浙教版七年级数学每日一题71-75旋转中的平行存在性问题（含解析）

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七年级每日一题71——旋转中的平行线存在性问题
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71．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，其中∠OMN＝30°．
(1)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
(2)将图1中的三角尺绕点O按每秒6°的速度绕点O沿顺时针方向旋转一周，OC也以每秒1°的速度绕点O顺时针方向旋转，当三角尺停止运动时，OC也停止运动．
①在旋转的过程中，问运动几秒时，边MN恰好与射线OC平行；
②将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系（直接写出结果）．
七年级每日一题72——旋转中的平行线存在性问题
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72．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线 AB上，它们的一边分别与直线AB重合，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°，将图1中的三角板OMN绕点O按每秒15°的速度沿逆时针方向旋转．（0°＜＜180°）．
(1)当∠AOM＝105°时，求旋转角的度数．
(2)当两块三角板中至少有一组边互相平行时，求旋转的时间．
(3)将图1中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转得到图2，MN与CD相交于点E，若∠CEN=时，试探究的数量关系，并直接写出结论．
七年级每日一题73——旋转中的平行线存在性问题
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73．如图1，，点E，F分别在直线，上，，过点A作的延长线交于点G，交于点N，平分，交于点H，交于点M．
(1)直接写出之间的关系：______________________；
(2)若，求的度数．
(3)如图2，在（2）的条件下，将三角形绕着点E以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当边与射线重合时停止转动．则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，直接写出此时t的值．
七年级每日一题74——旋转中的平行线存在性问题
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74．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中．
（1）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数；
（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由．
（3）将图1中三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，旋转过程中，在第_____秒时，边恰好与射线平行；在第_______秒时，直线恰好平分锐角．
七年级每日一题75——旋转中的平行线存在性问题
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75．如图，直线PQMN，一副直角三角板△ABC、△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．
(1)若△DEF如图1摆放，当ED平分∠PEF时，则∠DFM=　 　．
(2)若图2中△ABC固定，将△DEF沿着AC方向平移，边DF与直线PQ相交于点G，作∠FGQ和∠GFA的角平分线GH、FH相交于点H（如图3），求∠GHF的度数．
(3)若图2中△DEF固定，（如图4）将△ABC绕点A顺时针旋转，1分钟转半圈，旋转至AC与直线AN首次重合的过程中，当线段BC与△DEF的一条边平行时，请直接写出旋转的时间．（单位必须化成秒）
七年级每日一题71答案
71.（1）解：∵∠AOC＝60°，
∴∠BOC＝120°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠COM＝∠BOC＝60°，
∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；
（2）解：①∵∠OMN＝30°，
∴∠COM=30°或∠CON=30°时是可以满足MNOC，
即（90°+60°-60°）÷（6°-1°）=18s，
（180°+60°+30°）÷（6°-1°）=54s，
故答案为：18s或54s．
②设运动的时间为t，则
∠AOM=180°-6t=6（30°-t），
∠NOC=60°+t-（90°-180°+6t）=5（30°-t），
故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：5∠AOM=6∠NOC．
七年级每日一题72答案
72.（1）解：如图所示，∠AOM＝105°时，∠MOB=180°-105°=75°，
∵∠MON=60°，∴∠BON=75°-60°=15°，即旋转角为15°；
（2）如图，
当MNOC时，∠COM=∠M=90°，
∠BON=180°﹣∠AOM﹣∠MON=30°，此时t=30÷15=2s；
当ONCD时，∠BON=∠OCD=45°， 此时t=45÷15=3s；
当MNCD时，
∴∠D=∠OMN=90°，∴此时点M在OD上，∠BON=180°﹣∠AOM﹣∠MON=75°，
此时t=75÷15=5s；
如图，设CD与MN相交于点E，
当MNOD时，∠DEM=∠D=90°，
∴∠DOM=360°﹣∠D﹣∠DEM﹣∠M =90°，∴四边形DEMO为矩形，∴MOCD，
∵∠DON=∠DOM﹣∠NOM =90°﹣60°=30°，
∴∠AON=∠COD﹣∠DON =45°﹣30°=15°，
∴∠BON=180°﹣∠AON=165°，此时t=165÷15=11s；
∴当两块三角板中至少有一组边互相平行时，旋转的时间为2s或3s或5s或11s．
（3）由图可得，∠BON为旋转角，即∠BON=，
∵∠COD=45°，∴∠DOB=135°，∴∠DON=﹣135°，
∵∠MON=60°，∴∠DOM=60°+﹣135°=﹣75°，
∵∠DEM+∠D +∠DOM +∠M=360°，∠DEM=∠CEN=，
∴+90°+90°+﹣75°=360°，∴+=255．
七年级每日一题73答案
73.（1）解：∵是的外角，
∴；
故答案为：．
（2）解：设，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵为的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
（3）解：由（2）可得，，
，，
，
∵，
∴，
①当时，
解得：；
②当时，
，
解得：；
③当时
，
解得：，
④当时，
，
解得：；
⑤当时，
解得：；
综上所述，t的值为6或12或21或24或30．
七年级每日一题74答案
74.解：（1）∵∠AOC=120°，∴∠BOC=60°，
又∵OM平分∠AOC，∴∠COM=∠BOC=60°，∴∠CON=∠COM+90°=150°；
（2）∵∠MON=90°，∠BOC=60°，∴∠BON=90°-∠BOM，
∠BON=60°-∠CON，∴90°-∠BOM=60°-∠CON，∴∠BOM-∠CON=30°，
故∠BOM与∠CON之间的数量关系为：∠BOM-∠CON=30°．
（3）∵∠OMN=30°，∴∠N=90°-30°=60°，
∵∠BOC=60°，∴当ON在直线AB上时，MN∥OC，
如图，则旋转角为90°或270°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为9秒或27秒；
当直线ON恰好平分锐角∠BOC时，
则旋转角为90°-30°=60°或90°+150°=240°，
∵每秒顺时针旋转10°，
∴时间为6秒或24秒．
七年级每日一题75答案
75.（1）解：∵平分，，∴，
∵PQMN，，∴，
，∴．故答案为：30°
（2）解：如图3，分别过点，作FLMN，HRPQ，
∴，，
∵FLMN，HRPQ，PQMN，∴FLPQHR，，
∴，，
∵，∴，
∵和的角平分线、相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴∠QGF＝180°－∠GFL＝75°，∴，
∴；
（3）解：设旋转时间为秒，由题意旋转速度为1分钟转半圈，即每秒转，
分三种情况：当BCDE时，如图5，
此时ACDF，，，解得：；
②当BCEF时，如图6，
∵BCEF，，，
，解得：；
③当BCDF时，如图7，
延长交于，延长交于，
，，
，，
，，
解得：，
综上所述，绕点顺时针旋转的时间为10s或30s或40s时，线段与的一条边平行．
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