浙教版七下专题1.５ 平行线中常见模型专项训练（30道）（含解析）

平行线中常见模型专项训练（30道）
1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）
A．70° B．65° C．35° D．5°
2．如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（　　）
A．∠A+∠P+∠C＝90° B．∠A+∠P+∠C＝180°
C．∠A+∠P+∠C＝360° D．∠P+∠C＝∠A
3．如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是（　　）
A．75° B．65° C．55° D．50°
4．如图，AB∥CD，∠ABF∠ABE，∠CDF∠CDE，则∠E：∠F＝（　　）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
5．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
6．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360°
C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°
7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
8．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（　　）
A．62° B．58° C．52° D．48°
9．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝　 　．
10．如图，已知AB∥CD，∠BAF＝∠FED＝21°，∠CDE＝17°，则∠AFC＝　 　．
11．如图，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1＝110°，则∠2＝　 　．
12．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　．
13．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠4＝　 　．
14．如图，若直线a∥b，那么∠x＝　 　度．
15．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为 　 　度．
16．如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝　 　．
17．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β＝2α
18．如图，AB∥CD，CP∥FG，点E，G分别在CP，PQ上，连接EF，若∠FGQ+∠ACP＝∠CAB，判断AB与PQ存在什么位置关系？请详细说明理由．
19．已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．
（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．
（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．
（提示：注意适当添加辅助线吆！）
20．探究：
（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？
（2）如图a，反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；
（3）若将点E移至图b所示位置，AB∥CD，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请证明；
（4）若将点E移至图c所示位置，AB∥CD，情况又如何？
（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？
（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？
21．已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝　 　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝　 　；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　 　．
22．如图所示，AB∥CD，在AB与CD之间有P1、P2、P3三点，顺次连接B、P1、P2、P3、D．
（1）分别写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系，这个关系与B、D之间的点的个数有关吗？如果有，写出这个规律；
（2）如果在图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn，根据在（1）中的结论，直接写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系．
23．已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
24．问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝　 　．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为　 　．
25．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．
（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；
（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；
（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）
26．课堂上老师呈现一个问题：
已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD与点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．
下面提供三种思路：
思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；
思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；
思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．
解答下列问题：
（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 　 　；
（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；
（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．
27．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．
（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
28．如图1，已知AB∥CD，点E和点H分别在直线AB和CD上，点F在直线AB和CD之间，连接EF和HF．
（1）求∠AEF+∠CHF+∠EFH的度数；
（2）如图2，若∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，HM平分∠CHF交FE的延长线于点M，∠DHF＝80°，求∠FMH的度数．
29．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
30．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．
平行线中常见模型专项训练（30道）
1．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（　　）
A．70° B．65° C．35° D．5°
【分析】根据平行线的性质和∠1＝30°，∠2＝35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决．
【解答】解：作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
2．如图，AB∥CD，那么∠A，∠P，∠C的数量关系是（　　）
A．∠A+∠P+∠C＝90° B．∠A+∠P+∠C＝180°
C．∠A+∠P+∠C＝360° D．∠P+∠C＝∠A
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求得．
【解答】解：连接AC．
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠DCA＝180°，
∵∠P+∠PAC+∠PCA＝180°，
∴∠BAP+∠P+∠DCP＝∠BAC+∠DCA+∠P+∠PAC+∠PCA＝360°．
故选：C．
3．如图，a∥b，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是（　　）
A．75° B．65° C．55° D．50°
【分析】如图作出两直线的交点，由a∥b可以推出∠1+∠4＝180°，然后可以求出∠4＝75°．再根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可以求出∠3．
【解答】解：如图作出两直线的交点，
∵a∥b，
则∠1+∠4＝180°，
∴∠4＝75°，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和得到∠2＝∠3+∠4，
则∠3＝65°．
故选：B．
4．如图，AB∥CD，∠ABF∠ABE，∠CDF∠CDE，则∠E：∠F＝（　　）
A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3
【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等作答．
【解答】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，
∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，
∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；
同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；
∵∠ABF∠ABE，∠CDF∠CDE，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF（∠ABE+∠CDE）∠BED，
∴∠BED：∠BFD＝3：2．
故选：C．
5．如图，已知AB∥DE，∠B＝20°，∠D＝130°，那么∠BCD等于（　　）
A．60° B．70° C．80° D．90°
【分析】两直线平行，内错角相等、同旁内角互补，在本题中，根据这两条性质即可解答．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF；
∴∠B＝∠BCF，∠FCD+∠D＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠D+∠B＝180°﹣130°+20°＝70°．
故选：B．
6．如图，已知AB∥CD，EF∥CD，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．∠BCD＝∠DCE B．∠ABC+∠BCE+∠CEF＝360°
C．∠BCE+∠DCE＝∠ABC+∠BCD D．∠ABC+∠BCE﹣∠CEF＝180°
【分析】根据平行线的性质，找图中的内错角，同旁内角即可判断，所以想到延长DC到G，然后结合图形去分析即可解答．
【解答】解：延长DC到G，
∵EF∥CD，
∴∠GCE＝∠CEF，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCG＝180°，
∴∠ABC+∠BCE﹣∠GCE＝180°，
∴∠ABG+∠BCE﹣∠CEF＝180°，
故选：D．
7．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　）
A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°
【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．
【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．
在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．
故选：C．
8．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝28°，则∠2＝（　　）
A．62° B．58° C．52° D．48°
【分析】过直角的顶点C作CM∥AB，利用平行线的性质即可求解．
【解答】解：过直角的顶点C作CM∥AB，如图所示：
由题意可得：AB∥DE，∠FCG＝90°，
∵CM∥AB，∠1＝28°，
∴CM∥DE，∠1＝∠MCG＝28°，
∴∠2＝∠FCM，∠FCM＝90°﹣∠MCG＝62°，
∴∠2＝62°．
故选：A．
二．填空题（共8小题）
9．如图，AB∥CD，∠BED＝110°，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，则∠BFD＝　125°　．
【分析】首先过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，由AB∥CD，即可得EM∥AB∥CD∥FN，然后根据两直线平行，同旁内角互补，由∠BED＝110°，即可求得∠ABE+∠CDE＝250°，又由BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，根据角平分线的定义，即可求得∠ABF+∠CDF的度数，又由两直线平行，内错角相等，即可求得∠BFD的度数．
【解答】解：过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD∥FN，
∴∠ABE+∠BEM＝180°，∠CDE+∠DEM＝180°，
∴∠ABE+∠BED+∠CDE＝360°，
∵∠BED＝110°，
∴∠ABE+∠CDE＝250°，
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABF∠ABE，∠CDF∠CDE，
∴∠ABF+∠CDF（∠ABE+∠CDE）＝125°，
∵∠DFN＝∠CDF，∠BFN＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠BFN+∠DFN＝∠ABF+∠CDF＝125°．
故答案为125°
10．如图，已知AB∥CD，∠BAF＝∠FED＝21°，∠CDE＝17°，则∠AFC＝　59°　．
【分析】在△CDE中由外角的性质可求得∠FCD，过点F作FG∥AB，可得到∠AFC＝∠BAF+∠FCD，可求得答案．
【解答】解：
过F作FG∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴FG∥CD，
∴∠BAF＝∠AFG，∠FCD＝∠GFC，
∴∠AFC＝∠BAF+∠FCD，
又∠FCD＝∠FED+∠CDE＝21°+17°＝38°，
∴∠AFC＝21°+38°＝59°，
故答案为：59°．
11．如图，∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，直线FG分别交AB、DE于点F、G．若∠1＝110°，则∠2＝　70°　．
【分析】如图，过点C作CH∥AB，则∠ABC+∠BCH＝180°，再由∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，可得出∠DCH+∠CDE＝180°，推出CH∥DE，AB∥DE，再利用平行线性质即可得出答案．
【解答】解：如图，过点C作CH∥AB，
则∠ABC+∠BCH＝180°，
∵∠ABC+∠C+∠CDE＝360°，即∠ABC+∠BCH+∠DCH+∠CDE＝360°，
∴∠DCH+∠CDE＝180°，
∴CH∥DE，
∴AB∥DE，
∴∠DGF＝∠1＝110°，
∴∠2＝180°﹣110°＝70°，
故答案为：70°．
12．如图所示，AB∥CD、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　540°　．
【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB＝180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，于是得到结论．
【解答】解：连接BD，如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB＝180°，
∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD＝360°，
∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB＝540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4＝540°．
故答案为：540°．
13．如图，AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝50°，∠3＝60°，则∠4＝　140°　．
【分析】过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，求出AB∥EM∥FN∥CD，根据平行线的性质得出∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥CD，
∴∠1＝∠AEM，∠MEF＝∠EFN，∠4+∠NFC＝180°，
∵∠1＝30°，∠AEF＝50°，∠EFC＝60°，
∴∠AEM＝30°，
∴∠EFN＝∠MEF＝50°﹣30°＝20°，
∴∠NFC＝60°﹣20°＝40°，
∴∠4＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140°．
14．如图，若直线a∥b，那么∠x＝　64　度．
【分析】两平行线间的折线所成的角之间的关系是﹣﹣﹣﹣奇数角，由∠1与130°互补可以得知∠1＝50°，由a∥b，结合我们日常总结的规律“两平行线间的折线所成的角之间的关系﹣左边角之和等于右边角之和”得出等式，代入数据即可得出结论．
【解答】解：令与130°互补的角为∠1，如图所示．
∵∠1+130°＝180°，
∴∠1＝50°．
∵a∥b，
∴x+48°+20°＝∠1+30°+52°，
∴x＝64°．
故答案为：64．
15．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点F，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠AFB＝96°，则∠BED的度数为 　42　度．
【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的内角和可得∠ABE+∠CDE＝42°，过点E作EP∥AB，然后根据两直线平行内错角相等，即可求∠BED的度数．
【解答】解：如图，过点E作EP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EP，
∴∠ABE＝∠BEP，∠CDE＝∠DEP，∠ABC＝∠BCD，
∵∠ABC+∠BAD+∠AFB＝180°，
∴∠ABC+∠BAD＝180°﹣∠AFB＝84°，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ABE∠ABC，∠CDE∠ADC，
∴∠ABE+∠CDE（∠ABC+∠BAD）＝42°，
∴∠BED＝∠BEP+∠DEP＝∠ABE+∠CDE）＝42°，
故答案为：42．
16．如图，已知直线l1∥l2，∠A＝125°，∠B＝85°，且∠1比∠2大4°，那么∠1＝　17°　．
【分析】过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD＝180°，然后计算出∠1+∠2＝30°，结合∠1比∠2大4°，即可得解．
【解答】解：如图，过点A作l1的平行线AC，过点B作l2的平行线BD，
则∠3＝∠1，∠4＝∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD＝180°，
∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，
∴∠1+∠2＝30°，
∵∠1＝∠2+4°，
∴∠1＝17°，
故答案为：17°．
三．解答题（共14小题）
17．如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D．证明：β＝2α
【分析】此题的关键是过点C作AB的平行线，再利用平行线的性质和判定，得出∠A+∠E＝180°，∠B+∠C+∠D＝360°，即可证明．
【解答】证法1：∵AB∥ED，
∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图1）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B＝∠1，（两直线平行，内错角相等）
又∵CF∥ED，
∴∠2＝∠D，（两直线平行，内错角相等）
∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠1+∠BCD+∠2＝360°（周角定义）
∴β＝2α（等量代换）
证法2：∵AB∥ED，
∴α＝∠A+∠E＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
过C作CF∥AB（如图2）
∵AB∥ED，
∴CF∥ED（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵CF∥AB，
∴∠B+∠1＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又∵CF∥ED，
∴∠2+∠D＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∴β＝∠B+∠C+∠D＝∠B+∠1+∠2+∠D＝180°+180°＝360°，
∴β＝2α（等量代换）
18．如图，AB∥CD，CP∥FG，点E，G分别在CP，PQ上，连接EF，若∠FGQ+∠ACP＝∠CAB，判断AB与PQ存在什么位置关系？请详细说明理由．
【分析】延长BA交CP于点H，利用平行线的性质和判定解答即可
【解答】解：AB∥PQ，理由如下：
延长BA交CP于点H，
∵CP∥FG，
∴∠FGQ＝∠CPQ，
∵∠CAB＝∠ACP+∠CHA，
∵∠CAB＝∠ACP+∠FGQ，
∴∠CHA＝∠FGQ，
∴∠CHA＝∠CPQ，
∴AB∥PQ．
19．已知，AB∥CD，分别探讨四个图形中∠APC，∠PAB，∠PCD的关系．
（1）请说明图1、图2中三个角的关系，并任选一个加以证明．
（2）猜想图3、图4中三个角的关系，不必说明理由．
（提示：注意适当添加辅助线吆！）
【分析】（1）首先过P作AB的平行线PE，再根据平行线的性质：两直线平行，用旁内角互补，可得到∠APC+∠BAP+∠PCD＝360°；
（2）根据三角形的外角性质得出图3的关系，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：（1）图1，∠A+∠P+∠C＝360°，
图2，∠A+∠C＝∠APC，
证明图1：过P作PE∥AB，
∴∠A+∠APE＝180°，
又∵AB∥CD，
∴CD∥PE，
∴∠C+∠CPE＝180°，
∴∠A+∠APE+∠EPC+∠C＝360°；
（2）图3：∠PCD＝∠PAB+∠APC，
图4：∠PAB＝∠PCD+∠CPA．
20．探究：
（1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？
（2）如图a，反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明；
（3）若将点E移至图b所示位置，AB∥CD，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？请证明；
（4）若将点E移至图c所示位置，AB∥CD，情况又如何？
（5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？
（6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？
【分析】已知AB∥CD，连接AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形．
【解答】解：（1）过E作EF∥AB，
则∠B＝∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠D＝∠DEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）若∠B+∠D＝∠E，由EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠E＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D，
∴∠D＝∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（3）若将点E移至图b所示位置，过E作EF∥AB，
∴∠BEF+∠B＝180°，
∵EF∥CD，
∴∠D+∠DEF＝180°，
∴∠E+∠B+∠D＝360°；
（4）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠D+∠E＝∠BFD，
∴∠D+∠E＝∠B；
（5）∵AB∥CD，
∴∠E+∠G＝∠B+∠F+∠D；
（6）由以上可知：∠E1+∠E2+…+∠En＝∠B+∠F1+∠F2+…+∠Fn﹣1+∠D；
21．已知，AB∥CD，试解决下列问题：
（1）如图1，∠1+∠2＝　180°　；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3＝　360°　；
（3）如图3，∠1+∠2+∠3+∠4＝　540°　；
（4）如图4，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n＝　180°（n﹣1）　．
【分析】（1）根据两条直线平行，同旁内角互补作答；
（2）过点E作平行于AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；
（3）分别过点E，F作AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；
（4）同样作辅助线，运用（n﹣1）次平行线的性质，则n个角的和是（n﹣1）180°．
【解答】
解：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）过点E作一条直线EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥EF，
∴∠1+∠AEF＝180°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°；
（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠AEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFC+∠4＝180°；
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
（4）根据上述规律，显然作（n﹣2）条辅助线，运用（n﹣1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n﹣1）．
22．如图所示，AB∥CD，在AB与CD之间有P1、P2、P3三点，顺次连接B、P1、P2、P3、D．
（1）分别写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系，这个关系与B、D之间的点的个数有关吗？如果有，写出这个规律；
（2）如果在图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn，根据在（1）中的结论，直接写出图甲、图乙中的∠B、P1、P2、P3、∠D之间的关系．
【分析】（1）分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，由平行线的传递性可知AB∥P1E∥P2F∥P3G，在图甲中，由平行线的性质可得出∠B+∠1＝180°，∠2+∠3＝180°，∠4+∠5＝180°，∠6+∠D＝180°，再把各式相加即可；在图乙中可知∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°，∠4+∠5＝180°，∠6＝∠D，再把各式相加即可．
（2）由（1）中的规律即可得出结论．
【解答】解：（1）有．
分别过P1、P2、P3作直线AB的平行线P1E，P2F，P3G，
∵AB∥CD，
∴AB∥P1E∥P2F∥P3G．
在图甲中，由平行线的性质可得出∠B+∠1＝180°①，∠2+∠3＝180°②，∠4+∠5＝180°③，∠6+∠D＝180°④，
①+②+③+④得，∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D＝4×180°＝720°
∴∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD＝（n+1） 180°；
在图乙中可知∠1＝∠B①，∠2+∠3＝180°②，∠4+∠5＝180°③，∠6＝∠D④，
①+②+③+④得，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3D＝180°+180°+∠B+∠D＝360°+∠B+∠D．
∴∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠B﹣∠D＝（n﹣1）×180°．
（2）由（1）可知，图甲、图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn时，∠B+∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD＝（n+1） 180°；
图乙中，B、D之间的点变为P1、P2、P3、…、Pn，∠BP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+…+Pn﹣1PnD﹣∠B﹣∠D＝（n﹣1）×180°．
23．已知，直线AB∥CD
（1）如图（1），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．若∠A＝140°，∠C＝150°，则∠AGC的度数是多少？
（2）如图（2），点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG．∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AGC的度数是多少？
（3）如图（3），写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．
【分析】（1）过点G作GE∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（2）过点G作GF∥AB，利用平行线的性质即可进行转化求解．
（3）过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，利用平行线的性质即可进行转化找到角的关系．
【解答】（1）过点G作GE∥AB，
因为AB∥GE，
所以∠A+∠AGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
因为∠A＝140°，所以∠AGE＝40°，
因为AB∥GE，AB∥CD，
所以GE∥CD（平行的传递性），
所以∠C+∠CGE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠C＝150°，所以∠CGE＝30°，
所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．
（2）过点G作GF∥AB，
因为AB∥GF，
所以∠A＝AGF（两直线平行，内错角相等），
因为AB∥GF，AB∥CD，
所以GF∥CD（平行的传递性），
所以∠C＝∠CGF，
所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C，
因为∠A＝x°，∠C＝y°
所以∠AGC＝（x+y）°，
（3）如图所示，过点E作EM∥AB，过点F作FN∥AB，过点G作GQ∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD（平行的传递性），
∴∠BAE＝∠AEM（两直线平行，内错角相等），
∠MEF＝∠EFN（两直线平行，内错角相等），
∠NFG＝∠FGQ（两直线平行，内错角相等），
∠QGC＝∠GCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN，
∠FGC＝∠NFG+GCD，
而∠EFN+∠NFG＝∠EFG，
∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．
24．问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC＝108°．求∠PAB+∠PCD的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD＝　252°　．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．
（1）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（2）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
问题拓展：如图4，MA1∥NAn，A1﹣B1﹣A2﹣…﹣Bn﹣1﹣An是一条折线段．依据此图信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为　∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1　．
【分析】根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；
（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；
问题拓展：分别过A2，A3…，An﹣1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn﹣1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．
【解答】解：如图2，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，
∵∠APC＝108°，
∴∠PAB+∠PCD＝360°﹣108°＝252°；
故答案为：252°；
（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：
如图3﹣1，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：
如图3﹣2，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，
∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．
问题拓展：分别过A2，A3…，An﹣1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn﹣1作直线∥A1M，
由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An＝∠B1+∠B2+…+∠Bn﹣1．
25．如图，AB∥CD，EM是∠AMF的平分线，NF是∠CNE的平分线，EN、MF交于点O．
（1）若∠AMF＝52°，∠CNE＝38°，求∠MEN、∠MFN的度数；
（2）若2∠MFN﹣∠MEN＝45°，求出∠AMF的度数；
（3）探究∠MEN、∠MFN与∠MON之间存在怎样的数量关系．（直接写出结果）
【分析】（1）作EH∥AB，如图，利用平行线的性质得EH∥CD，则∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，于是得到∠MEN＝∠AME+∠CNE，而∠AME∠AMF，所以∠MEN∠AMF+∠CNE；同理可得∠MFN＝∠AMF∠CNE，再∠AMF＝52°，∠CNE＝38°代入计算即可；
（2）由（1）的结论得到∠MEN∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF∠CNE，变形得到2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，利用等式的性质得2∠MFN﹣∠MEN∠AMF，加上2∠MFN﹣∠MEN＝45°，可求得∠AMF的度数；
（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，再变形∠MEN∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF∠CNE得到2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，把两式相加得2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），则∠AMF+∠CNE（∠MEN+∠MFNF），进而可求解．
【解答】解：（1）作EH∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴EH∥CD，
∴∠1＝∠AME，∠2＝∠CNE，
∴∠MEN＝∠AME+∠CNE，
∵EM是∠AMF的平分线，
∴∠AME∠AMF，
∴∠MEN∠AMF+∠CNE52°+38°＝64°；
同理可得∠MFN＝∠AMF∠CNE＝52°38°＝71°；
（2）∵∠MEN∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF∠CNE，
∴2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，
∴2∠MFN﹣∠MEN∠AMF，
∵2∠MFN﹣∠MEN＝45°，
∴∠AMF＝45°，
∴∠AMF＝30°；
（3）与（1）的证明方法一样可得∠MON＝∠AMF+∠CNE，
而∠MEN∠AMF+∠CNE，∠MFN＝∠AMF∠CNE，
∴2∠MEN＝∠AMF+2∠CNE，2∠MFN＝2∠AMF+∠CNE，
∴2∠MEN+2∠MFN＝3（∠AMF+∠CNE），
∴∠AMF+∠CNE（∠MEN+∠MFN），
∴∠MON（∠MEN+∠MFN）．
26．课堂上老师呈现一个问题：
已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB与点O，FG交CD与点P，当∠1＝30°时，求∠EFG的度数．
下面提供三种思路：
思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；
思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；
思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．
解答下列问题：
（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 　120°　；
（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；
（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．
【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；
（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；
（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．
【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，
∵MN∥CD，∠1＝30°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴AB∥MN，
∵AB⊥EF，
∴∠3＝∠4＝90°，
∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．
故答案为：120°；
（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；
（3）若选择思路二，理由如下：
如图（2），过P作PN∥EF，
∵PN∥EF，EF⊥AB，
∴∠ONP＝∠EOB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠NPD＝∠ONP＝90°，
又∵∠1＝30°，
∴∠NPG＝90°+30°＝120°，
∵PN∥EF，
∴∠EFG＝∠NPG＝120°；
若选择思路三，理由如下：
如图（3），过O作ON∥FG，
∵ON∥FG，∠1＝30°，
∴∠PNO＝∠1＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠BON＝∠PNO＝30°，
又∵EF⊥AB，
∴∠EON＝∠EOB+∠BON＝90°+30°＝120°，
∵ON∥FG，
∴∠EFG＝∠EON＝120°．
27．已知：如图所示，直线MN∥GH，另一直线交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，点C为直线GH上一动点，点D为直线MN上一动点，且∠GCD＝50°．
（1）如图1，当点C在点A右边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（2）如图2，当点C在点A右边且点D在点B右边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线于点P，求∠BPC的度数；
（3）当点C在点A左边且点D在点B左边时，∠DBA的平分线交∠DCA的平分线所在直线交于点P，请直接写出∠BPC的度数，不说明理由．
【分析】（1）过点P作PE∥MN，根据平行线的性质和角平分线的性质得：∠BPE＝∠DBP∠MBA＝40°．，相加可得结论；
（2）如图2，过点P作PE∥MN，根据平角可得∠DBA＝180°﹣80°＝100°．由角平分线和平行线的性质得∠BPE＝130°．，相加可得结论；
（3）如图3，作平行线，同理可得结论，如图4和图5，同理根据三角形的外角可得结论．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PE∥MN．
∵MN∥GH．
∴PE∥MN∥GH．
∵PB平分∠DBA．
∴∠DBP∠MBA＝40°．
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝∠DBP＝40°（两直线平行，内错角相等）．
同理可证．．
∴∠BPC＝40°+25°＝65°．
（2）如图2，过点P作PE∥MN．
∵∠MBA＝80°．
∴∠DBA＝180°﹣80°＝100°．
∵BP平分∠DBA．
∴．
∵MN∥PE，
∴∠BPE＝180°﹣∠DBP＝130°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵PC平分∠DCA．
∴（两直线平行，内错角相等）．
∴∠BPC＝130°+25°＝155°．
（3）如图3，过点P作PE∥MN．
∵BP平分∠DBA．
∴∠DBP＝40°＝∠BPE（两直线平行，内错角相等）．
∴CP平分∠DCA．∠DCA＝180°﹣∠DCG＝130°．
∴．
∴∠CPE＝180°﹣∠PCA＝115°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠BPC＝40°+115°＝155°；
如图4，同理得：∠ACF＝∠GCP＝65°，∠PEC＝∠DBP＝40°，
∴∠BPC＝∠GCP﹣∠PEC＝65°﹣40°＝25°；
如图5，∠AOC＝∠HAO﹣∠HCO＝80°﹣65°＝15°＝∠BOP，
∴∠BPC＝∠EBP﹣∠BOP＝40°﹣15°＝25°；
综上，∠BPC的度数为25°或155°．
28．如图1，已知AB∥CD，点E和点H分别在直线AB和CD上，点F在直线AB和CD之间，连接EF和HF．
（1）求∠AEF+∠CHF+∠EFH的度数；
（2）如图2，若∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，HM平分∠CHF交FE的延长线于点M，∠DHF＝80°，求∠FMH的度数．
【分析】（1）过点作FT∥AB，利用平行线的性质即可得出结论；
（2）过点M作MN∥AB，利用平行线的性质和角平分线的定义与（1）的结论分别计算出∠CHM，∠AEF，∠AEM的度数，即可求得结论．
【解答】解：（1）过点作FT∥AB，如图，
∴∠AEF+∠EFT＝180°．
∵AB∥CD，FT∥AB，
∴FT∥CD，
∴∠TFH+∠CHF＝180°．
又∠EFT+∠TFH＝∠EFH，
∴∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°．
（2）过点M作MN∥AB，如图2所示，
∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠CHM＝∠HMN，
∴∠AEM＝∠EMN，
∴∠FMH＝∠HMN﹣∠EMN，
∴∠FMH＝∠CHM﹣∠AEM．
由题知：∠DHF＝80°，
∴∠CHF＝100°．
∵HM平分∠CHF，
∴∠CHM＝50°．
由（1）知∠AEF+∠CHF+∠EFH＝360°，
又∠AEF+∠CHF＝2∠EFH，∠CHF＝100°，
∴∠AEF＝140°．
∴∠AEM＝180°﹣∠AEF＝180°﹣140°＝40°，
∴∠FMH＝50°﹣40°＝10°．
29．（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；
（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；
（2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，进而可得∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即可求解；
（3）过点G作AB的平行线，利用平行线的性质解答．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，
∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD，（已知）
∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴∠2+∠PFD＝180°． （两直线平行，同旁内角互补）
∵∠PFD＝130°，
∴∠2＝180°﹣130°＝50°．
∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．
即∠EPF＝90°．
（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．
理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，
∴∠PEA＝∠NPE，
∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，
∵PN∥CD，
∴∠FPN＝∠PFC，
∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；
（3）如图，过点G作AB的平行线GH．
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，
由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，
∴∠HGF（∠P+∠AEP）（α+∠AEP），
∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE（α+∠AEP）∠AEP﹣∠HGE．
30．已知AB∥CD，线段EF分别与AB、CD相交于点E、F．
（1）如图①，当∠A＝20°，∠APC＝70°时，求∠C的度数；
（2）如图②，当点P在线段EF上运动时（不包括E、F两点），∠A、∠APC与∠C之间有怎样的数量？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，说明理由；如果不成立，直接写出它们之间的数量关系．
【分析】（1）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，代入求出即可；
（2）过P作PO∥AB，推出AB∥PO∥CD，根据平行线性质得出∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，求出即可；
（3）分三种情况讨论：①当P在线段EF的延长线上运动时，②当点P在线段FE的延长线上运动时，③当点P在线段EF上运动时，根据平行线的性质即可得到结论．
【解答】（1）解：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∵∠A＝20°，当点P在线段EF上运动时，
∴∠APO＝∠A＝20°，∠C＝∠CPO，
∵∠APC＝70°，
∴∠C＝∠CPO＝∠APC﹣∠APO＝70°﹣20°＝50°；
（2）∠A+∠C＝∠APC，
证明：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；
（3）解：①当P在线段EF的延长线上运动时，不成立，关系式是：∠A﹣∠C＝∠APC，
理由是：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠A﹣∠C＝∠APO﹣∠CPO＝∠APC，
即∠A﹣∠C＝∠APC；
②当点P在线段FE的延长线上运动时，新的相等关系为∠C＝∠APC+∠A．
理由：设AB与CP相交于Q，则∠PQB＝∠APC+∠A．
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠PQB，
∴∠C＝∠APC+∠A．
③当点P在线段EF上运动时，成立，关系式为∠A+∠C＝∠APC，
证明：过P作PO∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PO∥CD，
∴∠APO＝∠A，∠C＝∠CPO，
∴∠APC＝∠APO+∠CPO＝∠A+∠C；
综上所述，当点P在直线EF上运动时，（2）中的结论不一定成立．