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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.了解二元一次方程的概念和二元一次方程解的不唯一性。 2.了解二元一次方程组的概念，理解二元一次方程组的解的概念。 3.了解解二元一次方程组的基本思想是通过消元，化二元为一元。 4.掌握解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。 5.了解应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。 6.会应用二元一次方程组解决简单的实际问题。 7.了解三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组。
内容分析 本章是在七年级上册“一元一次方程”的基础上，进一步讨论二元一次方程(组)的有关概念、解法和应用等，并在二元一次方程组的基础上，学习三元一次方程组及解法.本章是一元一次方程知识的延伸和拓广，也是今后学习一般线性方程组、及函数等的基础，具有承上启下的作用.教学过程中要求学生能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程(组)，理解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组，并能根据解的特征选择适当的方法简化解题过程。能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
学情分析 七年级的学生已在前一学段和七年级上册学习了一元一次方程的相关概念与应用。但是这个阶段的学生具有不熟练的读写能力和对文字类题目(应用题)的恐惧心理，在学习中存在不会审题(不会读题)，导致其不能准确分析问题中数量关系；所以在教学过程中认真把握课标要求，以学生熟悉的实际问题入手，引入教学，降低学习难度，消除学生对问题的恐惧心理，使学生易于参与到学习活动中来，提高学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和能力。同时注意培养学生读的习惯和思考的能力，应用题教学可以放慢速度，让学生充分审题，在理解的基础上尝试解决实际问题。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型. 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系. 3.了解解二元一次方程组的基本目标:使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法一代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二(三)元一次方程组解决实际问题的基本过程，体会数学应用的价值，提高分析问题、解决问题的能力. （二）教学重点、难点 重点： 1.了解二元一次方程和二元一次方程组的概念； 2.会用不同的方法求二元一次方程组的解(消元思想)； 3.列二元一次方程组解决实际问题(建模思想). 难点： (1)根据方程组的形式,确定先消哪个元,选用哪个消元方法比较便捷. (2)利用二元一次方程组分析、解决实际问题.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1二元一次方程12.2二元一次方程组12.3解二元一次方程组22.4二元一次方程组的应用22.5三元一次方程组及其解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 二元一次方程1.理解二元一次方程的定义； 2.能够准确叙述处二元一次方程的解的概念； 3.能熟练的求出二元一次方程的一个解。 掌握二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念，能把二元一次方程中的一个未知数表示用另一个未知数的代数式来表示． 探索二元一次方程的定义，利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一个解。 二元一次方程组 1．了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． 2．会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解．1.理解并掌握二元一次方程组及其解的概念． 2.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解．类比迁移，归纳出二元一次方程组及解的概念，小组之间交流，探索二元一次方程组的解。 解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组。 2.对代入消元法的探究，使学生体会代入消 元法所体现的化未知为已知的化归思想方法。通过探究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。通过梳理“情境问题”中方程组的解法过程，适时给出概念，感受概念是通过实际生活抽象得出的，从而体验“过程与方法”。1.掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组； 2.经历加减消元法解二元一次方程组的探究过程，使学生进一步体会化归思想。通过用加减消元法解二元一次方程组培养学生在运算的过程中勤于思考、善于归纳总结的良好习惯。本节课教学中通过设计系列问题，引导学生积极思维，层层深入，注重加减消元法的产生和形成过程，通过观察、分析、比较、归纳得出方法，进一步体会化归思想。 二元一次方程组的应用1.利用二元一次方程组解决面积问题、产品配套、和差倍分、行程等问题. 2.会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题. 在实际问题中找等量关系、列方程组，会用列方程组解决实际问题.根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学,让学生能顺利地列出正确的二元一次方程组.1.会用表格、示意图分析数量关系，寻找等量关系； 2.加深对方程模型的理解，增强数学应用意识； 掌握利用二元一次方程组解决实际问题． 通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性。 三元一次方程组及其解法知道三元一次方程组的概念，知道解三元一次方程组的基本思路。 会解三元一次方程组。经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想。用二元一次方程的解法，灵活应用代入法、加减法进行消元化归思想。引导学生大胆尝试，在探究中，寻找解决问题的方法。
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分课时教学设计
《2.4.2 应用二元一次方程组解决较复杂的实际问题》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是浙教版七年级下册第2章《二元一次方程组》第4节的第二课时.本节的内容是二元一次方程组解决“例2”和“例3”。学生已经学习了二元一次方程组的解法和简单应用，今后还要学习一元二次方程及其应用；另外之前学习了数、式的应用，本节课也为之后学习的不等式和函数的应用起到了很强的示范作用。
学习者分析 学生已经学习了一元一次方程的应用，二元一次方程组的解法，初步具备了应用二元一次方程组解决实际问题的经验，但学生缺乏分析较复杂实际问题中数量关系的经验，另外七年级学生的数学抽象思维能力不足。基于以上分析，本节的难点为从复杂的实际背景中提取数学信息，抽象数学本质，转化数学语言。
教学目标 1.从复杂的实际背景中提取数学信息，寻找等量关系，转化数学语言； 2.加深对方程模型的理解，增强数学应用意识； 3.独立思考的基础上，合作交流，经历探索和交流的过程，调动学习的积极性，发展合作精神。
教学重点 加深对方程模型的理解，增强数学应用意识。
教学难点 从复杂的实际背景中提取数学信息，寻找等量关系，转化数学语言。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示问题： 怎样列二元一次方程组解决实际问题？ 1.审题，搞清已知和未知，分析数量关系； 2.根据等量关系设元，列出方程组； 3.根据方程组求解，得到答案； 4.检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意.学生活动1： 学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。 活动意图说明： 通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：解决课本“例2”教师活动2： 例2 一根金属棒在0℃时的长度是q(m)，温度每升高1℃，它就伸长p(m).当温度为t(℃)时，金属棒的长度l可用公式l=pt+q 计算.已测得当t=100℃时，l=2.002 m；当t=500℃时，l=2.01m. (1) 求p，q的值. (2)若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m，问这时金属棒的温度是多少 【想一想】要求p、q两个字母的值，必须列出几条方程 当t=100℃时，l=2.002 m，可列方程为100p+q=2.002 当t=500℃时，l=2.01m，可列方程为500p+q=2.01 解： (1)根据题意，得 ②-①，得400p=0.008，解得p=0.000 02. 把p=0.00002 代入①，得0.002+q=2.002，解得q=2. 即 答：p=0.000 02m，q=2m. (2)若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m，问这时金属棒的温度是多少 解：由(1)，得l=0.000 02t+2. 金属棒加热后，长度伸长到2.016m，即当l=2.016时， 2.016=0.000 02t+2. 解这个一元一次方程，得t=800. 答：此时金属棒的温度是800℃.学生活动2： 学生回答教师提出的问题。 学生根据教师引导列出方程组。 师生共同完成解题过程。活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：解决课本“例3”教师活动3： 【例3】通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息: ①快餐的总质量为300 g； ②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质; ③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍：蛋白质和碳水化合物含量占85%. 试分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比. 分析： 本题所求量有四个，如何设未知数是解决问题的关键. 根据第③条信息，蛋白质和脂肪的含量与其他未知量均有数量关系，所以可以考虑设它们的含量分别为x(g)和y(g). 解：设一份营养快餐中含蛋白质x(g)，脂肪y(g)，则含矿物质2y(g)，碳水化合物(300×85%-x)(g). 由题意，得 ①+②，得3y=45，解得y=15. ∴ x=150-y=150-15=135(g)， 2y=2×15=30(g), 300×85%-x=255-135=120(g). 答：营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比如下表. 解决实际问题应注意几个问题: (1)方程的个数与所设未知数的个数应相等，否则会出现“不定解”的情况； (2)在分析题意时，我们应抓住数量之间的相等关系，以便于正确列出方程组； (3)要不断总结，将常见的实际问题进行归类，利于提高解决问题的能力； (4)解实际问题时，要特别注意检验.学生活动3： 学生完成课本例题。 学生根据教师分析，列出二元一次方程组，并解出这个方程组。 学生在教师的引导下总结解决实际问题应注意几个问题。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：2.4.2 应用二元一次方程组解决较复杂的实际问题 一、解决较复杂的实际问题 二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.实验表明，某种气体的体积V(L)随着温度t(℃)的改变而改变，它的体积可用公式V＝pt＋q(p，q为已知数)计算．已测得当t＝0 ℃时，V＝100 L；当t＝10 ℃时，V＝103.5 L，则p＝_0.35_，q＝_100_． 2.甲种防腐药水含药 30%，乙种防腐药水含药 75%，现用这两种防腐药水配制含药 50%的防腐药水 18 千克，两种药水各需要多少千克？（只需列出方程组即可） 解：设甲种药水需要x千克，乙种药水需要y千克，则所列方程组是： 3.张叔叔骑摩托车在公路上匀速行驶，每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 则10：00时看到里程碑上的数是( D ) A．15 B．24 C．42 D．51 选做题： 4.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8．5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等，该商品的进价、定价分别是( B ). A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元 5.某便利店准备用两种价格分别为36元/千克和21元/千克的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格是30元/千克，现在要配置这种杂拌糖果100千克，需要两种糖果各多少千克？ 解：设需要36元/千克的糖果x千克，21元/千克的糖果y千克， 由题意得解得 答：需要36元/千克的糖果60千克，21元/千克的糖果40千克． 【综合拓展类作业】 6.在某地，人们发现某种蟋蟀1 min所叫次数x与当地气温T(℃)之间的关系式为T＝ax＋b(a，b为已知数)，下面是蟋蟀1 min所叫次数随气温的变化情况对照表： (1)根据表中的数据确定a，b的值； (2)如果蟋蟀1 min 所叫次数为63，那么该地当时的气温为多少摄氏度？ （1）解：根据表格中的数据， 可列二元一次方程组解得 （2）解：由(1)得∴T＝x＋3.当x＝63时，T＝×63＋3＝12. 答：如果蟋蟀1 min所叫次数为63，那么该地当时的气温为12 ℃.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.在一次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在12场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ A ） 2.某校运动员按规定组数进行分组训练，若每组6人，余4人；若每组8人，则缺3人；设运动员人数为x人，组数为y组，则可列出的方程组为（ A ）. 选做题 3.今年，小丽爷爷的年龄是小丽的5倍．小丽发现，12年之后，爷爷的年龄是小丽的3倍，设今年小丽、爷爷的年龄分别是x岁、y岁，可列方程组（ D ）. 4.某商店去年的利润为10万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为30万元．求去年的总收入和总支出． 解：设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，依题意得解得 答：去年的总收入为90万元，总支出为80万元． 5.某公司需要安装5 820辆共享单车投入市场．公司原有m名熟练工人，现招聘了n(m＞n)名新工人，安装开始后发现：1名熟练工人和3名新工人每天共安装36辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． 每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？ 解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，由题意得解得 答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车． 【综合拓展类作业】 6.为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改善学校的办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需120元，建造新校舍每平方米需900元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 9 000平方米，在实施中为扩大绿化面积，建造新校舍只完成了计划的90%，而拆除旧校舍则超过了计划的20%，结果恰好完成了计划拆、建的总面积．计算计划拆除旧校舍与建造新校舍各多少平方米？ 解：设计划拆除旧校舍x平方米，建造新校舍y平方米． 根据题意，得 解得 答：计划拆除旧校舍3 000平方米，建造新校舍6 000平方米．
教学反思 本节课在学生独立思考的基础上，合作交流，互助学习，让学生经历探索和交流的过程，调动学生学习的积极性，在讨论中学会倾听，表达和交流，发展合作精神；教学中,还应根据学生的生活实际和认知实际,选择更贴近学生实际的素材进行教学,更多地关注学生的建模过程,关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组.
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2.4.2 应用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.从复杂的实际背景中提取数学信息，寻找等量关系，转化数学语言；
2.加深对方程模型的理解，增强数学应用意识；
3.独立思考的基础上，合作交流，经历探索和交流的过程，调动学习的积极性，发展合作精神.
复习回顾
怎样列二元一次方程组解决实际问题？
1.审题，搞清已知和未知，分析数量关系；
2.根据等量关系设元，列出方程组；
3.根据方程组求解，得到答案；
4.检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意.
新知讲解
例2 一根金属棒在0℃时的长度是q(m)，温度每升高1℃，它就伸长
p(m).当温度为t(℃)时，金属棒的长度l可用公式l=pt+q 计算.
已测得当t=100℃时，l=2.002 m；当t=500℃时，l=2.01m.
(1) 求p，q的值.
(2)若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m，问这时金属棒的温度
是多少
新知讲解
【想一想】要求p、q两个字母的值，必须列出几条方程
当t=100℃时，l=2.002 m，可列方程为100p+q=2.002
当t=500℃时，l=2.01m，可列方程为500p+q=2.01
新知讲解
解： (1)根据题意，得
②-①，得400p=0.008，解得p=0.000 02.
把p=0.00002 代入①，得0.002+q=2.002，解得q=2.
即
答：p=0.000 02m，q=2m.
新知讲解
(2)若这根金属棒加热后长度伸长到2.016m，问这时金属棒的温度
是多少
解：由(1)，得l=0.000 02t+2.
金属棒加热后，长度伸长到2.016m，即当l=2.016时，
2.016=0.000 02t+2.
解这个一元一次方程，得t=800.
答：此时金属棒的温度是800℃.
新知讲解
【例3】通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息:
①快餐的总质量为300 g；
②快餐的成分：蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质;
③蛋白质和脂肪含量占50%；矿物质的含量是脂肪含量的2倍：蛋白
质和碳水化合物含量占85%.
试分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比.
新知讲解
分析：
本题所求量有四个，如何设未知数是解决问题的关键.
根据第③条信息，蛋白质和脂肪的含量与其他未知量均有数量关系，所以可以考虑设它们的含量分别为x(g)和y(g).
新知讲解
解：设一份营养快餐中含蛋白质x(g)，脂肪y(g)，则含矿物质2y(g)，
碳水化合物(300×85%-x)(g). 由题意，得
①+②，得3y=45，解得y=15.
新知讲解
∴ x=150-y=150-15=135(g)，
2y=2×15=30(g),
300×85%-x=255-135=120(g).
答：营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比如下表.
新知讲解
解决实际问题应注意几个问题:
(1)方程的个数与所设未知数的个数应相等，否则会出现“不定解”的情况；
(2)在分析题意时，我们应抓住数量之间的相等关系，以便于正确列出方程组；
(3)要不断总结，将常见的实际问题进行归类，利于提高解决问题的能力；
(4)解实际问题时，要特别注意检验.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.实验表明，某种气体的体积V(L)随着温度t(℃)的改变而改变，它的体积可用公式V＝pt＋q(p，q为已知数)计算．已测得当t＝0 ℃时，V＝100 L；当t＝10 ℃时，V＝103.5 L，则p＝______，q＝______．
0.35
100
课堂练习
2.甲种防腐药水含药 30%，乙种防腐药水含药 75%，现用这两种防腐药水配制含药 50%的防腐药水 18 千克，两种药水各需要多少千克？（只需列出方程组即可）
解：设甲种药水需要x千克，乙种药水需要y千克，则所列方程组是：
课堂练习
3.张叔叔骑摩托车在公路上匀速行驶，每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
则10：00时看到里程碑上的数是( )
A．15 B．24 C．42 D．51
D
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
4.某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8．5折销售该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等，该商品的进价、定价分别是( ).
A．95元，180元 B．155元，200元
C．100元，120元 D．150元，125元
B
课堂练习
5.某便利店准备用两种价格分别为36元/千克和21元/千克的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格是30元/千克，现在要配置这种杂拌糖果100千克，需要两种糖果各多少千克？
课堂练习
【综合实践类作业】
6.在某地，人们发现某种蟋蟀1 min所叫次数x与当地气温T(℃)之间的关系式为T＝ax＋b(a，b为已知数)，下面是蟋蟀1 min所叫次数随气温的变化情况对照表：
(1)根据表中的数据确定a，b的值；
(2)如果蟋蟀1 min 所叫次数为63，那么该地当时的气温为多少摄氏度？
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂练习
【综合实践类作业】
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题.
2.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用.
板书设计
课题：2.4.2 应用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
教师板演区
学生展示区
一、解决较复杂的实际问题
二、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.在一次篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，某队在12场比赛中得到16分．若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）
A
作业布置
【知识技能类作业】
2.某校运动员按规定组数进行分组训练，若每组6人，余4人；若每组8人，则缺3人；设运动员人数为x人，组数为y组，则可列出的方程组为（ ）.
A
作业布置
选做题
3.今年，小丽爷爷的年龄是小丽的5倍．小丽发现，12年之后，爷爷的年龄是小丽的3倍，设今年小丽、爷爷的年龄分别是x岁、y岁，可列方程组（ ）.
D
作业布置
【知识技能类作业】
4.某商店去年的利润为10万元，今年的总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为30万元．求去年的总收入和总支出．
作业布置
选做题
5.某公司需要安装5 820辆共享单车投入市场．公司原有m名熟练工人，现招聘了n(m＞n)名新工人，安装开始后发现：1名熟练工人和3名新工人每天共安装36辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
作业布置
作业布置
【综合实践类作业】
6.为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改善学校的办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需120元，建造新校舍每平方米需900元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共
9 000平方米，在实施中为扩大绿化面积，建造新校舍只完成了计划的90%，而拆除旧校舍则超过了计划的20%，结果恰好完成了计划拆、建的总面积．计算计划拆除旧校舍与建造新校舍各多少平方米？
作业布置
【综合实践类作业】
谢谢
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