浙教版七年级数学每日一题76-80三角板的旋转探究问题（含解析）

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七年级每日一题76——三角板的旋转探究问题
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76．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在处，，，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且．
(1)若射线的位置保持不变，则当旋转时间______秒时，边所在直线与平行；
(2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的的取值，若不存在，请说明理由；
七年级每日一题77——三角板的旋转探究问题
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77．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．
(1)如图2，当边落在内，
①与之间存在怎样的数量关系？试说明理由；
②过点A作射线，，若，，求的度数；
(2) 设的旋转速度为3°/秒，旋转时间为t，若它的一边与的某一边平行（不含重合情况），试写出所有符合条件的t的值．
七年级每日一题78——三角板的旋转探究问题
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78．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）．
(1)若，则________；
(2)如图1，________；若点E在的上方，设，则________（用含β的式子表示）；
(3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．
①当（如图2）时，直接写出________﹔
②当时，直接写出________；
（4）在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为________，若不存在，请说明理由．
七年级每日一题79——三角板的旋转探究问题
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79．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为．
①在旋转过程中，当时，求的值．
②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值．
七年级每日一题80——三角板的旋转探究问题
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80．综合与实践
问题情境：
在数学实践课上，给出两个大小形状完全相同的含有，的直角三角板如图1放置，在直线上，且三角板和三角板均可以点P为顶点运动．
操作探究：
(1)如图2，若三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转一定角度，平分平分，求；
(2)如图3，在图1基础上，若三角板开始绕点P以每秒的速度逆时针旋转，同时三角板绕点P以每秒的速度逆时针旋转，当转到与重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间；
拓广探究：
(3)如图4，作三角板关于直线的对称图形．三角板保持不动，三角板绕点P逆时针旋转，当时，请直接写出旋转角的度数．
七年级每日一题76答案
76.（1）解：如图3， ，，，
∵，
∴，
∴，
∴，；
如图4，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
所以当旋转时间为7或秒，边所在直线与平行；
（2）当平分时，如图5，，
∵平分，
∴，
∴，则；
当平分时，如图6，
∵平分，
∴，即，则；
当平分时，如图7，
∵平分，
∴，即，则；
综上所述，满足题意的t的取值为2或8或32．
七年级每日一题77答案
77.（1）解：①（或）；
理由如下：，，
两式相减得：，
② ∵， ∴，
∵，∴，
∴，
∴
；
（2）如图1，当时，
∴，，∴；
图1 图2 图3 图4
如图2，当时，
∴，则，
此时，∴；
如图3，当时，
∴，，
∴，
∴，∴；
如图，当时，
∴，即，，共线，
∴，∴； 图5
如图5，当时，
∴，∴，∴．
七年级每日一题78答案
78（1）∵，
∴
（2）∵，，
∴ ∴
∴，
（3）①当时，
∵， ∴，
②当时，如图，
∵，∴，
∴，
（4）①当时，
∵，∴，；
②当时，∴；
③当时，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
综上所述：为或或．
七年级每日一题79答案
79（1）解：如图①中，
∵∠ACB＝30°，∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，∴∠ECN＝∠ACN＝75°，
∵PQMN，∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°．
（2）解：①如图②中，
∵BGCD，∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，∴∠GBC＝30°，
∴2t＝30，∴t＝15s．
∴在旋转过程中，若边BGCD，t的值为15s．
②如图③中，当BGHK时，延长KH交MN于R．
∵BGKR，∴∠GBN＝∠KRN，
过点K作KTPQ，则PQKTMN，
∴∠QEK=∠EKT，∠KRN=∠HKT，
∴∠QEK＝60°+t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+t）＝30°﹣t，∴2t＝30°﹣t，∴t＝10s．
如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R．
∵BGKR，∴∠GBN+∠KRM＝180°，
同理可得∠QEK＝60°+t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣t）＝t﹣30°，
∴2t+t﹣30°＝180°，∴t＝70s．
综上所述，满足条件的t的值为10s或70s．
七年级每日一题80答案
80.（1）∵平分∠∴设∠
则∠∠
∴ ∴
∴∠
（2）设t秒时，其中一条射线平分另两条射线的夹角，
∵当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动，
∴秒，
分三种情况讨论：
①当PD平分∠BPC时，根据题意可列方程，
解得，，符合题意；
②当PC平分∠BPD时，根据题意可列方程,
解得，，符合题意；
③当PB平分∠CPD时，根据题意可列方程,
解得， ，不符合题意舍去，
所以，旋转时间为15秒或秒时，三条射线中的其中一条射线平分另两条射线的夹角；
（3）①如图①，
∵与关于PB对称，
∴
若，则
∴
∴
∴旋转角度数为：；
②如图②，
若，则
∴
∴旋转角度数为：；
综上，当时，旋转角的度数为30°或210°．
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