【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第1章平行线 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·揭西月考）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三龟板，三角板绕点在平面内旋转，当（ ）时，．
A． B．或 C．或 D．或
2．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
3．（2020七下·莘县期末）如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB=α，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠MON的度数（ ）
A．180°-2α B．α C．90°+ α D．90°- α
4．（2019七下·桂林期末）如图，AB∥CD，∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF，则∠E与∠F的数量关系是（ ）
A．∠E+∠F=180° B．∠E=3∠F
C．∠E-∠F=90° D．∠E=4∠F
5．（2020七下·长沙期末）如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1＋∠2的度数为（ ）
A．90° B．180° C．120° D．150°
6．（2022七下·东莞期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022七下·集贤期末）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·渠县月考）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题.如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG=∠BFE，则能得到∠AGD=∠ACB.”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD=∠ACB，
可得到∠CDG=∠BFE.”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE.”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB.”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的.
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2023七下·洪山期中）如图，下列说法错误的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
10．（2023七下·深圳期中）如图，直线直线，在中，，顶点A在上，顶点B在上，且平分．若，求的度数．下面是嘉琪在作业本上写出的解答过程，他故意把部分步骤内容用小图标遮挡．
关于小图标遮挡的内容，下面的回答错误的是（ ）
A．代表 B．代表
C．代表 D．代表
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023七下·河北期末）如图，将周长为的沿射线BC方向平移后得到，则四边形的周长为 ．
12．（2023七下·兴宁期末）在A、B两地之间要修一条公路（如图），从A地测得公路的走向是北偏东60度．如果A、B两地同时开工，那么在B地公路按∠α＝ 度施工，能使公路准确接通．
13．（2023七下·泸州期末）如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有个；④若，则，其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
14．（2023七下·白银期末）如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的倍，则∠2的度数是 度．
15．（2023七下·阳城期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿的方向平移，平移的距离为线段的长，则阴影部分的面积为 ．
16．（2023七下·承德期末）如图，，，．
（1） ；
（2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．根据下列要求画图：
（1）如图，
点A， B，C分别表示某公园平地上的三棵树，藏宝的地点D与这三棵树恰好构成一个平行四边形，请在图中作出所有可能的藏宝地点D的位置．
（2）如图，已知点P和∠ABC，以点P为顶点画∠DPE，使得PD∥ BA，PE∥ BC，然用量角器量得：∠ABC= °，∠DPE= °，并猜想∠DPE与∠ABC的关系为 ．
18．（2023七下·北仑期末）如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
（1）将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形；
（2）连接、，则与之间的数量关系为 ▲ ；与之间的位置关系为 ▲ ；
（3）如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为 ．
19．完成下面的说理过程：
已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°.试说明：AB∥CD.
解：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= ▲ （角平分线的定义），
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（等量代换）.
又∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= ▲ °（等量代换），
∴AB∥CD（ ）
20．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形，探究这两个角之间的关系，并对你的结论说明理由．
（1）如图①，AB∥FE，BC∥ED，∠1与∠2的关系是 ▲ ，请说明理由．
（2）如图②，AB∥FE，BC∥DE，∠1与∠2的关系是 ▲ ，请说明理由．
（3）经过上述探究，可以得到一个正确的结论：
如果
那么
21．（2023七下·吴江期末）如图，，．与相等吗？为什么？
22．如图所示，王飞打算在院子里种上蔬菜，已知院子为东西长32m，南北宽20m的长方形．为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路，余下的部分要分别种上西红柿、青椒、黄瓜等蔬菜．若每条道路的宽均为1m，则蔬菜的总种植面积是多少？
23．（2023七下·正定期末）如图，，点，分别在射线和上，．
（1）若，则 ．
（2）嘉嘉同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法如图，过点作，交于点，请你根据嘉嘉同学提供的辅助线，先确定该定值再说明理由．
（3）如图，把“”改为“”，其他条件保持不变，直接写出与的数量关系．
24．（2023七下·西安期末）【知识背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位罟关系中，包括垂直这种特殊位置关系．
（1）【问题探究】
如图1，，，分别在，上，平分交于点C，D是直线上一点，平分交于点E．
①若D在点B的右侧，且，，求的度数为 ▲ ．
②如图2，当D在点B的右侧时，过点E作，垂足为，记，，直接写出y与x的关系式．
（2）【拓展应用】
“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧班列”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，B两座可旋转探照灯．如图3，假定主道路是平行的，即，连在，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是9度/秒，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，在灯A发出的射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】①如图，当时，
；
②如图，当时，
，
.
故答案为：C.
【分析】如图，分为两种情况，根据 ，并利用平行线的性质得到.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOC和∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠AOC-∠BOC=α，
∴∠AOC=α+90°，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠AOM+∠CON=（∠AOC+∠BOC）=90°，
∴∠MON=∠AOC-（∠AOM+∠CON）=α.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和已知条件即可得到∠AOC+∠BOC和∠AOC-∠BOC的度数，将两式相加即可求得∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOM+∠CON的度数，进而可求得答案.
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作直线EL∥AB，则AB∥EL∥DC，
过F作直线FG平行AB，则AB∥FG∥DC，
由EL∥AB，得∠AEL=∠BAE=∠EAF+∠FAB=4∠BAF，
由EL∥CD，得∠LEC=∠ECD=∠ECF+∠FCD=4∠DCF，
∴∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
由FG∥AB，得∠AFG=∠FAB，
由FG∥CD，得∠GFC=∠FCD，
∴∠F=∠AFG+∠GFC=∠FAB+∠DCF，
∴∠E=4∠F，
故答案为：D.
【分析】过E作直线EL∥AB，过F作直线FG平行AB，由两直线平行内错角相等，得∠AEL=∠BAE，
∠LEC=∠ECD，结合 ∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF， 得∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
再由两直线平行内错角相等，得∠AFG=∠FAB，∠GFC=∠FCD，从而推得∠E=4∠F。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵CE、AE分别平分∠ACD、∠CAB，
∴∠1= ∠BAC，∠2= ∠ACD，
∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= （∠BAC+∠ACD）= ×180°=90°．
故答案为：A．
【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAC+∠ACD=180°，又由CE、AE分别平分∠ACD、∠CAB，可得∠1= ∠BAC，∠2= ∠ACD，则可求得∠1+∠2的度数．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
故③④符合题意；
综上：正确的有①②③④
故答案为：D
【分析】证出 得出 故①符合题意；证出 故②符合题意；证出 故③④符合题意；即可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：
A、当，BD∥AC，A不符合题意；
B、当，BD∥AC，B不符合题意；
C、当，BD∥AC，C不符合题意；
D、当，，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定对选项逐一判断即可求解。
8．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：小明：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠DCB=∠BFE，
∵∠CDG=∠BFE，
∴∠CDG=∠DCB，
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB，故小明说法正确；
小亮：∵EF∥CD，
∴∠DCB=∠BFE，
∵∠AGD=∠ACB，
∴DG∥BC，
∴∠CDG=∠DCB，
∴∠CDG=∠BFE，故小亮的说法正确；
∵DG不一定平行BC，
∴∠AGD不一定大于∠BFE，故小刚的说法不正确；
如果连接GF，则GF不一定平行于AB，故小颖的说法不正确；
∴正确说法的有2个人.
故答案为：B
【分析】利用同垂直于一条直线的两直线平行，可证得EF∥CD，利用平行线的性质可得到∠DCB=∠BFE，由此可推出∠CDG=∠DCB，利用平行线的判定定理可证得DG∥BC，利用两直线平行，同位角相等，可对小明的说法作出判断；利用两直线平行同位角相等，可证得∠DCB=∠BFE，再利用平行线的判定定理可证得DG∥BC，可推出∠CDG=∠DCB，利用等量代换，可对小亮的说法作出判断；DG不一定平行BC，由此不能证明∠AGD和∠BFE的大小关系，可对小刚的说法作出判断；如果连接GF，则GF不一定平行于AB，可对小颖的说法作出判断；综上所述可得到正确说法的人数.
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
B. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
C. 因为，所以，原说法错误，符合题意；
D. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠CAD=26°，
∴∠ADC=180°-90°-26°=64°，故A不符合题意，
∵直线EF//直线GH，
∴∠DBE=∠ADC=64°，故B不符合题意，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠DBE=32°，故C不符合题意，
∵直线EF//直线GH，
∴∠BAD=∠ABE=32°，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用平行线的判定与性质计算求解即可。
11．【答案】24
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质得：AD=BE=CF=2cm，DF=AC，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC=20，
∴ 四边形的周长为=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD= 20+2+2=24cm，
故答案为：24.
【分析】由平移的性质得AD=BE=CF=2cm，DF=AC，由△ABC的周长为20cm，则AB+BC+AC=20，根据四边形的周长为=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD，据此计算即可.
12．【答案】120
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
.
故答案为：120.
【分析】利用平行线的性质可得和互补，进而求得的度数.
13．【答案】①②④
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∵的平分线交于点，
∴∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，
故①正确；
∵AE//CF，
∴∠GBC=∠ABC=∠ACB，
∴AC//BG，
故②正确；
∵∠DBE=∠DBG，
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，共有4个，
故③不正确；
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠CBG=90°-∠ACB，∠ACB=，
∴∠BDF=180°-，
故④正确；
综上，正确的结论为：①②④，
故答案为：①②④.
【分析】利用平行线的性质、角平分线的定义及角的运算和等量代换逐项判断即可.
14．【答案】55
【知识点】角的运算；平行线的性质；内错角
【解析】【解答】解：设，则，
由题意可得：，即
解得：
故答案为：55
【分析】设，则，，根据两直线平行，内错角相等性质即可求出答案。
15．【答案】12
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】设BC与A' C'交于点D，
由平移可得BC=B' C'=4，S△ABC=S△A' B' C' ，
∴BD=BC-CD=4-2=2，
∵S△ABC=S△A' B' C'
∴S△ABC-S△A' BD=S△A' B' C'-S△A' BD
∴S阴影 =S梯形BDC' B'
=(BD+B' C' ) DC'
=×(2+4)×4
=12，
故答案为：12．
【分析】根据平移的性质可得BC=B' C'=4，S△ABC=S△A' B' C' ，求出BD，根据阴影部分的面积等于梯形BDC' B'的面积即可求解．
16．【答案】（1）70°
（2）40°或80°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥ CD，∠ABC=40°，
∴∠ABC=∠BCD=40°，
∴∠ACD=∠BCD+∠ACB=70°，；
故答案为：70°；
（2）∵∠ABC=40°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=110°
当E在AC左边时，如图所示
∵∠CAE=∠ACB=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=140°，
∵AB∥ CD，
∴∠AEC+∠BAE=180°，
∴∠AEC=40°，
当E在AC右边时，如图所示，
∵∠CAE=∠ACB=30°，
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=80°，
∵AB∥ CD，
∴∠AEC=∠BAE=80°，
故答案为：40°或80°.
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=40°，即可求出∠ACD；
（2）根据题意画出图形，先求出∠BAE，再求出∠AEC的度数即可。
17．【答案】（1）解：如图，点D1、D2、D3就是宝藏地点的位置；
（2）60；60或120；相等或互补
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）此题有两种情况：①如图1，
量得∠DPE=60°，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠DPE；
②如图2，
量得∠DPE=120°，
∴∠ABC+∠DPE=180°，
综上∠DPE与∠ABC是相等或互补的.
故答案为：60，60或120，相等或互补.
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等及平行线的作法，分别作出以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，该平行四边形的第四个顶点就是所求的点D的位置；
（2）此题有两种情况，根据平行线的作法作出PD∥ BA，PE∥ BC， 然后量出∠ABC与∠DPE的度数，根据其度数可找到∠DPE与∠ABC的关系.
18．【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求，
（2）解：如图，
∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形，
∴，，
故答案为，；
（3）2
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（3）∵△MNP沿MM′方向平移若干距离得到△M′N′P′，
∴MM′=NN′，PN=P′N′，PM=P′M′.
∵△MNP与五边形M′MNN′P′的周长分别为5与9，
∴2MM′=9-5=4，
∴MM′=2，
∴△MNP平移的距离为2.
故答案为：2.
【分析】（1）分别将点A、B、C先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质进行解答；
（3）由平移的性质可得MM′=NN′，PN=P′N′，PM=P′M′，结合周长的意义可得2MM′=9-5=4，求解即可.
19．【答案】解：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（角平分线的定义）
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=∠2（角平分线的定义），
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（等量代换）.
又∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠BDC=2∠1、∠ABD=∠2；推得∠BDC+∠ABD=2（∠1+∠2）；结合题意可推得∠ABD+∠BDC=180°；根据同旁内角互补，两直线平行即可证明AB∥CD.
20．【答案】（1）解：∠1=∠2，理由如下：
如图，
∵AB∥EF，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵BC∥ED，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠2；
（2）解：∠1+∠2=180°，理由如下：
如图，
∵AB∥EF，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵BC∥ED，
∴∠2=∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=180°；
（3）一个角的两边与另一个角的两边分别平行；这两个角相等或互补
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（3） 经过上述探究，可以得到：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 ，那么这两个角相等或互补.
故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补.
【分析】（1）∠1=∠2，理由如下：由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠3，∠2=∠3，从而根据等量代换可得∠1=∠2；
（2）∠1+∠2=180°，理由如下：由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠3，∠2=∠4，进而由邻补角定义及等量代换得∠1+∠2=180°；
（3）综合（1）（2）的结论进行回答.
21．【答案】解：相等，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质，得到同旁内角互补，再依据同角的补角相等，得到待求证的两个角相等.
22．【答案】解：将两边水平道平移到顶端，将竖直道平移到右端，则得种植蔬菜的总面积为（32-1）×（20-2）=558（m ）
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【分析】把道路移到种蔬菜的土地的边上，种蔬菜的土地的长为（32-1）m，宽为（20-2）m，再根据长方形的面积公式进行计算即可．
23．【答案】（1）60°
（2）解：．
理由：，，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值；
（3）解：．
过点作与相交于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
．
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 (1) 作，
根据平行线的传递性可知，
∴，
∴.
(2)．
理由：，，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值；
(3)解：．
过点作与相交于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
．
．
【分析】 (1)、 根据平行线的性质，同旁内角互补求出即可.
(2)、 根据平行线的性质求出 ，，即可证明的值始终为定值；
(3)、过点作与相交于点， 根据平行线的性质求出 ，，求出 为定值．
24．【答案】（1）解： ①∵， ，，
∴，，
∴，
∵平分 ，
∴.
②∵，，
∴，
∴，
∵， 平分， 平分 ，
∴.
∵，，
∴.
∴
（2）解：如图所示，
①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，
与互相垂直时，
，
，，
，
解得：；
②如图所示，当返回时，
，
，，
，，，
，
解得：；
如图所示，当返回时，
，
，，
，，，
，
解得：；
③当第2次从出发，与垂直时，如图所示，
，
，
，，
，
解得：．
综上所述，，，，．
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质求出，，从而求出度数，最后利用角平分线的定义即可求出度数；②利用垂直，求出度数，利用角平分线定义和邻补角定义即可求出y和x的关系；
（2）根据题意，分情况讨论，当，未相遇时，画出图形，通过角度列出关于t的一元一次方程解出t即可；当返回时且BD在AB的右侧时，画出图形，通过角度列出关于t的一元一次方程解出t即可；当返回时且BD在AB的左右侧时，画出图形，通过角度列出关于t的一元一次方程解出t即可；当当第2次从出发，与垂直时，画出图形，通过角度列出关于t的一元一次方程解出t即可.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册第1章平行线 单元测试
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（2023七下·揭西月考）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点、重合，若固定三龟板，三角板绕点在平面内旋转，当（ ）时，．
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】①如图，当时，
；
②如图，当时，
，
.
故答案为：C.
【分析】如图，分为两种情况，根据 ，并利用平行线的性质得到.
2．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将含
角的三角尺ADE固定不动，将含
角的三角尺ABC绕顶点
顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图2，当
时，
，则
)其他所有可能符合条件的度数为（ ）
A． 和
B． 和
C． 和
D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图1，
①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
如图2，
②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；
如图3，
③当BC//AE时，
∵∠EAB-∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
如图4，
④当AB//DE时，
∵∠E=∠EAB=90°
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°.
故答案为：B.
【分析】根据题意可分四种情况，并画出图形进行讨论：①当AC//DE时，∠BAD=∠DAE=45°；②当BC//AD时，∠DAB=∠B=60°；③当BC//AE时，∠EAB-∠B=60°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；④当AB//DE时，∠E=∠EAB=90°，可得∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+90°=135°，据此判断即可.
3．（2020七下·莘县期末）如图，∠AOC和∠BOC互补，∠AOB=α，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠MON的度数（ ）
A．180°-2α B．α C．90°+ α D．90°- α
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠AOC和∠BOC互补，
∴∠AOC+∠BOC=180°，
∵∠AOB=α，
∴∠AOC-∠BOC=α，
∴∠AOC=α+90°，
∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线，
∴∠AOM+∠CON=（∠AOC+∠BOC）=90°，
∴∠MON=∠AOC-（∠AOM+∠CON）=α.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质和已知条件即可得到∠AOC+∠BOC和∠AOC-∠BOC的度数，将两式相加即可求得∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOM+∠CON的度数，进而可求得答案.
4．（2019七下·桂林期末）如图，AB∥CD，∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF，则∠E与∠F的数量关系是（ ）
A．∠E+∠F=180° B．∠E=3∠F
C．∠E-∠F=90° D．∠E=4∠F
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过E作直线EL∥AB，则AB∥EL∥DC，
过F作直线FG平行AB，则AB∥FG∥DC，
由EL∥AB，得∠AEL=∠BAE=∠EAF+∠FAB=4∠BAF，
由EL∥CD，得∠LEC=∠ECD=∠ECF+∠FCD=4∠DCF，
∴∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
由FG∥AB，得∠AFG=∠FAB，
由FG∥CD，得∠GFC=∠FCD，
∴∠F=∠AFG+∠GFC=∠FAB+∠DCF，
∴∠E=4∠F，
故答案为：D.
【分析】过E作直线EL∥AB，过F作直线FG平行AB，由两直线平行内错角相等，得∠AEL=∠BAE，
∠LEC=∠ECD，结合 ∠EAF=3∠BAF，∠ECF=3∠DCF， 得∠E=∠AEL+∠LEC=4(∠FAB+∠DCF)，
再由两直线平行内错角相等，得∠AFG=∠FAB，∠GFC=∠FCD，从而推得∠E=4∠F。
5．（2020七下·长沙期末）如图，已知AB∥CD，CE，AE分别平分∠ACD，∠CAB，则∠1＋∠2的度数为（ ）
A．90° B．180° C．120° D．150°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵CE、AE分别平分∠ACD、∠CAB，
∴∠1= ∠BAC，∠2= ∠ACD，
∴∠1+∠2= ∠BAC+ ∠ACD= （∠BAC+∠ACD）= ×180°=90°．
故答案为：A．
【分析】由AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAC+∠ACD=180°，又由CE、AE分别平分∠ACD、∠CAB，可得∠1= ∠BAC，∠2= ∠ACD，则可求得∠1+∠2的度数．
6．（2022七下·东莞期末）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
故③④符合题意；
综上：正确的有①②③④
故答案为：D
【分析】证出 得出 故①符合题意；证出 故②符合题意；证出 故③④符合题意；即可得出答案。
7．（2022七下·集贤期末）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：
A、当，BD∥AC，A不符合题意；
B、当，BD∥AC，B不符合题意；
C、当，BD∥AC，C不符合题意；
D、当，，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行线的判定对选项逐一判断即可求解。
8．（2023七下·渠县月考）小明、小亮、小刚、小颖一起研究一道数学题.如图，已知EF⊥AB，CD⊥AB，
小明说：“如果还知道∠CDG=∠BFE，则能得到∠AGD=∠ACB.”
小亮说：“把小明的已知和结论倒过来，即由∠AGD=∠ACB，
可得到∠CDG=∠BFE.”
小刚说：“∠AGD一定大于∠BFE.”
小颖说：“如果连接GF，则GF一定平行于AB.”
他们四人中，有（ ）个人的说法是正确的.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：小明：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴EF∥CD，
∴∠DCB=∠BFE，
∵∠CDG=∠BFE，
∴∠CDG=∠DCB，
∴DG∥BC，
∴∠AGD=∠ACB，故小明说法正确；
小亮：∵EF∥CD，
∴∠DCB=∠BFE，
∵∠AGD=∠ACB，
∴DG∥BC，
∴∠CDG=∠DCB，
∴∠CDG=∠BFE，故小亮的说法正确；
∵DG不一定平行BC，
∴∠AGD不一定大于∠BFE，故小刚的说法不正确；
如果连接GF，则GF不一定平行于AB，故小颖的说法不正确；
∴正确说法的有2个人.
故答案为：B
【分析】利用同垂直于一条直线的两直线平行，可证得EF∥CD，利用平行线的性质可得到∠DCB=∠BFE，由此可推出∠CDG=∠DCB，利用平行线的判定定理可证得DG∥BC，利用两直线平行，同位角相等，可对小明的说法作出判断；利用两直线平行同位角相等，可证得∠DCB=∠BFE，再利用平行线的判定定理可证得DG∥BC，可推出∠CDG=∠DCB，利用等量代换，可对小亮的说法作出判断；DG不一定平行BC，由此不能证明∠AGD和∠BFE的大小关系，可对小刚的说法作出判断；如果连接GF，则GF不一定平行于AB，可对小颖的说法作出判断；综上所述可得到正确说法的人数.
9．（2023七下·洪山期中）如图，下列说法错误的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
B. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
C. 因为，所以，原说法错误，符合题意；
D. 因为，所以，说法正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
10．（2023七下·深圳期中）如图，直线直线，在中，，顶点A在上，顶点B在上，且平分．若，求的度数．下面是嘉琪在作业本上写出的解答过程，他故意把部分步骤内容用小图标遮挡．
关于小图标遮挡的内容，下面的回答错误的是（ ）
A．代表 B．代表
C．代表 D．代表
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，∠CAD=26°，
∴∠ADC=180°-90°-26°=64°，故A不符合题意，
∵直线EF//直线GH，
∴∠DBE=∠ADC=64°，故B不符合题意，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE=∠DBE=32°，故C不符合题意，
∵直线EF//直线GH，
∴∠BAD=∠ABE=32°，故D符合题意，
故答案为：D.
【分析】结合图形，利用平行线的判定与性质计算求解即可。
二、填空题（每题4分，共24分）
11．（2023七下·河北期末）如图，将周长为的沿射线BC方向平移后得到，则四边形的周长为 ．
【答案】24
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质得：AD=BE=CF=2cm，DF=AC，
∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC=20，
∴ 四边形的周长为=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD= 20+2+2=24cm，
故答案为：24.
【分析】由平移的性质得AD=BE=CF=2cm，DF=AC，由△ABC的周长为20cm，则AB+BC+AC=20，根据四边形的周长为=AB+BC+CF+DF+AD=AB+BC+CF+AC+AD，据此计算即可.
12．（2023七下·兴宁期末）在A、B两地之间要修一条公路（如图），从A地测得公路的走向是北偏东60度．如果A、B两地同时开工，那么在B地公路按∠α＝ 度施工，能使公路准确接通．
【答案】120
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
，，
.
故答案为：120.
【分析】利用平行线的性质可得和互补，进而求得的度数.
13．（2023七下·泸州期末）如图，，的平分线交于点，是上的一点，的平分线交于点，且，下列结论：①平分；②；③与互余的角有个；④若，则，其中正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②④
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∵的平分线交于点，
∴∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，
故①正确；
∵AE//CF，
∴∠GBC=∠ABC=∠ACB，
∴AC//BG，
故②正确；
∵∠DBE=∠DBG，
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，共有4个，
故③不正确；
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠CBG=90°-∠ACB，∠ACB=，
∴∠BDF=180°-，
故④正确；
综上，正确的结论为：①②④，
故答案为：①②④.
【分析】利用平行线的性质、角平分线的定义及角的运算和等量代换逐项判断即可.
14．（2023七下·白银期末）如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠2比∠3大10°，∠1是∠2的倍，则∠2的度数是 度．
【答案】55
【知识点】角的运算；平行线的性质；内错角
【解析】【解答】解：设，则，
由题意可得：，即
解得：
故答案为：55
【分析】设，则，，根据两直线平行，内错角相等性质即可求出答案。
15．（2023七下·阳城期末）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中一个直角三角形沿的方向平移，平移的距离为线段的长，则阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】设BC与A' C'交于点D，
由平移可得BC=B' C'=4，S△ABC=S△A' B' C' ，
∴BD=BC-CD=4-2=2，
∵S△ABC=S△A' B' C'
∴S△ABC-S△A' BD=S△A' B' C'-S△A' BD
∴S阴影 =S梯形BDC' B'
=(BD+B' C' ) DC'
=×(2+4)×4
=12，
故答案为：12．
【分析】根据平移的性质可得BC=B' C'=4，S△ABC=S△A' B' C' ，求出BD，根据阴影部分的面积等于梯形BDC' B'的面积即可求解．
16．（2023七下·承德期末）如图，，，．
（1） ；
（2）在直线上取一点，使得，则的度数是 ．
【答案】（1）70°
（2）40°或80°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB∥ CD，∠ABC=40°，
∴∠ABC=∠BCD=40°，
∴∠ACD=∠BCD+∠ACB=70°，；
故答案为：70°；
（2）∵∠ABC=40°，∠ACB=30°，
∴∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC=110°
当E在AC左边时，如图所示
∵∠CAE=∠ACB=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=140°，
∵AB∥ CD，
∴∠AEC+∠BAE=180°，
∴∠AEC=40°，
当E在AC右边时，如图所示，
∵∠CAE=∠ACB=30°，
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=80°，
∵AB∥ CD，
∴∠AEC=∠BAE=80°，
故答案为：40°或80°.
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠BCD=40°，即可求出∠ACD；
（2）根据题意画出图形，先求出∠BAE，再求出∠AEC的度数即可。
三、解答题（共8题，共66分）
17．根据下列要求画图：
（1）如图，
点A， B，C分别表示某公园平地上的三棵树，藏宝的地点D与这三棵树恰好构成一个平行四边形，请在图中作出所有可能的藏宝地点D的位置．
（2）如图，已知点P和∠ABC，以点P为顶点画∠DPE，使得PD∥ BA，PE∥ BC，然用量角器量得：∠ABC= °，∠DPE= °，并猜想∠DPE与∠ABC的关系为 ．
【答案】（1）解：如图，点D1、D2、D3就是宝藏地点的位置；
（2）60；60或120；相等或互补
【知识点】作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）此题有两种情况：①如图1，
量得∠DPE=60°，∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠DPE；
②如图2，
量得∠DPE=120°，
∴∠ABC+∠DPE=180°，
综上∠DPE与∠ABC是相等或互补的.
故答案为：60，60或120，相等或互补.
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等及平行线的作法，分别作出以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，该平行四边形的第四个顶点就是所求的点D的位置；
（2）此题有两种情况，根据平行线的作法作出PD∥ BA，PE∥ BC， 然后量出∠ABC与∠DPE的度数，根据其度数可找到∠DPE与∠ABC的关系.
18．（2023七下·北仑期末）如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的网格，三角形的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：
（1）将三角形向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形；
（2）连接、，则与之间的数量关系为 ▲ ；与之间的位置关系为 ▲ ；
（3）如图2，将三角形沿方向平移若干距离得到三角形．若三角形和五边形的周长分别是与，则三角形平移的距离为 ．
【答案】（1）解：如图所示，三角形即为所求，
（2）解：如图，
∵三角形向上平移个单位，向右平移个单位，得三角形，
∴，，
故答案为，；
（3）2
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（3）∵△MNP沿MM′方向平移若干距离得到△M′N′P′，
∴MM′=NN′，PN=P′N′，PM=P′M′.
∵△MNP与五边形M′MNN′P′的周长分别为5与9，
∴2MM′=9-5=4，
∴MM′=2，
∴△MNP平移的距离为2.
故答案为：2.
【分析】（1）分别将点A、B、C先向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质进行解答；
（3）由平移的性质可得MM′=NN′，PN=P′N′，PM=P′M′，结合周长的意义可得2MM′=9-5=4，求解即可.
19．完成下面的说理过程：
已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°.试说明：AB∥CD.
解：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（ ）
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD= ▲ （角平分线的定义），
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（等量代换）.
又∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC= ▲ °（等量代换），
∴AB∥CD（ ）
【答案】解：∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC=2∠1（角平分线的定义）
∵BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD=∠2（角平分线的定义），
∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）（等量代换）.
又∵∠1+∠2=90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠BDC=2∠1、∠ABD=∠2；推得∠BDC+∠ABD=2（∠1+∠2）；结合题意可推得∠ABD+∠BDC=180°；根据同旁内角互补，两直线平行即可证明AB∥CD.
20．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形，探究这两个角之间的关系，并对你的结论说明理由．
（1）如图①，AB∥FE，BC∥ED，∠1与∠2的关系是 ▲ ，请说明理由．
（2）如图②，AB∥FE，BC∥DE，∠1与∠2的关系是 ▲ ，请说明理由．
（3）经过上述探究，可以得到一个正确的结论：
如果
那么
【答案】（1）解：∠1=∠2，理由如下：
如图，
∵AB∥EF，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵BC∥ED，
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等），
∴∠1=∠2；
（2）解：∠1+∠2=180°，理由如下：
如图，
∵AB∥EF，
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等），
∵BC∥ED，
∴∠2=∠4（两直线平行，同位角相等），
∵∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=180°；
（3）一个角的两边与另一个角的两边分别平行；这两个角相等或互补
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（3） 经过上述探究，可以得到：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 ，那么这两个角相等或互补.
故答案为：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补.
【分析】（1）∠1=∠2，理由如下：由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠3，∠2=∠3，从而根据等量代换可得∠1=∠2；
（2）∠1+∠2=180°，理由如下：由两直线平行，同位角相等，得∠1=∠3，∠2=∠4，进而由邻补角定义及等量代换得∠1+∠2=180°；
（3）综合（1）（2）的结论进行回答.
21．（2023七下·吴江期末）如图，，．与相等吗？为什么？
【答案】解：相等，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【分析】利用平行线的性质，得到同旁内角互补，再依据同角的补角相等，得到待求证的两个角相等.
22．如图所示，王飞打算在院子里种上蔬菜，已知院子为东西长32m，南北宽20m的长方形．为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路：东西两条，南北一条，南北道路垂直于东西道路，余下的部分要分别种上西红柿、青椒、黄瓜等蔬菜．若每条道路的宽均为1m，则蔬菜的总种植面积是多少？
【答案】解：将两边水平道平移到顶端，将竖直道平移到右端，则得种植蔬菜的总面积为（32-1）×（20-2）=558（m ）
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【分析】把道路移到种蔬菜的土地的边上，种蔬菜的土地的长为（32-1）m，宽为（20-2）m，再根据长方形的面积公式进行计算即可．
23．（2023七下·正定期末）如图，，点，分别在射线和上，．
（1）若，则 ．
（2）嘉嘉同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法如图，过点作，交于点，请你根据嘉嘉同学提供的辅助线，先确定该定值再说明理由．
（3）如图，把“”改为“”，其他条件保持不变，直接写出与的数量关系．
【答案】（1）60°
（2）解：．
理由：，，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值；
（3）解：．
过点作与相交于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
．
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】 (1) 作，
根据平行线的传递性可知，
∴，
∴.
(2)．
理由：，，
，
，
，
，
，
，
无论如何变化，的值始终为定值；
(3)解：．
过点作与相交于点，如图，
，，
，
，
，
，
，
．
．
【分析】 (1)、 根据平行线的性质，同旁内角互补求出即可.
(2)、 根据平行线的性质求出 ，，即可证明的值始终为定值；
(3)、过点作与相交于点， 根据平行线的性质求出 ，，求出 为定值．
24．（2023七下·西安期末）【知识背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位罟关系中，包括垂直这种特殊位置关系．
（1）【问题探究】
如图1，，，分别在，上，平分交于点C，D是直线上一点，平分交于点E．
①若D在点B的右侧，且，，求的度数为 ▲ ．
②如图2，当D在点B的右侧时，过点E作，垂足为，记，，直接写出y与x的关系式．
（2）【拓展应用】
“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧班列”为了安全起见在某段铁路两旁安置了A，B两座可旋转探照灯．如图3，假定主道路是平行的，即，连在，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯B发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯A转动的速度是3度/秒，灯B转动的速度是9度/秒，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，在灯A发出的射线从转至的过程中，与互相垂直时，请直接写出此时t的值．
【答案】（1）解： ①∵， ，，
∴，，
∴，
∵平分 ，
∴.
②∵，，
∴，
∴，
∵， 平分， 平分 ，
∴.
∵，，
∴.
∴
（2）解：如图所示，
①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，
与互相垂直时，
，
，，
，
解得：；
②如图所示，当返回时，
，
，，
，，，
，
解得：；
如图所示，当返回时，
，
，，
，，，
，
解得：；
③当第2次从出发，与垂直时，如图所示，
，
，
，，
，
解得：．
综上所述，，，，．
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①根据平行四边形的性质求出，，从而求出度数，最后利用角平分线的定义即可求出度数；②利用垂直，求出度数，利用角平分线定义和邻补角定义即可求出y和x的关系；
（2）根据题意，分情况讨论，当，未相遇时，画出图形，通过角度列出关于t的一元一次方程解出t即可；当返回时且BD在AB的右侧时，画出图形，通过角度列出关于t的一元一次方程解出t即可；当返回时且BD在AB的左右侧时，画出图形，通过角度列出关于t的一元一次方程解出t即可；当当第2次从出发，与垂直时，画出图形，通过角度列出关于t的一元一次方程解出t即可.
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