【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册1.4平行线的性质 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
2．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
3．（2023七下·曲靖期末）如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·桐城期末）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放（），其中直线，点C落在直线上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·肥西期末）如图，下列结论中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2023七下·无为期末）如图，直线，直线交于点A，交于点B，过点A的直线交于点C，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·巴州期末）如图，，将含有的三角板如图放置，顶点D在直线之上，线段，分别与直线交于A，B两点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2023七下·宁阳期末）如图，，则、、之间的数量关系是 ．
10．（2023七下·玄武期末）如图，直线与相交，，，要使直线与平行，则直线绕点顺时针旋转的角度至少是 °．
11．（2023七下·黄冈期末）如图，直线m与的一边射线OB相交，，向上平移直线m得到直线n．与的另一边射线OA相交，则 ．
12．（2023七下·顺义期末）一副三角板如图放置，其中，，，．有下列说法：①如果，那么；②如果，那么；③与的度数之和随着的变化而变化；④如果，那么．其中正确的是 （填写相应序号）．
三、解答题
13．（2023七下·孝义期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线，直角三角板中，，．
（1）如图1，若，则 ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
14．（2023七下·江岸期末）如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
15．（2023七下·肥西期末）如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分．
（1）直线与有何位置关系？请说明理由；
（2）求的度数；
（3）若左右平移，在平移的过程中，
①求与的比值；
②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
2．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ABC+∠BCF+∠EFC=360°，
∵，
∴∠ABC+∠EFC=360°-120°=240°，
∵，
∴∠ABD+∠EFD=∠BDF，
∵，，
∴∠BDF=∠ABD+∠EFD=，
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质可得∠ABC+∠EFC=360°-120°=240°，∠ABD+∠EFD=∠BDF，再利用角的运算和等量代换求出∠D的度数即可.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作l∥l1，
∵l1∥l2，
∴l∥l2，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=45°，
∵∠1=15°，
∴∠2=30°。
故答案为：A。
【分析】过点B作l∥l1，从而得出一组平行线，根据平行线的性质可得∠1+∠2=45°，进一步得出∠2的度数。
5．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】A、∵，∴∠1=∠2，∵无法判断∠2与∠B是否相等，∴无法判断∠1=∠B，∴A不正确；
B、∵，∴，∴B正确；
C、∵，∴，∴C正确；
D、∵，∴，∴D正确；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定方法和性质逐项判断即可.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵直线，∠1=50°，
∴∠3=180°-∠1=130°，∠ACB=∠1=50°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-130°=50°，
∴∠4=∠ABC=180°-∠2-∠ACB=180°-50°-50°=80°，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质求出∠3=180°-∠1=130°，∠ACB=∠1=50°，再计算求解即可。
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，如图所示：
∵AB∥CD，∠FAB=26°，
∴AB∥EG∥CD，
∴∠AEG=∠FAB=26°，
∴∠GED=∠DEA-∠GEA=34°，
∴EG∥CD，
∴∠GED=∠EDC=34°．
故答案为：B.
【分析】 过点E作EG∥CD，根据平行线的性质由AB∥CD可知AB∥EG，故∠AEG=∠FAB=26°，则可得∠GED的度数，再由EG∥CD即可得到∠EDC=34°．
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】分别过点C、D作CM∥DN∥AB，∵AB∥EF，∴CM∥DN∥AB∥EF，∴∠α=∠BCM，∠DCM=∠CDN，∠NDE=∠γ，∴∠α+∠β-γ=∠BCM+∠CDN+∠NDE-∠γ=∠BCM+∠DCM+∠γ-∠γ=∠BCD=90°。
故第一空答案为：∠α+∠β-γ=90°。
【分析】根据平行线的性质，得出一些相等的角，再通过等量代换，得出∠α+∠β-γ=90°。
10．【答案】25
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+顺时针旋转的度数=∠2，
∴旋转的度数=∠2-∠1=70°-45°=25°.
故答案为：25.
【分析】根据平行线的性质可得：∠1+顺时针旋转的度数=∠2，据此计算.
11．【答案】210°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：作OC∥m，如图：
∵n是由m向上平移所得，
∴m∥n，
∴OC∥n，
∴∠1=∠BOC=30°，
∵∠2+∠AOC=180°，
∴∠2+∠3=∠2+∠BOC+∠AOC=210°，
故填：210°.
【分析】作OC∥m，利用平移的性质得m∥n，则OC∥n，根据平行线得性质得∠1=∠BOC=30°，∠2+∠AOC=180°，从而得到∠2+∠3得度数.
12．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠2 = 30°，
∴∠1= ∠E= 60°，
∴AC//DE，
故说法①正确；
②∵BC//AD，
∴∠3 = ∠B = 45°，
∵∠2+∠3= 90°，
∴∠2=45°，
故说法②正确；
③∵∠1+∠2= ∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，
∴∠CAD+∠2= 180°，
∴∠2与∠CAD的度数之和不会随着∠2的变化而变化，
故说法③错误；
④∵∠2=30°，
∴∠1=∠E=60°，
∴AC//DE，
∴∠4=∠C=45°，
故说法④正确；
综上所述：正确的是 ①②④ .
故答案为： ①②④ .
【分析】利用平行线的判定与性质对每个说法一一判断即可。
13．【答案】（1）
（2）解：结论正确，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵m//n，
∴∠1+∠ABC=∠2，
∵∠ABC=45°，∠2=65°，
∴∠1=∠2-∠ABC=65°-45°=20°，
故答案为：20°.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1+∠ABC=∠2，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，再结合，可得；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再结合，可得.
14．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）；
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解： 如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵，
∴，
∴，
∵∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，
∴，
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
故答案为：∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
【分析】（1）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，从而有EF∥FQ；
（2）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数；
（3）由AB∥CD，得到∠AEF=∠EFD，结合∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，得到关于∠AEF，∠FGH，∠EMH的关系，将其化简即可.
15．【答案】（1）解：直线与互相平行，理由：
∵，
∴，
又
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，平分，
∴；
（3）解：存在．
①∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
②设．
∵，
∴；
∵，
∴，
∴．
若，
则，
得．
∴存在．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，求出，可证出；
（2）先利用平行线的性质求出，再结合角平分线的定义及等量代换可得；
（3）①利用平行线的性质及等量代换可得，再求出即可；
②设，再求出，结合，可得，求出x的值即可.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册1.4平行线的性质 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·黄岩期末）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放．其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点B顺时针转动（转动角度小于）．当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（ ）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC是含有30°角的三角板，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，∠C=90°.
∵△DBE是含45°角的三角板，
∴∠BED=∠D=45°，∠EBD=90°.
①当DE∥AC时，BC⊥DE.
∵BE=BD，∠EBD=90°，
∴BC平分∠DBE，
∴∠EBC=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=15°；
②当DE∥AB时，∠ABE=∠E=45°.
③当DE∥BC时，∠CBE=∠E=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°，
综上∠ABE的度数为：15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】画出示意图，然后根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算.
2．（2022七下·南康期末）如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ）
A．③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝α，∠CEF＝β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β
∵CD∥AB
∴∠BAE＝∠DFE=α
又∵∠DCE＝β，
∴∠AEC=α-β
∴②符合题意
∵CD∥AB
∴∠DCE＝∠EFB=β
又∵∠BAE＝α，
∴∠AEC=β-α
∴①符合题意
过点E，作EF∥AB
∵EF∥AB
∴EF∥AB∥CD
∵∠BAE＝α，∠DCE＝β，
∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，
∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β
∴④符合题意
∴①②④符合题意
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和角的运算逐项判断即可。
3．（2023七下·曲靖期末）如图，，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ABC+∠BCF+∠EFC=360°，
∵，
∴∠ABC+∠EFC=360°-120°=240°，
∵，
∴∠ABD+∠EFD=∠BDF，
∵，，
∴∠BDF=∠ABD+∠EFD=，
故答案为：B.
【分析】先利用平行线的性质可得∠ABC+∠EFC=360°-120°=240°，∠ABD+∠EFD=∠BDF，再利用角的运算和等量代换求出∠D的度数即可.
4．（2023七下·桐城期末）将一块等腰直角三角板按如图方式摆放（），其中直线，点C落在直线上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点B作l∥l1，
∵l1∥l2，
∴l∥l2，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=45°，
∵∠1=15°，
∴∠2=30°。
故答案为：A。
【分析】过点B作l∥l1，从而得出一组平行线，根据平行线的性质可得∠1+∠2=45°，进一步得出∠2的度数。
5．（2023七下·肥西期末）如图，下列结论中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】A、∵，∴∠1=∠2，∵无法判断∠2与∠B是否相等，∴无法判断∠1=∠B，∴A不正确；
B、∵，∴，∴B正确；
C、∵，∴，∴C正确；
D、∵，∴，∴D正确；
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定方法和性质逐项判断即可.
6．（2023七下·无为期末）如图，直线，直线交于点A，交于点B，过点A的直线交于点C，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵直线，∠1=50°，
∴∠3=180°-∠1=130°，∠ACB=∠1=50°，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-130°=50°，
∴∠4=∠ABC=180°-∠2-∠ACB=180°-50°-50°=80°，
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质求出∠3=180°-∠1=130°，∠ACB=∠1=50°，再计算求解即可。
7．（2023七下·巴州期末）如图，，将含有的三角板如图放置，顶点D在直线之上，线段，分别与直线交于A，B两点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点E作EG∥CD，如图所示：
∵AB∥CD，∠FAB=26°，
∴AB∥EG∥CD，
∴∠AEG=∠FAB=26°，
∴∠GED=∠DEA-∠GEA=34°，
∴EG∥CD，
∴∠GED=∠EDC=34°．
故答案为：B.
【分析】 过点E作EG∥CD，根据平行线的性质由AB∥CD可知AB∥EG，故∠AEG=∠FAB=26°，则可得∠GED的度数，再由EG∥CD即可得到∠EDC=34°．
8．（2023七下·海港期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
二、填空题
9．（2023七下·宁阳期末）如图，，则、、之间的数量关系是 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】分别过点C、D作CM∥DN∥AB，∵AB∥EF，∴CM∥DN∥AB∥EF，∴∠α=∠BCM，∠DCM=∠CDN，∠NDE=∠γ，∴∠α+∠β-γ=∠BCM+∠CDN+∠NDE-∠γ=∠BCM+∠DCM+∠γ-∠γ=∠BCD=90°。
故第一空答案为：∠α+∠β-γ=90°。
【分析】根据平行线的性质，得出一些相等的角，再通过等量代换，得出∠α+∠β-γ=90°。
10．（2023七下·玄武期末）如图，直线与相交，，，要使直线与平行，则直线绕点顺时针旋转的角度至少是 °．
【答案】25
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+顺时针旋转的度数=∠2，
∴旋转的度数=∠2-∠1=70°-45°=25°.
故答案为：25.
【分析】根据平行线的性质可得：∠1+顺时针旋转的度数=∠2，据此计算.
11．（2023七下·黄冈期末）如图，直线m与的一边射线OB相交，，向上平移直线m得到直线n．与的另一边射线OA相交，则 ．
【答案】210°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：作OC∥m，如图：
∵n是由m向上平移所得，
∴m∥n，
∴OC∥n，
∴∠1=∠BOC=30°，
∵∠2+∠AOC=180°，
∴∠2+∠3=∠2+∠BOC+∠AOC=210°，
故填：210°.
【分析】作OC∥m，利用平移的性质得m∥n，则OC∥n，根据平行线得性质得∠1=∠BOC=30°，∠2+∠AOC=180°，从而得到∠2+∠3得度数.
12．（2023七下·顺义期末）一副三角板如图放置，其中，，，．有下列说法：①如果，那么；②如果，那么；③与的度数之和随着的变化而变化；④如果，那么．其中正确的是 （填写相应序号）．
【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：①∵∠2 = 30°，
∴∠1= ∠E= 60°，
∴AC//DE，
故说法①正确；
②∵BC//AD，
∴∠3 = ∠B = 45°，
∵∠2+∠3= 90°，
∴∠2=45°，
故说法②正确；
③∵∠1+∠2= ∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠2+∠2+∠3=180°，
∴∠CAD+∠2= 180°，
∴∠2与∠CAD的度数之和不会随着∠2的变化而变化，
故说法③错误；
④∵∠2=30°，
∴∠1=∠E=60°，
∴AC//DE，
∴∠4=∠C=45°，
故说法④正确；
综上所述：正确的是 ①②④ .
故答案为： ①②④ .
【分析】利用平行线的判定与性质对每个说法一一判断即可。
三、解答题
13．（2023七下·孝义期末）综合与探究
数学活动课上，老师以“一个含的直角三角板和两条平行线”为背景展开探究活动，
如图1，已知直线，直角三角板中，，．
（1）如图1，若，则 ；（直接写出答案）
（2）“启航”小组在图1的基础上继续展开探究：如图，调整三角板的位置，当三角板的直角顶点在直线上，直线与，相交时，他们得出的结论是：，你认为启航小组的结论是否正确，请说明理由；
（3）如图，受到“启航”小组的启发，“睿智”小组提出的问题是：在图的基础上，继续调整三角板的位置，当点不在直线上，直线与，相交时，与有怎样的数量关系？请你用平行线的知识说明理由．
【答案】（1）
（2）解：结论正确，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点作，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵m//n，
∴∠1+∠ABC=∠2，
∵∠ABC=45°，∠2=65°，
∴∠1=∠2-∠ABC=65°-45°=20°，
故答案为：20°.
【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1+∠ABC=∠2，再利用角的运算求出∠1的度数即可；
（2）过点作，根据平行线的性质可得，，再结合，可得；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再结合，可得.
14．（2023七下·江岸期末）如图1，，直线与、相交于点、，平分，平分．
（1）求证：；
（2）如图2，为、之间一点（），若，求的度数；
（3）若为直线下方一点，，为直线右侧一点，满足，则、、之间满足的数量关系是 ．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴在四边形中，，
∵在中，，
∴，
∵，
∴；
（3）；
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】（3）解： 如图3，
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD，
∵，
∴，
∴，
∵∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，
∴，
∴∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
故答案为：∠AEF+∠FGH-∠EMH=90°．
【分析】（1）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，从而有EF∥FQ；
（2）由AB∥CD，得出∠AEF=∠EFD，结合角平分线的性质说明∠AEF=∠EFQ，再依据四边形的内角和定理求得∠M的度数；
（3）由AB∥CD，得到∠AEF=∠EFD，结合∠MKE=∠FKH，GH⊥MB，得到关于∠AEF，∠FGH，∠EMH的关系，将其化简即可.
15．（2023七下·肥西期末）如图，已知直线，，点E，F在上，且满足，平分．
（1）直线与有何位置关系？请说明理由；
（2）求的度数；
（3）若左右平移，在平移的过程中，
①求与的比值；
②是否存在某种情况，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线与互相平行，理由：
∵，
∴，
又
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，平分，
∴；
（3）解：存在．
①∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
②设．
∵，
∴；
∵，
∴，
∴．
若，
则，
得．
∴存在．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再结合，求出，可证出；
（2）先利用平行线的性质求出，再结合角平分线的定义及等量代换可得；
（3）①利用平行线的性质及等量代换可得，再求出即可；
②设，再求出，结合，可得，求出x的值即可.
1 / 1
