【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·安达月考）以为解建立一个三元一次方程，不正确的是（ ）
A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1
C．x＋y－z＝－2 D．x－y－z＝1
2．（2023七下·安乡县期中）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知实数x，y，z且x+y+x≠0，x= ，z= ，则下列等式成立的是（ ）
A．x2-y2=z2 B．xy=z C．x2+y2=z2 D．x+y=z
4．解三元一次方程组
具体过程如下：
（ 1 ）②-①，得b=2；（2）①×2+③，得4a-2b=7；（3）所以
；（4）把b=2代入4a-2b=7，得4a-2×2=7（以下求解过程略）其中开始出现错误的一步是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
5．若方程组 的解 和 的值互为相反数，则 的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7
7．为迎接2013年“亚青会”，学校组织了一次游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三以飞镖，在同一圆环内得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是（ ）
A．31分 B．33分 C．36分 D．38分
8．小明、小敏、小新商量要在毕业前夕给老师办公室的4道窗户剪贴窗花表达大伙的尊师之情，今年是农历鸡年，他们设计了金鸡报晓的剪纸图案．小明说：“我来出一道数学题：把剪4只金鸡的任务分配给3个人，每人至少1只，有多少种分配方法”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4．”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解．”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题
9．（2023七下·黄岩期末）已知是非负整数，且同时满足，则 .
10．（2023七下·玄武月考）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
11．山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完．
12．（2020七下·通山期末）课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：
① ；② ；③ ；④5人一组的最多有5组.
其中正确的有 .（把正确结论的序号都填上）
三、解答题
13．（2023七下·义乌月考）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求(b＋c)a的值．
14．（2020七下·温州期中）利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
15．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调 彩电 冰箱
工 时
产值（千元） 4 3 2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把分别代入四个选项中，
得：A、3×3-4×1+2×（-1）=3，故不符合题意；
B、3-1+（-1）=-1，故不符合题意；
C、3+1-（-1）=5≠-2，故符合题意；
D、×3-×1-（-1）≠，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据方程解的定义将分别代入各项方程中检验即可.
2．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴原式===-13；
故答案为：D.
【分析】联立，解出，再将其代入原式化简即可.
3．【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x= ，
∴2x=x+y-z，
∴y=x+z.
∵z=
∴2x=x-y+z，
∴y=x-z
∴x+z=x-z
∴z=0
把z=0代入z= 中得x=y，
∵x+y+z≠0，
∴x=y≠0
x2-y2=x2-x2=0=z2，所以A选项正确，符合题意；
xy≠0，z=0，所以B选项错误，不符合题意；
x2+y2≠0，z2=0，所以C选项错误，不符合题意.
x+y≠0，z=0，所以D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得2x=x+y-z，2x=x-y+z，化简可得y=x+z，y=x-z，推出z=0，则x=y≠0，据此判断.
4．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵①×2+③，得4a-b=7，而不是4a-2b=7，
∴（2） 错误 .
故答案为：B.
【分析】根据解三元一次方程组的原理分步检查，即可作答.
5．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程组中得 ，解得 ．故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由x 和 y 的值互为相反数可得y=-x，把y=-x代入方程组得到关于x、k的方程组，解此方程组求出解.
6．【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：依题意，得
，
解得 ．
∴明文为：6，4，1，7．故答案为：B．
【分析】根据题意建立方程组，求解即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解：设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，根据题意得：
，
解得：
则小华的成绩是18+11+7=36（分）．
故选C．
【分析】先设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，再根据小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，列出方程组，求出x，y，z的值，再根据小华所投的飞镖，列出式子，求出结果即可．
8．【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，y=1，z=2或y=2，z=1；
②当y=1时，x=1，z=2或x=2，z=1；
③当z=1时，x=1，y=2或y=1，x=2．故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，根据每人至少1只，分三种情况：当x=1；当y=1；当z=1，求出其整数解即可。
9．【答案】26或50
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将方程组转化为 ，
由②-①得：4b+5c=20，
∴或，
∵a，b，c是非负整数，
∴c=4，b=0或b=5，c=0，
∵a+b+2c=50，
∴a=42或a=45，
当a=42，b=0，c=4时，
a+b-4c=42+0-4×4=26；
当a=45，b=5，c=0时
a+b-4c=45+5-0=50.
故答案为：26或50.
【分析】将方程组转化，由②-①可得到关于b，c的方程，解方程分别表示出b，c，根据a，b，c是非负整数，可得到c=4，b=0或b=5，c=0，分别代入a+b+2c=50，可求出对应得a的值，然后求出a+b-4c的值即可.
10．【答案】55
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，由题意可得：
，
②- ①得：
，
②-+①得：
，
④- ③×3得，
∴；
故填：55.
【分析】设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，建立方程组，整体求得的值.
11．【答案】12
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．
根据题意，得 ，
解得b= x，a= x．
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完．
3tx=a+bt，
t= = ．
即t=12分钟．
答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完．
【分析】根据一台A型抽水机1小时正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b，根据用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x=a+b，若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再根据3tx=a+bt求解。
12．【答案】①②③④
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
结论①正确；
，即 ，
，
结论②正确；
，即 ，
，
结论③正确；
， ，且 ， ， 均为正整数，
为2的倍数，
当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， ，
人一组的最多有5组，
结论④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据80名学生自由组合分成12组，即可得出关于x ，y ，z的三元一次方程组，结论①正确；利用方程组中的①方程×7－方程组中的②方程 ，化简后可得出结论②正确；利用方程组中的②方程－方程组中的①方程 ×5 ，化简后可得出结论③正确；由结论②③结合x ，y ，z均为正整数，可得出z为2的倍数，分别代入 ， 和 即可得出5人一组的最多有5组，结论④正确.
13．【答案】解：∵由题意可知 是方程cx-y=4和方程ax+by=13的解， 是方程ax-by=13的解，
∴
解之：，
∴（b+c） a=（2+2）3=64
【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由题意可知 是方程cx-y=4和方程ax+by=13的解， 是方程ax-by=13的解，据此可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，然后代入代数式进行计算，可求出结果.
14．【答案】解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组
两式相加得：
答：桌子高度 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 a，b，由图一可得桌子的高+长方形木块的长-长方形木块的宽=80cm，由图二可得桌子的高+长方形木块的宽-长方形木块的长=70cm，从而即可列出方程组，求解即可.
15．【答案】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有
，
①﹣②×4得3x+y=360，
总产值A=4x+3y+2z=2（x+y+z）+（2x+y）=720+（3x+y）﹣x=1080﹣x，
∵z≥60，
∴x+y≤300，
而3x+y=360，
∴x+360﹣3x≤300，
∴x≥30，
∴A≤1050，
即x=30，y=270，z=60．
最高产值：30×4+270×3+60×2=1050（千元）
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，建立三元一次方程组，则总产值A=4x+3y+2z，由于每周冰箱至少生产60台，即z≥60，所以x+y≤300，又由于生产空调器、彩电、冰箱共360台，故有x≥30台，即可求得，具体的x，y，z的值．
1 / 1【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册2.5三元一次方程组及其解法 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·安达月考）以为解建立一个三元一次方程，不正确的是（ ）
A．3x－4y＋2z＝3 B．x－y＋z＝－1
C．x＋y－z＝－2 D．x－y－z＝1
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：把分别代入四个选项中，
得：A、3×3-4×1+2×（-1）=3，故不符合题意；
B、3-1+（-1）=-1，故不符合题意；
C、3+1-（-1）=5≠-2，故符合题意；
D、×3-×1-（-1）≠，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据方程解的定义将分别代入各项方程中检验即可.
2．（2023七下·安乡县期中）若：，，，则：代数式的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：联立，
解得：，
∴原式===-13；
故答案为：D.
【分析】联立，解出，再将其代入原式化简即可.
3．已知实数x，y，z且x+y+x≠0，x= ，z= ，则下列等式成立的是（ ）
A．x2-y2=z2 B．xy=z C．x2+y2=z2 D．x+y=z
【答案】A
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵x= ，
∴2x=x+y-z，
∴y=x+z.
∵z=
∴2x=x-y+z，
∴y=x-z
∴x+z=x-z
∴z=0
把z=0代入z= 中得x=y，
∵x+y+z≠0，
∴x=y≠0
x2-y2=x2-x2=0=z2，所以A选项正确，符合题意；
xy≠0，z=0，所以B选项错误，不符合题意；
x2+y2≠0，z2=0，所以C选项错误，不符合题意.
x+y≠0，z=0，所以D选项错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得2x=x+y-z，2x=x-y+z，化简可得y=x+z，y=x-z，推出z=0，则x=y≠0，据此判断.
4．解三元一次方程组
具体过程如下：
（ 1 ）②-①，得b=2；（2）①×2+③，得4a-2b=7；（3）所以
；（4）把b=2代入4a-2b=7，得4a-2×2=7（以下求解过程略）其中开始出现错误的一步是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：∵①×2+③，得4a-b=7，而不是4a-2b=7，
∴（2） 错误 .
故答案为：B.
【分析】根据解三元一次方程组的原理分步检查，即可作答.
5．若方程组 的解 和 的值互为相反数，则 的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将 代入方程组中得 ，解得 ．故C符合题意.
故答案为：C.
【分析】由x 和 y 的值互为相反数可得y=-x，把y=-x代入方程组得到关于x、k的方程组，解此方程组求出解.
6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）
A．7，6，1，4 B．6，4，1，7 C．4，6，1，7 D．1，6，4，7
【答案】B
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：依题意，得
，
解得 ．
∴明文为：6，4，1，7．故答案为：B．
【分析】根据题意建立方程组，求解即可得出答案。
7．为迎接2013年“亚青会”，学校组织了一次游戏：每位选手朝特制的靶子上各投三以飞镖，在同一圆环内得分相同．如图所示，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩是（ ）
A．31分 B．33分 C．36分 D．38分
【答案】C
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】解：设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，根据题意得：
，
解得：
则小华的成绩是18+11+7=36（分）．
故选C．
【分析】先设飞镖投到最小的圆中得x分，投到中间的圆中得y分，投到最外面的圆中得z分，再根据小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，列出方程组，求出x，y，z的值，再根据小华所投的飞镖，列出式子，求出结果即可．
8．小明、小敏、小新商量要在毕业前夕给老师办公室的4道窗户剪贴窗花表达大伙的尊师之情，今年是农历鸡年，他们设计了金鸡报晓的剪纸图案．小明说：“我来出一道数学题：把剪4只金鸡的任务分配给3个人，每人至少1只，有多少种分配方法”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，可以列出方程x+y+z=4．”小新接着说：“那么问题就成了问这个方程有几个正整数解．”现在请你说说看：这个方程正整数解的个数是（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：①当x=1时，y=1，z=2或y=2，z=1；
②当y=1时，x=1，z=2或x=2，z=1；
③当z=1时，x=1，y=2或y=1，x=2．故答案为：D．
【分析】根据题意列出三元一次方程，根据每人至少1只，分三种情况：当x=1；当y=1；当z=1，求出其整数解即可。
二、填空题
9．（2023七下·黄岩期末）已知是非负整数，且同时满足，则 .
【答案】26或50
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：将方程组转化为 ，
由②-①得：4b+5c=20，
∴或，
∵a，b，c是非负整数，
∴c=4，b=0或b=5，c=0，
∵a+b+2c=50，
∴a=42或a=45，
当a=42，b=0，c=4时，
a+b-4c=42+0-4×4=26；
当a=45，b=5，c=0时
a+b-4c=45+5-0=50.
故答案为：26或50.
【分析】将方程组转化，由②-①可得到关于b，c的方程，解方程分别表示出b，c，根据a，b，c是非负整数，可得到c=4，b=0或b=5，c=0，分别代入a+b+2c=50，可求出对应得a的值，然后求出a+b-4c的值即可.
10．（2023七下·玄武月考）某商场出售甲、乙、丙三种型号的商品，若购买甲2件，乙3件，丙1件，共需130元；购买甲3件，乙5件，丙1件，共需205元．若购买甲，乙，丙各1件，则需 元．
【答案】55
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，由题意可得：
，
②- ①得：
，
②-+①得：
，
④- ③×3得，
∴；
故填：55.
【分析】设甲、乙、丙每件单价分别为x、y、z元，建立方程组，整体求得的值.
11．山脚下有一池塘，泉水以固定的流量（即单位时间里流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌．现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机抽水，则1小时正好能把池塘中的水抽完；若用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完．问若用三台A型抽水机同时抽，则需要 分钟恰好把池塘中的水抽完．
【答案】12
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．
根据题意，得 ，
解得b= x，a= x．
设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完．
3tx=a+bt，
t= = ．
即t=12分钟．
答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完．
【分析】根据一台A型抽水机1小时正好能把池塘中的水抽完，得x=a+b，根据用两台A型抽水机抽水，则20分钟正好把池塘中的水抽完，得×2x=a+b，若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完，再根据3tx=a+bt求解。
12．（2020七下·通山期末）课外活动中，80名学生自由组合分成12组，各组人数分别有5人、7人和8人三种情况，设5人一组的有x组，7人一组的有y组，8人一组的有z组，有下列结论：
① ；② ；③ ；④5人一组的最多有5组.
其中正确的有 .（把正确结论的序号都填上）
【答案】①②③④
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：依题意，得： ，
结论①正确；
，即 ，
，
结论②正确；
，即 ，
，
结论③正确；
， ，且 ， ， 均为正整数，
为2的倍数，
当 时， ， ；当 时， ， ；当 时， ， ，
人一组的最多有5组，
结论④正确.
故答案为：①②③④.
【分析】根据80名学生自由组合分成12组，即可得出关于x ，y ，z的三元一次方程组，结论①正确；利用方程组中的①方程×7－方程组中的②方程 ，化简后可得出结论②正确；利用方程组中的②方程－方程组中的①方程 ×5 ，化简后可得出结论③正确；由结论②③结合x ，y ，z均为正整数，可得出z为2的倍数，分别代入 ， 和 即可得出5人一组的最多有5组，结论④正确.
三、解答题
13．（2023七下·义乌月考）在解方程组时，甲同学因看错了b的符号，从而求得解为，乙同学因看漏了c，从而求得解为，试求(b＋c)a的值．
【答案】解：∵由题意可知 是方程cx-y=4和方程ax+by=13的解， 是方程ax-by=13的解，
∴
解之：，
∴（b+c） a=（2+2）3=64
【知识点】二元一次方程组的解；三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】由题意可知 是方程cx-y=4和方程ax+by=13的解， 是方程ax-by=13的解，据此可得到关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值，然后代入代数式进行计算，可求出结果.
14．（2020七下·温州期中）利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
【答案】解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组
两式相加得：
答：桌子高度 .
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】 设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 a，b，由图一可得桌子的高+长方形木块的长-长方形木块的宽=80cm，由图二可得桌子的高+长方形木块的宽-长方形木块的长=70cm，从而即可列出方程组，求解即可.
15．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调 彩电 冰箱
工 时
产值（千元） 4 3 2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高最高产值是多少？（以千元为单位）
【答案】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，则有
，
①﹣②×4得3x+y=360，
总产值A=4x+3y+2z=2（x+y+z）+（2x+y）=720+（3x+y）﹣x=1080﹣x，
∵z≥60，
∴x+y≤300，
而3x+y=360，
∴x+360﹣3x≤300，
∴x≥30，
∴A≤1050，
即x=30，y=270，z=60．
最高产值：30×4+270×3+60×2=1050（千元）
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，建立三元一次方程组，则总产值A=4x+3y+2z，由于每周冰箱至少生产60台，即z≥60，所以x+y≤300，又由于生产空调器、彩电、冰箱共360台，故有x≥30台，即可求得，具体的x，y，z的值．
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