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【课课练】浙教版2023-2024学年七下数学第3章整式的乘除
3.3多项式的乘法（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如果长方形的长为(4a2-2a+1)，宽为(2a+1)，则这个长方形的面积为（ ）
A．8a3-4a2+2a-1 B．8a3+4a2-2a-1
C．8a3-1 D．8a3+1
3．下列计算错误的是（ ）
A．(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab B．(x+a)(x-b)=x2+(a-b)x+ab
C．(x-a)(x+b)=x2-(a-b)x-ab D．(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab
4．若的积中不含的一次项，那么与一定是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．比大
5．已知，，则的值为（ ）
A．13 B．3 C． D．
6．使 乘积中不含 与 项的p，q的值是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片（ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
8．已知(x+a)(x+b)=x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（ ）个.
A．2 B．4 C．6 D．8
9．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（ ）
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
10．已知都是正数，如果（ ），那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算：(x＋7)(x-6)-(x-2)(x＋1)= ·
12．若，则的值为 ．
13．已知，则代数式的值为 ．
14．如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片 张．
15．若 的积不含 项，则 ．
16．数学兴趣小组发现：
利用你发现的规律：求： ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）(x-5)(x+6)． （2）(x+2)(3x-1)． （3）2(x-8)(x-5)-(2x-1)(x+2)．
（4）(x+2)(y+3)-(x+1)(y-2)． （5）(3+a)(3-2a)+a2．
18．先化简，再求值：，其中．
19．一个长方形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)， 将长方形的长和宽各增加2cm．
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加多少？
（2）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值．
20．若的积中不含的一次项与的二次项.
（1）求的值；
（2）求式子的值.
21．甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面积分别为，．
（1）用含的代数式表示： ， ；结果化为最简形式
（2）用“”“”或“”填空： ；
（3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
22．观察以下等式：
（x+1）（x2-x+1）=x3+1
（x+3）（x2-3x+9）=x3+27
（x+6）（x2-6x+36）=x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ▲ ）=a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2-xy+y2）-（x+2y）（x2-2xy+4y2）
23．（1）计算：
①；
②．
（2）分别求的值：
①；
②．
（3）已知，、为正整数，求的值．
24．
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
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【课课练】浙教版2023-2024学年七下数学第3章整式的乘除
3.3多项式的乘法（2）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C正确；
D.，故D错误.
故答案为：C.
2．如果长方形的长为(4a2-2a+1)，宽为(2a+1)，则这个长方形的面积为（ ）
A．8a3-4a2+2a-1 B．8a3+4a2-2a-1
C．8a3-1 D．8a3+1
【答案】D
【解析】这个长方形的面积为 (4a2-2a+1)(2a+1)=4a2·(2a+1)-2a(2a+1)+2a+1= 8a3+1 .
故答案为：D.
3．下列计算错误的是（ ）
A．(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab B．(x+a)(x-b)=x2+(a-b)x+ab
C．(x-a)(x+b)=x2-(a-b)x-ab D．(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab
【答案】B
【解析】A、 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，正确，故不符合题意；
B、 (x+a)(x-b)=x2+(a-b)x-ab， 错误，故符合题意；
C、 (x-a)(x+b)=x2-(a-b)x-ab ，正确，故不符合题意；
D、 (x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab ，正确，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用多项式乘多项式将各项展开，再判断即可.
4．若的积中不含的一次项，那么与一定是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．比大
【答案】C
【解析】
的积中不含的一次项，
a-b=0，
解得：a=b，
故答案为：C.
5．已知，，则的值为（ ）
A．13 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】∵，，
∴．
故答案为：B．
6．使 乘积中不含 与 项的p，q的值是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【解析】∵（x2+px+8）（x2-3x+q），
=x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx+8x2-24x+8q，
=x4+（p-3）x3+（q-3p+8）x2+（pq-24）x+8q.
∵乘积中不含x2与x3项，
∴p-3=0，q-3p+8=0，
∴p=3，q=1.
故答案为：B.
7．小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片（ ）
A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【答案】C
【解析】由题意得，
∴需要类卡片张数为5张．
故答案为：C
8．已知(x+a)(x+b)=x2+mx+24，其中a，b为整数，则整数m可能的取值有（ ）个.
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】∵(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+mx+24 ，
∴ a+b=m，ab=24，
则a=1， b=24，则a+b=25；a=24， b=1，则a+b=25；
a=-1， b=-24，则a+b=-25；a=-24， b=-1，则a+b=-25；
a=2， b=12，则a+b=14；a=12， b=2，则a+b=14；
a=-2， b=-12，则a+b=-14；a=-12， b=-2，则a+b=-14；
a=3， b=8，则a+b=11；a=8， b=3，则a+b=11；
a=-3， b=-8，则a+b=-11；a=-8， b=-3，则a+b=-11；
a=4， b=6，则a+b=10；a=6， b=4，则a+b=10；
a=-4， b=-6，则a+b=-10；a=-6， b=-4，则a+b=-10；
综上，m=25，-25，14，-14，11，-11，10，-11.
故答案为：D.
9．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则（ ）
A．与的最大值相等，与的最小值也相等
B．与的最大值相等，与的最小值不相等
C．与的最大值不相等，与的最小值相等
D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等
【答案】A
【解析】 =2x2+（2a+b）x+ab，则p=2a+b，
=2x2+（2b+a）x+ab，则q=2b+a，
∵，
∴2a+b+2b+a=6，
即a+b=2，
∴p=2a+b=a+2，q=2b+a=b+2，
∴a=P-2，b=q-2，
∴ab=（P-2）（q-2）=pq-2(p+q)+4=p(6-p)-2×6+4=-p2+6p-8=-(p-3)2+1，
∵ p，q均为正整数 ，
∴p为1、2、3、4、5，
∴ab的最大值为1，最小值为-3，
==，
∵p，q均为正整数 ，
∴q为1、2、3、4、5，
∴的最大值为1，最小值为-3，
∴A项符合题意.
故答案为：A.
10．已知都是正数，如果（ ），那么的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】设 ，
则=（m+a1）（m+a2020），
=（m+a1+a2020）m，
∴M-N=（m+a1）（m+a2020）-（m+a1+a2020）m=m2+ma1+a1a2020+ma2020-m2-ma1-ma2020=a1a2020>0，
∴ .
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算：(x＋7)(x-6)-(x-2)(x＋1)= ·
【答案】2x-40
【解析】 (x＋7)(x-6)-(x-2)(x＋1)= x2+x-42-(x2-x-2)=x2+x-42-x2+x+2=2x-40.
故答案为：2x-40.
12．若，则的值为 ．
【答案】4
【解析】，
，
．
故答案为：4．
13．已知，则代数式的值为 ．
【答案】4
【解析】
=
∴a=1，c-1=b，c=2
故a＝1，b＝1，c＝2．
故
＝4 2+2＝4．
故答案是：4．
14．如图，现有A，C两类正方形卡片和B类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的长方形，那么需要B类长方形卡片__ 张．
【答案】7
【解析】由题意得长方形的面积为，A卡片的面积为，B卡片的面积为ab，C卡片的面积为，
∴需要B类卡片7张，
故答案为：7
15．若 的积不含 项，则 ．
【答案】
【解析】
=
=
∵ 的积不含 项，
∴ ，
解得： .
故答案为： ．
16．数学兴趣小组发现：
利用你发现的规律：求： ．
【答案】
【解析】∵，，，
∴，
当x=6，n=2024时，，
∴，
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）(x-5)(x+6)．（2）(x+2)(3x-1)．（3）2(x-8)(x-5)-(2x-1)(x+2)．
（4）(x+2)(y+3)-(x+1)(y-2)．（5）(3+a)(3-2a)+a2．
【答案】（1）解：原式=x2+x-30；
（2）解：原式=3x2-x+6x-2=3x2+5x-2；
（3）解：原式=2（x2-13x+40）-（2x2+4x-x-2）=-29x+82；
（4）解：原式=xy+3x+2y+6-（xy-2x+y-2）=5x+y+8；
（5）解：原式=9-6a+3a-2a2+a2=9-3a-a2.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
当时，
原式．
19．一个长方形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)， 将长方形的长和宽各增加2cm．
（1）新长方形的面积比原长方形的面积增加多少？
（2）如果新长方形的面积是原长方形面积的2倍，求(a-2)(b-2)的值．
【答案】（1）解：新长方形的面积为（a+2）(b+2）=ab+2a+2b+4，
原长方形的面积为ab，
∴新长方形的面积比原长方形的面积增加了（a+2）(b+2）-ab=2a+2b+4（cm2）.
（2）解：∵新长方形的面积是原长方形面积的2倍 ，
∴（a+2）(b+2）=2ab，
∴2a+2b+4=ab，
(a-2)(b-2) =ab-2a-2b+4=2a+2b+4-2a-2b+4=8.
20．若的积中不含的一次项与的二次项.
（1）求的值；
（2）求式子的值.
【答案】（1）解：=
=
∵不含x的一次项与x的二次项，
∴，
∴，.
（2）解：当，时，
原式===.
21．甲、乙两个长方形，其边长如图所示，其面积分别为，．
（1）用含的代数式表示： ， ；结果化为最简形式
（2）用“”“”或“”填空： ；
（3）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为，试探究：与的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）
（3）解：正方形的周长为：，
正方形的边长为：，
，
，
故与的差是定值，定值为．
【解析】（1）图甲：S1=（m+5）（m+1）=m2+6m+5；
图乙：S2=（m+4）（m+2）=m2+6m+8；
（2）∵S1-S2=（m2+6m+5）-（m2+6m+8）=-2＜0，
∴S1＜S2.
22．观察以下等式：
（x+1）（x2-x+1）=x3+1
（x+3）（x2-3x+9）=x3+27
（x+6）（x2-6x+36）=x3+216
…
（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ▲ ）=a3+b3
（2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立．
（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2-xy+y2）-（x+2y）（x2-2xy+4y2）
【答案】（1）a2-ab+b2
（2）解：a+b）（a2-ab+b2）=a3-a2b+ab2+ba2-ab2+b3=a3+b3；
（3）解：原式=（x3+y3）-（x3+8y3）=-7y3．
【解析】（1）根据等式规律得：
故答案为：a2-ab+b2
23．（1）计算：
①；
②．
（2）分别求的值：
①；
②．
（3）已知，、为正整数，求的值．
【答案】（1）解：①原式；
②原式
（2）解：①，
，．
，．
②，
，．
，．
（3）解：由题意得，，
，．
，为正整数，
，；，；，；，；，；，；
，；，；，．
满足题意的为：37，20，15，13，12．
24．
（1）计算观察下列各式填空：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若n为大于1的正整数，则 ．
（3）利用（2）的猜想结论计算： ．
（4）扩展与应用： ．
【答案】（1）；；
（2）
（3）
（4）
【解析】
（1）第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：；；；
（2）由（1）中已知等式得出的结果为a，b两数n次幂的差，
若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
（3）
=
，
故答案为：；
（4）
===
故答案为：．
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