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【冲击重高】浙教版2023-2024学年七下数学第2章二元一次方程组
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
2．用如图 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有 张正方形纸板和 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则 的值可能是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
3．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下
时刻 9：00 9：45 12：00
碑上的数 是一个两位数，数字之和是9 十位与个位数字与9：00时所看到的正好相反 比9：00时看到的两位数中间多了个0
9：00时看到的两位数是（ ）
A．54 B．45 C．36 D．27
5．已知关于x，y的方程组 的解为 ，则关于方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
6．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度 （ ）
A．70 B．55 C．40 D．30
7．在抗击疫情知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用尽的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．7种 B．8种 C．14种 D．15种
8．我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
9．已知正整数a，b，c满足2a=b+270，a+7c=6b，则a的最小值为（ ）
A．141 B．153 C．160 D．174
10．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁.”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁.”求弟弟和哥哥的年龄.设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意可列出二元一次方程组是 .
12．长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为 cm．
13．关于，的二元一次方程，无论取何值，所得到的方程都有一个相同解，则这个相同解是 ．
14．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
15．当，时，式子，那么当，时，式子的值为 ．
16．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中为连续正整数），我们则称无理数m的“雅区间”为，例：，所以的“雅区间”为．若某一无理数的“雅区间”为，且满足，其中是，关于的二元一次方程组的一组正整数解，其中，则p＝ ．
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程组：
（1） （2）
18．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；
（2）如果要使水面上升到55cm，应放入大球、小球各多少个？
19．已知关于x，y的方程组
（1）写出方程x+3y=7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x-3y=1，求m的值：
（3）无论m取何值，方程x-3y+mx+3=0总有一个公共解，求出这个方程的公共解．
20．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1.
（1）当 时，求c的值.
（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解.
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解.
21．育新中学组织20个团员分成两组分别去A，B两地开展植树活动，去A地植树人数不超过10人时，每人能植树6棵，去A地植树人数超过10人时，每人只能植树4棵.在B池的团员每人植树5棵。（每个团员所植树的棵数均满足要求）
（1）若这批团员中，去A地的人数超过10人，本次植树活动共植树86棵。问去A，B两地团员各多少人
（2）小明同学说“经统计，本次我们20个团员共植树96棵”，你认为小明同学的统计有问题吗 请你通过计算说明.
（3）当去A，B闭地的团炎到达目的地后，B地团员发现还有8位大人义工也来植树，在B地原来团员同学每人可以植树5棵，大人每人植树10标，如果抽取一部分大人协助指导团员植树，这样B组团员每人可以植树8棵，被抽取的大人每人只能植树5棵；就团员和大人在B地的植树的总数来看。有大人协助比没有大人协助多了15棵，求到B地的团员人数。
22．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）
若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）
为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元．
23．把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”．
（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值．
（3）是否存在n使“雅系二元一次方程”与（为常数）的“完美值”相同，若存在，求出n的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由．
24．如图，已知的面积是，请完成下列问题：
（1）如图，中，若是边上的中线，则的面积 的面积填“”、“”或“”；
（2）如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：
连接，由得，
同理，可得．
设，，则，．
由题意得，．
可列方程组，解得 ，
通过解这个方程组可得四边形的面积为 ；
（3）如图，，，请直接写出四边形的面积 不用书写过程
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【冲击重高】浙教版2023-2024学年七下数学第2章二元一次方程组（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如果 ，其中xyz≠0，那么x：y：z=（ ）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．2：3：1 D．3：2：1
【答案】C
【解析】已知 ，
①×2﹣②得，7y﹣21z=0，
∴y=3z，
代入①得，x=8z﹣6z=2z，
∴x：y：z=2z：3z：z=2：3：1．故答案为：C．
2．用如图 中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图 的竖式和横式的两种无盖纸盒.现有 张正方形纸板和 张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则 的值可能是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【答案】B
【解析】设做竖式的无盖纸盒为 个，横式的无盖纸盒为 个，
由题意得： ，
两个方程相加得： ，
、 都是正整数，
是5的倍数，
∵2018、2019、2020、2021四个数中只有2020是5的倍数，
的值可能是2020，
故答案为：B.
3．已知关于x，y的方程组，给出下列说法：
①当时，方程组的解也是的解；
②若，则；
③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数；
④x，y都为自然数的解有5对．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
①当时，原方程组可化为，
解得，
将、代入也成立，
∴当时，方程组的解也是的解，①正确；
②由题意得，
⑤+⑥得2x+y=6+3a，
∴6+3a=3，
解得a=-1，②正确；
③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a，
∴x+y=4，
∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确；
④∵x+y=4，
∴x，y都为自然数的解为，
∴x，y都为自然数的解有5对，④正确；
∴正确的个数为4，
故答案为：D
4．爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下
时刻 9：00 9：45 12：00
碑上的数 是一个两位数，数字之和是9 十位与个位数字与9：00时所看到的正好相反 比9：00时看到的两位数中间多了个0
9：00时看到的两位数是（ ）
A．54 B．45 C．36 D．27
【答案】D
【解析】设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为10x＋y；
则9：45时看到的两位数为x＋10y，9：00～9：45时行驶的里程数为：（10y＋x） （10x＋y）；
则12：00时看到的数为100x＋y，9：45～12：00时行驶的里程数为：（100x＋y） （10y＋x）；
由题意列方程组得：
，
解得：
所以9：00时看到的两位数是27.
故答案为：D.
5．已知关于x，y的方程组 的解为 ，则关于方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将x=2，y=4代入方程组得：，
令x+1=m，y-1=n，
∴ ，
∴，
∴，
∴m-6=0，2n-12=0，
解得，
∴，
∴ .
故答案为：A.
6．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度 （ ）
A．70 B．55 C．40 D．30
【答案】A
【解析】设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则有 ，
，得
，
解得， ，
故答案为：A．
7．在抗击疫情知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A、B、C三种奖品，A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在种奖品不超过两个且钱全部用尽的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．7种 B．8种 C．14种 D．15种
【答案】C
【解析】设购买A、B、C三种奖品分别为x、y、z个，
根据题意列方程得，
即，
由题意得x、y、z均为正整数，可知
①当时，，
∴，
∴x分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，y为正整数；
②当时，，
∴，
∴x可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，y为正整数；
综上所述：共有种购买方案．
故答案为：C
8．我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如： ， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
∵ 表示不超过 的最大整数，
∴ ， 和 均为整数，
∴x为整数，即 ，
∴①－②得： ，
∴ ， ，
将 代入②得： ，
∴ ，
故答案为：A.
9．已知正整数a，b，c满足2a=b+270，a+7c=6b，则a的最小值为（ ）
A．141 B．153 C．160 D．174
【答案】B
【解析】由 2a=b+270，a+7c=6b 可得，a=
∵a，c均为正整数
∴取c=9时，a有最小值为
故答案为：B.
10．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【解析】 解：将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。
设：居中被相加2次的格子的数分别为x和y，依题意得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+x+y=55+x+y
∴ 3m=55+x+y
∴
当x和y最大时，m取得最大值；
x和y为9和10时满足题意；
∴
∴m的最大值为24
故本题应选：B
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁.”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁.”求弟弟和哥哥的年龄.设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意可列出二元一次方程组是 .
【答案】
【解析】设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意得： ，
故答案为：
12．长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为 cm．
【答案】2
【解析】设小长方形的宽CE为xcm，小长方形的长是ycm，根据长方形ABCD的长和宽列出方程组
，
解得，
∴CE=2cm.
故答案为：2.
13．关于，的二元一次方程，无论取何值，所得到的方程都有一个相同解，则这个相同解是 ．
【答案】
【解析】（m﹣2）x+（m+1）y＝2m﹣7，
整理，得m（x+y﹣2）+（y﹣2x+7）＝0，
由方程的解与m无关，得
x+y﹣2＝0，且y﹣2x+7＝0，
解得，
即这个相同解是．
故答案为：．
14．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
【答案】；
【解析】由题意得：
化简得：
由②得：9+a=18
∴a=9
把a=9代入①得：14+c=18+b
∴b-c=14-18=-4
故答案为：9；-4.
15．当，时，式子，那么当，时，式子的值为 ．
【答案】
【解析】代入x=2，y=4
得：
即
代入x=-4，y=-
原式=
故填：2024
16．如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中为连续正整数），我们则称无理数m的“雅区间”为，例：，所以的“雅区间”为．若某一无理数的“雅区间”为，且满足，其中是，关于的二元一次方程组的一组正整数解，其中，则p＝ ．
【答案】127
【解析】∵“雅区间”为（a，b），
∴a、b为连续正整数，
∵， 其中x＝b，y＝是关于x、y的二元一次方程组bx+ay＝p的一组正整数解，
∴符合条件的a，b有：①a＝4，b＝5，＝2；②a＝9，b＝10，＝3；
∴①当a＝4，b＝5，＝2时，x＝5，y＝2，
则5×5+4×2＝p，
∴p＝33，
②当a＝9，b＝10，＝3时，x＝10，y＝3，
则10×10+9×3＝p，
∴p＝127，
∵，
∴p＝127，
即p的值为127，
故答案为：127.
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：整理原方程组得
①-②得4x=36，
∴x=9，
将x=9代入②得y=14，
∴该方程组得解为：；
（2）解：由|x-y|=x+y-2得x+y=|x+y|+2，
∵|x+y|≥0，
∴x+y≥0，
∴|x+y|=x+y①，
将①代入|x+y|=x+2得x+y=x+2，
解得y=2，
将y=2代入|x-y|=x+y-2，
得|x-2|=x，
∴x-2=x或x-2=-x，
方程x-2=x无解，
解x-2=-x得x=1，
∴原方程组得解为.
18．根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高 cm，放入一个大球水面升高 cm；
（2）如果要使水面上升到55cm，应放入大球、小球各多少个？
【答案】（1）2；3
（2）解：设应放入大球x个，小球y个，依题意有
3x+2y=55-31，即3x+2y=24，
∵x，y都是整数，
∴x=0，y=12；
x=2，y=9；
x=4，y=6；
x=6，y=3；
x=8，y=0．
答：应放入大球0个，小球12个，或放入大球2个，小球9个，或放入大球4个，小球6个，或放入大球6个，小球3个，或放入大球8个，小球0个．
【解析】（1）（37-31）÷3
=6÷3
=2（cm），
（37-31）÷2
=6÷2
=3（cm），
答：放入一个小球水面升高 2cm，放入一个大球水面升高 3cm；
故答案为：2，3．
19．已知关于x，y的方程组
（1）写出方程x+3y=7的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足2x-3y=1，求m的值：
（3）无论m取何值，方程x-3y+mx+3=0总有一个公共解，求出这个方程的公共解．
【答案】（1）解：由方程x+3y=7，得x=7-3y，∴正整数解为 ；
（2）解：联立得： 解得：
代入得： ，解得：m=
（3）解：∵x-3y+mx+3=0，∴则其公共解为
20．关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c是常数），b＝a+1，c＝b+1.
（1）当 时，求c的值.
（2）当a＝ 时，求满足|x|＜5，|y|＜5的方程的整数解.
（3）若a是正整数，求证：仅当a＝1时，该方程有正整数解.
【答案】（1）∵b＝a+1，c＝b+1.
∴c＝a+2，
由题意，得3a+a+1＝a+2，
解得a＝ ，
∴c＝a+2＝ ；
（2）当a＝ 时， x+ y= ，
化简得，x+3y＝5，
∴符合题意的整数解是： ， ， ；
（3）由题意，得ax+（a+1）y＝a+2，
整理得，a（x+y﹣1）＝2﹣y①，
∵x、y均为正整数，
∴x+y﹣1是正整数，
∵a是正整数，
∴2﹣y是正整数，
∴y＝1，
把y＝1代入①得，ax＝1，
∴a＝1，
此时，a＝1，b＝2，c＝3，方程的正整数解是 .
21．育新中学组织20个团员分成两组分别去A，B两地开展植树活动，去A地植树人数不超过10人时，每人能植树6棵，去A地植树人数超过10人时，每人只能植树4棵.在B池的团员每人植树5棵。（每个团员所植树的棵数均满足要求）
（1）若这批团员中，去A地的人数超过10人，本次植树活动共植树86棵。问去A，B两地团员各多少人
（2）小明同学说“经统计，本次我们20个团员共植树96棵”，你认为小明同学的统计有问题吗 请你通过计算说明.
（3）当去A，B闭地的团炎到达目的地后，B地团员发现还有8位大人义工也来植树，在B地原来团员同学每人可以植树5棵，大人每人植树10标，如果抽取一部分大人协助指导团员植树，这样B组团员每人可以植树8棵，被抽取的大人每人只能植树5棵；就团员和大人在B地的植树的总数来看。有大人协助比没有大人协助多了15棵，求到B地的团员人数。
【答案】（1）设去A.B两地团员人数分别为x，y人
由题查得： 得：
答：去A，B两地团员人数分别为14人与6人。
（2）当去A地植树人数不超过10人时
得： 不合题意，
当去A地的人数超过10人时
得， 不合愿意。
答：小明同学的统计有问题，不可能为96棵.
（3）设在B地团员数为y人，从大人中增取a人协助指导团员植树。
则：5y+8×10+15=8y+5a+10(8-a）
得：3y-5a=15.
因为y＜20，a＜8，且y与a都是正整数，可以求得：y=10，a=3成y=15，a=6.
答：到B地的团员人数为10人或15人.
22．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 500 600
（1）
若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）
为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？
（3）求出那种方案的运费最省？最省是多少元．
【答案】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，得： 解得
答：需甲车型8辆，需车型10辆；
（2）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，得：
消去z得5x+2y=40，x= ，
因x，y是非负整数，且不大于16，得y=0，5，10，15，
由z是非负整数，解得 ， ， ，
有三种运送方案：
①甲车型8辆，丙车型8辆；
②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；
③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；
（3）解：三种方案的运费分别是：
①400×8+600×8=8000；
②400×6+500×5+600×5=7900；
③400×4+500×10+600×2=7800．
答：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆，最少运费是7800元．
23．把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为．
（1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”．
（2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值．
（3）是否存在n使“雅系二元一次方程”与（为常数）的“完美值”相同，若存在，求出n的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，可化为解得，；
（2）解：当时，可化为，把代入，解得；
（3）解：存在；当时，可化为，解得，当时，可化为，解得．∵与（为常数）的“完美值”相同，，解得，将代入得．
24．如图，已知的面积是，请完成下列问题：
（1）如图，中，若是边上的中线，则的面积 的面积填“”、“”或“”；
（2）如图，若、分别是的、边上的中线，求四边形的面积可以用如下方法：
连接，由得，
同理，可得．
设，，则，．
由题意得，．
可列方程组，解得 ，
通过解这个方程组可得四边形的面积为 ；
（3）如图，，，请直接写出四边形的面积 不用书写过程
【答案】（1）=
（2）；
（3）
【解析】（1）如图所示：过点A作AH⊥BC于点H，
∵是边上的中线，
∴BD=CD，
∴S△ABD=，S△ACD=，
∴S△ABD=S△ACD，
即△ABD=△ACD的面积，
故答案为：=；
（2）由方程组 ， 可得：，
∴S△AOD=S△AOE=10，
∴S四边形ADOE=S△AOD+S△AOE=20，
故答案为：；20.
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