)① 或 或等，答案不唯一
【分析】（1）根据解三元一次方程组的解法进行分析即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
（1）解方程组： 由方程②，得
将④分别代入方程①和③，得整理，得
故答案为：代入消元（代入） 二元一次方程组
（2）解方程组：
由方程②+①，得3x+3y=9 由方程①+③，得4x+6y=14 由方程③-②得x+3y=5
由x+y=3 （3x+3y=9）， 2x+3y=7（4x+6y=14） ， x+3y=5中 任意两个组合得到均可
故答案为： 或 或等，答案不唯一
【点睛】此题考查了一次方程组的解法，解三元一次方程组，解本题的关键是消元．
21．（2023·湖南·双峰七年级开学考试）一个手机号前三位数中，中间数字是前面数字的三倍；而第一个数字与第三个数字之和是中间数字的两倍．在后八位数中： 前四位数与后四位数之和是4461；前三位数与后五位数之和是82896．求这个手机号是？
【答案】13517382723
【分析】根据生活常识可知，一个手机号码是11位数字，前三位数中，中间数字是前面数字的三倍，而第一个数字与第三个数字之和是中间数字的两倍，第一位数字为1，则第二位数字是3，第三位就是5；再把后8位数分为3位数，1位数，4位数，等量关系为：3位数×10+1位数+4位数=4461；3位数+1位数×10000+4位数=82896，根据各个数的特点，求得整数解即可．
【详解】解：根据生活经验可知，我国手机号码是11位数，1开头，
因为前三位数中，中间数字是前面数字的三倍；而第一个数字与第三个数字之和是中间数字的两倍，
所以前三位数字是135．在后八位数中；设前3位数是x，第4位数是y，后4位数是z，则
因为100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，所以y=3，x=173，z=2723，
所以后八位号码是100000x+10000y+z=17382723答：这个手机号码是13517382723．
【点睛】本题考查位置原则，考查方程思想的运用，正确列式是关键．
22．（2023·湖北·十堰市七年级期中）已知甲、乙、丙三个正整数之和为15，且甲的5倍，乙的8倍，丙的10倍之和为120，设甲，乙，丙三个数分别为x，y，z，求的立方根．
【答案】的立方根为或．
【分析】根据题意列得方程组，两方程相减消去y得到关于x与z的方程，确定出方程的正整数解即可得到所求．
【详解】解：由题意得，
①×8-②得：3x-2z=0，即x=z，∴
∵x，y，z都是正整数，∴，即，解得，
∵x，y，z都是正整数，∴z是整数，即z是3的倍数，
∴z-3或6，∴z=3，x=2，y=10或z=6，x=4，y=5；
∴=17或=19∴的立方根为或．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，立方根，利用了消元的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（2023·湖南·长沙七年级阶段练习）两个小伙伴共带100只鸡蛋去卖，一个带得多，一个带得少，但卖了同样的价钱，一个对另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，我能卖15元．”另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，只能卖元．”问两人各有多少鸡蛋？希望你有尽可能简单的解答．
【答案】第一个闺蜜有40个鸡蛋，第二个闺蜜有60个鸡蛋
【分析】设第一个闺蜜有x个鸡蛋，第一个闺蜜鸡蛋的单价为a元，第二个闺蜜鸡蛋的单价为b元，根据两个小伙伴卖了同样的价钱，得到ax= b(100-x)，根据第二个闺蜜鸡蛋的单价如果为a元能卖15元，得到a(100-x)=15，根据第一个闺蜜鸡蛋的单价如果为b元只能卖元，得到bx=，把三个方程组成方程组解答．
【详解】解：设第一个闺蜜有x个鸡蛋，第一个闺蜜鸡蛋的单价为a元、第二个闺蜜鸡蛋的单价为b元，则：，解得：，，；100-40=60（个）．
答：第一个闺蜜有40个鸡蛋，第二个闺蜜有60个鸡蛋．
【点睛】本题主要考查了三元方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，根据题中的等量关系列方程组，整体代入消元．
24．（2023·内蒙古·七年级期中）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 小丽 小华
月销售件数（件） 200 150
月总收入（元） 1400 1250
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
(1)求x、y的值；(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【答案】(1)x的值为800，y的值为3
(2)购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元
【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成=1400元，小华的基本工资+提成=1250元，列方程组求解即可；
（2）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱，即可求解．
（1）解：设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
由题意得，解得，
即x的值为800，y的值为3；
（2）解：设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
则可列方程组：，将两等式相加得4x+4y+4z=600，则x+y+z=150，
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
25．（2023·湖北十堰·七年级期末）在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题．
例如1：已知：，，求：的值．
解：令……①
……②
①＋②得，所以，
已知，求的值．
解：①×2得：……③
②－③得：．
利用材料中提供的方法，解决下列问题：
(1)已知：关于，的二元一次方程组的解满足，求的值；(2)某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别，，盆．甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？
【答案】(1)m=﹣16(2)黄花一共用了1330朵
【分析】（1）由②﹣①得：3x﹣3y=2﹣m．再根据x﹣y=6，可得到关于m的方程，即可求解；
（2）根据“甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，”列出方程组，再由由①+②得：，从而得到，即可求解．
(1)解：，由②﹣①得：3x﹣3y=2﹣m．
∵x﹣y=6，∴2﹣m=18，∴m=﹣16．
(2)解：根据题意得：黄花一共用朵，
∵一共用了2900朵红花，3750朵紫花，
∴，由①+②得：③，
由③÷5得：，答：黄花一共用了1330朵．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组以及三元一次方程组的应用，利用整体思想来解决问题是解题的关键．
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专题2-5 三元一次方程组及其解法
模块1：学习目标
1. 理解三元一次方程（组）的含义；
2. 会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题。
模块2：知识梳理
1）三元一次方程组：方程中有三个未知数，且未知数的项的次数都是一的方程组。
2）解三元一次方程组的方法和步骤：三元一次方程二元一次方程一元一次消元
模块3：核心考点与典例
考点1.三元一次方程组的解
例1．（2023·湖南·长沙市立信中学七年级期末）方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·鸡东县第三中学期中）三元一次方程组的解是
A． B． C． D．
变式2．（2023·浙江·杭州七年级期中）已知是方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
考点2解三元一次方程组
例1.（2023·成都市课时练习）解方程组，先消去未知数________________比较方便，即：①+②得：____________________，②+③得：_____________________．
变式1.（2023·吉林·长春七年级阶段练习）解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（ ）
A．① +③ ，① ×2﹣② B．① +③ ，③ ×2+② C．②﹣① ，②﹣③ D．①﹣② ，① ×2﹣③
变式2．（2023·广东东莞·七年级期末）解三元一次方程组：
变式3．（2023·浙江·八年级课时练习）解下列方程组：
（1） （2）
考点3三元一次方程组的特殊解法（整体构造）
例3.（2023·山东日照·七年级期末）已知方程组，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（2023·山东威海·七年级期中）已知方程组 那么的值为_______．
变式2．（2023·湖北·七年级期末）已知x，y，z满足 ，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点4三元一次方程组的应用（一）
例4．（2023·重庆秀山·七年级期末）一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“荔子初丹”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装8盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装6盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“荔子初丹”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出．第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓．也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春分”、“夏至”两款混合水果礼盒若干套．其中每套“春分”礼盒包含：1盒荔枝、4盒樱桃、5盒草莓；每套“夏至”礼盒包含：1盒荔枝、3盒樱桃、4盒草莓．若第二次的所有礼盒也全部卖出，且第二次“荔子初丹”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，“春分”和“夏至”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1350盒，则第一次销售的所有礼盒共有 _____套．
变式1．（2023·重庆黔江·七年级期末）代数式，当时值为；当时值为；当时值为，则这个代数式是__________．
变式2．（2023·重庆·七年级期末）我国的经济总量己居世界第二，人民富裕了，很多家庭都拥有多种车型．小明家有A、B、C三种车型，已知3辆A型车的载重量与4辆B型车的载重量之和刚好等于2辆C型车的载重量；4 辆B型车的载重量与1辆C型车的载重量之和刚好等于6辆A型车的载重量．现有一批货物，原计划用1辆C型车5次可全部运完，由于C型车另有运输任务，现在安排1辆A型车单独装运9次，余下的货物由1辆B型车单独装运刚好可以全部运完，则B型车需单独装运____次(每辆车每次都满载重量)．
考点5整体思想的方程组中的应用
例5.（2023·四川眉山·七年级期末）感悟思想：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x，y满足①，②，求和的值．
思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值．
如①-②可得①+②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
体会思想：(1)已知二元一次方程组，则______，______．
(2)解方程组：；(3)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
变式1．（2023·湖南永州·七年级期末）小李去文具店购买、、三种学习用品各一种，已知一件学习用品比一件学习用品贵4元，一件学习用品比一件学习用品贵3元，那么一件学习用品比一件学习用品贵______元．
变式2．（2023·江苏连云港·七年级期末）购买铅笔7支，作业本3个，中性笔1支共需18元；购买铅笔10支，作业本4个，中性笔1支共需24元；则购买铅笔11支，作业木5个，中性笔2支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
变式3．（2023·吉林长春·七年级期末）【阅读感悟】
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数、满足……①，……②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①－②可，由①＋②×2可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
【解决问题】(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)初二（3）班组织书法比赛，要购买一些学习用品用于发奖，若买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需33元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需60元，则购买2支铅笔、2块橡皮、2本日记本共需多少元？(3)对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，求的值．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·遂宁市七年级期中）解方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项
2．（2023·福建福州九年级阶段练习）设“■▲●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·甘肃·九年级期末）某商店有5袋面粉，各袋重量在25～30公斤之间，店里有一磅秤，但只有能称50～70公斤重量的秤砣，现要确定各袋面粉的重量，至少要称（ ）
A．7次 B．6次 C．5次 D．4次
4．（2023·浙江·八年级开学考试）一个三位数，百位上的数与十位上的数之差是2，如果交换十位数字与个位数字的位置，那么所得的数就比原来小36，则百位上的数与个位上的数之差为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2023·湖北武汉·七年级期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中有2蓝牙耳机，4个多接口优盘，2个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒成本为145元，B盒成本为200元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为（ ）
A．150元 B．155元 C．165元 D．170元
6．（2023·湖北武汉·七年级期中）《九章算术》是我国古代著名的数学专著，其“方程”章中给出了“遍乘直除”的算法解方程组．比如对于方程组，将其中数字排成长方形形式，然后执行如下步骤（如图）；第一步，将第二行的数乘以3，然后不断地减第一行，直到第二行第一个数变为0；第二步，对第三行做同样的操作，其余步骤都类似．其本质就是在消元．那么其中的a，b的值分别是（ ）
A．24，4 B．17，4 C．24，0 D．17，0
7．（2023·湖北黄冈·七年级阶段练习）购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元；购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需元，则购买铅笔支，作业本本，圆珠笔支共需（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
8．（2023·浙江舟山·七年级期末）根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查．已知金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下
收费出口编号 ①，② ②，③ ③，④ ④，⑤ ⑤，①
通过汽车数量（辆） 80 100 70 130 120
则下列说法错误的是：（ ）
A．①出口1小时通过汽车的数量最少；B．⑤出口1小时通过汽车的数量最多；
C．②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：
D．①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·上海理工大学附属初级中学期末）如果三元一次方程组为，那么x+y+z＝______．
12．（2023·广东课时练习）解方程组时先消去未知数_____________比较方便，具体做法如下：先由①+②得方程______________________，再由①+③得方程_________________．
13．（2023·广东·汕头市七年级期中）方程组的解为________．
14．（2023·重庆·九年级期中）新世纪百货推出A，B，C三种零食大礼包，每种礼包都由一定数量的坚果、牛肉干和薄脆饼组合搭配构成．三种大礼包的成本分别为礼包中三种零食的成本之和，同种零食的单价相同．已知袋牛肉干和袋薄脆饼的价格相同，一份A礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼，一份B礼包包含袋坚果、袋牛肉干和袋薄脆饼．若一份B，C礼包的成本相同，均比一份A礼包的成本贵，一份C礼包中的零食袋数与一份A礼包中的零食袋数之比为：，且一份C礼包中坚果袋数比牛肉干袋数多，则一份C礼包中的薄脆饼袋数比牛肉干袋数少______袋．
15．（2023·江苏·扬州市七年级阶段练习）山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要_____分钟恰好把池塘中的水抽完．
16．（2023·湖北武汉·七年级期末）某校用一笔钱来购买，两种奖品，若购买24个种奖品和14个种奖品则差30元，若购买20个种奖品和18个种奖品则余20元，那么用这笔钱购买28个种奖品和10个种奖品差_________元．
17．（2023·四川巴中·七年级期中）在五四青年节来临之际，某商家拟推出收费定制个性青年礼品，礼品主要包含三种：高端钢笔礼盒、学生运动手表和创意水杯，如果定制高端钢笔礼盒3个、学生运动手表2只和创意水杯5个，需付人民币315元；如果定制高端钢笔礼盒2个、学生运动手表1只和创意水杯1个，需付人民币220元；某人想定制高端钢笔礼盒4个、学生运动手表3只和创意水杯9个共需付人民币_______元．
18．（2023·重庆秀山·七年级期末）一家水果店购进一批盒装荔枝、樱桃和草莓，并全部组合成“荔子初丹”（内装4盒荔枝）、“樱有尽有”（内装8盒樱桃）、“喜上莓梢”（内装6盒草莓）三款礼盒进行销售，其中“荔子初丹”与“喜上莓梢”礼盒的数量之和比“樱有尽有”礼盒数量的2倍少30套，且所有礼盒全部卖出．第二次该水果店购进与第一次数量分别相同的盒装荔枝、樱桃和草莓．也是全部组合成礼盒进行销售．根据顾客反馈信息，第二次销售除了第一次的三款礼盒（每款礼盒规格与第一次相同），还组合成“春分”、“夏至”两款混合水果礼盒若干套．其中每套“春分”礼盒包含：1盒荔枝、4盒樱桃、5盒草莓；每套“夏至”礼盒包含：1盒荔枝、3盒樱桃、4盒草莓．若第二次的所有礼盒也全部卖出，且第二次“荔子初丹”礼盒的数量是第一次该种礼盒数量的，第二次“喜上莓梢”礼盒共有61套，“春分”和“夏至”礼盒中所有水果的总盒数比“春分”礼盒中荔枝的盒数多1350盒，则第一次销售的所有礼盒共有 _____套．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·河北·石家庄市七年级阶段练习）解方程组：．
20．（2023·河南南阳·七年级期中）下面所示为教材中三元一次方程组的解题过程，请根据教材提供的做法和有关信息解决问题．
例1 解方程组：
解 由方程②，得．……步骤一④
将④分别代入方程①和③，得……步骤二
整理，得 解这个二元一次方程组，得
代入④，得．所以原方程组的解是
(1)其中的步骤二通过______法消去未知数，将三元一次方程组转化成了______．
(2)仿照以上思路解方程组，消去字母后得到的二元一次方程组为______．
21．（2023·湖南·双峰七年级开学考试）一个手机号前三位数中，中间数字是前面数字的三倍；而第一个数字与第三个数字之和是中间数字的两倍．在后八位数中： 前四位数与后四位数之和是4461；前三位数与后五位数之和是82896．求这个手机号是？
22．（2023·湖北·十堰市七年级期中）已知甲、乙、丙三个正整数之和为15，且甲的5倍，乙的8倍，丙的10倍之和为120，设甲，乙，丙三个数分别为x，y，z，求的立方根．
23．（2023·湖南·长沙七年级阶段练习）两个小伙伴共带100只鸡蛋去卖，一个带得多，一个带得少，但卖了同样的价钱，一个对另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，我能卖15元．”另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，只能卖元．”问两人各有多少鸡蛋？希望你有尽可能简单的解答．
24．（2023·内蒙古·七年级期中）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 小丽 小华
月销售件数（件） 200 150
月总收入（元） 1400 1250
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
(1)求x、y的值；(2)如果在商场购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
25．（2023·湖北十堰·七年级期末）在求值问题中，我们经常遇到利用整体思想来解决问题．
例如1：已知：，，求：的值．
解：令……①
……②
①＋②得，所以，
已知，求的值．
解：①×2得：……③
②－③得：．
利用材料中提供的方法，解决下列问题：
(1)已知：关于，的二元一次方程组的解满足，求的值；(2)某步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别，，盆．甲种盆景由15朵红花、8朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花、6朵黄花和20朵紫花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、7朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，求黄花一共用了多少朵？
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