2.4二元一次方程组的应用-2023-2024学年浙教版七年级下 同步分层作业（含解析）

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2.4二元一次方程组的应用 同步分层作业
基础过关
1．若甲数为x，乙数为y，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”列成方程是（　　）
A．3x+y＝2 B．3x﹣y＝2 C．﹣3x+y＝2 D．3x＝y+2
2．哥哥和弟弟今年的年龄和是16岁，哥哥对弟弟说：“4年后，我的年龄是你的年龄的2倍．”求弟弟、哥哥今年的年龄，设弟弟，哥哥今年的年龄分别为x岁，y岁，根据题意可列的一个方程为x+y＝16，则另一个方程为（　　）
A．2（x+4）＝y+4 B．2（x﹣4）＝y﹣4 C．x+4＝2（y+4） D．x﹣4＝2（y﹣4）
3．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　）
A．x﹣y＝20 B．x+y＝20 C．5x﹣2y＝60 D．5x+2y＝60
4．某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5、余数是6．这个两位数是多少？设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺．依题意，列方程组得 　　．
8．如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm．根据题意可列方程组：　　．
9．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？译文：“用一根绳子去量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？设绳长x尺，井深y尺，可列方程组为 　　．
10．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，某中学计划从体育用品商场购买乒乓球拍和乒乓球用于学生社团活动．若购买2副球拍和3盒乒乓球则共需75元；若购买3副球拍和2盒乒乓球则共需100元．
（1）求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格．
（2）学校计划采购乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期间，商场搞促销活动：甲商场全部商品打9折出售，乙商场买2副乒乓球拍送一盒乒乓球，请问在哪个商场采购合算？请说明理由．
11.在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场多两场，结果积18分，问该队战平几场？
12.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？
13.某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表：
冰墩墩 雪容融
进价（元/个） 120 70
标价（元/个） 160 100
（1）求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个？
（2）如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元？
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14．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；
③；④；⑤43m＝n+2．
其中正确的是（　　）
A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④
15．《孙子算经》中有个数学问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是y＝3（x﹣2），则符合题意的另一个方程是（　　）
A．y＝2x+9 B．y＝2x﹣9 C．x＝ D．x＝
16．某药店出售A、B两种N95的口罩，已知该店进货4个A种N95口罩和3个B种N95口罩共需27元，进货2个A种N95口罩所需费用比进货1个B种N95口罩所需费用多1元．
（1）请分别求出A、B两种N95口罩的进价是多少元？
（2）已知药店将A种N95口罩每个提价1元出售，B种N95口罩每个提价20%出售，小雅在该药店购买A、B两种N95口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？
17．某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 1～50 51～100 100以上
每人门票价/元 20 16 10
某校八年级一、二两班计划去游览该景点，其中一班人数少于50人，二班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1828元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费1020元．
（1）八年级一、二两班人数之和是否超过100人，说明理由．
（2）八年级一、二两班各有多少名学生？
（3）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？
18．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆甲种货车需租金100元/次，1辆乙种货车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
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19．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3） 自来水销售价格（元/m3） 污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分 a 1.10
超出6m3不超出10m3的部分 b 1.10
超出10m3的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）．
已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
20.小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为0.8米的钢管100根，还需要长为2.5米的钢管32根，两种长度的钢管粗细必须相同；并要求这些用料不能是焊接而成的．经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米．
（1）试问：把一根长为6米的钢管进行裁剪，有下面几种方法，请完成填空（余料作废）．
方法①：只裁成为0.8米的用料时，最多可裁7根；
方法②：先裁下1根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料　　根；
方法③：先裁下2根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料1根．
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？
（3）试探究：除（2）中方案外，在（1）中还有哪两种方法联合，所需要6米长的钢管与（2）中根数相同？
答案与解析
基础过关
1．若甲数为x，乙数为y，则“甲数的3倍比乙数的一半少2”列成方程是（　　）
A．3x+y＝2 B．3x﹣y＝2 C．﹣3x+y＝2 D．3x＝y+2
【思路点拨】因为“甲数的3倍比乙数的一半少2”，则可列成方程y﹣3x＝2．
【解析】解：若甲数为x，乙数为y，可列方程为y﹣3x＝2．
故选：C．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，比较容易，根据“甲数的3倍比乙数的一半少2”可以直接列方程．
2．哥哥和弟弟今年的年龄和是16岁，哥哥对弟弟说：“4年后，我的年龄是你的年龄的2倍．”求弟弟、哥哥今年的年龄，设弟弟，哥哥今年的年龄分别为x岁，y岁，根据题意可列的一个方程为x+y＝16，则另一个方程为（　　）
A．2（x+4）＝y+4 B．2（x﹣4）＝y﹣4 C．x+4＝2（y+4） D．x﹣4＝2（y﹣4）
【思路点拨】根据哥哥对弟弟说：“4年后，我的年龄是你的年龄的2倍．”可以列出另一个方程，本题得以解决．
【解析】解：由题意可得，
2（x+4）＝y+4，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
3．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分，设圆圆答对了x道题，答错了y道题，则（　　）
A．x﹣y＝20 B．x+y＝20 C．5x﹣2y＝60 D．5x+2y＝60
【思路点拨】设圆圆答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一道题得+5分，每答错一道题得﹣2分，不答的题得0分，已知圆圆这次竞赛得了60分”列出方程．
【解析】解：设圆圆答对了x道题，答错了y道题，
依题意得：5x﹣2y+（20﹣x﹣y）×0＝60．
故选：C．
【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程．关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量＝20，避免误选B．
4．某市出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费．明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元．设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意明明乘坐这种出租车走了7km，付了16元；盼盼乘坐这种出租车走了13km，付了28元列出二元一次方程组，即可求解．
【解析】解：设这种出租车的起步价为x元，超过3km后每千米收费y元，根据题意得，，
故选：C．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
5．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，下列方程组正确的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】首先设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，由图示可得等量关系：①2个长＝1个长+3个宽，②一个长+一个宽＝80cm，根据等量关系列出方程组，再解即可．
【解析】解：设每块小长方形地砖的长为xcm，宽为ycm，
由题意得：，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
6．一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5、余数是6．这个两位数是多少？设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路点拨】根据一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30，可得10x+y﹣3（x+y）＝30；根据这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是6，可得10x+y＝5（x+y）+6，即可得出答案．
【解析】解：根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，要求会表示两位数，会找出列方程组需要的两个等量关系是解题的关键．
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺．依题意，列方程组得 　　．
【思路点拨】设绳子长x尺，木长y尺，根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木头剩余1尺”，即可得出方程组．
【解析】解：设绳子长x尺，木长y尺，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
8．如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm．根据题意可列方程组：　　．
【思路点拨】根据列出方程组即可．
【解析】解：设每个小长方形的长为x cm，宽为y cm．
由题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
9．我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？译文：“用一根绳子去量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？设绳长x尺，井深y尺，可列方程组为 　　．
【思路点拨】设绳长是x尺，井深是y尺，根据把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺列方程组即可．
【解析】解：依题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，某中学计划从体育用品商场购买乒乓球拍和乒乓球用于学生社团活动．若购买2副球拍和3盒乒乓球则共需75元；若购买3副球拍和2盒乒乓球则共需100元．
（1）求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格．
（2）学校计划采购乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期间，商场搞促销活动：甲商场全部商品打9折出售，乙商场买2副乒乓球拍送一盒乒乓球，请问在哪个商场采购合算？请说明理由．
【思路点拨】（1）设出每副乒乓球拍和每盒乒乓球的价格，再列二元一次方程组，解出即可；
（2）分别求出在甲商场和乙商场购买的价格，再比较即可得出在哪个商场采购合算．
【解析】解：（1）设每副乒乓球拍的价格为x元，每盒乒乓球的价格为y元，
根据题意，得，
解得，
答：每副乒乓球拍的价格为30元，每盒乒乓球的价格为5元；
（2）在甲商场采购合算．
理由如下：
在甲商场采购：（20×30+30×5）×0.9＝675（元），
在乙商场采购：20×30+（30﹣）×5＝700（元），
∵675＜700，
∴在甲商场采购合算．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，弄清题目中的等量关系并列出方程组是解题的关键．
11.在一次有12个队参加的足球循环赛（每两队之间必须比赛一场）中，规定胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某队在这次循环赛中所胜场数比所负场多两场，结果积18分，问该队战平几场？
【思路点拨】本题是12个队进行单循环赛，每个队都要与除了它自己之外的11个队赛一场，所以一个队的比赛总场数为11．本题中有两个等量关系：胜的场数+平的场数+负的场数＝11；胜的积分+平的积分＝18．
【解析】解：设该队胜x场，平y场．
则
解得．
答：该队战平3场．
【点睛】本题中隐含一个等量关系：12个队进行单循环赛，每个队都要与除了它自己之外的11个队赛一场，所以一个队的比赛总场数为11．需要知道这个知识点．
12.甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？
【思路点拨】设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，根据“如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两人的速度．
【解析】解：设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h，
依题意得：，
解得：．
答：甲的速度为6km/h，乙的速度为3.6km/h．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13.某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，这两种吉祥物毛绒玩具的进价、标价如下表：
冰墩墩 雪容融
进价（元/个） 120 70
标价（元/个） 160 100
（1）求该商场冰墩墩和雪容融这两种毛绒玩具分别购进了多少个？
（2）如果商场将冰墩墩毛绒玩具按标价的9折出售，雪容融毛绒玩具按标价的8折出售，那么商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利多少元？
【思路点拨】（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进x个，雪容融毛绒玩具购进y个，根据某商场购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融两种毛绒玩具共100个，共花去10000元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由题意列式计算即可．
【解析】解：（1）设该商场冰墩墩毛绒玩具购进x个，雪容融毛绒玩具购进y个，
由题意得：，
解得：，
答：该商场冰墩墩毛绒玩具购进60个，雪容融毛绒玩具购进40个；
（2）60×（160×0.9﹣120）+40×（100×0.8﹣70）＝1840（元），
答：商场将这两种毛绒玩具全部售出后会获利1840元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
能力提升
14．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车；若每辆客车乘43人，则最后一辆车有2个空位．给出下面五个等式：①40m+10＝43m﹣2；②40m﹣10＝43m+2；
③；④；⑤43m＝n+2．
其中正确的是（　　）
A．②③⑤ B．①④⑤ C．①③⑤ D．②④
【思路点拨】分别由乘客人数不变及客车的数量不变，可列出关于m，n的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：由乘客人数不变，可列出方程40m+10＝43m﹣2，43m＝n+2；
由客车的数量不变，可列出方程＝；
∴正确的方程有①③⑤．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
15．《孙子算经》中有个数学问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车；每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，问有多少人，多少辆车？在用二元一次方程组解决该问题时，若已经列出的一个方程是y＝3（x﹣2），则符合题意的另一个方程是（　　）
A．y＝2x+9 B．y＝2x﹣9 C．x＝ D．x＝
【思路点拨】根据列出的一个方程可找出x，y表示的含义，再由“每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘”，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
【解析】解：∵每三人乘一车，最终剩余2辆车，且列出的一个方程是y＝3（x﹣2），
∴y表示人数，x表示车的辆数；
又∵每二人乘一车，最终剩余9人无车可乘，
∴y＝2x+9．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
16．某药店出售A、B两种N95的口罩，已知该店进货4个A种N95口罩和3个B种N95口罩共需27元，进货2个A种N95口罩所需费用比进货1个B种N95口罩所需费用多1元．
（1）请分别求出A、B两种N95口罩的进价是多少元？
（2）已知药店将A种N95口罩每个提价1元出售，B种N95口罩每个提价20%出售，小雅在该药店购买A、B两种N95口罩（两种口罩均要购买）共花费36元，小雅有哪几种购买方案？
【思路点拨】（1）设A种N95口罩的进价是x元，B种N95口罩的进价是y元，根据“该店进货4个A种N95口罩和3个B种N95口罩共需27元，进货2个A种N95口罩所需费用比进货1个B种N95口罩所需费用多1元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种N95口罩m个，B种N95口罩n个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【解析】解：（1）设A种N95口罩的进价是x元，B种N95口罩的进价是y元，依题意得：
，
解得：，
答：A种N95口罩的进价是3元，B种N95口罩的进价是5元；
（2）设购买A种N95口罩m个，B种N95口罩n个，依题意得：
（3+1）m+5×（1+20%）n＝36，即4m+6n＝36，
解得：m＝9﹣n．
又∵m，n均为正整数，
∴或，
∴小雅共有2种购买方案，
方案1：购买A种N95口罩6个，B种N95口罩2个；
方案2：购买A种N95口罩3个，B种N95口罩4个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
17．某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 1～50 51～100 100以上
每人门票价/元 20 16 10
某校八年级一、二两班计划去游览该景点，其中一班人数少于50人，二班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1828元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费1020元．
（1）八年级一、二两班人数之和是否超过100人，说明理由．
（2）八年级一、二两班各有多少名学生？
（3）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？
【思路点拨】（1）由“一班人数少于50人，二班人数多于50人且少于100人”，可得出八年级一、二两班人数之和多于50人，利用人数＝总价÷单价，可求出人数，将其与100比较后，即可得出八年级一、二两班人数之和超过100人；
（2）设八年级一班有x名学生，八年级二班有y名学生，根据“如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1828元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费1020元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）利用节省的总钱数＝每张门票节省的钱数×人数，即可求出结论．
【解析】解：（1）八年级一、二两班人数之和超过100人，理由如下：
∵一班人数少于50人，二班人数多于50人且少于100人，
∴八年级一、二两班人数之和多于50人．
∵1828÷16＝114（人），114＞100，
∴八年级一、二两班人数之和超过100人；
（2）设八年级一班有x名学生，八年级二班有y名学生，
根据题意得：，
解得：．
答：八年级一班有49名学生，八年级二班有53名学生；
（3）八年级一班节省了（20﹣10）×49＝490（元）；
八年级二班节省了（16﹣10）×53＝318（元）．
答：团体购票与单独购票相比较，八年级一班节省了490元，八年级二班节省了318元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）按照每张门票为16元，大致估算出八年级一、二两班人数之和；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根据各数量之间的关系，列式计算．
18．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨）
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，问有哪几种租车方案？
（3）在（2）的条件下，若1辆甲种货车需租金100元/次，1辆乙种货车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以列出相应的二元一次方程，然后根据辆数为整数，即可写出相应的租车方案；
（3）根据（2）中的租车方案可以计算出相应的费用，然后比较大小即可．
【解析】解：（1）设甲种货车每辆能装货x吨，乙种货车每辆能装货y吨，
依题意得：，
解得：，
答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；
（2）设租用甲种货车a辆，乙种货车b辆，
依题意得：3a+4b＝31，
又∵a，b均为非负整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；
方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；
方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．
（3）方案1所需租车费为：100×9+120×1＝1020（元），
方案2所需租车费为：100×5+120×4＝980（元），
方案3所需租车费为：100×1+120×7＝940（元），
∵1020＞980＞940，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元，
答：费用最少的租车方案为：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元．
【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组或方程．
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19．水是生命之源，“节约用水，人人有责”．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3） 自来水销售价格（元/m3） 污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分 a 1.10
超出6m3不超出10m3的部分 b 1.10
超出10m3的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费＝自来水费用+污水处理费用）．
已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元．
（1）请你根据以上信息，求表中a，b的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
【思路点拨】（1）由题意：已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据阶梯计费价格表和a、b的值进行计算；
（3）设小聪家四月份的用水量为x m3，则五月份的用水量为（20﹣x）m3．分两种情况，分别列出一元一次方程，解方程即可．
【解析】解：（1）由题意得：，
解得：；
（2）2.50+4.50＝7.00，
则6×2.5+（10﹣6）×4.5+（12.5﹣10）×7.00+12.5×1.10＝64.25（元），
答：小红家七月份应缴水费64.25元；
（3）设小聪家四月份的用水量为x m3，则五月份的用水量为（20﹣x）m3．
∵x＜20﹣x，
∴x＜10，
即四月份的用水量低于10m3．
①当0＜x≤6时，缴费总量为：2.50x+6×2.50+4×4.50+（20﹣x﹣10）×7.00+20×1.10＝89，
解得x＝8＞6，不合题意，舍去；
②当6＜x＜10时，缴费总量为：6×2.50+（x﹣6）×4.50+6×2.50+4×4.50+（20﹣x﹣10）×7.00+20×1.10＝89，
解得：x＝9.6，
此时20﹣x＝10.4，符合题意；
答：小聪家四月份的用水量为9.6m3，五月份的用水量为10.4m3．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：找出等量关系，列出二元一次方程组和一元一次方程．
20.小明家需要用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为0.8米的钢管100根，还需要长为2.5米的钢管32根，两种长度的钢管粗细必须相同；并要求这些用料不能是焊接而成的．经市场调查，钢材市场中符合这种规格的钢管每根长均为6米．
（1）试问：把一根长为6米的钢管进行裁剪，有下面几种方法，请完成填空（余料作废）．
方法①：只裁成为0.8米的用料时，最多可裁7根；
方法②：先裁下1根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料　　根；
方法③：先裁下2根2.5米长的用料，余下部分最多能裁成为0.8米长的用料1根．
（2）分别用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？
（3）试探究：除（2）中方案外，在（1）中还有哪两种方法联合，所需要6米长的钢管与（2）中根数相同？
【思路点拨】（1）由总数÷每份数＝分数就可以直接得出结论；
（2）设用方法二剪x根，方法三裁剪y根6m长的钢管，就有x+2y＝32，4x+y＝100，由此方程构成方程组求出其解即可．
（3）设方法一裁剪m根，方法三裁剪n根6m长的钢管，建立方程组求出其解即可．
【解析】解：（1）（6﹣2.5）÷0.8＝4…0.3，
因此当先剪下1根2.5m的用料时，余下部分最多能剪0.8m长的用料4根；
故答案为：4；
（2）设用方法②剪x根，方法③裁剪 y 根6m长的钢管，
由题意，得
解得：
答：用方法②剪24根，方法③裁剪4 根6m长的钢管；
（3）设方法①裁剪m根，方法③裁剪n根6m长的钢管，
由题意，得解得
：，
∴m+n＝28，
∵x+y＝24+4＝28，
∴m+n＝x+y，
设方法①裁剪 a 根，方法②裁剪 b 根6m长的钢管，
由题意，得解得：无意义，
∴方法①与方法③联合，所需要6m长的钢管与（2）中根数相同．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据每份数×份数＝总数建立方程是关键，注意分类讨论思想的运用．
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