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【课课练】浙教版2023-2024学年七下数学第3章整式的乘除
3.4乘法公式（1）
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．计算(2x-5)(2x-5)的结果是（ ）
A．4x2-5 B．4x2-25 C．25-4x2 D．4x2+25
【答案】B
【解析】原式=4x2-25.
故答案为：B.
2．计算（－4x－5y）（5y－4x）的结果是（ ）
A．16x2－25y2 B．25y2－16x2 C．－16x2－25y2 D．16x2+25y2
【答案】A
【解答】（－4x－5y)（5y－4x)=16x2－25y2.
故选A.
3．若a2-b2=，a-b=，则a+b的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】 ∵a2-b2=，a-b=，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=（a+b）=，
∴ a+b=.
4．对于(2a+3b-1)(2a-3b+1)，为了用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A．[2a-(3b+1)]2 B．[2a+(3b-1)][2a-(3b-1)]
C．[(2a-3b)+1][(2a-3b)-1] D．[2a-(3b-1]2
【答案】B
【解析】(2a+3b-1)(2a-3b+1)=[2a+(3b-1)] [2a-(3b-1)].
故答案为：B.
【分析】平方差公式应满足：一项相同，另一项互为相反数，据此变形即可.
5．若(-mx-3y)(mx-3y)=-49x2+9y2，则m的值为（ ）
A．-7 B．7 C．±7 D．不能确定
【答案】C
【解析】 (-mx-3y)(mx-3y)=9y2-m2x2=-49x2+9y2，
∴-m2=-49，
解得：m= ±7 .
故答案为：C.
6．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户王老汉，第二年，他对王老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得王老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
【答案】C
【解析】矩形的面积为(a +6)(a-6)=a2- 36，
∴矩形的面积比正方形的面积a2小了36平方米；
故答案为：C.
7．数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．下列图形中能验证的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A、根据图象可知：，∴A符合题意；
B、根据图象可得：，∴B不符合题意；
C、根据图象可知：，∴C不符合题意；
D、根据图象可知：，∴D不符合题意；
故答案为：A.
8．如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝15，那么a＋b的值为（ ）.
A．±8 B．-4 C．2 D．±2
【答案】D
【解析】∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=15，
∴(2a+2b)2-1=15，
∴(2a+2b)2=16，
∴2a+2b=±4，
∴a+b=±2.
故答案为：D.
9．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题得，m2-n2+4n=(m+n)(m-n)+4n=2(m-n)+4n=2m-2n+4n=2m+2n=2(m+n)=4
10．a、b、c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a、c为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是（ ）
A．正方形比长方形的面积大1
B．长方形比正方形的面积大1
C．正方形和长方形的面积一样大
D．正方形和长方形的面积关系无法确定
【答案】A
【解析】∵a、b、c是三个连续的正整数，
∴a=b-1，c=b+1，
∴以a、c为长和宽作长方形的面积为ac=（b+1）（b-1）=b2-1，
∴b2-1＜b2，
∴以b为边长的正方形面积大.
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算：（a+1）（a﹣1）= .
【答案】a2﹣1
【解析】（a+1）（a﹣1）=a2﹣1，
故答案为：a2﹣1.
12．已知a2-4b2=12，且a-2b=-3，则a+b= ．
【答案】-3.75
【解析】∵a2-4b2=12 ，
∴(a+2b)(a-2b)=12，
∵a-2b=-3，
∴-3×(a+2b)=12，
∴a+2b=-4，
联立a-2b=-3，
可得2a=-7，
∴a=-3.5，
把a=-3.5代入a+2b=-4，
得b=-0.25，
∴a+b=-3.5+(-0.25)=-3.75，
故答案为：-3.75.
13． ．
【答案】1
【解析】原式==，
故答案为：1．
14．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，点E在上，大正方形与小正方形的面积差为80，则阴影部分的面积为 .
【答案】40
【解析】由题意得a2-b2=80，
∴(a+b)(a-b)=80，
∴S阴影=AE·BC+AE·BD=AE（BC+BD）=AE·CD=(a-b)(a+b)=×80=40.
故答案为：40.
15．计算：= ．（结果中保留幂的形式）
【答案】216-1
【解析】
16．如图，把三个大小相同的正方形放在边长为7的大正方形中，重叠部分的正方形面积分别记为a和c，延长线构成的正方形面积记为b，若，且，则图中阴影部分面积的值为 ．
【答案】
【解析】如图，
，，，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
由得：，
由得：，
，
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算.
（1）（m-）（m+）；
（2）（-2y2-3x）（3x-2y2）；
（3）（x+3）（x2+9）（x-3）.
【答案】（1）解：原式=m2-
（2）解：原式=（-2y2）2-（3x）2=4y4-9x2
（3）解：原式=（x+3）（x-3）（x2+9）=（x2-9）（x2+9）=x4-81
18．运用平方差公式计算.
（1）3001×2999；
（2）99×100
（3）20102-2011×2009；
（4）103×97×10009.
【答案】（1）解：原式=（3000+1）×（3000-1）=30002-12=8999999
（2）解：原式=（100-）×（100+）=1002-（）2
=10000-=9999
（3）解：原式=20102-（2010+1）×（2010-1）
=20102-（20102-1）
=20102-20102+1
=1
（4）解：原式=（100+3）×（100-3）×（10000+9）
=（1002-9）×（1002+9）
=1004-92
=99999919.
19． 通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷．相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算：．
解：，
①
②
．
（1）例题求解过程中，由①到②变形是利用 （填乘法公式的名称）．
（2）用简便方法计算：．
【答案】（1）平方差公式
（2）解：，
=，
=，
=，
=．
20．关于任意实数存在一种新运算有如下结果：
；
按你发现的规律探索：
（1） .(用的代数式表示).
（2）当成立时，求满足的关系式.
【答案】（1）
（2）解：由题意得，
，即，
整理得，
即，
，
，
.
【解析】（1）.
21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，.
（1）请你将68表示为两个连续偶数的平方差形式；
（2）试证明“神秘数”能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由.
【答案】（1）解：68=182-162
（2）解：“神秘数”是4的倍数.理由如下：
（2k+2）2-（2k）2
=（2k+2+2k）（2k+2-2k）
=2（4k+2）
=4（2k+1），
∴“神秘数”是4的倍数；
（3）解：设两个连续的奇数为：2k+1，2k-1，则
（2k+1）2-（2k-1）2=8k，
而由（2）知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8不是4的偶数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数.
22．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a>b)，如图1．
（1）由图1得阴影部分的面积为 ，沿图1中的虚线剪开拼成图2，则图2中阴影部分的面积为 .
（2）由(1)的结果得出结论 .
（3）利用(2)中得出的结论计算：20172-20162．
【答案】（1）a2-b2；（a-b）（a+b）
（2）a2-b2=（a-b）（a+b）
（3）解：原式=（2017+2016）（2017-2016）=4033
【解析】（1）图1的阴影部分的面积为a2-b2；
图2中阴影部分的面积为
故答案为：a2-b2，（a-b）（a+b）.
（2）∵两个图形的阴影部分的面积相等，
∴a2-b2=（a-b）（a+b）.
故答案为：a2-b2=（a-b）（a+b）.
23．已知．
（1） ；
（2）求的值；
（3）求结果的个位数字．
【答案】（1）15
（2）解：；
（3）解：；，，，，，，可知的个位数呈3、9、7、循环，，的个位数是1，的个位数是0．即结果的个位数字是0．
【解析】（1）；故答案为：15；
24．如图，将两个长方形用不同方式拼成图和图两个图形．
（1）若图中的阴影部分面积为，则图中的阴影部分面积为 用含字母，的代数式表示；
（2）由你可以得到的等式是 ；
（3）根据你所得到的等式解决下面的问题：
若，，则_▲_ ；
计算：．
解方程：．
【答案】（1）
（2）
（3）
；
，
，
，
．
【解析】【解答】 (1)、 ，
(2)、，
(3)、①，
，
∴，
，
，
，
．
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【课课练】浙教版2023-2024学年七下数学第3章整式的乘除
3.4乘法公式（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．计算(2x-5)(2x-5)的结果是（ ）
A．4x2-5 B．4x2-25 C．25-4x2 D．4x2+25
2．计算（－4x－5y）（5y－4x）的结果是（ ）
A．16x2－25y2 B．25y2－16x2 C．－16x2－25y2 D．16x2+25y2
3．若a2-b2=，a-b=，则a+b的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．对于(2a+3b-1)(2a-3b+1)，为了用平方差公式计算，下列变形正确的是（ ）
A．[2a-(3b+1)]2 B．[2a+(3b-1)][2a-(3b-1)]
C．[(2a-3b)+1][(2a-3b)-1] D．[2a-(3b-1]2
5．若(-mx-3y)(mx-3y)=-49x2+9y2，则m的值为（ ）
A．-7 B．7 C．±7 D．不能确定
6．从前，古希腊一位庄园主把一块边长为a米（a＞6）的正方形土地租给租户王老汉，第二年，他对王老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得王老汉的租地面积会（ ）
A．没有变化 B．变大了 C．变小了 D．无法确定
7．数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．下列图形中能验证的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如果（2a＋2b＋1）（2a＋2b－1）＝15，那么a＋b的值为（ ）.
A．±8 B．-4 C．2 D．±2
9．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．a、b、c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a、c为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是（ ）
A．正方形比长方形的面积大1
B．长方形比正方形的面积大1
C．正方形和长方形的面积一样大
D．正方形和长方形的面积关系无法确定
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算：（a+1）（a﹣1）= .
12．已知a2-4b2=12，且a-2b=-3，则a+b= ．
13． ．
14．如图，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，点E在上，大正方形与小正方形的面积差为80，则阴影部分的面积为 .
15．计算：= ．（结果中保留幂的形式）
16．如图，把三个大小相同的正方形放在边长为7的大正方形中，重叠部分的正方形面积分别记为a和c，延长线构成的正方形面积记为b，若，且，则图中阴影部分面积的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算.
（1）（m-）（m+）； （2）（-2y2-3x）（3x-2y2）； （3）（x+3）（x2+9）（x-3）.
18．运用平方差公式计算.
（1）3001×2999； （2）99×100 （3）20102-2011×2009； （4）103×97×10009.
19． 通过学习，同学们已经体会到灵活运用乘法公式使整式的乘法运算方便、快捷．相信通过对下面材料的学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功的喜悦．例：用简便方法计算：．
解：，
①
②
．
（1）例题求解过程中，由①到②变形是利用 （填乘法公式的名称）．
（2）用简便方法计算：．
20．关于任意实数存在一种新运算有如下结果：
；
按你发现的规律探索：
（1） .(用的代数式表示).
（2）当成立时，求满足的关系式.
21．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，.
（1）请你将68表示为两个连续偶数的平方差形式；
（2）试证明“神秘数”能被4整除；
（3）两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由.
22．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a>b)，如图1．
（1）由图1得阴影部分的面积为 ，沿图1中的虚线剪开拼成图2，则图2中阴影部分的面积为 .
（2）由(1)的结果得出结论 .
（3）利用(2)中得出的结论计算：20172-20162．
23．已知．
（1） ；
（2）求的值；
（3）求结果的个位数字．
24．如图，将两个长方形用不同方式拼成图和图两个图形．
（1）若图中的阴影部分面积为，则图中的阴影部分面积为 用含字母，的代数式表示；
（2）由你可以得到的等式是 ；
（3）根据你所得到的等式解决下面的问题：
若，，则_▲_ ；
计算：．
解方程：．
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