【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册1.4平行线的性质 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·良庆期末）图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·浏阳期末）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·宝安期中）如图，，平分，平分，，，则下列结论：
；
；
；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·官渡期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3+∠4为（ ）
A．90° B．107° C．117° D．163°
5．（2023七下·盘龙期末）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带，将纸条沿折叠一下，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·白银期中）如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·崆峒期中）如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，比大，是的倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·凤台期末）如图，直线，点P位于的右侧，，，则下列命题错误的是（ ）
A．若，分别平分，，则
B．若点P是直线，之间的点，则
C．若点P是直线上方的点，则
D．若点P是直线下方的点，则
二、填空题
9．如图1所示为一架消防云梯，它由救援台 AB、延展臂BC(点B在点C 的左侧)、伸展主臂CD、支撑臂EF 构成，在作业过程中，救援台 AB、车身GH 及地面MN 三者始终保持水平.现为参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2，使得延展臂 BC 与支撑臂 EF 所在直线互相垂直，且∠EFH=69°，则这时∠ABC= °.
10．一大门的栏杆如图，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
11．（2023七下·敦化期末）如图，将一块直角三角板与一张两边平行的纸条按照如图所示的方式放置，下列结论：；；；其中正确的是 填序号
12．（2023七下·包河期末）如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，，．若使直线与直线平行，则可将直线绕点逆时针旋转 ．
三、解答题
13．如图，已知点 A 在EF 上，点 P，Q在 BC上，∠E=∠EMA，∠BQM=∠BMQ
（1）试说明：EF∥BC.
（2）若 FP⊥AC，∠2+∠C=90°，试说明：∠1=∠B.
（3）若∠3+∠4=180°，∠BAF=3∠F-20°，求∠B 的度数.
14．（2022七下·密云期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
15．（2023七下·南宁期末）如图1，直线被直线所截，直线分别交直线于点A，点C，满足．将三角形按图1放置，点G在直线上（点G与点A不重合），点M在直线上，．
（1）求证．
（2）若，求的度数．
（3）如图2，的平分线交直线于点H．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-54°=126°，
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=66°，
∵AM∥BC，
∴∠MAC=∠ACB=66°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得出∠BAC+∠ACD=180°，得出∠ACD=126°，从而得出∠ACB=66°，再根据平行线的性质得出∠MAC=∠ACB=66°，即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】A：由AB∥CD得 ∠1+∠2=180°，则选项错误，不合题意；
B：由AB∥CD得 ∠1地对顶角=∠2，则选项正确，符合题意；
C：由AB∥CD不能得 ∠1=∠2，则选项错误，不合题意；
D：由AB∥CD不能得 ∠1=∠2，则选项错误，不合题意；
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的性质。两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟悉同位角、内错角、同旁内角是关键。
3．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴，，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴，
∴OE⊥OF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠BOD=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴，故②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠EOF=∠POD=90°，
∴∠POE=90°-∠POF，∠DOF=90°-∠POF，
∴∠POE=∠DOF，
∵∠BOF=∠DOF，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
∵AB∥CD，OP⊥CD，
∴OP⊥AB，∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠BPO=90°，
∴∠POB=90°-∠PBO=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴，
∴2∠DOF=40°，
∴∠POB≠2∠DOF，故④错误．
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠1=∠3，∠2+∠4=180°，
∵∠1＝50°，∠2＝113°，
∴∠3= ∠1＝50°，∠4＝180°-∠2=67°，
∴∠3+∠4=50°+67°=117°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出∠1=∠3，∠2+∠4=180°，再计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
根据折叠的性质可得：∠3=∠4，
∵a//b，
∴∠1=∠3+∠4=2∠3=130°，
∴∠3=65°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-65°=115°，
故答案为：A .
【分析】利用平行线的性质及折叠的性质可得∠1=∠3+∠4=2∠3=130°，求出∠3=65°，再结合∠2+∠3=180°，求出∠2的度数即可.
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵AB//CD，
∴∠2+∠CDB=180°，
∵EF//CD，
∴∠3=∠CDE=∠1+∠CDB，
∴∠3=∠1+180°-∠2，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质及角的运算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵扶手与车底平行，
∴∠1=∠2+∠3，
∵比大，是的倍，
∴∠3=∠2-10°，∠1=∠2，
∴∠2=∠2+∠2-10°，
∴∠2=55°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出∠1=∠2+∠3，再求出∠3=∠2-10°，∠1=∠2，最后计算求解即可。
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作PE∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD ∥PE，
∴∠APE=∠BAP=α，∠CPE=∠DCP=β，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP=α+β，
又∵CP，AP分别平分∠ACD，∠BAC，∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠BAP+∠DCP= (∠ACD+∠BAC)=×180°=90°，
∴∠APC=90°，选项A和选项B均正确，
如图所示，过点P作PE∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠APE=∠BAP=α，∠CPE=∠DCP=β，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=∠BAP-∠DCP=α-β，选项C错误，
如图所示，过点P作PE ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠CPE=∠DCP=β，∠APE=∠BAP=α
∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠DCP-∠BAP=β-α，选项D正确，
故答案为：D．
【分析】过点P作PE∥CD，根据AB∥CD得AB∥CD∥PE，根据平行线的性质逐项分析判断即可求解．
9．【答案】159
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长BC、FE交于P，延长AB交FE的延长线于Q，如图：
∵
∴
∵延展臂 BC 与支撑臂 EF 所在直线互相垂直，
∴
∴
故答案为：159.
【分析】延长BC、FE交于P，延长AB交FE的延长线于Q，根据平行线的性质得到再结合题意得到进而根据三角形外角的性质即可求解.
10．【答案】270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM∥CD，
∵BM∥CD，
∴∠BCD+∠CBM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵BM∥CD，CD∥AE，
∴BM∥AE（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BAE+∠ABM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABM=180°-∠BAE=90°，
∴ ∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD=90°+180°=270°.
故答案为：270°.
【分析】过点B作BM∥CD，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BCD+∠CBM=180°，由垂直的定义得∠BAE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得BM∥AE，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BAE+∠ABM=180°，从而可求出∠ABM=90°，进而根据∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD可求出答案.
11．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：；正确，两直线平行，同位角相等
；正确，两直线平行，内错角相等
；不正确，在前两个结论正确的基础上，
正确，两直线平行，同旁内角互补。
故答案为：
【分析】根据平行线性质来判定。
12．【答案】15°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
当时，b∥c
直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°
故答案为：15°
【分析】根据邻补角性质及直线平行性质即可求出答案。
13．【答案】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而根据两直线平行，同位角相等，可证明结论；
（3）根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥FP，根据二直线平行，同旁内角互补并结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质及等量代换可得∠B＝∠F，即可求解．
14．【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②30°
（2）解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：(1)②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出量角的数量关系即可。
15．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）如图，过作，而，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）如图，当在的右边时，由（2）得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
如图，当在的左边时，由（2）得：，
∴，
∵的平分线交直线于点H．
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠2=∠ACM，再根据平行四边形的判定：同位角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD.
(2)首先做出辅助线，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可以得到∠BGP=∠GPK，∠MPK=∠PMD，然后根据等量替换得出∠GPM=∠PGB+∠PMD，再根据题目给出的数据计算出∠BGP的值即可.
(3)先由角平分线的定义得到，进而得到，再由（2）可知，据此可得∠PGH与∠PMD的数量关系.
1 / 1【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册1.4平行线的性质 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·良庆期末）图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-54°=126°，
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=66°，
∵AM∥BC，
∴∠MAC=∠ACB=66°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得出∠BAC+∠ACD=180°，得出∠ACD=126°，从而得出∠ACB=66°，再根据平行线的性质得出∠MAC=∠ACB=66°，即可得出答案.
2．（2023七下·浏阳期末）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】A：由AB∥CD得 ∠1+∠2=180°，则选项错误，不合题意；
B：由AB∥CD得 ∠1地对顶角=∠2，则选项正确，符合题意；
C：由AB∥CD不能得 ∠1=∠2，则选项错误，不合题意；
D：由AB∥CD不能得 ∠1=∠2，则选项错误，不合题意；
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的性质。两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟悉同位角、内错角、同旁内角是关键。
3．（2023七下·宝安期中）如图，，平分，平分，，，则下列结论：
；
；
；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴，，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴，
∴OE⊥OF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠BOD=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴，故②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠EOF=∠POD=90°，
∴∠POE=90°-∠POF，∠DOF=90°-∠POF，
∴∠POE=∠DOF，
∵∠BOF=∠DOF，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
∵AB∥CD，OP⊥CD，
∴OP⊥AB，∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠BPO=90°，
∴∠POB=90°-∠PBO=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴，
∴2∠DOF=40°，
∴∠POB≠2∠DOF，故④错误．
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即可求解.
4．（2023七下·官渡期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，若平行光线由水中射向空气时所形成的∠1＝50°，∠2＝113°，则∠3+∠4为（ ）
A．90° B．107° C．117° D．163°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：∠1=∠3，∠2+∠4=180°，
∵∠1＝50°，∠2＝113°，
∴∠3= ∠1＝50°，∠4＝180°-∠2=67°，
∴∠3+∠4=50°+67°=117°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出∠1=∠3，∠2+∠4=180°，再计算求解即可。
5．（2023七下·盘龙期末）在数学拓展课《折叠的奥秘》中，老师提出一个问题：如图，有一条宽度相等的长方形纸带，将纸条沿折叠一下，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图：
根据折叠的性质可得：∠3=∠4，
∵a//b，
∴∠1=∠3+∠4=2∠3=130°，
∴∠3=65°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-65°=115°，
故答案为：A .
【分析】利用平行线的性质及折叠的性质可得∠1=∠3+∠4=2∠3=130°，求出∠3=65°，再结合∠2+∠3=180°，求出∠2的度数即可.
6．（2023七下·白银期中）如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵AB//CD，
∴∠2+∠CDB=180°，
∵EF//CD，
∴∠3=∠CDE=∠1+∠CDB，
∴∠3=∠1+180°-∠2，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用平行线的性质及角的运算求解即可。
7．（2023七下·崆峒期中）如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，比大，是的倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵扶手与车底平行，
∴∠1=∠2+∠3，
∵比大，是的倍，
∴∠3=∠2-10°，∠1=∠2，
∴∠2=∠2+∠2-10°，
∴∠2=55°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出∠1=∠2+∠3，再求出∠3=∠2-10°，∠1=∠2，最后计算求解即可。
8．（2023七下·凤台期末）如图，直线，点P位于的右侧，，，则下列命题错误的是（ ）
A．若，分别平分，，则
B．若点P是直线，之间的点，则
C．若点P是直线上方的点，则
D．若点P是直线下方的点，则
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点P作PE∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD ∥PE，
∴∠APE=∠BAP=α，∠CPE=∠DCP=β，
∴∠APC=∠BAP+∠DCP=α+β，
又∵CP，AP分别平分∠ACD，∠BAC，∠ACD+∠BAC=180°，
∴∠BAP+∠DCP= (∠ACD+∠BAC)=×180°=90°，
∴∠APC=90°，选项A和选项B均正确，
如图所示，过点P作PE∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠APE=∠BAP=α，∠CPE=∠DCP=β，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=∠BAP-∠DCP=α-β，选项C错误，
如图所示，过点P作PE ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠CPE=∠DCP=β，∠APE=∠BAP=α
∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠DCP-∠BAP=β-α，选项D正确，
故答案为：D．
【分析】过点P作PE∥CD，根据AB∥CD得AB∥CD∥PE，根据平行线的性质逐项分析判断即可求解．
二、填空题
9．如图1所示为一架消防云梯，它由救援台 AB、延展臂BC(点B在点C 的左侧)、伸展主臂CD、支撑臂EF 构成，在作业过程中，救援台 AB、车身GH 及地面MN 三者始终保持水平.现为参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2，使得延展臂 BC 与支撑臂 EF 所在直线互相垂直，且∠EFH=69°，则这时∠ABC= °.
【答案】159
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长BC、FE交于P，延长AB交FE的延长线于Q，如图：
∵
∴
∵延展臂 BC 与支撑臂 EF 所在直线互相垂直，
∴
∴
故答案为：159.
【分析】延长BC、FE交于P，延长AB交FE的延长线于Q，根据平行线的性质得到再结合题意得到进而根据三角形外角的性质即可求解.
10．一大门的栏杆如图，BA垂直地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC+∠BCD= ．
【答案】270°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作BM∥CD，
∵BM∥CD，
∴∠BCD+∠CBM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，
∵BM∥CD，CD∥AE，
∴BM∥AE（平行于同一直线的两条直线互相平行），
∴∠BAE+∠ABM=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠ABM=180°-∠BAE=90°，
∴ ∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD=90°+180°=270°.
故答案为：270°.
【分析】过点B作BM∥CD，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BCD+∠CBM=180°，由垂直的定义得∠BAE=90°，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得BM∥AE，由两直线平行，同旁内角互补，得∠BAE+∠ABM=180°，从而可求出∠ABM=90°，进而根据∠ABC+∠BCD=∠ABM+∠CBM+∠BCD可求出答案.
11．（2023七下·敦化期末）如图，将一块直角三角板与一张两边平行的纸条按照如图所示的方式放置，下列结论：；；；其中正确的是 填序号
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：；正确，两直线平行，同位角相等
；正确，两直线平行，内错角相等
；不正确，在前两个结论正确的基础上，
正确，两直线平行，同旁内角互补。
故答案为：
【分析】根据平行线性质来判定。
12．（2023七下·包河期末）如图所示，直线与直线交于点，与直线交于点，，．若使直线与直线平行，则可将直线绕点逆时针旋转 ．
【答案】15°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
当时，b∥c
直线b绕点A逆时针旋转60°-45°=15°
故答案为：15°
【分析】根据邻补角性质及直线平行性质即可求出答案。
三、解答题
13．如图，已知点 A 在EF 上，点 P，Q在 BC上，∠E=∠EMA，∠BQM=∠BMQ
（1）试说明：EF∥BC.
（2）若 FP⊥AC，∠2+∠C=90°，试说明：∠1=∠B.
（3）若∠3+∠4=180°，∠BAF=3∠F-20°，求∠B 的度数.
【答案】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而根据两直线平行，同位角相等，可证明结论；
（3）根据同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥FP，根据二直线平行，同旁内角互补并结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质及等量代换可得∠B＝∠F，即可求解．
14．（2022七下·密云期末）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．
（1）如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．
①依据题意，补全图1；
②直接写出∠BOE的度数．
（2）如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：①依据题意，补全图1如下：
②30°
（2）解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，
证明：过点O作OM∥CD∥FH，
∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，
又∵∠BFH+∠OFH＝180°，
∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，
∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：(1)②∵CD∥OE，
∴∠OCD+∠COE＝180°，
∵∠OCD＝120°，
∴∠COE＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；
【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；
（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出量角的数量关系即可。
15．（2023七下·南宁期末）如图1，直线被直线所截，直线分别交直线于点A，点C，满足．将三角形按图1放置，点G在直线上（点G与点A不重合），点M在直线上，．
（1）求证．
（2）若，求的度数．
（3）如图2，的平分线交直线于点H．现将三角形沿直线平移，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）如图，过作，而，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）如图，当在的右边时，由（2）得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
如图，当在的左边时，由（2）得：，
∴，
∵的平分线交直线于点H．
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠2=∠ACM，再根据平行四边形的判定：同位角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD.
(2)首先做出辅助线，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可以得到∠BGP=∠GPK，∠MPK=∠PMD，然后根据等量替换得出∠GPM=∠PGB+∠PMD，再根据题目给出的数据计算出∠BGP的值即可.
(3)先由角平分线的定义得到，进而得到，再由（2）可知，据此可得∠PGH与∠PMD的数量关系.
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