浙教版七下专题1.2 平行线的性质-重难点题型（含解析）

平行线的性质6大题型
【知识点 平行线的性质】
1 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 两直线平行同位角相等】
【例1】（2023春 环江县期末）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的大小是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【变式1-1】（2023秋 长沙期中）如图，点D，E分别在∠ABC的边BA，BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG＝42°，则∠DEB的度数为（　　）
A．42° B．48° C．52° D．58°
【变式1-2】（2023春 萝北县期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝65°，那么∠2的度数为（　　）
A．15度 B．30度 C．25度 D．65度
【变式1-3】（2023 临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【题型2 两直线平行内错角相等】
【例2】（2023春 宁阳县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．
【变式2-1】（2023春 沂水县期末）如图，AB∥CD，BD⊥CF，垂足为B，∠ABF＝35°，则∠BDC的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【变式2-2】（2023秋 凤山县期中）如图，若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数是（　　）
A．38° B．42° C．80° D．138°
【变式2-3】（2023 中原区校级开学）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE、CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．
证明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴∠DCA＝　 　（角平分线的定义），
∵AC∥DE（已知），
∴∠DCA＝（　　），
∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），
∵CD∥EF（　　），
∴　　＝∠CDE（　 　），
∠DCE＝∠BEF（　 　），
∴　 　＝　　（ 等量代换）．
∴EF平分∠DEB（　 　）．
【题型3 两直线平行同旁内角互补】
【例3】（2023春 椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？
【变式3-1】（2023秋 北碚区校级期末）如图，AB∥CD，CD∥EF，∠1＝∠2＝60°，∠A和∠E各是多少度？它们相等吗？
【变式3-2】（2023 怀宁县模拟）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠β＝85°，则α等于（　　）
A．155° B．145° C．135° D．125°
【变式3-3】（2023春 汉阳区期中）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°，
（1）求∠DAC的度数．
（2）求∠FEC的度数．
（3）当∠B为多少度时，∠BAC＝3∠B？并说明此时AB与AC的位置关系．
【题型4 平行线的判定与性质的综合应用】
【例4】（2023春 江油市期中）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠GMD＝（　　）
A．120° B．115° C．130° D．110°
【变式4-1】（2023春 五华区期末）如图，∠1＝60°，∠2＝120°，∠3＝70°，则∠4的度数是（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【变式4-2】（2023春 大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝　 　°．
【变式4-3】（2023春 奉化区校级期末）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　 　秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
【题型5 单拐点作平行线】
【例5】（2023春 忻州期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．
解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD（　　），
∴　 　+∠ACD＝180°（　 　），
∵PG∥AB（　 　），
∴∠BAP＝　 　（　 　），
且PG∥　 　（平行于同一直线的两直线也互相平行），
∴∠GPC＝　 　（两直线平行，内错角相等），
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．
∴∠BAP∠　　，∠PCD∠　 　．（　 　），
∴∠BAP+∠PCD∠BAC∠ACD＝90°（　 　），
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线　 　．
【变式5-1】（2023 河北模拟）如图，AB∥DE，∠1＝135°，∠C为直角．则∠D的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．55°
【变式5-2】（2023 南关区校级一模）将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1＝47°，则∠2的大小为（　　）
A．127° B．133° C．137° D．143°
【变式5-3】（2023春 重庆期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．
【题型6 多拐点作平行线】
【例6】（2023春 青县期末）直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，求∠1+∠2的度数
【变式6-1】（2023春 莱州市期末）（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2＝　 　
（2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝　 　，并说明理由
（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　
（4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　 　（直接写出你的结论，无需说明理由）
【变式6-2】（2023秋 金凤区校级期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
（1）若∠E＝60°，则∠F＝　　；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【变式6-3】（2023春 硚口区期末）已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠1+∠2＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，M、N分别为直线AB、CD上的点，P、Q为直线AB、CD之间不同的两点，∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°．
①求证：PM⊥PN；
②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K．若∠EKN+∠GLP＝170°，直接写出∠PNH﹣∠EHD的大小．
平行线的性质-重难点题型
【知识点 平行线的性质】
1 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等.
2 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等.
3 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补.
【题型1 两直线平行同位角相等】
【例1】（2023春 环江县期末）如图，a∥b，∠1＝60°，则∠2的大小是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【解题思路】根据同位角相等，两直线平行即可求解．
【解答过程】解：如图：
因为a∥b，∠1＝60°，
所以∠3＝∠1＝60°．
因为∠2+∠3＝180°，
所以∠2＝180°﹣60°＝120°．
故选：D．
【变式1-1】（2023秋 长沙期中）如图，点D，E分别在∠ABC的边BA，BC上，DE⊥AB，过BA上的点F（位于点D上方）作FG∥BC，若∠AFG＝42°，则∠DEB的度数为（　　）
A．42° B．48° C．52° D．58°
【解题思路】根据FG∥BC，得∠DBE＝∠AFG＝42°，由DE⊥AB，得∠BDE＝90°，由∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE即可解答．
【解答过程】解：∵FG∥BC，∠AFG＝42°，
∴∠DBE＝∠AFG＝42°，
∵DE⊥AB，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DEB＝180°﹣∠DBE﹣∠BDE
＝180°﹣42°﹣90°
＝48°．
故选：B．
【变式1-2】（2023春 萝北县期末）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝65°，那么∠2的度数为（　　）
A．15度 B．30度 C．25度 D．65度
【解题思路】利用平行线的性质可得∠3的度数，再利用平角定义可得∠2的度数．
【解答过程】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝65°，
∵∠4＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
故选：C．
【变式1-3】（2023 临沭县模拟）如图，已知AB∥CD，∠A＝56°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【解题思路】设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形内角和，即可求出∠C的度数．
【解答过程】解：设AE与CD交于点O，如图所示：
∵AB∥CD，∠A＝56°，
∴∠DOE＝∠A＝56°．
∵∠DOE＝∠C+∠E，∠E＝18°，
∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝56°﹣18°＝38°．
故选：D．
【题型2 两直线平行内错角相等】
【例2】（2023春 宁阳县期末）如图，CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，∠B＝48°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．
【解题思路】由平分线的性质可得∠BCD的大小，又由平行线及三角形内角和定理可得∠EDC和∠BDC的大小．
【解答过程】解：∵CD是∠ACB的平分线，∠ACB＝82°，
∴∠DCB＝∠ACD＝41°，
又∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝41°，
在△BCD中，
∵∠B＝48°，∠DCB＝41°，
∴∠BDC＝180°﹣48°﹣41°＝91°．
∴∠EDC和∠BDC的度数分别为41°、91°．
【变式2-1】（2023春 沂水县期末）如图，AB∥CD，BD⊥CF，垂足为B，∠ABF＝35°，则∠BDC的度数为（　　）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【解题思路】根据BD⊥CF，得到∠DBA＝90°﹣∠ABF＝55°，根据AB∥CD，即可得∠BDC的度数．
【解答过程】解：∵BD⊥CF，
∴∠DBF＝90°，
∵∠ABF＝35°，
∴∠DBA＝90°﹣∠ABF＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠DBA＝55°．
故选：D．
【变式2-2】（2023秋 凤山县期中）如图，若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数是（　　）
A．38° B．42° C．80° D．138°
【解题思路】根据平行线的性质，可以得到若要使l1与l2平行，则∠1和∠2相等，再根据∠2的度数和图形中原来∠1的度数，从而可以得到若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数．
【解答过程】解：若l1与l2平行，
则∠1和∠2相等，
∵∠2＝42°，
∴∠1＝42°，
∴若要使l1与l2平行，则l1绕点O至少旋转的度数是80°﹣42°＝38°，
故选：A．
【变式2-3】（2023 中原区校级开学）填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）
如图，已知：CD平分∠ACB，AC∥DE、CD∥EF，求证：EF平分∠DEB．
证明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴∠DCA＝　∠DCE　（角平分线的定义），
∵AC∥DE（已知），
∴∠DCA＝（　∠CDE　），
∴∠DCE＝∠CDE（等量代换），
∵CD∥EF（　已知　），
∴　∠DEF　＝∠CDE（　两直线平行，内错角相等　），
∠DCE＝∠BEF（　两直线平行，同位角相等　），
∴　∠DEF　＝　∠FEB　（等量代换）．
∴EF平分∠DEB（　角平分线的定义　）．
【解题思路】根据平行线的性质和平行线的判定及等量代换等来完成解答即可．
【解答过程】证明：∵CD平分∠ACB（已知），
∴∠DCA＝∠DCE（角平分线的定义），
∵AC∥DE（已知），
∴∠DCA＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∴∠DCE＝∠CDE（ 等量代换），
∵CD∥EF（已知），
∴∠DEF＝∠CDE（两直线平行，内错角相等），
∠DCE＝∠FEB（两直线平行，同位角相等），
∴∠DEF＝∠FEB（等量代换），
∴EF平分∠DEB（角平分线的定义）．
故答案为：∠DCE；∠CDE，已知，∠DEF，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；∠DEF；∠FEB；角平分线的定义．
【题型3 两直线平行同旁内角互补】
【例3】（2023春 椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？
【解题思路】由AB∥CD，AB∥GE得CD∥GE，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B+∠BFG＝180°，∠C+∠CFE＝180°，而∠B＝110°，∠C＝100°，可以求出∠BFG和∠CFE，最后可以求出∠BFC．
【解答过程】解：∠BFC等于30度，理由如下：
∵AB∥GE，
∴∠B+∠BFG＝180°，
∵∠B＝110°，
∴∠BFG＝180°﹣110°＝70°，
∵AB∥CD，AB∥GE，
∴CD∥GE，
∴∠C+∠CFE＝180°，
∵∠C＝100°．
∴∠CFE＝180°﹣100°＝80°，
∴∠BFC＝180°﹣∠BFG﹣∠CFE＝180°﹣70°﹣80°＝30°．
【变式3-1】（2023秋 北碚区校级期末）如图，AB∥CD，CD∥EF，∠1＝∠2＝60°，∠A和∠E各是多少度？它们相等吗？
【解题思路】先根据AB∥CD得出∠A的度数，再由CD∥EF求出∠E的度数，进而可得出结论．
【解答过程】解：∵AB∥CD（已知），
∴∠A＝180°﹣∠1＝180°﹣60°＝120°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵CD∥EF（已知），
∴∠E＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°，
∴∠A＝∠E．
∴∠A和∠E都是120度，它们相等．
【变式3-2】（2023 怀宁县模拟）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若∠β＝85°，则α等于（　　）
A．155° B．145° C．135° D．125°
【解题思路】直接利用平行线的性质以及含有30°角的直角三角板的特征进而得出答案．
【解答过程】解：如图：
根据题意得∠2＝60°，∠β＝85°，
∵∠2＝60°，∠1+∠2+∠β＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠2﹣∠β＝180°﹣60°﹣85°＝35°，
∵AB∥CD，
∴∠α+∠1＝180°，
∴∠α＝180°﹣∠1＝180°﹣35°＝145°．
故选：B．
【变式3-3】（2023春 汉阳区期中）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝20°，
（1）求∠DAC的度数．
（2）求∠FEC的度数．
（3）当∠B为多少度时，∠BAC＝3∠B？并说明此时AB与AC的位置关系．
【解题思路】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的性质得出答案；
（2）利用已知得出EF∥CB，进而得出答案；
（3）利用∠BAC＝3∠B，利用平行线的性质得出∠B＝30°，即可得出答案．
【解答过程】解：（1）∵CE平分∠BCF，
∴设∠BCE＝∠FCE＝x，
∵∠DAC＝3∠BCF，
∴∠DAC＝6x，
∵AD∥BC，
∴∠DAC+∠BCA＝180°，
∴6x+2x+20°＝180°，
∴x＝20°，
∴∠DAC＝120°；
（2）∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥CB，
∴∠FEC＝∠BCE＝20°；
（3）当∠B＝30°时，
∵AD∥BC，∴∠DAB＝∠B，
又∵∠BAC＝3∠B，
∴∠DAC＝4∠B＝120°，
∴∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC．
【题型4 平行线的判定与性质的综合应用】
【例4】（2023春 江油市期中）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点G，H，已知∠1＝∠2＝50°，GM平分∠HGB交直线CD于点M，则∠GMD＝（　　）
A．120° B．115° C．130° D．110°
【解题思路】求出∠BGM，根据平行线的判定得出AB∥CD，根据平行线的性质推出∠3＝∠BGM，利用补角的定义即可得出答案．
【解答过程】解：如图，
∵∠1＝50°，
∴∠BGF＝180°﹣∠1＝130°，
∵GM平分∠BGF，
∴∠BGM∠BGF＝65°，
∵∠1＝∠2＝50°，
∴AB∥CD，
∴∠3＝∠BGM＝65°，
∴∠GMD＝180°﹣∠BGM＝180°﹣65°＝115°，
故选：B．
【变式4-1】（2023春 五华区期末）如图，∠1＝60°，∠2＝120°，∠3＝70°，则∠4的度数是（　　）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【解题思路】先由邻补角互补求出∠5，然后根据∠2＝∠5判断出l1∥l2，再根据平行线的性质得出∠3＝∠6，而∠4＝∠6从而求出∠4．
【解答过程】解：如图所示：
∵∠1+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣60°＝120°＝∠2，
∴l1∥l2，
∴∠3＝∠6，
∵∠3＝70°，
∴∠6＝70°
∵∠4＝∠6，
∴∠4＝70°．
故选：A．
【变式4-2】（2023春 大丰区月考）如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分∠BEF，交直线CD于点G，若∠MFD＝∠BEF＝58°，射线GP⊥EG于点G，则∠PGF＝　61或119　°．
【解题思路】分两种情况：①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，根据平行线的判定与性质和角平分线定义即可求出∠PGF的度数．
【解答过程】解：如图，①当射线GP⊥EG于点G时，∠PGE＝90°，
∵∠MFD＝∠BEF＝58°，
∴CD∥AB，
∴∠GEB＝∠FGE，
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝∠GEF∠BEF＝29°，
∴∠FGE＝29°，
∴∠PGF＝∠PGE﹣∠FGE＝90°﹣29°＝61°；
②当射线GP′⊥EG于点G时，∠P′GE＝90°，
同理：∠P′GF＝∠PGE+∠FGE＝90°+29°＝119°．
则∠PGF的度数为61°或119°．
故答案为：61或119．
【变式4-3】（2023春 奉化区校级期末）如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　15或22.5　秒时，射线AM与射线BQ互相平行．
【解题思路】分两种情况讨论，依据∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间．
【解答过程】解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，
分两种情况：
①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°，
∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，
∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°，
当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，
此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，
解得t＝15；
②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，
∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，
∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，
当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″，
此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，
解得t＝22.5；
综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
故答案为15或22.5．
【题型5 单拐点作平行线】
【例5】（2023春 忻州期中）已知：如图，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，求∠APC的度数；请补全下列解法中的空缺部分．
解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD（　已知　），
∴　∠CAB　+∠ACD＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　），
∵PG∥AB（　已知　），
∴∠BAP＝　∠APG　（　两直线平行，内错角相等　），
且PG∥　CD　（平行于同一直线的两直线也互相平行），
∴∠GPC＝　∠PCD　（两直线平行，内错角相等），
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD．
∴∠BAP∠　BAC　，∠PCD∠　ACD　．（　角平分线定义　），
∴∠BAP+∠PCD∠BAC∠ACD＝90°（　等量代换　），
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线　互相垂直　．
【解题思路】过点P作PG∥AB交AC于点G，根据平行线的判定与性质，即可得到∠APC的度数，进而得出结论．
【解答过程】解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD（已知），
∴∠CAB+∠ACD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵PG∥AB（已知），
∴∠BAP＝∠APG（两直线平行，内错角相等），
且PG∥CD（平行于同一直线的两直线也互相平行），
∴∠GPC＝∠PCD（两直线平行，内错角相等），
∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴，（角平分线定义），
∴（等量代换），
∴∠APC＝∠APG+∠CPG＝∠BAP+∠CDP＝90°．
总结：两直线平行时，同旁内角的角平分线互相垂直．
故答案为：已知；∠CAB；两直线平行，同旁内角互补；CD；∠PCD；BAC；ACD；角平分线定义；等量代换；互相垂直．
【变式5-1】（2023 河北模拟）如图，AB∥DE，∠1＝135°，∠C为直角．则∠D的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．55°
【解题思路】过点C作CF∥AB，由题意可求得∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，由平行线的性质可得∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，从而可求∠DCF的度数，则可求∠D的度数．
【解答过程】解：过点C作CF∥AB，如图所示：
∵∠1＝135°，
∴∠BAC＝180°﹣∠1＝45°，
∵CF∥AB，AB∥DE，
∴∠ACF＝∠BAC＝45°，CF∥DE，
∴∠DCF＝∠D，
∵∠ACD为直角，
∴∠DCF＝90°﹣∠ACF＝45°，
∴∠D＝45°．
故选：C．
【变式5-2】（2023 南关区校级一模）将一块直角三角尺和一张矩形纸片如图摆放，若∠1＝47°，则∠2的大小为（　　）
A．127° B．133° C．137° D．143°
【解题思路】过点E作EF∥AC，由平行线的性质可得∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，从而可得∠2+∠DEF＝180°，结合条件可求得∠DEF的度数，即可求解．
【解答过程】解：过点E作EF∥AC，如图所示：
∵AC∥EF，AC∥BD，
∴∠CEF＝∠1＝47°，BD∥EF，
∴∠2+∠DEF＝180°，
∵∠CED＝90°，
∴∠DEF＝90°﹣∠CEF＝43°，
∴∠2＝180°﹣∠DEF＝137°．
故选：C．
【变式5-3】（2023春 重庆期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2．
（1）如图1，求证：EF∥GH；
（2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°；
（3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值．
【解题思路】（1）由平行线的性质得∠1＝∠3，再由内错角相等得出EF∥GH；
（2）过点N作NK∥CD，设角度，由平行线的性质和角平分线的性质即可得出结论；
（3）由3∠FEN＝4∠HFM结合前面（2）的结论，求出角度可得．
【解答过程】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EF∥GH；
（2）如图2，过点N作NK∥CD，
∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，
设∠4＝x，∠7＝y，
∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM，
∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，
又∵AB∥CD，
∴∠EFD＝180°﹣2x，
又∵FM⊥GH，
∴∠EFM＝90°，
∴180°﹣2x+2y＝90°，
∴x﹣y＝45°，
∴∠ENE＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，
（3）
∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，
∴x，
∴x﹣yy＝45°
∴y＝27°，x＝72°，
又∵EN和GQ是角平分线，
∴GQ⊥EN，
∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，
又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，
∴，
故答案为．
【题型6 多拐点作平行线】
【例6】（2023春 青县期末）直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝105°，求∠1+∠2的度数
【解题思路】分别过A、B作l1的平行线AC和BD，则可知AC∥BD∥l1∥l2，再利用平行线的性质求得答案．
【解答过程】解：如图，分别过A、B作l1的平行线AC和BD，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD∥l1∥l2，
∴∠1＝∠EAC，∠2＝∠FBD，∠CAB+∠DBA＝180°，
∵∠EAB+∠FBA＝125°+105°＝230°，
∴∠EAC+∠CAB+∠DBA+∠FBD＝230°，
即∠1+∠2+180°＝230°，
∴∠1+∠2＝50°．
【变式6-1】（2023春 莱州市期末）（1）如图1，a∥b，则∠1+∠2＝　180°　
（2）如图2，AB∥CD，则∠1+∠2+∠3＝　360°　，并说明理由
（3）如图3，a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　540°　
（4）如图4，a∥b，根据以上结论，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　（n﹣1） 180°　（直接写出你的结论，无需说明理由）
【解题思路】（1）根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（2）过点E作EF∥AB，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（3）过∠2、∠3的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答；
（4）过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．
【解答过程】解：（1）∵a∥b，
∴∠1+∠2＝180°；
（2）过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，
∠CEF+∠3＝180°，
∴∠1+∠AEF+∠CEF+∠3＝180°+180°，
即∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）如图，过∠2、∠3的顶点作a的平行线，
则∠1+∠2+∠3+∠4＝180°×3＝540°；
（4）如图，过∠2、∠3…的顶点作a的平行线，
则∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝（n﹣1） 180°．
故答案为：180°；360°；540°；（n﹣1） 180°．
【变式6-2】（2023秋 金凤区校级期末）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
（1）若∠E＝60°，则∠F＝　　；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【解题思路】（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，∠D+∠DFN＝180°，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，由AB∥CD，AB∥FN，得到CD∥FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN＝180°，于是得到结论；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，根据角平分线的定义得到∠PEF∠BEF＝x°，∠EFG∠EFD＝（x+15）°，根据平行线的性质得到∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，于是得到结论．
【解答过程】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°
∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°；
故答案为：90°；
（2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，
∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，
∴CD∥FN，
∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝120°，
∴∠DFN＝60°，
∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°，
∴∠EFD＝∠MEF+60°，
∴∠EFD＝∠BEF+30°；
（3）如图2，过点F作FH∥EP，
由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°，
设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，
∴∠PEF∠BEF＝x°，∠EFG∠EFD＝（x+15）°，
∵FH∥EP，
∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，
∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°，
∴∠P＝15°．
【变式6-3】（2023春 硚口区期末）已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，∠1+∠2＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，M、N分别为直线AB、CD上的点，P、Q为直线AB、CD之间不同的两点，∠PMQ＝2∠BMQ，∠PNQ＝2∠DNQ，∠MQN＝30°．
①求证：PM⊥PN；
②如图3，∠EGB的平分线GL与∠MPN的邻补角∠MPT的平分线PL交于点L，∠PNH的平分线NK交EF于点K．若∠EKN+∠GLP＝170°，直接写出∠PNH﹣∠EHD的大小．
【解题思路】（1）利用∠1＝∠HGB，再利用等量代换，即可解决；
（2）①过Q作QK∥AB，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥QK，则∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，所以∠MQN＝∠BMQ+∠DNQ，同理∠MPN＝∠BMP+∠DNP，设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，利用∠MQN＝30°，得到x+y＝30°，又∠MPN＝3x+3y，代入即可解决．
②如图，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，利用AB∥CD，可以得到SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，设∠EGL＝∠LGB＝x，∠CNK＝∠KNP＝y，利用平行线的性质，分别用x，y表示出∠EKN和∠GLP，因为∠EKN+∠GLP＝170°，得到x与y的关系式，整体代入运算，即可解决．
【解答过程】证明：（1）∵∠1＝∠HGB，∠1+∠2＝180°，
∴∠HGB+∠2＝180°，
∴AB∥CD，
（2）①过Q作QK∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴QK∥AB∥CD，
∴∠BMQ＝∠MQK，∠DNQ＝∠KQN，
∴∠MQN＝∠MQK+∠KQN＝∠BMQ+∠DNQ，
同理，∠MPN＝∠BMP+∠DNP，
设∠BMQ＝x，∠DNQ＝y，
则∠MQK＝x，∠KQN＝y，∠PMQ＝2x，∠PNQ＝2y，
∵∠MQN＝30°，
∴x+y＝30°，
∴∠MPN＝3x+3y＝90°，
∴PM⊥PN；
解：（2）②如图2，过L作IS∥AB，过P作PW′∥AB，过K作KW∥AB，
∵AB∥CD，
∴SI∥AB∥CD∥KW∥PW′，
∵GL平分∠EGB，
∴可设∠EGL＝∠LGB＝x，
同理，∠MPL＝∠TPL＝45°，可设∠CNK＝∠KNP＝y，
∵IS∥AB∥PW′，
∴∠ILG＝∠LGB＝x，
∠SLP＝∠LPW′，
∵PW′∥CD，
∴∠W′PN＝180°﹣∠CNP＝180°﹣2y，
∴∠W′PL＝180°﹣∠W′PN﹣∠LPT＝2y﹣45°，
∴∠SLP＝∠LPW′＝2y﹣45°，
∴∠GLP＝180°﹣∠ILG﹣∠SLP＝225°﹣x﹣2y，
∵AB∥KW∥CD，
∴∠AGK＝∠GKW＝∠EGB＝2x，∠WKN＝∠KNC＝y，
∴∠EKN＝∠GKW+∠WKN＝2x+y，
∵∠EKN+∠GLP＝170°，
∴2x+y+225°﹣x﹣2y＝170°，
∴y﹣x＝55°，
∴∠PNH﹣∠EHD＝2y﹣2x＝110°．