浙教版七下专题2.3 二元一次方程组的应用（一）-重难点题型（含解析）

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二元一次方程组的应用（一）6大题型
【知识点1 二元一次方程组的应用】
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:(1)审题;(2)设元;(3)列方程组;(4)求解;(5)检验作答.
2.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足:(1)方程两边表示的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.
3.注意问题:(1)行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题;(2)工程问题注意总的工作量是由几部分组成的;(3)利润问题中注意利润和利息的算法;(4)配套问题对零件的配套关系容易弄混.
【知识点2 行程问题】
1.行程问题的基本数量关系:路程=时间×速度，时间=路程/速度，速度=路程/时间.
2.相遇问题的基本数量关系:路程和=时间×速度之和;追击问题:路程差=时间×速度之差
3.顺流(风)速度=船(飞机)速+水(风)速;逆流(风)速度=船(飞机)速一水(风)速.
【题型1 相遇与追击问题】
【例1】（2022 龙陵县开学）A，B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A，B两地出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，那么甲、乙两车的速度分别为 　 　．
【变式1-1】（2022春 广饶县期末）某体育场的环形跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．则甲的速度是　 　m/s．
【变式1-2】（2022秋 枣庄月考）一列快车长230米，一列慢车长220米，若快车从后面追慢车，快车从车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头，需90秒钟；若两车相向而行，两车车头相遇到车尾离开，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？
【变式1-3】（2023 西城区校级开学）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，动车与快车平均每小时各行驶多少千米？
【题型2 顺流与逆流问题】
【例2】（2022春 南岗区校级期中）A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时　 　千米．
【变式2-1】（2023春 五常市期末）A，B两地相距100海里，某船从A地顺流到B地需5h，从B地逆流到A地需8h，设船在静水中的速度为每小时x海里，水流的速度为每小时y海里，根据题意，列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（2023春 滑县期末）一条船顺流航行，每小时行25km；逆流航行，每小时行19km．求该船在静水中的速度与水的流速．
【变式2-3】（2022 百色）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
【知识点3 工程问题】
1.基本数量关系: 工作总量=工作时间×工作效率；工作时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间；甲的工作量十乙的工作量=甲乙合作的工作总量.
2.当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1".)题型- -有具体数量作为工作量
【题型3 有具体数量作为工作量】
【例3】（2023春 绥中县期末）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工两天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米．设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意，列出方程组 　 　．
【变式3-1】（2022春 张家港市期末）一批零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合作，再做8天正好做完；如果乙先做5天后，甲加人合作，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件？
【变式3-2】（2023 泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【变式3-3】（2023春 韩城市期末）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，请你将张红列出的这个不完整的方程组补充完整，并说明未知数p、q表示的含义；
（2）李芳同学的思路是设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
【题型4 没有具体数量作为工作量】
【例4】（2022春 门头沟区期末）解答题：小芳家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需要6周完成，共需要装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需要装修费4.8万元，小芳的父母商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约开支的角度应该选择哪家公司来做？请说明理由．
【变式4-1】（2022春 曲阜市校级期中）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，5天可以完成，需付两队费用共3500元；若先请甲队单独做3天，再请乙队单独做6天可以完成，需付两队费用共3300元．问：
（1）甲、乙两队每天的费用各为多少？
（2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？
【变式4-2】（2022 越秀区校级二模）今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？
【变式4-3】（2023 天心区开学）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．
【知识点4 商品经济问题】
利润问题:利润=售价-进价=进价×利润率，利润率=(售价-进价) ÷进价×100% ，实际售价=标价×打折率.
【题型5 盈亏问题】
【例5】（2022秋 锦州期末）某公司用3000元购进两种货物，货物卖出后，一种货物的利润率是10%，另一种货物的利润率是11%，两种货物共获利315元，如果设该公司购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，则列出的方程组是　 　．
【变式5-1】（2023春 九龙坡区期中）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．
（1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元；
（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．
【变式5-2】（2023春 嘉定区期中）目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，这两种型号的节能灯的进价、售价如表：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 45 60
（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？
【变式5-3】（2023春 常德期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元，求：
（1）甲服装的成本和乙服装的成本分别是多少元？
（2）若两件服装都打8折，商店共可获利多少元？
【题型6 销售方案问题】
【例6】（2023春 思明区校级月考）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下购买情况：
免洗手消毒液 84消毒液 总花费
第一次购买 40瓶 90瓶 1320
第二次购买 60瓶 120瓶 1860
（1）求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：
方案一：所有购买商品均打九折；
方案二：每购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液；
学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更省钱？省多少钱？
【变式6-1】（2023春 裕华区校级期末）“新冠肺炎”期间，大伟一家所在小区施行“封闭式管理”，按照相关规定，每家每户每两天可派一人出去购物．大伟拿300元去超市购买甲、乙、丙三种生活必需品，其中甲、乙、丙三种商品的单价分别为100元，60元、20元，大伟妈妈说每种商品至少买一件且甲商品最多买两件，若300元刚好用完，则大伟的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【变式6-2】（2023春 白碱滩区期末）班委会决定，选购圆珠笔、钢笔共22支，送给山区学校的同学．已知圆珠笔每支5元，钢笔每支6元．
（1）若购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案．
【变式6-3】（2023春 长沙期末）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．
（1）请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中a＞15），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
二元一次方程组的应用（一）-重难点题型
【知识点1 二元一次方程组的应用】
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤:(1)审题;(2)设元;(3)列方程组;(4)求解;(5)检验作答.
2.有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足:(1)方程两边表示的是同类量;(2)同类量的单位要统一;(3)方程两边的数值要相等.
3.注意问题:(1)行程问题中注意单位的变换及时间的早晚问题;(2)工程问题注意总的工作量是由几部分组成的;(3)利润问题中注意利润和利息的算法;(4)配套问题对零件的配套关系容易弄混.
【知识点2 行程问题】
1.行程问题的基本数量关系:路程=时间×速度，时间=路程/速度，速度=路程/时间.
2.相遇问题的基本数量关系:路程和=时间×速度之和;追击问题:路程差=时间×速度之差
3.顺流(风)速度=船(飞机)速+水(风)速;逆流(风)速度=船(飞机)速一水(风)速.
【题型1 相遇与追击问题】
【例1】（2022 龙陵县开学）A，B两地相距150千米，甲、乙两车分别从A，B两地出发，同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇，那么甲、乙两车的速度分别为 　75千米/时，25千米/时　．
【分析】设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时，根据“同向而行，甲车3小时可追上乙车；相向而行，两车1.5小时相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两车的速度．
【解答】解：设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时，
依题意得：，
解得：．
故答案为：75千米/时，25千米/时．
【变式1-1】（2022春 广饶县期末）某体育场的环形跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次．则甲的速度是　　m/s．
【分析】设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，根据“某体育场的环形跑道长400m，如果反向而行，他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲的速度为xm/s，乙的速度为ym/s，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：．
【变式1-2】（2022秋 枣庄月考）一列快车长230米，一列慢车长220米，若快车从后面追慢车，快车从车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头，需90秒钟；若两车相向而行，两车车头相遇到车尾离开，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？
【分析】设快车的速度为x米/秒，慢车的速度为y米/秒，根据题意列方程组求解．
【解答】解：设快车的速度为x米/秒，慢车的速度为y米/秒，依题意有
，
解得 ．
答：快车的速度为15米/秒，慢车的速度为10米/秒．
【变式1-3】（2023 西城区校级开学）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，动车与快车平均每小时各行驶多少千米？
【分析】设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，根据“一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出动车与快车平均每小时行驶的路程．
【解答】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，
依题意得：，
解得：．
答：动车平均每小时行驶330千米，快车平均每小时行驶170千米．
【题型2 顺流与逆流问题】
【例2】（2022春 南岗区校级期中）A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，则这艘轮船在静水中的速度是每小时　17　千米．
【分析】设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，由于A、B两个码头相距140千米，一艘轮船在其间航行，顺流用了7小时，逆流用了10小时，由此即可方程组解决问题．
【解答】解：设这艘船在静水中的速度和水流速度分别为x千米/小时，y千米/小时，
依题意得，
解得：，
答：这艘船在静水中的速度为17千米/小时，
故答案为：17．
【变式2-1】（2023春 五常市期末）A，B两地相距100海里，某船从A地顺流到B地需5h，从B地逆流到A地需8h，设船在静水中的速度为每小时x海里，水流的速度为每小时y海里，根据题意，列方程组正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】设船在静水中的速度为每小时x海里，水流的速度为每小时y海里，根据“A，B两地相距100海里，某船从A地顺流到B地需5h，从B地逆流到A地需8h”和船在水中的速度＝水速+船在静水中的速度列出方程组．
【解答】解：设船在静水中的速度为每小时x海里，水流的速度为每小时y海里，
根据题意知：．
故选：C．
【变式2-2】（2023春 滑县期末）一条船顺流航行，每小时行25km；逆流航行，每小时行19km．求该船在静水中的速度与水的流速．
【分析】设该船在静水中的速度为xkm/h，水的流速为ykm/h，根据“顺流航行，每小时行25km；逆流航行，每小时行19km”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出该船在静水中的速度与水的流速．
【解答】解：设该船在静水中的速度为xkm/h，水的流速为ykm/h，
依题意得：．
解得：．
答：该船在静水中的速度为22 km/h，水的流速为3 km/h．
【变式2-3】（2022 百色）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
【分析】（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，根据时间＝路程÷速度，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意，得：，
解得：．
答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时．
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，
依题意，得：，
解得：a．
答：甲、丙两地相距千米．
【知识点3 工程问题】
1.基本数量关系: 工作总量=工作时间×工作效率；工作时间=工作总量÷工作效率；工作效率=工作总量÷工作时间；甲的工作量十乙的工作量=甲乙合作的工作总量.
2.当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1".)题型- -有具体数量作为工作量
【题型3 有具体数量作为工作量】
【例3】（2023春 绥中县期末）某市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工两天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米．设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意，列出方程组 　　．
【分析】根据甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程和甲工程队每天比乙工程队多施工2米，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案是：．
【变式3-1】（2022春 张家港市期末）一批零件共1100个，如果甲先做5天后，乙加入合作，再做8天正好做完；如果乙先做5天后，甲加人合作，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件？
【分析】设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，根据“甲工作13天，乙工作8天可做1100个零件；甲工作9天，乙工作14天可做1100个零件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，
依题意，得：，
解得：．
答：甲每天做60个零件，乙每天做40个零件．
【变式3-2】（2023 泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【分析】设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，则两队原计划平均每月修建（x+y）km，技术创新后两队原计划平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根据原计划30个月完工，通过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出二元一次方程组，求解即可求出结果．
【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，
根据题意得，，
解得，
答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km．
【变式3-3】（2023春 韩城市期末）甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建3000m的村路，甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，共用18天完成．
（1）粗心的张红同学，根据题意，列出的两个二元一次方程等号后面忘记写数据，得到了一个不完整的二元一次方程组，请你将张红列出的这个不完整的方程组补充完整，并说明未知数p、q表示的含义；
（2）李芳同学的思路是设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，请你按照李芳的思路，求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？
【分析】（1）由两队共用18天完成修路任务可得出p+q＝18；利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合甲、乙两队的工作效率，可得出150p+200q＝3000，且p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间；
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，根据两工程队接力18天完成3000m的修路任务，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入和中即可得出结论．
【解答】解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力完成修路任务，且共用18天完成，
∴p+q＝18；
∵甲队每天修建150m，乙队每天修建200m，18天共完成修建3000m的村路，
∴150p+200q＝3000，
∴p表示甲工程队修路时间，q表示乙工程队修路时间．
（2）设甲工程队修建了xm村路，乙工程队修建了ym村路，
依题意得：，
解得：，
∴12，6．
答：甲工程队修建了12天，乙工程队修建了6天．
【题型4 没有具体数量作为工作量】
【例4】（2022春 门头沟区期末）解答题：小芳家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需要6周完成，共需要装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需要装修费4.8万元，小芳的父母商量后决定只选一个公司单独完成，如果从节约开支的角度应该选择哪家公司来做？请说明理由．
【分析】（1）设甲公司的工作效率为x，乙公司的工作效率为y，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设甲一周的装修费是m万元，乙一周的装修费是n万元，根据题意列出方程组即可求解．
【解答】解：（1）设甲公司的工作效率为x，乙公司的工作效率为y．
依题意列方程组，得
解这个方程组，得
所以，甲公司单独做需10周，乙公司单独做需15周；
（2）设甲一周的装修费是m万元，乙一周的装修费是n万元．
依题意列方程组，得
解这个方程组，得
甲单独做的装修费：（万元），
乙单独做的装修费：（万元），
答：从节约开支角度考虑应选乙公司．
【变式4-1】（2022春 曲阜市校级期中）修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，5天可以完成，需付两队费用共3500元；若先请甲队单独做3天，再请乙队单独做6天可以完成，需付两队费用共3300元．问：
（1）甲、乙两队每天的费用各为多少？
（2）若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？
【分析】（1）设甲队每天的费用为x元，乙队每天的费用为y元，根据“若请甲、乙两个工程队同时施工，5天可以完成，需付两队费用共3500元；若先请甲队单独做3天，再请乙队单独做6天可以完成，需付两队费用共3300元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲队单独施工需m天才能完工，乙队单独施工需n天才能完工，根据“若请甲、乙两个工程队同时施工，5天可以完成；若先请甲队单独做3天，再请乙队单独做6天可以完成”，即可得出关于m，n的方程组，解之即可得出m，n的值，再利用总费用＝每天所需费用×工作天数即可求出单独请甲、乙两队所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲队每天的费用为x元，乙队每天的费用为y元，
依题意，得：，
解得：．
答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为400元．
（2）设甲队单独施工需m天才能完工，乙队单独施工需n天才能完工，
依题意，得：，
解得：，
∴300m＝4500，400n＝3000．
∵4500＞3000，
∴单独请乙队施工费用较少．
【变式4-2】（2022 越秀区校级二模）今年是脱贫攻坚最后一年，某镇拟修一条连通贫困山区村子的公路，现有甲、乙两个工程队．若甲、乙合作，36天可以完成，需用600万元；若甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，这样所需550万元．
（1）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？
（2）求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少万元？
【分析】（1）设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需y天，由甲、乙合作，36天可以完成，甲单独做20天后，剩下的由乙做，还需40天才能完成，列出方程组，可求解；
（2）设甲队单独完成此项工程需a万元，乙队单独完成此项工程需b万元，由题意列出方程组，即可求解．
【解答】解：（1）设甲队单独完成此项工程需x天，乙队单独完成此项工程需y天，
由题意可得：，
解得：，
经检验，x＝180，y＝45是原方程组的解，
答：甲队单独完成此项工程需180天，乙队单独完成此项工程需45天；
（2）设甲队单独完成此项工程需a万元，乙队单独完成此项工程需b万元，
，
解得：，
答：甲队单独完成此项工程需1050万元，乙队单独完成此项工程需487.5万元，
【变式4-3】（2023 天心区开学）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．
【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据“甲、乙两个装修组同时施工8天，需付两组费用共3520元；甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，根据“请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可求出甲、乙两个装修组单独施工所需时间，利用总费用＝（每天需付装修费+200）×装修时间，可求出三个方案所需装修费用及耽误营业损失的费用之和，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲组工作一天商店应付300元，乙组工作一天商店应付140元．
（2）设甲组每天完成的工作量为m，乙组每天完成的工作量为n，
依题意得：，
解得：，
∴甲组单独完成装修所需时间为112（天），
乙组单独完成装修所需时间为124（天）．
施工方案①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+200）×12＝6000（元）；
施工方案②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（140+200）×24＝8160（元）；
施工方案③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为（300+140+200）×8＝5120（元）．
∵5120＜6000＜8160，
∴方案③请甲，乙两组合做最有利于商店经营．
【知识点4 商品经济问题】
利润问题:利润=售价-进价=进价×利润率，利润率=(售价-进价) ÷进价×100% ，实际售价=标价×打折率.
【题型5 盈亏问题】
【例5】（2022秋 锦州期末）某公司用3000元购进两种货物，货物卖出后，一种货物的利润率是10%，另一种货物的利润率是11%，两种货物共获利315元，如果设该公司购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，则列出的方程组是　　．
【分析】设该公司购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，根据这两种货物的进货费用及销售后的利润，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设该公司购进这两种货物所用的费用分别为x元，y元，
依题意，得：．
故答案为：．
【变式5-1】（2023春 九龙坡区期中）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．
（1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元；
（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．
【分析】（1）设第一次购进的西瓜进价每千克x元，第二次购进的西瓜进价每千克y元，由题意：一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设每千克西瓜的售价为m元，由题意：两次购进的西瓜售价相同．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设第一次购进的西瓜进价每千克x元，第二次购进的西瓜进价每千克y元，
由题意得：，
解得：，
答：第一次购进的西瓜进价每千克4元；
（2）设每千克西瓜的售价为m元，
由题意得：m[400（1﹣4%）+800（1﹣6%）]﹣4400＝2984，
解得：m＝6.5，
答：每千克西瓜的售价为6.5元．
【变式5-2】（2023春 嘉定区期中）目前节能灯在城市已基本普及，某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，这两种型号的节能灯的进价、售价如表：
进价（元/只） 售价（元/只）
甲型 25 30
乙型 45 60
（1）要使进货款恰好为23000元，甲、乙两种节能灯应各进多少只？
（2）如何进货，商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，此时利润为多少元？
【分析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，购进乙型节能灯y只，由题意：某商场计划购进甲、乙两种型号的节能灯共600只，进货款恰好为23000元，列出方程组，解之即可；
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（600﹣a）只，由题意：商场销售完节能灯时获利恰好是进货价的30%，列出一元一次方程，进而求解即可．
【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，购进乙型节能灯y只，
由题意，得：，
解得：，
答：购进甲型节能灯200只，购进乙型节能灯400只．
（2）设商场购进甲型节能灯a只，则购进乙型节能灯（600﹣a）只，
由题意，得：（30﹣25）a+（60﹣45）（600﹣a）＝[25a+45（600﹣a）]×30%，
解得：a＝225，
购进乙型节能灯600﹣225＝375（只），
则5×225+15×375＝6750（元），
答：商场购进甲型节能灯225只，购进乙型节能灯375只，此时利润为6750元．
【变式5-3】（2023春 常德期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按定价的9折出售，这样商店共获利157元，求：
（1）甲服装的成本和乙服装的成本分别是多少元？
（2）若两件服装都打8折，商店共可获利多少元？
【分析】（1）设甲服装的成本为x元，乙服装的成本为y元，根据“甲、乙两件服装的成本共500元，打折销售后两件服装共获利157元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用利润＝销售收入﹣成本，即可求出结论．
【解答】解：（1）设甲服装的成本为x元，乙服装的成本为y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．
（2）0.8×[（1+50%）×300+（1+40%）×200]﹣500
＝0.8×[450+280]﹣500
＝0.8×730﹣500
＝584﹣500
＝84（元）．
答：若两件服装都打八折，商店共可获利84元．
【题型6 销售方案问题】
【例6】（2023春 思明区校级月考）在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下购买情况：
免洗手消毒液 84消毒液 总花费
第一次购买 40瓶 90瓶 1320
第二次购买 60瓶 120瓶 1860
（1）求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：
方案一：所有购买商品均打九折；
方案二：每购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液；
学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更省钱？省多少钱？
【分析】（1）设每瓶免洗手消毒液的价格是x元，每瓶84消毒液的价格是y元，根据总价＝单价×数量，结合两次购买的数量及总花费，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，结合两种促销方案的优惠政策，即可分别求出选择两个方案所需费用，比较并做差后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液的价格是x元，每瓶84消毒液的价格是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每瓶免洗手消毒液的价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元．
（2）选择方案一所需费用为（15×100+8×60）×0.9＝1782（元），
选择方案二所需费用为15×100+8×（602）＝1660（元）．
∵1782＞1660，
∴选择方案二更省钱，
1782﹣1660＝122（元）．
答：学校选用方案二更省钱，省122元钱．
【变式6-1】（2023春 裕华区校级期末）“新冠肺炎”期间，大伟一家所在小区施行“封闭式管理”，按照相关规定，每家每户每两天可派一人出去购物．大伟拿300元去超市购买甲、乙、丙三种生活必需品，其中甲、乙、丙三种商品的单价分别为100元，60元、20元，大伟妈妈说每种商品至少买一件且甲商品最多买两件，若300元刚好用完，则大伟的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【分析】设乙种商品买x件，丙种商品买y件，分甲种商品购买1件及甲种商品购买2件两种情况考虑，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各购买方案，数出购买方案的个数即可得出结论．
【解答】解：设乙种商品买x件，丙种商品买y件．
当甲种商品买1件时，100+60x+20y＝300，
∴y＝10﹣3x，
∵x，y均为正整数，
∴或或；
当甲种商品买2件时，200+60x+20y＝300，
∴y＝5﹣3x，
∵x，y均为正整数，
∴．
综上所述，购买方案共有4种．
故选：B．
【变式6-2】（2023春 白碱滩区期末）班委会决定，选购圆珠笔、钢笔共22支，送给山区学校的同学．已知圆珠笔每支5元，钢笔每支6元．
（1）若购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，问圆珠笔、钢笔各买了多少支？
（2）若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案．
【分析】（1）设购买了钢笔买了x支，圆珠笔买了y支，由题意：选购圆珠笔、钢笔共22支，圆珠笔每支5元，钢笔每支6元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购买了a支钢笔，则购买了（22﹣a）支圆珠笔，由题意：若购圆珠笔可9折优惠，钢笔可8折优惠，所需费用不超过100元，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设钢笔买了x支，圆珠笔买了y支．
由题意得：，
解得：，
答：圆珠笔买了12支，钢笔买了10支；
（2）设购买了a支钢笔，则购买了（22﹣a）支圆珠笔，
由题意，得：6a×0.8+5（22﹣a）×0.9≤100，
解题：a≤3，
∵a为整数，且小于22，
∴a最小为3，
∴一种选购方案可为：圆珠笔19支，钢笔3支．
【变式6-3】（2023春 长沙期末）某班有部分同学准备统一购买新的足球和跳绳．经班长统计共需要购买足球的有12名同学，需要购买跳绳的有10名同学．
（1）请根据图中班长和售货员阿姨的对话信息，分别求出足球和跳绳的单价；
（2）由于足球和跳绳的需求量增大，该体育用品商店老板计划再次购进足球a个和跳绳b根（其中a＞15），恰好用了1800元，其中足球每个进价为80元，跳绳每根的进价为15元，则有哪几种购进方案？
（3）假如（2）中所购进的足球和跳绳全部售出，且单价与（1）中的售价相同，为了使销售获利最多，应选择哪种购进方案？
【分析】（1）设足球的单价为x元，跳绳的单价为y元，由题意列出方程组，解方程组解可；
（2）由题意得80a+15b＝1800（a＞15），当全买足球时，可买足球的数量为22.5，对a、b的值进行讨论得两种方案即可；
（3）求出方案一利润和方案二利润，即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球的单价为x元，跳绳的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
∴足球的单价为100元，跳绳的单价为20元，
答：足球的单价为100元，跳绳的单价为20元；
（2）由题意得：80a+15b＝1800，（a＞15），
当全买足球时，可买足球的数量为：22.5，
∴15＜a＜22.5，
当a＝16时，b（舍去）；
当a＝17时，b（舍去）；
当a＝18时，b＝24；
当a＝19时，b（舍去）；
当a＝20时，b（舍去）；
当a＝21时，b＝8；
当a＝22时，b（舍去）；
∴有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；
方案二，购进足球21个，跳绳8根；
答：有两种方案：方案一，购进足球18个，跳绳24根；方案二，购进足球21个，跳绳8根；
（3）方案一利润：（100﹣80）×18+（20﹣15）×24＝480（元），
方案二利润：（100﹣80）×21+（20﹣15）×8＝460（元），
∵480元＞460元，
∴选方案一，购进足球18个，跳绳24根．
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