【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册2.3解二元一次方程组 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·嵩县期中）若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：联立3x+4y=8、x-2y=1可得
①-②×3可得10y=5，
∴y=.
将y=代入①中可得3x+2=8，
∴x=2.
将x=2、y=代入mx+(2m-1)y=7中可得2m+(2m-1)=7，
∴2m+m-=7，
∴3m=，
∴m=.
故答案为：A.
【分析】联立3x+4y=8、x-2y=1可得关于x、y的二元一次方程组，利用加减消元法求出x、y的值，
然后代入mx+(2m-1)y=7中进行计算可得m的值.
2．（2023七下·海林期末）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根；二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将 代入二元一次方程组得：
，
解得：
∴
∴的算术平方根为：，
故答案为：B.
【分析】将 代入二元一次方程组可得关于字母m、n的方程组，再利用加减消元法解出m，n的值，再计算 的算术平方根即可.
3．（2022七下·魏县期末）在方程组中，若未知数、满足，则的取值范围应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得，，
即，
可得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：A．
【分析】先利用加减消元法可得，再结合可得，再求出m的取值范围即可。
4．若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：
将代入①得：
∵原方程组的解均为正整数，
∴共两个，
故答案为：B.
【分析】利用加减消元法，即可消去x，进而求出y的值，再将y的值代入①，即可求出方程组的解，最后根据"原方程组的解均为正整数"，据此即可求出a的值.
5．已知是方程组的解，则a，b之间的关系式为（ ）
A．4a-9b=1 B．3a+2b=1 C．4a-9b=-1 D．9a+4b=1
【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入得到：，
①×3-②×2得：
∴
故答案为：D.
【分析】将代入得到：，利用加减消元法消去c，即可求解.
6．（2023七下·黄陂月考）在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是（ ）
A．当时，方程的两根互为相反数
B．不存在自然数，使得，均为正整数
C．，满足关系式
D．当且仅当时，解得：为的2倍
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当a=2时，方程组为
①+②×2得7x=7，
解得x=1，
将x=1代入①中可得y=-1，
∴x+y=0，即方程的两根互为相反数，故A正确；
①+②×2得7x=5a-3，
解得x=.
将x=代入①中可得y=.
要使x为正整数，可得5a-3=7、14、21……
同理可得a-9=7、14、21……
当a=16时，x=11，y=1，
∴存在自然数a，使得x、y均为正整数，故B错误；
x-5y=-5×==6，故C正确；
当a=-5时，x=-4，y=-2，
∴x=2y，故D正确.
故答案为：B.
【分析】当a=2时，方程组为，由①+②×2可得x的值，将x的值代入①中求出y的值，据此判断A；同理利用加减消元法表示出x、y，根据x、y为正整数可得a的值，据此判断B；根据表示出的x、y即可判断C；根据a=-5可得x、y的值，进而判断D.
7．（2023七下·萧山期中）用加减法解方程组时，若要求消去，则应（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：A、，得，
，
，
，A不符合题意；
B、，得，
，
，B不符合题意；
C、，得：，
，
，C符合题意；
D、，得，
，
，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查的是二元一次方程的加减消元法，解题关键是利用等式的性质使两个式子中的y的系数相等或互为相反数.
8．（2023七下·翁源期末）用加减消元法解方程组其解题步骤如下：（1），得，解得；（2），得，解得；所以原方程组的解为
则下列说法正确的是（ ）
A．步骤(1)(2)都不对 B．步骤(1)(2)都对
C．本题不适宜用加减消元法解 D．加减消元法不能用两次
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①+②得3x=9，解得x=3；
①-②×2，得3y=6，解得y=2，
∴方程组的解为.
故答案为：B.
【分析】根据①+②可求出x的值，根据①-②×2可求出y的值，进而可得方程组的解，据此判断.
二、填空题
9．（2021七下·寒亭期中）若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴
又元一次方程组
与
有相同的解
∴
解得，
故答案为：
【分析】根据题意可得
，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
10．（2017七下·蒙阴期末）对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：2※1=7，（﹣3）※3=3，则
※b= ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解：2※1=7，（﹣3）※3=3，∴解得：
∴ ※b=
×
+
×
+
×
=
=
，故答案为：
．
【分析】根据题中的新定义化简2※1=7，（-3）※3=3，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，所求式子利用新定义化简即可得到结果．
11．（2023七下·义乌期中）F（x）表示关于x的一个五次多项式，F（a）表示x＝a时F（x）的值，若F（-2）＝F（-1）＝F（0）＝F（1）＝0，F（2）＝24，F（3）＝360，则F（4）＝ ．
【答案】1800
【知识点】多项式的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设F(x)=x(x+2)(x+1)(x-1)(ax+b)，
将F(2)=24，F(3)=360代入可得
解得
∴F(x)=x(x+2)(x+1)(x-1)(2x-3)，
∴F(4)=4×6×5×3×5=1800.
故答案为：1800.
【分析】设F(x)=x(x+2)(x+1)(x-1)(ax+b)，将F(2)=24，F(3)=360代入可得关于a、b的方程组，求出a、b的值，据此可得F(x)，然后将x=4代入进行计算.
12．已知关于x， y的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②当k=时，x，y的值互为相反数；③若方程组的解也是方程x+y=1+k的解，则k=-3；其中正确的是 .
【答案】①②③
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入二元一次方程组，
得：，
解得：
∵k存在，
∴是方程组的解，则①正确；
当时，原方程为：
解得：
∴
∴x，y的值互为相反数，则②正确；
联立得：，
解得：则③正确，
综上所述，正确的有：①②③，
故答案为：①②③.
【分析】将代入二元一次方程组，判断k值是否存在即可判断①；将代入方程组，计算是否等于零即可判断②；联立得：解此方程组即可判断③.
三、计算题
13．（2023七下·永定期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得.
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解.
【答案】（1）解：将代入中，得：
，解得：，
将，代入中，得：
，解得：；
（2）解：原方程组为，
得：，
解得：，代入①中，
解得：，
∴方程组的正确解为.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将x=5、y=7代入②中可求出a的值，将x=4、y=1代入①中可得b的值；
（2）根据a、b的值可得关于x、y的二元一次方程组，然后利用加减消元法求解即可.
14．（2023七下·长沙期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，-1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）解：根据新运算的定义可得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
；
（3）点的坐标为或或或或或
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（3）由（2）知，，
，
将线段沿轴向右平移2个单位，得线段，
，
点落在坐标轴上，且，
或，
或；
①当时，，
若点在轴上，，
，
或；
若点在轴上，，
，
或；
②当时，；
点只能在轴上，，
，
或；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【分析】（1）由新运算T的规定建立方程组，解方程组即可得出x，y的值。
(2)应用新运算T规定建立方程组，解关于x、y 的方程组可得 ，进而得出
x+y=(2a-3)+a=3a-3，再根据a≥-2代入即可得出答案。
(3)根据题意得A(2a-3，a)，向右平移2个单位，由平移性质可得A'(2a一1，a)，根据点A(2a-3，a)落在坐标轴上，且a≥-2，分类讨论，A在x轴上，则A（-3，0）.B可以为（0.18）或（0.-18）A在y轴上则A（0，），B可为（12，0）（-12，0）（0，19）（0，-9）。
15．（2023七下·福州期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组时，由于的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误.而采用下面的解法则比较简单：
①-②得，所以③
③-①得，
解得，从而
所以原方程组的解是.
（1）请你运用上述方法解方程组：
（2）猜测关于的方程组的解是什么？请从方程组的解的角度加以验证.
【答案】（1）解：，得，
∴③，
，得，
解得
将代入③得，
∴原方程组的解为；
（2）解：猜测：方程组的解为，
检验：把代入①得，左边右边；
把代入②得，左边右边，
∴是原方程组的解.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用第二个方程减去第一个方程可得x+y=1，则2018(x+y)=2018，减去第一个方程可求出x的值，将x的值代入x+y=1中求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）根据（1）的过程可猜测x=-1、y=2，然后代入方程组中进行验证.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册2.3解二元一次方程组 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·嵩县期中）若关于x，y的方程组的解也是二元一次方程的解，则m的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2023七下·海林期末）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022七下·魏县期末）在方程组中，若未知数、满足，则的取值范围应为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x、y的方程组的解都是正整数，则整数a的值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知是方程组的解，则a，b之间的关系式为（ ）
A．4a-9b=1 B．3a+2b=1 C．4a-9b=-1 D．9a+4b=1
6．（2023七下·黄陂月考）在关于，的二元一次方程组的下列说法中，错误的是（ ）
A．当时，方程的两根互为相反数
B．不存在自然数，使得，均为正整数
C．，满足关系式
D．当且仅当时，解得：为的2倍
7．（2023七下·萧山期中）用加减法解方程组时，若要求消去，则应（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·翁源期末）用加减消元法解方程组其解题步骤如下：（1），得，解得；（2），得，解得；所以原方程组的解为
则下列说法正确的是（ ）
A．步骤(1)(2)都不对 B．步骤(1)(2)都对
C．本题不适宜用加减消元法解 D．加减消元法不能用两次
二、填空题
9．（2021七下·寒亭期中）若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是 ．
10．（2017七下·蒙阴期末）对于有理数，规定新运算：x※y=ax+by+xy，其中a、b是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算．已知：2※1=7，（﹣3）※3=3，则
※b= ．
11．（2023七下·义乌期中）F（x）表示关于x的一个五次多项式，F（a）表示x＝a时F（x）的值，若F（-2）＝F（-1）＝F（0）＝F（1）＝0，F（2）＝24，F（3）＝360，则F（4）＝ ．
12．已知关于x， y的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②当k=时，x，y的值互为相反数；③若方程组的解也是方程x+y=1+k的解，则k=-3；其中正确的是 .
三、计算题
13．（2023七下·永定期中）小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的a，解得，小童看错了①中的b，解得.
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解.
14．（2023七下·长沙期末）对a，b定义一种新运算T，规定：T（a，b）＝（a+2b）（ax+by）（其中x，y均为非零实数）．例如：T（1，1）＝3x+3y．
（1）已知T（1，-1）＝0，T（0，2）＝8，求x，y的值；
（2）已知关于x，y的方程组，若a≥-2，求x+y的取值范围；
（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A（x，y）落在坐标轴上，将线段OA沿x轴向右平移2个单位，得线段O′A′，坐标轴上有一点B满足三角形BOA′的面积为9，请直接写出点B的坐标．
15．（2023七下·福州期中）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组时，由于的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误.而采用下面的解法则比较简单：
①-②得，所以③
③-①得，
解得，从而
所以原方程组的解是.
（1）请你运用上述方法解方程组：
（2）猜测关于的方程组的解是什么？请从方程组的解的角度加以验证.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：联立3x+4y=8、x-2y=1可得
①-②×3可得10y=5，
∴y=.
将y=代入①中可得3x+2=8，
∴x=2.
将x=2、y=代入mx+(2m-1)y=7中可得2m+(2m-1)=7，
∴2m+m-=7，
∴3m=，
∴m=.
故答案为：A.
【分析】联立3x+4y=8、x-2y=1可得关于x、y的二元一次方程组，利用加减消元法求出x、y的值，
然后代入mx+(2m-1)y=7中进行计算可得m的值.
2．【答案】B
【知识点】算术平方根；二元一次方程的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将 代入二元一次方程组得：
，
解得：
∴
∴的算术平方根为：，
故答案为：B.
【分析】将 代入二元一次方程组可得关于字母m、n的方程组，再利用加减消元法解出m，n的值，再计算 的算术平方根即可.
3．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得，，
即，
可得，
∵，
∴，
解得，
故答案为：A．
【分析】先利用加减消元法可得，再结合可得，再求出m的取值范围即可。
4．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
得：
将代入①得：
∵原方程组的解均为正整数，
∴共两个，
故答案为：B.
【分析】利用加减消元法，即可消去x，进而求出y的值，再将y的值代入①，即可求出方程组的解，最后根据"原方程组的解均为正整数"，据此即可求出a的值.
5．【答案】D
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入得到：，
①×3-②×2得：
∴
故答案为：D.
【分析】将代入得到：，利用加减消元法消去c，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：当a=2时，方程组为
①+②×2得7x=7，
解得x=1，
将x=1代入①中可得y=-1，
∴x+y=0，即方程的两根互为相反数，故A正确；
①+②×2得7x=5a-3，
解得x=.
将x=代入①中可得y=.
要使x为正整数，可得5a-3=7、14、21……
同理可得a-9=7、14、21……
当a=16时，x=11，y=1，
∴存在自然数a，使得x、y均为正整数，故B错误；
x-5y=-5×==6，故C正确；
当a=-5时，x=-4，y=-2，
∴x=2y，故D正确.
故答案为：B.
【分析】当a=2时，方程组为，由①+②×2可得x的值，将x的值代入①中求出y的值，据此判断A；同理利用加减消元法表示出x、y，根据x、y为正整数可得a的值，据此判断B；根据表示出的x、y即可判断C；根据a=-5可得x、y的值，进而判断D.
7．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：A、，得，
，
，
，A不符合题意；
B、，得，
，
，B不符合题意；
C、，得：，
，
，C符合题意；
D、，得，
，
，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】本题考查的是二元一次方程的加减消元法，解题关键是利用等式的性质使两个式子中的y的系数相等或互为相反数.
8．【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：①+②得3x=9，解得x=3；
①-②×2，得3y=6，解得y=2，
∴方程组的解为.
故答案为：B.
【分析】根据①+②可求出x的值，根据①-②×2可求出y的值，进而可得方程组的解，据此判断.
9．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵
∴
又元一次方程组
与
有相同的解
∴
解得，
故答案为：
【分析】根据题意可得
，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
10．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：解：2※1=7，（﹣3）※3=3，∴解得：
∴ ※b=
×
+
×
+
×
=
=
，故答案为：
．
【分析】根据题中的新定义化简2※1=7，（-3）※3=3，列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，所求式子利用新定义化简即可得到结果．
11．【答案】1800
【知识点】多项式的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：设F(x)=x(x+2)(x+1)(x-1)(ax+b)，
将F(2)=24，F(3)=360代入可得
解得
∴F(x)=x(x+2)(x+1)(x-1)(2x-3)，
∴F(4)=4×6×5×3×5=1800.
故答案为：1800.
【分析】设F(x)=x(x+2)(x+1)(x-1)(ax+b)，将F(2)=24，F(3)=360代入可得关于a、b的方程组，求出a、b的值，据此可得F(x)，然后将x=4代入进行计算.
12．【答案】①②③
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入二元一次方程组，
得：，
解得：
∵k存在，
∴是方程组的解，则①正确；
当时，原方程为：
解得：
∴
∴x，y的值互为相反数，则②正确；
联立得：，
解得：则③正确，
综上所述，正确的有：①②③，
故答案为：①②③.
【分析】将代入二元一次方程组，判断k值是否存在即可判断①；将代入方程组，计算是否等于零即可判断②；联立得：解此方程组即可判断③.
13．【答案】（1）解：将代入中，得：
，解得：，
将，代入中，得：
，解得：；
（2）解：原方程组为，
得：，
解得：，代入①中，
解得：，
∴方程组的正确解为.
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将x=5、y=7代入②中可求出a的值，将x=4、y=1代入①中可得b的值；
（2）根据a、b的值可得关于x、y的二元一次方程组，然后利用加减消元法求解即可.
14．【答案】（1）解：根据新运算的定义可得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：，
解得：，
，
，
，
，
；
（3）点的坐标为或或或或或
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（3）由（2）知，，
，
将线段沿轴向右平移2个单位，得线段，
，
点落在坐标轴上，且，
或，
或；
①当时，，
若点在轴上，，
，
或；
若点在轴上，，
，
或；
②当时，；
点只能在轴上，，
，
或；
综上所述，点的坐标为或或或或或．
【分析】（1）由新运算T的规定建立方程组，解方程组即可得出x，y的值。
(2)应用新运算T规定建立方程组，解关于x、y 的方程组可得 ，进而得出
x+y=(2a-3)+a=3a-3，再根据a≥-2代入即可得出答案。
(3)根据题意得A(2a-3，a)，向右平移2个单位，由平移性质可得A'(2a一1，a)，根据点A(2a-3，a)落在坐标轴上，且a≥-2，分类讨论，A在x轴上，则A（-3，0）.B可以为（0.18）或（0.-18）A在y轴上则A（0，），B可为（12，0）（-12，0）（0，19）（0，-9）。
15．【答案】（1）解：，得，
∴③，
，得，
解得
将代入③得，
∴原方程组的解为；
（2）解：猜测：方程组的解为，
检验：把代入①得，左边右边；
把代入②得，左边右边，
∴是原方程组的解.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用第二个方程减去第一个方程可得x+y=1，则2018(x+y)=2018，减去第一个方程可求出x的值，将x的值代入x+y=1中求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）根据（1）的过程可猜测x=-1、y=2，然后代入方程组中进行验证.
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