浙教版七下专题2.1 二元一次方程组及其解法-重难点题型（含解析）

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二元一次方程组及其解法6大题型
【知识点1 二元一次方程（组）的概念】
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2023春 常德期末）若方程（n﹣1）x|n|﹣3ym﹣2025＝5是关于x，y的二元一次方程，则nm＝　　．
【变式1-1】（2023春 平凉期末）方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 　 　．
【变式1-2】（2021春 长宁县月考）已知方程组是二元一次方程组，求m的值．
【变式1-3】（2023春 自贡期末）已知关于x、y的方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8，
试问：①当k为何值时此方程为一元一次方程？
②当k为何值时此方程为二元一次方程？
【知识点2 二元一次方程（组）的解】
3、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法
【题型2 二元一次方程（组）的解】
【例2】（2023春 开福区月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（　　）
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
【变式2-1】（2023春 嵊州市期末）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+y＝16的解，则k的值为 　 　．
【变式2-2】（2023春 遂宁期末）关于x，y的二元一次方程2x+3y＝12的非负整数解有 　 　组．
【变式2-3】（2022春 永定区期中）若是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．
【题型3 构建二元一次方程组】
【例3】（2023春 江津区期末）如果|x﹣y﹣3|+（x+3y+1）2＝0，那么x，y的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2022 奉贤区三模）如果单项式x4ym﹣n与2019xm+ny2是同类项，那么m+n的算术平方根是 　 　．
【变式3-2】（2023春 海陵区期末）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝　 　．
a、b的运算 a+b a﹣b （a+2b）3
运算的结果 5 9 m
【变式3-3】（2023春 三门峡期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：x y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数．已知1 2＝9，（﹣3） 3＝﹣2，则2a﹣b＝　 　．
【题型4 整体换元求值】
【例4】（2023春 绥棱县期末）已知x，y满足方程组，则11x+11y的值为（　　）
A．﹣22 B．22 C．11m D．14
【变式4-1】（2023 安徽二模）若x2﹣y2＝2023，且x﹣y＝1．则x＝　 　．
【变式4-2】（2023春 自贡期末）阅读以下材料：
解方程组．
解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得4×1﹣y＝5，解得y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①解得，这种方法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组．
【变式4-3】（2023春 福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，
把方程①代入③得：2×3+y＝5，
∴y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得x＝4，
∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
【题型5 由方程组的错解问题求参数的值】
【例5】（2022春 定州市校级期末）解方程组时，一学生把c看错而得，正确的解是，那么a、b、c的值是（　　）
A．不能确定 B．a＝4，b＝5，c＝﹣2
C．a，b不能确定，c＝﹣2 D．a＝4，b＝7，c＝2
【变式5-1】（2022春 牡丹江期中）甲乙两人解方程组，由于甲看错了方程①中的a，而得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，而得到的解为，则a+b＝　 　．
【变式5-2】（2023春 青川县期末）解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值．
【变式5-3】（2022春 邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为”，而小红说：“我求出的解是，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．
【题型6 根据方程组解的个数求参数】
【例6】（2023春 江夏区期末）如果关于x，y的方程组的解是正数，那a的取值范围是（　　）
A．﹣4＜a＜5 B．a＞5 C．a＜﹣4 D．无解
【变式6-1】（2022秋 锦江区校级期中）若方程组有无数组解，则a+b＝（　　）
A．2 B．3 C．﹣1 D．0
【变式6-2】（2023春 仓山区期中）关于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有　 　．（写出所有正确的序号）
①当m＝1，n＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；
②当m＝1且n≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；
③当m＝7，n＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；
④当m＝7且n≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．
【变式6-3】（2023春 汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y4x（x、y为正整数）．要使y＝4x为正整数，则x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解　　．
（2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有　 　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
二元一次方程组及其解法-重难点题型
【知识点1 二元一次方程（组）的概念】
1、二元一次方程
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
2、二元一次方程组
含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。
【题型1 二元一次方程（组）的概念】
【例1】（2023春 常德期末）若方程（n﹣1）x|n|﹣3ym﹣2025＝5是关于x，y的二元一次方程，则nm＝　1　．
【解题思路】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【解答过程】解：由方程（n﹣1）x|n|﹣3ym﹣2025＝5是关于x，y的二元一次方程，
得|n|＝1且n﹣1≠0；m﹣2025＝1．
解得n＝﹣1，m＝2026．
nm＝（﹣1）2026＝1，
故答案为：1．
【变式1-1】（2023春 平凉期末）方程组是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 　﹣1　．
【解题思路】利用二元一次方程组的定义确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答过程】解：由题意得：|a|＝1，b﹣5＝0，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1，b＝5，
则原式＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【变式1-2】（2021春 长宁县月考）已知方程组是二元一次方程组，求m的值．
【解题思路】根据二元一次方程组的定义得到|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0．由此可以求得m的值．
【解答过程】解：依题意，得
|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0，
解得m＝5．
故m的值是5．
【变式1-3】（2023春 自贡期末）已知关于x、y的方程（k2﹣4）x2+（k+2）x+（k﹣6）y＝k+8，
试问：①当k为何值时此方程为一元一次方程？
②当k为何值时此方程为二元一次方程？
【解题思路】（1）若方程为关于x、y的一元一次方程，则二次项系数应为0，然后x或y的系数中有一个为0，另一个不为0即可．
（2）若方程为关于x、y的二元一次方程，则二次项系数应为0且x或y的系数不为0．
【解答过程】解：（1）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：
①，解得k＝﹣2；
②，无解，
所以k＝﹣2时，方程为一元一次方程．
（2）根据二元一次方程的定义可知，解得k＝2，
所以k＝2时，方程为二元一次方程．
【知识点2 二元一次方程（组）的解】
3、二元一次方程的解
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
4、二元一次方程组的解
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
5、二元一次方程组的解法
（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法
【题型2 二元一次方程（组）的解】
【例2】（2023春 开福区月考）已知关于x，y的二元一次方程组的解中x，y均为整数，且m为正整数，则m2﹣1的值为（　　）
A．3或48 B．3 C．4或49 D．48
【解题思路】先求解二元一次方程组得x，再由x是整数，m为正整数，可得3+m＝10或3+m＝5，求出m的值，再验证y值是否符合，即可求解．
【解答过程】解：，
①+②，得3x+mx＝10，
合并同类项，得（3+m）x＝10，
解得x，
∵x是整数，m为正整数，
∴3+m＞3，
∴3+m＝10或3+m＝5，
∴m＝7或m＝2，
当m＝7时，x＝1，y（舍），
当m＝2时，x＝2，y＝3，
∴m2﹣1＝3，
故选：B．
【变式2-1】（2023春 嵊州市期末）关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+y＝16的解，则k的值为 　1　．
【解题思路】将方程组中两个方程相加得，2x＝14k，相减得2y＝4k，再由2x+y＝16，即可求k．
【解答过程】解：，
①+②得，2x＝14k，
①﹣②得，2y＝4k，
∴y＝2k，
∵2x+y＝16，
∴16k＝16，
∴k＝1，
故答案为1．
【变式2-2】（2023春 遂宁期末）关于x，y的二元一次方程2x+3y＝12的非负整数解有 　3　组．
【解题思路】将x＝0，1，2，…，分别代入2x+3y＝12，求出二元一次方程2x+3y＝12的非负整数解有多少组即可．
【解答过程】解：当x＝0时，方程2x+3y＝12变形为3y＝12，解得y＝4；
当x＝3时，方程2x+3y＝12变形为6+3y＝12，解得y＝2；
当x＝6时，方程2x+3y＝12变形为12+3y＝12，解得y＝0；
∴关于x，y的二元一次方程2x+3y＝12的非负整数解有3组：、和．
故答案为：3．
【变式2-3】（2023春 永定区期中）若是二元一次方程ax﹣by＝5和ax+2by＝8的公共解，求b﹣2a的值．
【解题思路】将分别代入ax﹣by＝5和ax+2by＝2，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，再代入所求式子计算即可．
【解答过程】解：将分别代入ax﹣by＝5和ax+2by＝2得：，
解得：，
∴b﹣2a＝1﹣2×3＝﹣5．
【题型3 构建二元一次方程组】
【例3】（2023春 江津区期末）如果|x﹣y﹣3|+（x+3y+1）2＝0，那么x，y的值为（　　）
A． B． C． D．
【解题思路】根据绝对值和偶次方的非负性得出方程组，再求出方程组的解即可．
【解答过程】解：∵|x﹣y﹣3|+（x+3y+1）2＝0，
∴x﹣y﹣3＝0且x+3y+1＝0，
即，
②﹣①，得4y＝﹣4，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①，得x+1＝3，
解得：x＝2，
即，
故选：B．
【变式3-1】（2023 奉贤区三模）如果单项式x4ym﹣n与2019xm+ny2是同类项，那么m+n的算术平方根是 　2　．
【解题思路】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程组，求出n，m的值，进而求出m+n的值，再根据算术平方根的定义计算即可．
【解答过程】解：∵单项式x4ym﹣n与2019xm+ny2是同类项，
∴，
∴m+n的算术平方根是2．
故答案为：2．
【变式3-2】（2023春 海陵区期末）已知a、b都是有理数，观察表中的运算，则m＝　27　．
a、b的运算 a+b a﹣b （a+2b）3
运算的结果 5 9 m
【解题思路】先根据表格得出方程组，求出方程组的解，再代入m＝（a+2b）3求出m即可．
【解答过程】解：根据题意得：，
解得：，
所以m＝（a+2b）3＝（7+2×（﹣2）]3＝27，
故答案为：27．
【变式3-3】（2023春 三门峡期末）对于有理数x，y，定义一种新运算：x y＝ax+by﹣5，其中a，b为常数．已知1 2＝9，（﹣3） 3＝﹣2，则2a﹣b＝　3　．
【解题思路】先根据新运算得出方程组，求出方程组的解，最后代入求出答案即可．
【解答过程】解：∵1 2＝9，（﹣3） 3＝﹣2，
∴，
①×3+②，得9b﹣20＝25，
解得：b＝5，
把b＝5代入①，得a+10﹣5＝9，
解得：a＝4，
所以2a﹣b＝2×4﹣5＝3，
故答案为：3．
【题型4 整体换元求值】
【例4】（2023春 绥棱县期末）已知x，y满足方程组，则11x+11y的值为（　　）
A．﹣22 B．22 C．11m D．14
【解题思路】两方程相加，可得x+y＝﹣2，再乘以11可得结论．
【解答过程】解：，
①+②得：7x+7y＝﹣14，
x+y＝﹣2，
∴11x+11y＝﹣22，
故选：A．
【变式4-1】（2023 安徽二模）若x2﹣y2＝2023，且x﹣y＝1．则x＝　1011　．
【解题思路】利用平方差公式求出x+y的值，联立求出x的值即可．
【解答过程】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2023，且x﹣y＝1，
∴x+y＝2023，
联立得：，
①+②得：2x＝2023，
解得：x＝1011．
故答案为：1011．
【变式4-2】（2023春 自贡期末）阅读以下材料：
解方程组．
解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得4×1﹣y＝5，解得y＝﹣1；
把y＝﹣1代入①解得，这种方法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组．
【解题思路】由第一个方程求出2x﹣3y的值，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
【解答过程】解：由①得：2x﹣y＝2③，
将③代入②得2y＝12，即y＝5，
将y＝5代入③得：x＝3.5
则方程组的解为．
【变式4-3】（2023春 福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5即2（2x+5y）+y＝5③，
把方程①代入③得：2×3+y＝5，
∴y＝﹣1，
把y＝﹣1代入①得x＝4，
∴方程组的解为．
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组；
（2）已知x，y满足方程组，求x2+4y2与xy的值；
（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解．
【解题思路】（1）把第2个方程变形为3x+2（3x﹣2y）＝19，则利用整体代换消去y，求出x的值，然后利用代入法求出y得到方程组的解；
（2）对方程组进行变形，则利用整体代换求出xy的值，把xy的值代入第一个方程，得x2+4y2；
（3）确定符合xy＝2的所有整数解，然后对x2+4y2＝17进行验证，从而求解．
【解答过程】解：（1），
将方程②变形，3x+6x﹣4y＝19，即3x+2（3x﹣2y）＝19③，
把方程①代入③，得：3x+2×5＝19，解得：x＝3，
把x＝3代入①，得：3×3﹣2y＝5，解得：y＝2，
∴方程组的解为；
（2），
将方程组变形，得：，
将④﹣③，得：，解得：xy＝2，
将xy＝2代入④，得：x2+4y2+1＝18，
∴x2+4y2＝17；
∴x2+4y2的值为17，xy的值为2；
（3）由（2）可得xy＝2，
当x，y均为整数时，或或或，
当x＝1，y＝2时，x2+4y2＝17，
当x＝﹣1，y＝﹣2时，x2+4y2＝17，
当x＝2，y＝1时，x2+4y2＝8≠17，（故舍去），
当x＝﹣2，y＝﹣1时，x2+4y2＝8≠17，（故舍去），
∴在（2）的条件下，这个方程组的所有整数解为或．
【题型5 由方程组的错解问题求参数的值】
【例5】（2023春 定州市校级期末）解方程组时，一学生把c看错而得，正确的解是，那么a、b、c的值是（　　）
A．不能确定 B．a＝4，b＝5，c＝﹣2
C．a，b不能确定，c＝﹣2 D．a＝4，b＝7，c＝2
【解题思路】把代入方程cx﹣7y＝8得3c﹣7×（﹣2）＝8，求得c，把和分别代入方程ax+by＝2得代入方程，建立a、b的方程组求得a、b即可．
【解答过程】解：把代入方程cx﹣7y＝8得3c﹣7×（﹣2）＝8，
解得c＝﹣2，
把和分别代入方程ax+by＝2得，
解得：a＝4，b＝5．
故选：B．
【变式5-1】（2023春 牡丹江期中）甲乙两人解方程组，由于甲看错了方程①中的a，而得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，而得到的解为，则a+b＝　9　．
【解题思路】甲看错了a，可把甲的解代入②求得b，乙看错了b，则可把乙的解代入①，可求得a的值，可求得a+b的值．
【解答过程】解：∵甲看错了方程①中的a，而得到方程组的解为，
∴可把代入②，可得﹣4×3+b＝﹣2，解得b＝10，
∵乙看错了方程②中的b，而得到的解为，
∴可把代入①，可得到5a+4×5＝15，解得a＝﹣1，
∴a+b＝﹣1+10＝9．
故答案为：9．
【变式5-2】（2023春 青川县期末）解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出，乙因为把c抄错了，误解为，求a，b，c的值．
【解题思路】把甲的结果代入方程组求出c的值，以及关于a与b的方程，再将已知的结果代入第一个方程得到关于a与b的方程，联立求出a与b的值即可．
【解答过程】解：把代入方程组得：，
解得：c＝2，
把代入方程组中第一个方程得：4a﹣b＝9，
联立得：，
解得：，
则a＝2.5，b＝1，c＝2．
【变式5-3】（2023春 邗江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方程组的系数看不清了，显示如下，同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解为”，而小红说：“我求出的解是，于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致”，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来．
【解题思路】设原方程组为，把代入②，求出c，把和代入①，得出方程组，求出a、b的值，即可得出答案．
【解答过程】解：设原方程组为，
把代入②得：3c+14＝8，
解得：c＝﹣2，
把和代入①得：，
解得：a＝4，b＝5，
即原方程组为．
【题型6 根据方程组解的个数求参数】
【例6】（2023春 江夏区期末）如果关于x，y的方程组的解是正数，那a的取值范围是（　　）
A．﹣4＜a＜5 B．a＞5 C．a＜﹣4 D．无解
【解题思路】将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，根据x与y都为正数，取出a的范围即可．
【解答过程】解：解方程组，得：，
∵方程组的解为正数，
∴，
解得：﹣4＜a＜5，
故选：A．
【变式6-1】（2023秋 锦江区校级期中）若方程组有无数组解，则a+b＝（　　）
A．2 B．3 C．﹣1 D．0
【解题思路】方程组有无数组解，得出关于a，b的等式，再根据题意求得a、b，进而即可求得结果．
【解答过程】解：由关于x，y的方程组，
①×2﹣②得：（2a﹣4）x+（﹣2﹣b）y＝0，
∵方程组有无数组解，
∴2a﹣4＝0，﹣2﹣b＝0，
解得：a＝2，b＝﹣2，
∴a+b＝0，
故选：D．
【变式6-2】（2023春 仓山区期中）关于x，y的方程（m﹣1）x+4y＝2和3x+（n+3）y＝1，下列说法正确的有　②③④　．（写出所有正确的序号）
①当m＝1，n＝﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；
②当m＝1且n≠﹣3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；
③当m＝7，n＝﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解；
④当m＝7且n≠﹣1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解．
【解题思路】把m，n的值代入原方程，解方程组即可．
【解答过程】解：①当m＝1，n＝﹣3时，
原方程为4y＝2，3x＝1，
此时组成方程组的解为，不符合题意；
②当m＝1且n≠﹣3时，
原方程为4y＝2，3x+（n+3）y＝1，
组成方程组，解得：，符合题意；
③当m＝7，n＝﹣1时，
方程组为，
第一个方程化简得3x+2y＝1，与第二个方程相同，
所以有无数个解，符合题意；
④当m＝7且n≠﹣1时，
方程组为，
消去x，解得：y＝0或n＝﹣1，
∵n≠﹣1，
∴y＝0，此时x，
∴有且只有一个解，符合题意；
故答案为：②③④．
【变式6-3】（2023春 汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y4x（x、y为正整数）．要使y＝4x为正整数，则x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为．
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解　　．
（2）若为自然数，则满足条件的正整数x的值有　 　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求整数k的值．
【解题思路】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可；
（2）根据题意得出x﹣3＝6或3或2或1，求出即可；
（3）先求出y的值，即可求出k的值．
【解答过程】解：（1）方程3x+2y＝8的正整数解为，
故答案为；
（2）正整数有9，6，5，4，共4个，
故选B；
（3）
①×2﹣②得：（4﹣k）y＝8，
解得：y，
∵x，y是正整数，k是整数，
4﹣k＝1，2，4，8，
∴k＝3，2，0，﹣4，
但k＝3时，x不是正整数，故k＝2，0，﹣4．
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