浙教版七下专题2.6 二元一次方程组章末重难点突破（含解析）

二元一次方程组章末重难点突破10大题型
【考点1 二元一次方程（组）的概念 】
【例1】（2023秋 濉溪县校级月考）下列四个方程组中，①②③④二元一次方程组有　　个．
【变式1-1】（2023秋 鄠邑区期末）已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b＝　　．
【变式1-2】（2023春 邵东县校级月考）方程2xm+1+3y2n＝5是二元一次方程，求m，n．
【变式1-3】（2023春 饶平县校级期中）已知方程组是二元一次方程组，求m的值．
【考点2 二元一次方程组的解】
【例2】（2023春 饶平县校级期末）已知、是关于x、y的二元一次方程ax+by＝3的两组解．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝5，y＝﹣1时，求代数式ax+by的值．
【变式2-1】（2023春 哈尔滨校级期中）方程的解x、y满足x+y＝0，求m的值．
【变式2-2】k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？
【变式2-3】（2023秋 濉溪县校级月考）对于关于x、y的二元一次方程ax+by＝﹣2，小雪、小轩、小浩分别写出了一个解，小雪写的是，小轩写的是，小浩写的是，如果小雪、小轩写的正确，请你判断小浩写的正确吗？
【考点3 解二元一次方程组】
【例3】（2023春 龙岩期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
【变式3-1】（2023秋 雁塔区校级月考）（1）用代入法求解
（2）用加减消元法求解
（3）．
【变式3-2】（2023春 新疆期末）对于有理数x，y，定义新运算：x y＝ax+by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．例如，3 4＝3a+4b，则若3 4＝8，即可知3a+4b＝8．
已知1 2＝1，（﹣3） 3＝6，求2 （﹣5）的值．
【变式3-3】（2023春 于都县校级期中）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得解为 试求（）2014+b2015的值．
【考点4 二元一次方程的整数解】
【例1】（2023秋 埇桥区月考）已知等式1993x+4y＝6063，其中x，y都是自然数，求xy的值．
【变式4-1】（2023春 奈曼旗期末）（1）填表，使上下每对x，y的值是方程3x+y＝5的解
x ﹣2 0.4 　　 　　
y 　　 　　 0 3
（2）写出二元一次方程3x+y＝5的正整数解：　 　．
【变式4-2】（2023春 渝北区期末）对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（p，q）．例如：当p＝23，q＝15时，将p十位上的2放置于q中1与5之间，将p个位上的3位置于q中5的右边，得到1253．将q十位上的1放置于p中2和3之间，将q个位上的5放置于p中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135＝3388，3388÷11＝308，所以F （23，15）＝308．
（1）计算：F （13，26）；
（2）若a＝10+m，b＝10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均为自然数）．当150F（a，18）+F（b，26）＝32761时，求m+n的值．
【变式4-3】（2023 北碚区校级模拟）若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t＝100（x+y）+10y+x，则称实数t为“加成数”，将t的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h．规定q＝t﹣h，f（m），例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝213，∴q＝321﹣213＝108，f（m）12．
（1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值；
（2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．
【考点5 二元一次方程组的应用之配套问题】
【例5】（2023秋 肥东县期末）在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．
（1）求这个班男生、女生各有多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
【变式5-1】（2023春 饶平县校级期末）某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
【变式5-2】（2023春 建昌县期末）一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
【变式5-3】（2023秋 楚雄州期末）一张方桌由一个桌面和四条桌脚组成，如果一立方米木材可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
【考点6 二元一次方程组的应用之行程问题】
【例6】（2023春 昆明期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？
【变式6-1】（2023春 伊通县期末）小明和小丽两相距8千米，小明骑自行车，小丽步行．两人同时出发相向而行，0.8小时相遇；若两人同时出发同向而行，小明2小时可以追上小丽，求小明、小丽每小时各前行多少千米？
【变式6-2】（2023 蚌埠模拟）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？解答上述问题．
【变式6-3】（2023春 黄埔区期末）小明从甲地步行到乙地要走一段上坡路与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地步行到乙地需54min，从乙地步行到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少km？
【考点7 二元一次方程组的应用之销售、工程问题】
【例7】（2023秋 沙坪坝区校级期中）在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．
（1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？
（2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案：
方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用＝定制物品的总费用+包装总费用）
【变式7-1】（2023 安徽模拟）甲、乙两个车间分别承担一种口罩生产的第一道工序和第二道工序，已知甲车间先开工完成了10万个，乙车间才开始生产，如果在相同时间内，甲车间能完成6万个，乙车间能完成8万个，求乙车间完成多少万个时恰好赶上甲车间的进度？
【变式7-2】（2023春 爱辉区期末）“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六；问人数、鸡价各几何？”（《九章算术》），题目的大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出九枚铜钱，则多了11枚钱；每人出六枚铜钱，则少了16枚铜钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的价钱是多少？（请列方程解答）
【变式7-3】（2023 泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【考点8 二元一次方程组的应用之几何问题】
【例8】（2023春 爱辉区期末）利用两块完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量数据如图，求桌子的高度．
【变式8-1】（2023春 漳州期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD．求大长方形ABCD的面积．
【变式8-2】（2023春 舞阳县期末）如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思想方法求出图中阴影部分面积是多少cm2？
【变式8-3】（2023春 奉化区校级期末）如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案
（1）根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
（2）若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积．
【考点9 二元一次方程组的应用之分段计费问题】
【例9】（2023春 南召县期末）随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式颇受欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按a元/km来计算，耗时费按b元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），甲，乙两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程和平均车速见表：
平均车速（km/h） 里程（km） 车费（元）
甲 60 8 12
乙 50 10 16
（1）求a，b的值；
（2）星期日，王老师也用该打车方式行驶了11km，若平均车速为55km/h，求王老师这次打车的总费用．
【变式9-1】（2023 南平）某煤气公司规定，每户居民每月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成．当煤气使用量不超过am3时，当月需缴纳保险费3元和基本月租费b元；当煤气使用量超过am3时，超出的部分还要按3.2元/m3计费．如果小红家3月、4月煤气使用量与缴费情况如右表，其中仅3月份煤气使用量未超过am3．
月份 煤气使用量（m3） 煤气费（元）
3月 4 10
4月 20 58
（1）请求出a，b的值；
（2）如果小红家5月份缴交煤气费42元，那么她家这个月煤气使用量为多少m3？
【变式9-2】（2023春 北海期末）某市一种出租车的起步价为10元，两位乘客分别乘这种出租车走了10km和14km，车费分别为21.2元和27.6元，假设一路顺利，没有停车等候，且不考虑计程器计费的某些特殊规定．请你算出这种出租车起步价所允许行驶的最远路程；并算出超过起步路程但行驶不到15km时，超过部分每千米车费为多少元？
【变式9-3】（2023春 曾都区期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3） 自来水销售价格（元/m3） 污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分 a 1.10
超出6m3不超出10m3的部分 b 1.10
超出10m3的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）．
已知2023年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
【考点10 二元一次方程组的应用之方案设计问题】
【例10】（2023春 铁西区期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆甲种货车需租金100元/次，1辆乙种货车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【变式10-1】（2023 罗山县一模）列方程组解应用题：
开学初，某中学八（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元，八（2）班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费230元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1500元全部购买A、B两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请分别设计出来．
【变式10-2】（2022春 郾城区期末）已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【变式10-3】（2023春 奉化区校级期末）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元；3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等．请回答以下问题：
（1）分别求出每款瓷砖的单价；
（2）若李师傅买两种瓷砖共花了1000元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少？
（3）李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为　 （直接写出答案）
二元一次方程组章末重难点突破
【考点1 二元一次方程（组）的概念 】
【例1】（2023秋 濉溪县校级月考）下列四个方程组中，①②③④二元一次方程组有　1　个．
【解题思路】根据二元一次方程组的定义进行解答．
【解答过程】解：①属于二元二次方程组．
②属于二元二次方程组．
③中的第二个方程属于分式方程，它不属于二元一次方程．
④符合二元一次方程的定义．
故答案是：1．
【变式1-1】（2023秋 鄠邑区期末）已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，则（a+b）b＝　9　．
【解题思路】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面考虑，求得a、b的值，代入（a+b）b中即可求出．
【解答过程】解：
因为3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是关于x、y的二元一次方程，
则，
利用代入法求出a＝1，b＝2．
把a＝1，b＝2代入，得（a+b）b＝9．
【变式1-2】（2023春 邵东县校级月考）方程2xm+1+3y2n＝5是二元一次方程，求m，n．
【解题思路】根据二元一次方程的定义，可得x和y的指数分别都为1，列关于m、n的方程，然后求解即可．
【解答过程】解：根据二元一次方程的定义，
m+1＝1，2n＝1，
解得m＝0，n．
【变式1-3】（2023春 饶平县校级期中）已知方程组是二元一次方程组，求m的值．
【解题思路】根据二元一次方程组的定义得到|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0．由此可以求得m的值．
【解答过程】解：依题意，得
|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0，
解得m＝5．
故m的值是5．
【考点2 二元一次方程组的解】
【例2】（2023春 饶平县校级期末）已知、是关于x、y的二元一次方程ax+by＝3的两组解．
（1）求a，b的值；
（2）当x＝5，y＝﹣1时，求代数式ax+by的值．
【解题思路】（1）本题可将两组的x、y的值代入二元一次方程中，得出．再运用加减消元法解出a、b的值；
（2）将（1）中计算出来的a、b的值和x＝5，y＝﹣1代入代数式即可解出本题的答案．
【解答过程】解：（1）由题意，得，
解得；
（2）当x＝5，y＝﹣1时，ax+by＝5a﹣b＝5×2﹣（﹣3）＝13．
【变式2-1】（2023春 哈尔滨校级期中）方程的解x、y满足x+y＝0，求m的值．
【解题思路】直接把两式相加，再把x+y＝0代入，求出m的值即可．
【解答过程】解：，
①+②得，3（x+y）＝3m+6，
∵x+y＝0，
∴3m+6＝0，
解得m＝﹣2．
【变式2-2】k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？
【解题思路】先将方程组整理成二元一次方程组的一般形式，再根据二元一次方程组的解的三种情况进行分析，从而得出结果．
【解答过程】解：原方程组可化为，
①当，即k≠﹣2时，原方程组有唯一一组解；
②当，即k无论取什么值，都不能使原方程组无解；
③当，即k＝﹣2时，原方程组有无穷多解．
【变式2-3】（2023秋 濉溪县校级月考）对于关于x、y的二元一次方程ax+by＝﹣2，小雪、小轩、小浩分别写出了一个解，小雪写的是，小轩写的是，小浩写的是，如果小雪、小轩写的正确，请你判断小浩写的正确吗？
【解题思路】先把小雪、小轩写的x、y的值代入二元一次方程求出a、b的值，再把小浩的解代入方程进行验证即可．
【解答过程】解：∵小雪、小轩写的x、y的值代入二元一次方程得，
，解得，
∴该二元一次方程为xy＝﹣2，
把小浩写的代入得，左边46＝﹣3≠﹣2，
∴小浩写的不正确．
【考点3 解二元一次方程组】
【例3】（2023春 龙岩期末）当a，b都是实数，且满足2a﹣b＝6，就称点P（a﹣1，1）为完美点．
（1）判断点A（2，3）是否为完美点．
（2）已知关于x，y的方程组，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B（x，y）是完美点，请说明理由．
【解题思路】（1）根据完美点的定义判定即可；
（2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题；
【解答过程】解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，1＝3，可得b＝4，
∵2a﹣b≠6，
∴A（2，3）不是完美点．
（2）∵，
∴，
3+m＝a﹣1，可得a＝m+4，
3﹣m1，可得b＝4﹣2m，
∵2a﹣b＝6，
∴2m+8﹣4+2m＝6，
∴m，
∴当m时，点B（x，y）是完美点．
【变式3-1】（2023秋 雁塔区校级月考）（1）用代入法求解
（2）用加减消元法求解
（3）．
【解题思路】（1）代入消元法求解可得；
（2）加减消元法求解可得；
（3）加减消元法求解可得．
【解答过程】解：（1），
由②得x＝3﹣4y③，
将③代入①得2（13﹣4y）+3y＝16，解得：y＝2，
将y＝2代入②得：x＝5，
∴原方程的解为；
（2）用加减消元法求解：
，
①×2得：10x﹣12y＝﹣6 ③
②×3得：21x﹣12y＝27④
④﹣③得：21x﹣12y﹣10x+12y＝33，解得：x＝3，
将x＝3代入①得：y＝3，
∴原方程组的解为；
（3），
②﹣①得：x﹣2y＝﹣1 ④
①×3得，3x+3y+3z＝12 ⑤
⑤+③得6x+y＝7 ⑥
⑥×2，得：12x+2y＝14 ⑦
⑦+④得13x＝13，解得：x＝1，
将x＝1代入④得y＝1，
将x＝1、y＝1代入①得z＝2，
∴原方程组的解为．
【变式3-2】（2023春 新疆期末）对于有理数x，y，定义新运算：x y＝ax+by，其中a，b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．例如，3 4＝3a+4b，则若3 4＝8，即可知3a+4b＝8．
已知1 2＝1，（﹣3） 3＝6，求2 （﹣5）的值．
【解题思路】根据运算关系得出关于a，b的等式，进而求出a，b的值，即可得出答案．
【解答过程】解：根据题意可得：，
则①+②得：b＝1，
则a＝﹣1，
故方程组的解为：，
则原式＝2a﹣5b＝﹣2﹣5＝﹣7．
【变式3-3】（2023春 于都县校级期中）甲、乙两人同时解方程组，甲看错了b，求得解为，乙看错了a，求得解为 试求（）2014+b2015的值．
【解题思路】把代入①中求出a的值，再把 代入②中求出b的值即可，再代入代数式解答即可．
【解答过程】解：∵甲看错了b，求得的解为，
∴把代入①得，a﹣1＝3，解得a＝4；
∵乙看错了a，求得的解为，
∴把 代入②得﹣1﹣3b＝1，解得b，
把a＝4，b代入（）2014+b2015＝1﹣（）2015．
【考点4 二元一次方程的整数解】
【例1】（2023秋 埇桥区月考）已知等式1993x+4y＝6063，其中x，y都是自然数，求xy的值．
【解题思路】根据题意可得6063是奇数，4y是偶数，所以1993x是奇数，所以x是奇数，进而可得结果．
【解答过程】解：因为1993x+4y＝6063，其中x，y都是自然数，
因为6063是奇数，4y是偶数，
所以1993x是奇数，
所以x是奇数，
因为1993×4大于6063，
所以奇数x＝1或x＝3，
当x＝1时，y是分数，不符合题意，舍去；
当x＝3时，1993×3+4y＝6063，
解得y＝21，
所以xy＝3×21＝63．
【变式4-1】（2023春 奈曼旗期末）（1）填表，使上下每对x，y的值是方程3x+y＝5的解
x ﹣2 0.4 　　 　　
y 　11　 　3.8　 0 3
（2）写出二元一次方程3x+y＝5的正整数解：　x＝1、y＝2　．
【解题思路】（1）当已知x的值时，把x的值代入解得到一个关于y的方程，解方程求得y的值；当已知y的值时，把y的值代入即可得到一个关于x的方程，解方程求得对应的x的值．据此计算补全表格；
（2）根据方程的解的概念求解可得．
【解答过程】解：（1）当x＝﹣2时，﹣6+y＝5，解得y＝11；
当x＝0.4时，1.2+y＝5，解得y＝3.8；
当y＝0时，3x＝5，解得x；
当y＝3时，3x+3＝5，解得x；
补全表格如下：
x ﹣2 0.4
y 11 3.8 0 3
（2）二元一次方程3x+y＝5的正整数解：x＝1、y＝2，
故答案为：x＝1、y＝2．
【变式4-2】（2023春 渝北区期末）对于两个两位数p和q，将其中任意一个两位数的十位上的数字和个位上的数字分别放置于另一个两位数十位上数字与个位上的数字之间和个位上的数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和与11的商记为F（p，q）．例如：当p＝23，q＝15时，将p十位上的2放置于q中1与5之间，将p个位上的3位置于q中5的右边，得到1253．将q十位上的1放置于p中2和3之间，将q个位上的5放置于p中3的右边，得到2135．这两个新四位数的和为1253+2135＝3388，3388÷11＝308，所以F （23，15）＝308．
（1）计算：F （13，26）；
（2）若a＝10+m，b＝10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均为自然数）．当150F（a，18）+F（b，26）＝32761时，求m+n的值．
【解题思路】（1）根据定义代入计算可得
（2）根据题意代入可得二元一次方程，解得m，n的整数解，可求m+n的值．
【解答过程】解：（1）F （13，26）＝（2163+1236）÷11＝309；
（2）∵当150F（a，18）+F（b，26）＝32761，
则150F（10+m，18）+F（10n+5，26）＝32761，
∴150[（1000+100+10m+8+1000+100+80+m）÷11]+（1000n+200+56+2000+100n+65）÷11＝32761，
150（208+m）+100n+211＝32761，
3m+2n＝27，
∴m＝3，n＝9，m+n＝12，
m＝5，n＝6，m+n＝11，
m＝7，n＝3，m+n＝10，
综上所述，m+n＝12或11或10．
【变式4-3】（2023 北碚区校级模拟）若一个三位数，其个位数加上十位数等于百位数，可表示为t＝100（x+y）+10y+x，则称实数t为“加成数”，将t的百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，组成一个新的三位数h．规定q＝t﹣h，f（m），例如：321是一个“加成数”，将其百位作为个位，个位作为十位，十位作为百位，得到的数h＝213，∴q＝321﹣213＝108，f（m）12．
（1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值；
（2）若f（m）是24的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个，并求出所有的“节气数”．
【解题思路】（1）根据新定义，由求f（m）最小值，可知就是求q的最小值，根据定义表示q＝t﹣h＝100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）＝9y+90x，可得结论；
（2）根据f（m）是24的倍数，f（m）＝24n（n为正整数），得q＝216n，由（1）中q＝9y+90x，列方程，解方程可得结论．
【解答过程】解：（1）∵f（m），
∴当f（m）最小时，q最小，
∵t＝100（x+y）+10y+x，h＝100y+10x+x+y＝101y+11x，
∴q＝t﹣h＝100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）＝9y+90x，且1≤y≤9，0≤x≤9，x、y为正整数，
当x＝0，y＝1时，q小＝9，此时对应的“加成数”是110；
（2）∵f（m）是24的倍数，
设f（m）＝24n（n为正整数），
则24n，q＝216n，
由（1）知：q＝9y+90x＝9（y+10x），
∴216n＝9（y+10x），
24n＝y+10x，（x+y＜10）
①当n＝1时，即y+10x＝24，解得：x＝2，y＝4，则这样的“节气数”是24；
②当n＝2时，即y+10x＝48，解得：x＝4，y＝8，x+y＝12＞10，不符合题意；
③当n＝3时，即y+10x＝72，解得：x＝7，y＝2，则这样的“节气数”是72；
①当n＝4时，即y+10x＝96，解得：x＝9，y＝6，x+y＝15＞10，不符合题意；
①当n＝5时，即y+10x＝120，没有符合条件的整数解，
综上，这样的“节气数”有2个，分别为24，72．
【考点5 二元一次方程组的应用之配套问题】
【例5】（2023秋 肥东县期末）在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．
（1）求这个班男生、女生各有多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
【解题思路】（1）由题意列出方程组，解方程组解可；
（2）分别计算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的数量，可得不配套；设男生应向女生支援y人，根据制作筒底的数量＝筒身的数量×2，根据等量关系列出方程，再解即可．
【解答过程】解：（1）由题意得：，
解得：，
答：这个班有男生有24人，女生有26人；
（2）男生剪筒底的数量：24×120＝2880（个），
女生剪筒身的数量：26×40＝1040（个），
因为一个筒身配两个筒底，2880：1040≠2：1，
所以原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套，
设男生应向女生支援a人，
由题意得：120（24﹣a）＝（26+a）×40×2，
解得：a＝4，
答：原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，每小时剪出的筒身与筒底不能配套；男生应向女生支援4人时，才能使每小时剪出的筒身与筒底配套．
【变式5-1】（2023春 饶平县校级期末）某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？
【解题思路】本题的等量关系为：生产螺栓的工人人数+生产螺母的工人人数＝60；生产的螺栓的数量×2＝生产的螺母的数量．由此可列出方程组求解．
【解答过程】解：设应安排x人生产螺栓，有y人生产螺母．
由题意，得，
解这个方程组得：，
答：应安排25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套．
【变式5-2】（2023春 建昌县期末）一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？
【解题思路】问题中有两个条件：①做桌面用的木料+做桌腿用的木料＝10；②4×桌面个数＝桌腿个数．据此可列方程组求解．
【解答过程】解：设用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿．
由题意得
解得．
6×50＝300（张）．
答：用6m3木料做桌面，4m3木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成300张方桌．
【变式5-3】（2023秋 楚雄州期末）一张方桌由一个桌面和四条桌脚组成，如果一立方米木材可制作方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现有5立方米木料，那么用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少张？
【解题思路】本题的等量关系为：做桌面的木料+做桌腿的木料＝5；桌面数量×4＝桌腿数量．
【解答过程】解：设桌面用木料x立方米，桌腿用木料y立方米，则
解得
50x＝150．
答：桌面3立方米，桌腿2立方米，方桌150张．
【考点6 二元一次方程组的应用之行程问题】
【例6】（2023春 昆明期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？
【解题思路】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，由题意：如果同时同地出发，反向而行，每隔分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，列出方程组，解方程组即可．
【解答过程】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
依题意，得：，
解得：，
答：甲每分钟跑圈，乙每分钟跑圈．
【变式6-1】（2023春 伊通县期末）小明和小丽两相距8千米，小明骑自行车，小丽步行．两人同时出发相向而行，0.8小时相遇；若两人同时出发同向而行，小明2小时可以追上小丽，求小明、小丽每小时各前行多少千米？
【解题思路】设小明每小时骑行x千米，小丽每小时走y千米，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答过程】解：设小明每小时骑行x千米，小丽每小时走y千米，
根据题意得：，
解得：，
答：小明每小时骑行7千米，小丽每小时走3千米．
【变式6-2】（2023 蚌埠模拟）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？解答上述问题．
【解题思路】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【解答过程】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
依题意，得：，
解得：，
答：风速为50里/分钟．
【变式6-3】（2023春 黄埔区期末）小明从甲地步行到乙地要走一段上坡路与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地步行到乙地需54min，从乙地步行到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少km？
【解题思路】设坡路长xkm；平路长ykm，由题意：上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，从甲地步行到乙地需54min，从乙地步行到甲地需42min．列出方程组，解方程组即可．
【解答过程】解：设坡路长xkm；平路长ykm，
由题意得：，
解得：，
则x+y＝3.1，
答：甲地到乙地全程是3.1km．
【考点7 二元一次方程组的应用之销售、工程问题】
【例7】（2023秋 沙坪坝区校级期中）在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．
（1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？
（2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案：
方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用＝定制物品的总费用+包装总费用）
【解题思路】（1）设定制一个水杯的单价为x元，一本手账的单价为y元，由题意：定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设定制水杯m个时，两种方案的总费用相同，则定制手账为（600﹣m）个，由题意：方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答过程】解：（1）设定制一个水杯的单价为x元，一本手账的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：定制一个水杯的单价为60元，一本手账的单价为20元；
（2）设定制水杯m个时，两种方案的总费用相同，则定制手账为（600﹣m）个，
则方案1的总费用为：0.8×[60m+20（600﹣m）+6m+（600﹣m）×1]＝36m+10080，
方案2的总费用为：60m+20（600﹣m﹣m）+4m+2×（600﹣m﹣m）＝20m+13200，
由题意得：36m+10080＝20m+13200，
解得：m＝195，
答：定制水杯195个时，两种方案的总费用相同．
【变式7-1】（2023 安徽模拟）甲、乙两个车间分别承担一种口罩生产的第一道工序和第二道工序，已知甲车间先开工完成了10万个，乙车间才开始生产，如果在相同时间内，甲车间能完成6万个，乙车间能完成8万个，求乙车间完成多少万个时恰好赶上甲车间的进度？
【解题思路】设甲车间再完成x万个，乙车间完成y万个时恰好赶上甲车间的进度，甲车间完成y万个，由题意：甲车间先开工完成了10万个，乙车间才开始生产，如果在相同时间内，甲车间能完成6万个，乙车间能完成8万个，列出方程组，解方程组即可．
【解答过程】解：设甲车间再完成x万个，乙车间完成y万个时恰好赶上甲车间的进度，
由题意得：，
解得：，
答：乙车间完成40万个时恰好赶上甲车间的进度．
【变式7-2】（2023春 爱辉区期末）“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六；问人数、鸡价各几何？”（《九章算术》），题目的大意是：有几个人共同出钱买鸡，每人出九枚铜钱，则多了11枚钱；每人出六枚铜钱，则少了16枚铜钱，那么有几个人共同买鸡？鸡的价钱是多少？（请列方程解答）
【解题思路】设有x人共同买鸡，鸡的价格为y钱，根据“每人出九钱，则多了十一钱；每人出六钱，则少了十六钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答过程】解：设有x人共同买鸡，鸡的价格为y钱，
依题意，得：，
解得：．
答：共有9人共同买鸡，鸡的价格为70钱．
【变式7-3】（2023 泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？
【解题思路】设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，则两队原计划平均每月修建（x+y）km，技术创新后两队原计划平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根据原计划30个月完工，通过技术创新提前5个月完工为等量关系即可列出二元一次方程组，求解即可求出结果．
【解答过程】解：设甲工程队原计划平均每月修建xkm，乙工程队原计划平均每月修建ykm，
根据题意得，，
解得，
答：甲工程队原计划平均每月修建2 km，乙工程队原计划平均每月修建3 km．
【考点8 二元一次方程组的应用之几何问题】
【例8】（2023春 爱辉区期末）利用两块完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量数据如图，求桌子的高度．
【解题思路】设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高度acm，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．
【解答过程】解：设长方体长xcm，宽ycm，桌子的高度为a cm，由题意，得
，
两个方程相加得：（x+a﹣y）+（y+a﹣x）＝150，
解得：2a＝150，
∴a＝75（cm）．
答：桌子的高度为75cm．
【变式8-1】（2023春 漳州期末）如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成一个周长为68的大长方形ABCD．求大长方形ABCD的面积．
【解题思路】设小长方形的长为x，宽为y，根据长方形的对边相等及大长方形的周长为68，列出x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的计算公式即可求出大长方形的面积．
【解答过程】解：设小长方形的长为x，宽为y，
依题意，得：，
解得：，
∴S大长方形＝2x （x+y）＝2×10×（10+4）＝280．
答：大长方形的面积为280．
【变式8-2】（2023春 舞阳县期末）如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，请你利用方程组的思想方法求出图中阴影部分面积是多少cm2？
【解题思路】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6个小长方形的面积，即可求出结论．
【解答过程】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得：，
解得：，
∴S阴影＝14×（6+2×2）﹣8×2×6＝44（cm2）．
答：图中阴影部分面积是44cm2．
【变式8-3】（2023春 奉化区校级期末）如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案
（1）根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？
（2）若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积．
【解题思路】（1）设大正方形和小正方形的边长分别是x厘米和y厘米，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为zcm，根据题意列方程得到z，根据正方形的面积公式即可得到结论．
【解答过程】解：（1）设大正方形和小正方形的边长分别是x厘米和y厘米，
由题意得，，
解得：，
答：大正方形和小正方形的边长分别是6厘米和2厘米；
（2）设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为zcm，
由题意得，6﹣2＝3×（2﹣z），
解得：z，
∴大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积＝6×6﹣4×2×2+3（cm2）．
【考点9 二元一次方程组的应用之分段计费问题】
【例9】（2023春 南召县期末）随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式颇受欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按a元/km来计算，耗时费按b元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），甲，乙两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程和平均车速见表：
平均车速（km/h） 里程（km） 车费（元）
甲 60 8 12
乙 50 10 16
（1）求a，b的值；
（2）星期日，王老师也用该打车方式行驶了11km，若平均车速为55km/h，求王老师这次打车的总费用．
【解题思路】（1）由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先求出王老师这次打车的时间，即可求解．
【解答过程】解：（1）甲同学行驶里程为8km，时间为608（分钟），
乙同学行驶里程为10km，时间为6012（分钟），
由题意得：，
解得：；
（2）王老师该次打车行驶里程为 11km，时间为6012（ 分钟），
则11a+12b＝11×1+1217（元），
答：王老师这次打车的总费用为17元．
【变式9-1】（2023 南平）某煤气公司规定，每户居民每月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成．当煤气使用量不超过am3时，当月需缴纳保险费3元和基本月租费b元；当煤气使用量超过am3时，超出的部分还要按3.2元/m3计费．如果小红家3月、4月煤气使用量与缴费情况如右表，其中仅3月份煤气使用量未超过am3．
月份 煤气使用量（m3） 煤气费（元）
3月 4 10
4月 20 58
（1）请求出a，b的值；
（2）如果小红家5月份缴交煤气费42元，那么她家这个月煤气使用量为多少m3？
【解题思路】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“在不超过am3时，基本月租加保险等于10元”和“超过am3时基本月租加保险加超出费用等于58元”，根据这两个等量关系可列出方程组．
【解答过程】解：（1）由题意得
解方程组得：b＝7，a＝5
（2）若设5月份用煤气xm3，则
7+（x﹣5）×3.2+3＝42
解得：x＝15
答：5月份用煤气15m3．
【变式9-2】（2023春 北海期末）某市一种出租车的起步价为10元，两位乘客分别乘这种出租车走了10km和14km，车费分别为21.2元和27.6元，假设一路顺利，没有停车等候，且不考虑计程器计费的某些特殊规定．请你算出这种出租车起步价所允许行驶的最远路程；并算出超过起步路程但行驶不到15km时，超过部分每千米车费为多少元？
【解题思路】设起步价允许行驶的最远路程是xkm，超过部分每千米车费是y元，关键描述语：出租车的起步价为10元，两位乘客分别乘这种出租车走了10km和14km，车费分别为21.2元和27.6元．
【解答过程】解：设起步价允许行驶的最远路程是xkm，超过部分每千米车费是y元，
则，
解得：，
答：起步价允许行驶的最远路程是3km，超过部分每千米车费是1.6元．
【变式9-3】（2023春 曾都区期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3） 自来水销售价格（元/m3） 污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分 a 1.10
超出6m3不超出10m3的部分 b 1.10
超出10m3的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）．
已知2023年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
【解题思路】（1）由题意：已知2023年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据阶梯计费价格表和a、b的值进行计算；
（3）设小聪家四月份的用水量为xm3，则五月份的用水量为（20﹣x）m3．分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可．
【解答过程】解：（1）由题意得：，
解得：；
（2）2.50+4.50＝7.00，
则6×2.5+（10﹣6）×4.5+（12.5﹣10）×7.00+12.5×1.10＝64.25（元），
答：小红家七月份应缴水费64.25元；
（3）设小聪家四月份的用水量为xm3，则五月份的用水量为（20﹣x）m3．
∵x＜20﹣x，
∴x＜10，
即四月份的用水量低于10m．
①当0＜x≤6时，缴费总量为：2.50x+6×2.50+4×4.50+（20﹣x﹣10）×7.00+20×1.10＝89，
解得x＝8＞6，不合题意，舍去；
②当6＜x＜10时，缴费总量为：6×2.50+（x﹣6）×4.50+6×2.50+4×4.50+（20﹣x﹣10）×7.00+20×1.10＝89，
解得：x＝9.6，
此时20﹣x＝10.4，符合题意；
答：小聪家四月份的用水量为9.6m3，五月份的用水量为10.4m3．
【考点10 二元一次方程组的应用之方案设计问题】
【例10】（2023春 铁西区期末）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆甲种货车需租金100元/次，1辆乙种货车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【解题思路】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以列出相应的二元一次方程，然后根据辆数为整数，即可写出相应的租车方案；
（3）根据（2）中的租车方案可以计算出相应的费用，然后比较大小即可．
【解答过程】解：（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意得：，
解得：，
答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；
（2）设租用甲种货车a辆，乙种货车b辆，
依题意得：3a+4b＝31，
又∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；
方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；
方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．
（3）方案1所需租车费为：100×9+120×1＝1020（元），
方案2所需租车费为：100×5+120×4＝980（元），
方案3所需租车费为：100×1+120×7＝940（元），
∵1020＞980＞940，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元，
答：费用最少的租车方案为：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元．
【变式10-1】（2023 罗山县一模）列方程组解应用题：
开学初，某中学八（1）班学生去商场购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元，八（2）班学生购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费230元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元？
（2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费1500元全部购买A、B两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请分别设计出来．
【解题思路】（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“购买了A品牌足球1个、B品牌足球2个，共花费210元，购买了A品牌足球3个、B品牌足球1个，共花费230元”可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买A种足球a个，则购买B种足球b个，根据“使用专项经费1500元全部购买A、B两种品牌的足球供学生使用”可得出关于a，b的二元一次方程，由此即可得出结论．
【解答过程】解：（1）设A品牌需要要x元，B品牌y元，
，
解得，
答：购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需50元，80元；
（2）设购买A种产品a个，B种b个
50a+80b＝1500，其中a≥0，b≥0
①b＝5，a＝22．
②b＝10，a＝14．
③b＝15，a＝6．
④a＝15，b＝0．
【变式10-2】（2022春 郾城区期末）已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【解题思路】（1）根据“用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨”“用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可；
（2）由题意理解出：3a+4b＝35，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；
（3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，分别求出租车费用即可．
【解答过程】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b＝35，
∴a
∵a、b都是正整数
∴或或
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车2辆；
方案二：A型车5辆，B型车5辆；
方案三：A型车1辆，B型车8辆．
（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，
∴方案一需租金：9×200+2×240＝2280（元）
方案二需租金：5×200+5×240＝2200（元）
方案三需租金：1×200+8×240＝2120（元）
∵2280＞2200＞2120
∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元．
【变式10-3】（2023春 奉化区校级期末）李师傅要给一块长9米，宽7米的长方形地面铺瓷砖，如图，现有A和B两种款式的瓷砖，且A款正方形瓷砖的边长与B款长方形瓷砖的长相等，B款瓷砖的长大于宽，已知一块A款瓷砖和一块B款瓷砖的价格和为140元；3块A款瓷砖价格和4块B款瓷砖价格相等．请回答以下问题：
（1）分别求出每款瓷砖的单价；
（2）若李师傅买两种瓷砖共花了1000元，且A款瓷砖的数量比B款多，则两种瓷砖各买了多少？
（3）李师傅打算按如下设计图的规律进行铺瓷砖，若A款瓷砖的用量比B款瓷砖的2倍少14块，且恰好铺满地面，则B款瓷砖的长和宽分别为　1米和米或1米和　米（直接写出答案）
【解题思路】（1）设A款瓷砖单价为x元，B款瓷砖单价为y元，则，解方程组即可得出结果；
（2）设A款瓷砖买了m块，B款瓷砖买了n块，且m＞n，则80m+60n＝1000，即4m+3n＝50，由m，n为正整数，且m＞n，即可得出结果；
（3）设A款瓷砖边长为a米，B款瓷砖长为a米、宽为b米，则22（1）14，解得a＝1，由题意知是正整数，设k（k为正整数），解得b，将k为正整数代入即可得出结果．
【解答过程】解：（1）设A款瓷砖单价为x元，B款瓷砖单价为y元，
则，
解得：；
答：A款瓷砖单价为80元，B款瓷砖单价为60元．
（2）设A款瓷砖买了m块，B款瓷砖买了n块，且m＞n，
则80m+60n＝1000，
即：4m+3n＝50，
∵m，n为正整数，且m＞n，
∴m＝11时，n＝2；m＝8时，n＝6；
答：买了11块A款瓷砖，2块B款瓷砖或8块A款瓷砖，6块B款瓷砖；
（3）设A款瓷砖边长为a米，B款瓷砖长为a米、宽为b米，
则22（1）14，
解得：a＝1，
由题意得：是正整数，
设k（k为正整数），
解得：b，
当k＝1时，b（1，舍去）；
当k＝2时，b（1，舍去）；
当k＝3时，b；
当k＝4时，b．
故答案为：1米和米或1米和米．