浙教版七年级数学每日一题116-120平行线的综合应用及其他

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七年级每日一题116——乘法公式的应用
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116.若满足，求的值．
解：设，，
则，，
∴.
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若满足，求的值；
（2）已知正方形的边长为，，分别是，上的点，且，，长方形的面积是35，分别以，为边作正方形和正方形，求阴影部分的面积．
七年级每日一题117——平行线的综合应用
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117.已知，点在直线，之间，连接，，如图1，易得．
（1）若，请在如图1中画出的角平分线，的角平分线，，两线交于点，利用上述结论，求的度数；
（2）若平分，将线段沿平移至．
①如图2，若，平分，求的度数；
②如图3，若平分，请写出与的数量关系，并说明理由．
七年级每日一题118——平行线的综合应用
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118．如图，直线AB、CD被DQ所截，AB∥CD，∠BDC＝50°，点E是直线CD上的动点（点E与点D不重合），连结BE，作∠ABE的角平分线交直线CD于点F．
（1）如图1，点E在点D左侧，若∠DBE＝20°，求∠EBF的度数．
①如图2，点E在点D左侧，BG是∠ABF的角平分线，求∠FBG的度数．
②若F'是BF反向延长线上的一点，求∠F'BG的度数．
七年级每日一题119——平行线的综合应用
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119.如图，直线直线，一块三角板的顶点在直线上，边、分别交直线于、两点．，，．
（1）如图1，，则
①______°；
②若与的角平分线交于点，则______°．
（2）如图2，点在的平分线上，连，且，若，求的度数．
（3）如图3，若，，则______°（用含的式子表示）．
七年级每日一题120——平行线的综合应用
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120.如图1，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，D为AC边上一点，分别过点A、D作BC、AB的平行线交于点E．
（1）求∠E的度数．
（2）点P为直线AC上的一个动点，过点P作PF∥AE，且PF＝AE，连DF．
①如图2，当点P在点C的右侧，且∠PFD＝25°时，判断DE与DF的位置关系，并说明理由．
②在整个运动中，是否存在点P，使得∠PFD＝2∠EDF？若存在，请求出∠PFD的度数，若不存在，请说明理由．
七年级每日一题116——答案
解：（1）设x-2018=a，x-2021=b，
∴a2+b2=41，a-b=3，
∴-2(x-2018)(x-2021)=-2ab=(a-b)2-(a2+b2)=9-41=-32，
∴(x-2018)(x-2021)=16；
（2）∵正方形ABCD的边长为x，AE=1，CF=3，
∴FM=DE=x-1，DF=x-3，
∴(x-1) (x-3)=35，
∴(x-1)-(x-3)=2，
∴阴影部分的面积=FM2-DF2=(x-1)2-(x-3)2．
设(x-1)=a，(x-3)=b，则(x-1) (x-3)=ab=35，a-b=(x-1)-(x-3)=2，
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=4+140=144，
∵a＞0，b＞0，
∴a+b＞0，
∴a+b=12，
∴(x-1)2-(x-3)2=a2-b2=(a+b) (a-b)=12×2=24．
即阴影部分的面积是24．
七年级每日一题117——答案
【详解】解：（1）如图所示，
过点M作MN∥AB，
∵AB//CD，
∴MN∥AB//CD，
∴∠BAM=∠AMN，∠DCM=∠CMN，
∵AP是∠BAE的角平分线，CQ是∠DCE的角平分线，
∴∠BAM=∠BAE，∠DCM=∠DCE，
即∠AMN=∠BAE，∠CMN=∠DCE，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
∵∠BAE+∠DCE=∠AEC=90°，
∴∠AMC=∠AMN+∠CMN=∠BAE+∠DCE=(BAE+∠DCE)= 45°；
（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH=∠EAH，
①∵FH平分∠DFG，
∴设∠GFH=∠DFH=x，
又∵CE∥FG，
∴∠ECD=∠GFD=2x，
又∠AEC=∠BAE+∠DCE=80°，
∴∠BAH=∠EAH=40°-x，
如图，过点H作HI∥AB，
∴∠AHF=∠BAH+∠DFH =40°-x+x=40°；
②∠AHF=90°+∠AEC，理由如下：
设∠GFD=2m，∠BAH=∠EAH=n，
∵FH平分∠CFG，
∴∠GFH=∠CFH== 90°-m，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠DCE=2n+2m，即m+n=∠AEC，
如图，过点H作HJ∥AB，
∴∠AHF-∠AHJ +∠CFH=∠AHF-n +∠CFH= 180°，
即∠AHF-n +90°-m= 180°，
∴∠AHF=90°+(m+n)，
∴∠AHF=90°+∠AEC．
七年级每日一题118——答案
【详解】（1）解：如图1，
因为∠BDC＝50°，∠DBE＝20°，∠BEC是三角形DBE的外角，
所以∠BEC＝∠BDC+∠EBD=50°+20°=70°，
因为AB∥CD，
所以∠ABE=180°-70°=110°，
因为∠ABE的角平分线交直线CD于点F，
所以∠EBF=∠ABE=55°,
解：如图2，由（1）可得：∠EBF=∠ABF=55°,
因为BG是∠ABF的角平分线，
所以∠FBG=∠ABF=27.5°；
若F'是BF反向延长线上的一点，则∠F'BG和∠FBG互为邻补角，
所以∠F'BG =180°-∠FBG =180°-27.5°=152.5°.
七年级每日一题119——答案
解：（1）①∵FG//HK
∴∠HAC=∠CEF
∵∠HAC=∠HAB+∠BAC
∴∠HAC=∠CEF=100°
又∵∠FDB=∠CDE，∠CDE+∠C+∠CEF=180°，∠C=30°
∴∠FDB=180°-∠C-∠CEF=50°
② 由① 得∠HAC=100°，∠FDB=∠CDE=50°
∴∠CAK=180°-∠HAC=80°
∵∠CDE与∠CAK的角平分线交于点I
∴∠IDG=∠CDG=25°，∠IAK=∠CAK=40°
∵FG//HK
∴∠IAK=∠EGA=40°
∴∠IGD=180°-∠EGA=140°
∴∠I=180°-∠EGI-∠IDG=15°
（2）由（1）中的② 得∠CAK=80°
∴∠CAI+∠KAI=80°
∵∠CAI:∠KAI=1:3
∴∠KAI=60°
则由（1）中②可以得到∠IGD=120°
∴∠IDG=180°-∠IGD-∠I=25°
∵DI是∠CDG的角平分线
∴∠CDG=2∠IDG=50°
∴∠FDB=∠CDG=50°
（3）由（2）知∠CAI+∠KAI=80°，∠CAI:∠KAI=1: n
∴∠KAI=
∴∠IGD=
由（1）知∠CDE=50°，即∠CDI+∠GDI=50°
∵∠CDI:∠GDI=1: n
∴∠GDI=
∴∠I=180°-∠GDI -∠IGD=
七年级每日一题120——答案
【详解】解：（1）如图1中，
∵AB∥DE，AE∥BC，
∴∠ADE=∠BAC=75°，∠DAE=∠ACB，
∵∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-65°-75°=40°，
∴∠DAE=∠ACB=40°，
∴∠E=180°-∠ADE-∠EAD=180°-40°-75°=65°．
（2）①如图2中，结论：DE⊥DF．
理由：过点D作DT∥AE．
∵AE∥PF，DT∥AE， ∴AE∥DT∥PF，
∴∠AED=∠TDE，∠TDF=∠DFP，
∴∠EDF=∠TDE+∠TDF=65°+25°=90°， ∴DE⊥DF．
②存在，当点P在点D的左侧时存在．
如图3-1中，当点P在线段AD上时，设DE交PF于J．
∵PF∥AE， ∴∠PJD=∠AED=65°，
∵∠PJD=∠PFD+∠JDF，∠PFD=2∠EDF，
∴65°=3∠EDF， ∴∠EDF=（）°， ∴∠PFD=（）°．
如图3-2中，当点P在线段DA的延长线上时，设AE交DF于Q．
∵PF∥AE， ∴∠PFD=∠AQD，
∵∠AQD=∠AED+∠EDF，∠PFD=2∠EDF，
∴2∠EDF=65°+∠EDF， ∴∠EDF=65°， ∴∠PFD=130°，
综上所述，∠PFD=（）°或130°．
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