(共28张PPT)
2.4.1 应用二元一次方程组解决简单的实际问题
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.通过教学学会列二元一次方程组解决实际问题，并进一步提高解方程组的能力。
2.通过教学培养分析问题、解决问题、综合归纳的能力，初步建立现实生活中一些含有两个未知数问题的数学模型，提高把生活问题转化为数学问题来解决的能力。
3.通过对列二元一次方程组解决应用题的教学，体会列方程组来解应用题的优越性，同时渗透把未知转化为已知的思想。
复习回顾
想一想：怎样列一元一次方程解决实际问题？
1.审题；
2.找出一个等量关系式；
3.设元并列出方程；
5.写出答案。
4.解方程并求出相关的量；
新知讲解
一水坝的横截面是梯形，它的面积为42m2，高为6 m，下底比上底的2倍少1m，则上底和下底的长各是多少米
怎样列方程？
本节我们学习怎样应用二元一次方程组解决有关的实际问题.
新知讲解
【小组合作】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗
新知讲解
要解决这一问题，我们可以从以下几个方面进行思考:
(1)问题中所求的未知数有几个
(2)有哪些等量关系
有2个未知数
①男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；
②女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍.
新知讲解
要解决这一问题，我们可以从以下几个方面进行思考:
(3)怎样设未知数 可以列出几个方程
设男孩有x人，女孩有y人，由题意得：
x-1=y
2(y-1)=x
(4)本题能列一元一次方程求解吗
用列二元一次方程组的方法求解，有什么优点
新知讲解
列二元一次方程组解应用题的意义:
列二元一次方程组解应用题是化“未知”为“已知”的重要方法；
它的关键是：把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.
一般来说，有几个量就要列出几个方程，所列方程必须满足:
(1)方程两边表示的意义相同；
(2)同类的量单位要统一.
新知讲解
【例1】用如图2-5中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图
2-6的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完
新知讲解
【分析】做一个竖式纸盒需要几张长方形纸板和正方形纸板？做一个横式纸盒呢？请填写下表:
根据上表我们就能列出两个二元一次方程，解这个二元一次方程组得
到所求的解.
x
2y
4x
3y
新知讲解
解:设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个.根据题意，得
①×4-②，得5y=2 000，解得y=400.
把y=400 代入①，得x+800=1 000，解得x=200.
所以方程组的解为
经检验，这个解满足方程组，且符合题意.
答:做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完.
新知讲解
想一想，上面整个思考过程中，你经历了哪些问题解决的基本步骤
理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系；
制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组；
执行计划：列出方程组并求解，得到答案；
回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：1.我国古代数学著作《九章算术》中有一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意可列方程组为( )
B
课堂练习
2.某班共有学生49人．一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半．若设该班男生人数为x，女生人数为y，根据题意可列方程组为___________________．
根据题意可列方程组为：
课堂练习
3.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？设用x张制盒身，y张制盒底．根据题意可列方程组为________________．
根据题意可列方程组为：
课堂练习
D
4.如图，在大长方形中放入6个大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是( ).
A．96 cm2
B．112 cm2
C．126 cm2
D．140 cm2
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：5.一列载客火车和一列运货火车分别在两条平行的铁轨上行驶，载客火车长150 m，运货火车长250 m．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需10 s；若载客火车从后面追赶运货火车，从车头追上运货火车车尾到完全超过运货火车共需100 s，试求两车的速度．
课堂练习
【综合实践类作业】
6.某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：
1.审题，搞清已知和未知，分析数量关系；
2.根据等量关系设元，列出方程组；
3.根据方程组求解，得到答案；
4.检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意.
板书设计
课题：2.4.1 应用二元一次方程组解决简单的实际问题
教师板演区
学生展示区
一、基本步骤
二、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为( ).
C
作业布置
2.茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( ).
B
作业布置
选做题：
3.在长为18 m，宽为15 m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为____________．
28 m2
作业布置
【综合实践类作业】
4.某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？
作业布置
谢谢
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.了解二元一次方程的概念和二元一次方程解的不唯一性。 2.了解二元一次方程组的概念，理解二元一次方程组的解的概念。 3.了解解二元一次方程组的基本思想是通过消元，化二元为一元。 4.掌握解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。 5.了解应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。 6.会应用二元一次方程组解决简单的实际问题。 7.了解三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组。
内容分析 本章是在七年级上册“一元一次方程”的基础上，进一步讨论二元一次方程(组)的有关概念、解法和应用等，并在二元一次方程组的基础上，学习三元一次方程组及解法.本章是一元一次方程知识的延伸和拓广，也是今后学习一般线性方程组、及函数等的基础，具有承上启下的作用.教学过程中要求学生能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程(组)，理解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组，并能根据解的特征选择适当的方法简化解题过程。能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
学情分析 七年级的学生已在前一学段和七年级上册学习了一元一次方程的相关概念与应用。但是这个阶段的学生具有不熟练的读写能力和对文字类题目(应用题)的恐惧心理，在学习中存在不会审题(不会读题)，导致其不能准确分析问题中数量关系；所以在教学过程中认真把握课标要求，以学生熟悉的实际问题入手，引入教学，降低学习难度，消除学生对问题的恐惧心理，使学生易于参与到学习活动中来，提高学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和能力。同时注意培养学生读的习惯和思考的能力，应用题教学可以放慢速度，让学生充分审题，在理解的基础上尝试解决实际问题。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型. 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系. 3.了解解二元一次方程组的基本目标:使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法一代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二(三)元一次方程组解决实际问题的基本过程，体会数学应用的价值，提高分析问题、解决问题的能力. （二）教学重点、难点 重点： 1.了解二元一次方程和二元一次方程组的概念； 2.会用不同的方法求二元一次方程组的解(消元思想)； 3.列二元一次方程组解决实际问题(建模思想). 难点： (1)根据方程组的形式,确定先消哪个元,选用哪个消元方法比较便捷. (2)利用二元一次方程组分析、解决实际问题.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1二元一次方程12.2二元一次方程组12.3解二元一次方程组22.4二元一次方程组的应用22.5三元一次方程组及其解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 二元一次方程1.理解二元一次方程的定义； 2.能够准确叙述处二元一次方程的解的概念； 3.能熟练的求出二元一次方程的一个解。 掌握二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念，能把二元一次方程中的一个未知数表示用另一个未知数的代数式来表示． 探索二元一次方程的定义，利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一个解。 二元一次方程组 1．了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． 2．会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解．1.理解并掌握二元一次方程组及其解的概念． 2.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解．类比迁移，归纳出二元一次方程组及解的概念，小组之间交流，探索二元一次方程组的解。 解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组。 2.对代入消元法的探究，使学生体会代入消 元法所体现的化未知为已知的化归思想方法。通过探究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。通过梳理“情境问题”中方程组的解法过程，适时给出概念，感受概念是通过实际生活抽象得出的，从而体验“过程与方法”。1.掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组； 2.经历加减消元法解二元一次方程组的探究过程，使学生进一步体会化归思想。通过用加减消元法解二元一次方程组培养学生在运算的过程中勤于思考、善于归纳总结的良好习惯。本节课教学中通过设计系列问题，引导学生积极思维，层层深入，注重加减消元法的产生和形成过程，通过观察、分析、比较、归纳得出方法，进一步体会化归思想。 二元一次方程组的应用1.利用二元一次方程组解决面积问题、产品配套、和差倍分、行程等问题. 2.会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题. 在实际问题中找等量关系、列方程组，会用列方程组解决实际问题.根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学,让学生能顺利地列出正确的二元一次方程组.1.会用表格、示意图分析数量关系，寻找等量关系； 2.加深对方程模型的理解，增强数学应用意识； 掌握利用二元一次方程组解决实际问题． 通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性。 三元一次方程组及其解法知道三元一次方程组的概念，知道解三元一次方程组的基本思路。 会解三元一次方程组。经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想。用二元一次方程的解法，灵活应用代入法、加减法进行消元化归思想。引导学生大胆尝试，在探究中，寻找解决问题的方法。
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分课时教学设计
《2.4.1 应用二元一次方程组解决简单的实际问题》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节是在前面已经学习过列一元一次方程解实际问题的基础上进一步以“探究”的形式讨论贴进我们身边的实际问题。学习这节课，可让学生进一步体会到方程组是分析和解决数学问题的一种重要的数学工具，进一步掌握列二元一次方程组解决实际问题的思维方法，进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。既是前面所学知识的延伸，又是后面学习利用三元一次方程组解实际问题和利用方程思想解题的预备知识，在中考题中也经常出现。
学习者分析 七年级学生对实际问题存在排斥心理，一看到很长的文字题目就不想看了，而这个问题的根源在于学生不能根据题意找准相等关系，而且不知道怎样使用设未知数的方法使未知变为已知条件来找等量关系。所以对本节课设计的重点在于引导学生突破这个重难点，让学生不再害怕解决实际应用题特别是决策问题，让学生充分体会到列方程组解应用题的广泛性和有效性。
教学目标 1.通过教学学会列二元一次方程组解决实际问题，并进一步提高解方程组的能力。 2.通过教学培养分析问题、解决问题、综合归纳的能力，初步建立现实生活中一些含有两个未知数问题的数学模型，提高把生活问题转化为数学问题来解决的能力。 3.通过对列二元一次方程组解决应用题的教学，体会列方程组来解应用题的优越性，同时渗透把未知转化为已知的思想。
教学重点 经历和体验用方程组这一模型解决实际问题的过程，并体验用列表的方法分析数量关系。
教学难点 利用表格理清题目中复杂的数量关系，正确找出问题中的两个相等关系。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习回顾教师活动1： 教师出示问题： 想一想：怎样列一元一次方程解决实际问题？ 1.审题；2.找出一个等量关系式；3.设元并列出方程；4.解方程并求出相关的量；5.写出答案。 一水坝的横截面是梯形，它的面积为42m2，高为6 m，下底比上底的2倍少1m，则上底和下底的长各是多少米 怎样列方程？ 本节我们学习怎样应用二元一次方程组解决有关的实际问题.学生活动1： 学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。 学生思考问题，想一想怎样列方程。活动意图说明： 通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探索怎样列二元一次方程组教师活动2： 【小组合作】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗 要解决这一问题，我们可以从以下几个方面进行思考: (1)问题中所求的未知数有几个 有2个未知数 (2)有哪些等量关系 ①男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多； ②女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍. (3)怎样设未知数 可以列出几个方程 设男孩有x人，女孩有y人，由题意得： x-1=y① 2(y-1)=x② (4)本题能列一元一次方程求解吗 用列二元一次方程组的方法求解，有什么优点 列二元一次方程组解应用题的意义: 列二元一次方程组解应用题是化“未知”为“已知”的重要方法； 它的关键是：把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个量就要列出几个方程，所列方程必须满足: (1)方程两边表示的意义相同； (2)同类的量单位要统一.学生活动2： 学生回答教师提出的几个问题。 学生根据教师引导列出方程组。 师生总结列二元一次方程组解应用题的意义活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：例题讲解教师活动3： 【例1】用如图2-5中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2-6的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完 【分析】做一个竖式纸盒需要几张长方形纸板和正方形纸板？做一个横式纸盒呢？请填写下表: 根据上表我们就能列出两个二元一次方程，解这个二元一次方程组得到所求的解. 解:设做竖式纸盒x个，横式纸盒y个.根据题意，得 ①×4-②，得5y=2 000，解得y=400. 把y=400 代入①，得x+800=1 000，解得x=200. 所以方程组的解为 经检验，这个解满足方程组，且符合题意. 答:做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完. 想一想，上面整个思考过程中，你经历了哪些问题解决的基本步骤 理解问题：审题，搞清已知和未知，分析数量关系； 制订计划：考虑如何根据等量关系设元，列出方程组； 执行计划：列出方程组并求解，得到答案； 回顾：检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意.学生活动3： 学生利用所学知识完成课本例题。 学生根据教师分析填表，列出二元一次方程组，并解出这个方程组。 学生在教师的引导下总结用列二元一次方程组的一般步骤。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：2.4.1 应用二元一次方程组解决简单的实际问题 一、基本步骤 二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.我国古代数学著作《九章算术》中有一道题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意可列方程组为( B ). A． B．C． D． 2.某班共有学生49人．一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半．若设该班男生人数为x，女生人数为y，根据题意可列方程组为: 3.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？设用x张制盒身，y张制盒底．根据题意可列方程组为: 4.如图，在大长方形中放入6个大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中大长方形的面积是( D ). A．96 cm2 B．112 cm2 C．126 cm2 D．140 cm2 选做题： 5.一列载客火车和一列运货火车分别在两条平行的铁轨上行驶，载客火车长150 m，运货火车长250 m．若两车相向而行，从车头相遇到车尾离开共需10 s；若载客火车从后面追赶运货火车，从车头追上运货火车车尾到完全超过运货火车共需100 s，试求两车的速度． 解：设载客火车的速度为x m/s，运货火车的速度为y m/s. 由题意，得解得 答：载客火车的速度是22 m/s，运货火车的速度是18 m/s. 【综合拓展类作业】 6.某校准备组织七年级400名学生参加夏令营，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人．每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生． 由题意得解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为( C ). A． B． C． D． 2.茶叶作为浙江省农业十大主导产业之一，是助力乡村振兴的民生产业．某村有土地60公顷，计划将其中10%的土地种植蔬菜，其余的土地开辟为茶园和种植粮食，已知茶园的面积比种粮食面积的2倍少3公顷，问茶园和种粮食的面积各多少公顷？设茶园的面积为x公顷，种粮食的面积为y公顷，可列方程组为( B ). A． B． C． D． 选做题： 3.在长为18 m，宽为15 m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为__28 m2_． 【综合拓展类作业】 4.某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？ 解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，由题意得解得∴2x＝12， 故这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
教学反思 本节课在建立方程思想的过程中采用了循序渐进的思路,由算术方法到一元一次方程再到二元一次方程组,遵照了学生的思维梯度,逐步建立起学生用二元一次方程解应用题的思想,让学生充分感受到它的优点；教学中,还根据学生的生活实际和认知实际,选择更贴近学生实际的素材进行教学,更多地关注学生的建模过程,关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组.
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