2.1二元一次方程-2023-2024学年浙教版七年级下 同步分层作业（含解析）

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2.1二元一次方程 同步分层作业
基础过关
1. 下列哪对x，y的值是二元一次方程x+2y＝6的解（　　）
A． B． C． D．
2. 如果（a﹣2）x+（b+1）y＝11是关于x、y的二元一次方程，那么（　　）
A．a≠2 B．b≠﹣1 C．a≠2且b≠﹣1 D．a≠2或b≠﹣1
3. 已知关于x，y的二元一次方程●x﹣2y＝4中x的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是，那么●的值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣3 D．﹣2
4. 已知方程x﹣2y＝3，用含x表示y的式子是y＝　　，用含y表示x的式子是x＝　　．
5. 如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝　　．
6. 下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，为什么？
（1）x+y＝1；
（2）x2+y＝1；
（3）2x﹣3y＝4z；
（4）5xy+x＝6；
（5）2x+＝4．
7. 下面4组数值中，哪些是二元一次方程2x+y＝10的解？
（1）； （2）； （3）； （4）．
能力提升
8. 若（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　）
A．2 B．2或0 C．0 D．任何数
9. 二元一次方程2x+3y＝12的正整数解有（　　）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
10. 关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的自然数解有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
11. 已知二元一次方程x+y＝1，下列说法不正确的是（　　）
A．它有无数多组解 B．它只有一组非负整数解
C．它有无数多组整数解 D．它没有正整数解
12. 已知关于x，y的方程x2m2﹣x2+（m+1）y+2x＝6是二元一次方程，则m＝　1　．
13. 若（a+3）2与|b﹣1|互为相反数，且关于x的方程的解是x＝﹣1，求2y2﹣3的值．
14. 已知二元一次方程5x+3y＝18．
（1）把方程写成用含x的代数式表示y的形式；
（2）填表，使x、y的值是方程5x+3y＝18的解；
x 0 1 2 3 4
y 6 　　 　 　　
（3）根据表格，请直接写出方程的非负整数解．
15. 已知关于x，y的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5．
（1）当m为何值时，它是一元一次方程？
（2）当m为何值时，它是二元一次方程？
16. 把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2．
（1）求“雅系二元一次方程”y＝5x﹣6的“完美值”；
（2）x＝﹣3是“雅系二元一次方程”y＝x+m的“完美值”，求m的值；
（3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程”y＝﹣x+n与y＝3x﹣n+1（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
培优拔尖
17. 已知关于x，y的二元一次方程3x﹣2y＝t，其取值如表所示，则下表中k的值为（　　）
x y t
m n 5
m+2 n﹣2 k
A．15 B．16 C．13 D．14
18. 已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　　．
19.已知二元一次方程ax+3y+b＝0（a，b均为常数，且a≠0）．
（1）当a＝2，b＝﹣4时，用x的代数式表示y；
（2）若是该二元一次方程的一个解，
①探索a与b关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与a、b的取值无关，请求出这个解．
答案与解析
基础过关
1. 下列哪对x，y的值是二元一次方程x+2y＝6的解（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据二元一次方程的解的定义解决此题．
【解析】解：A．当x＝﹣2，y＝﹣2，得x+2y＝﹣6，那么x＝﹣2，y＝﹣2不是x+2y＝6的解，故A不符合题意．
B．当x＝0，y＝2，得x+2y＝4，那么x＝0，y＝2不是x+2y＝6的解，故B不符合题意．
C．当x＝2，y＝2，得x+2y＝2+4＝6，那么x＝2，y＝2是x+2y＝6的解，故C符合题意．
D．当x＝3，y＝1，得x+2y＝3+2＝5，那么x＝3，y＝1不是x+2y＝6的解，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
2. 如果（a﹣2）x+（b+1）y＝11是关于x、y的二元一次方程，那么（　　）
A．a≠2 B．b≠﹣1 C．a≠2且b≠﹣1 D．a≠2或b≠﹣1
【思路点拨】依据二元一次方程的定义求解即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【解析】解：∵（a﹣2）x+（b+1）y＝11是关于x，y的二元一次方程，
∴a﹣2≠0且b+1≠0．
解得a≠2且b≠﹣1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
3. 已知关于x，y的二元一次方程●x﹣2y＝4中x的系数让墨迹盖住了，但是知道它一组解是，那么●的值是（　　）
A．2 B．1 C．﹣3 D．﹣2
【思路点拨】根据方程解的意义列方程求解．
【解析】解：设 ＝a，
由题意得：﹣2a﹣2＝4，
解得：a＝﹣3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．
4. 已知方程x﹣2y＝3，用含x表示y的式子是y＝　　，用含y表示x的式子是x＝　2y+3　．
【思路点拨】根据方程的解法，可得答案．
【解析】解：由x﹣2y＝3可得2y＝x﹣3，故y＝；
由x﹣2y＝3可得x＝2y+3．
故答案为：；2y+3．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，利用等式的性质是解题关键．
5. 如果是方程2x﹣3y＝2020的一组解，那么代数式2024﹣2m+3n＝　4　．
【思路点拨】先根据方程解的定义求出2m﹣3n的值，再整体代入求值．
【解析】解：∵是方程2x﹣3y＝2020的一组解，
∴2m﹣3n＝2020．
∴代数式2024﹣2m+3n＝2024﹣（2m﹣3n）＝2024﹣2020＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了代数式的求值，掌握方程解的意义和整体代入的思想方法是解决本题的关键．
6. 下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是，为什么？
（1）x+y＝1；
（2）x2+y＝1；
（3）2x﹣3y＝4z；
（4）5xy+x＝6；
（5）2x+＝4．
【思路点拨】二元一次方程满足的条件：①首先是整式方程；②方程中含有两个未知数；③所有未知项的次数都是一次，再根据上述条件判断所给的方程即可．
【解析】解：（1）符合二元一次方程的定义，是二元一次方程；
（2）含有未知数x的项的次数不是1，所以它不是二元一次方程；
（3）含有三个未知数，所以它不是二元一次方程；
（4）含有两个未知数，但含有未知数的项5xy的次数不是1，所以它不是二元一次方程；
（5）不是整式方程，所以它不是二元一次方程．
故（1）是二元一次方程，（2）（3）（4）（5）不是二元一次方程．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的判断，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
7. 下面4组数值中，哪些是二元一次方程2x+y＝10的解？
（1）； （2）； （3）； （4）．
【思路点拨】把x与y的值代入方程检验即可．
【解析】解：（1）把x＝﹣2，y＝6代入方程得：左边＝﹣4+6＝2，右边＝10，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解；
（2）把x＝3，y＝4代入方程得：左边＝6+4＝10，右边＝10，
∵左边＝右边，
∴是方程的解；
（3）把x＝4，y＝3代入方程得：左边＝8+3＝11，右边＝10，
∵左边≠右边，
∴不是方程的解；
（4）把x＝6，y＝﹣2代入方程得：左边＝12﹣2＝10，右边＝10，
∵左边＝右边，
∴是方程的解．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
能力提升
8. 若（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（　　）
A．2 B．2或0 C．0 D．任何数
【思路点拨】从二元一次方程满足的条件：含有2个未知数和最高次项的次数是1这两个方面考虑．
【解析】解：∵（m﹣2）x+3y|m﹣1|＝12是关于x，y的二元一次方程，
∴|m﹣1|＝1且m﹣2≠0，
解得：m＝0，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的定义，解答本题的关键要明确二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
9. 二元一次方程2x+3y＝12的正整数解有（　　）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】根据已知方程，把y用含有x的式子表示出来，再根据x，y均为正整数，求出12﹣2x为3的倍数，从而列出关于x的方程，求出x，y，最后根据解为正整数进行判断即可．
【解析】解：2x+3y＝12，
3y＝12﹣2x，
，
∵x，y都是正整数，
∴12﹣2x为3的倍数，
∴12﹣2x＝3，解得：x＝4.5（不合题意舍去）；
12﹣2x＝6，解得：x＝3，则y＝2；
12﹣2x＝9，解得：x＝1.5（不合题意舍去）；
12﹣2x＝12，解得：x＝0（不合题意舍去）；
12﹣2x＝15，解得：x＝﹣1.5（不合题意舍去）；
12﹣2x＝18，解得：x＝﹣3（不合题意舍去）；
…，
∴二元一次方程2x+3y＝12的正整数解有1组，为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的求法．
10. 关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的自然数解有（　　）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【思路点拨】将方程整理为y＝7﹣2x，将x的值依次代入，即可进行解答．
【解析】解：当x＝0时，y＝7﹣2×0＝7，符合题意；
当x＝1时，y＝7﹣2×1＝5，符合题意；
当x＝2时，y＝7﹣2×2＝3，符合题意；
当x＝3时，y＝7﹣2×3＝1，符合题意；
当x＝4时，y＝7﹣2×4＝﹣1，不符合题意；
综上：符合条件的自然数解有4组，
故选：B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
11. 已知二元一次方程x+y＝1，下列说法不正确的是（　　）
A．它有无数多组解 B．它只有一组非负整数解
C．它有无数多组整数解 D．它没有正整数解
【思路点拨】根据方程的特点求出非负整数解判断即可．
【解析】解：方程有无数多组解，A正确；
它有和两组非负整数解，B错误；
它有无数多组整数解，C正确；
它没有正整数解，D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，理解二元一次方程有不定解和整数解的确定是解题的关键．
12. 已知关于x，y的方程x2m2﹣x2+（m+1）y+2x＝6是二元一次方程，则m＝　1　．
【思路点拨】根据二元一次方程的定义解答即可．
【解析】解：根据题意得，
解得m＝1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程，要注意未知项的系数不等于0．
13.若x|2m﹣3|+（m﹣2）y＝6是关于x、y的二元一次方程，则m的立方根是　1　
【思路点拨】根据二元一次方程的定义列式进行计算即可得解．
【解析】解：根据题意得，|2m﹣3|＝1且m﹣2≠0，
所以，2m﹣3＝1或2m﹣3＝﹣1且m≠2，
解得m＝2或m＝1且m≠2，
所以m＝1．
所以m的立方根是1，
故答案为：1
【点睛】本题考查了二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的最高次项的次数是1的整式方程，要注意未知项的系数不等于0．
14.若是方程2x﹣3y﹣1＝0的一个解，则5﹣4a+6b的值为 　3　．
【思路点拨】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得2a﹣3b＝1，再整体代入代数式可得答案．
【解析】解：∵是二元一次方程2x﹣3y﹣1＝0的一个解，
∴代入得：2a﹣3b﹣1＝0，即2a﹣3b＝1，
∴5﹣4a+6b＝5﹣2（2a﹣3b）＝5﹣2×1＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，掌握方程解的定义是解题的关键．
15. 若（a+3）2与|b﹣1|互为相反数，且关于x的方程的解是x＝﹣1，求2y2﹣3的值．
【思路点拨】利用相反数及非负数的性质求出a与b的值，把a，b，x的值代入方程计算求出y的值，代入原式计算即可求出值．
【解析】解：根据题意得：（a+3）2+|b﹣1|＝0，
可得a+3＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣3，b＝1，
把x＝﹣1，a＝﹣3，b＝1代入方程得：﹣3y＝﹣+1，
整理得：﹣1﹣3y＝，即3y＝﹣，
解得：y＝﹣，
则原式＝﹣3＝﹣2．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16. 已知二元一次方程5x+3y＝18．
（1）把方程写成用含x的代数式表示y的形式；
（2）填表，使x、y的值是方程5x+3y＝18的解；
x 0 1 2 3 4
y 6 　　 　1　 　　
（3）根据表格，请直接写出方程的非负整数解．
【思路点拨】（1）要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有x的项和常数项移到方程的右边，再把y的系数化为1即可；
（2）将x的值1，3，4分别代入，求出y的值即可；
（3）根据表格，直接写出方程的非负整数解即可．
【解析】解：（1）5x+3y＝18，
得3y＝18﹣5x，
所以；
（2）将x的值1，3，4分别代入中得到y的值分别为：，1，；
∴填表如下：
x 0 1 2 3 4
y 6 1
故答案为：，1，；
（3）由上表可知：方程的非负整数解为：或．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及方程的非负整数解，学会用含一个未知数的代数式表示另一个未知数是解题的关键．
17. 已知关于x，y的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5．
（1）当m为何值时，它是一元一次方程？
（2）当m为何值时，它是二元一次方程？
【思路点拨】（1）根据一元一次方程的定义得到：m2﹣4＝0且m+2＝0，或m2﹣4＝0且m+1＝0，
（2）根据二元一次方程的定义得到：m2﹣4＝0且m+2≠0、m+1≠0．
【解析】解：（1）依题意得：m2﹣4＝0且m+2＝0，或m2﹣4＝0且m+1＝0，
解得m＝﹣2．
即当m＝﹣2时，它是一元一次方程．
（2）依题意得：m2﹣4＝0且m+2≠0、m+1≠0，
解得m＝2．
即当m＝2时，它是二元一次方程．
【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题．
18. 把y＝ax+b（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2．
（1）求“雅系二元一次方程”y＝5x﹣6的“完美值”；
（2）x＝﹣3是“雅系二元一次方程”y＝x+m的“完美值”，求m的值；
（3）是否存在n，使得“雅系二元一次方程”y＝﹣x+n与y＝3x﹣n+1（n是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出n的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】（1）由题意可得x＝5x﹣6，即可求解；
（2）由题意可得﹣3＝×（﹣3）+m，求出m即可；
（3）由题意可得x＝﹣x+n，得x＝n，x＝3x﹣n+1，得x＝，再由n＝，即可求n的值．
【解析】解：（1）∵y＝5x﹣6是“雅系二元一次方程”，
∴x＝5x﹣6，
解得x＝，
∴“雅系二元一次方程”y＝5x﹣6的“完美值”为x＝；
（2）∵x＝﹣3是“雅系二元一次方程”y＝x+m的“完美值”，
∴﹣3＝×（﹣3）+m，
解得m＝﹣2；
（3）存在n，使得“雅系二元一次方程”y＝﹣x+n与y＝3x﹣n+1（n是常数）的“完美值”相同，理由如下：
由x＝﹣x+n，得x＝n，
由x＝3x﹣n+1，得x＝，
∴n＝，
解得n＝5，
∴x＝2，
∴“完美值”为x＝2．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解新定义，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
培优拔尖
19. 已知关于x，y的二元一次方程3x﹣2y＝t，其取值如表所示，则下表中k的值为（　　）
x y t
m n 5
m+2 n﹣2 k
A．15 B．16 C．13 D．14
【思路点拨】由题意可得二元一次方程组再由整体代入的方法求k的值即可．
【解析】解：由题意可得，
化简得，，
将①代入②，得k＝5+10＝15，
故选：A．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体的数学思想是解题的关键．
20. 已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 　　．
【思路点拨】该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，再分别令3+2m＝0和m﹣2＝0时求解方程即可．
【解析】解：该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，
当3+2m＝0时，解得m＝﹣，
将m＝﹣代入方程得，0×x+（﹣﹣2）y＝﹣﹣9，
解得y＝3；
当m﹣2＝0时，解得m＝2，
将m＝2代入方程得，（3+2×2）x+0×y＝2﹣9，
解得x＝﹣1，
∴不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解决含字母参数的二元一次方程组的能力，关键是能准确理解题意并能用特殊值法求解．
21.已知二元一次方程ax+3y+b＝0（a，b均为常数，且a≠0）．
（1）当a＝2，b＝﹣4时，用x的代数式表示y；
（2）若是该二元一次方程的一个解，
①探索a与b关系，并说明理由；
②若该方程有一个解与a、b的取值无关，请求出这个解．
【思路点拨】（1）把a与b的值代入方程，用x表示出y即可；
（2）①a+b＝0，理由为：把x与y代入方程，整理即可得到结果；
②由a+b＝0，得到b＝﹣a，代入方程变形，根据方程组的解与a、b的取值无关，求出所求即可．
【解析】解：（1）把a＝2，b＝﹣4代入方程得：2x+3y﹣4＝0，
解得：y＝﹣x+；
（2）①a与b关系是a+b＝0，理由：
把代入二元一次方程ax+3y+b＝0得：a（a+2b）+b2﹣b+b＝0，
整理得：a2+2ab+b2＝0，即（a+b）2＝0，
所以a+b＝0；
②由①知道a+b＝0，
∴b＝﹣a，
∴原方程变为ax+3y﹣a＝0，即a（x﹣1）+3y＝0，
∵该方程组的解与a、b的取值无关，
∴．
【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
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