2.5三元一次方程组-2023-2024学年浙教版七年级下 同步分层作业（含解析）

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2.5三元一次方程组 同步分层作业
基础过关
1．下列是三元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
2．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+②
C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③
3．解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应（　　）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项
4．下列四组数值中，是方程组的解的是（　　）
A． B． C． D．
5．解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经历如下的步骤，请你选出正确的步骤（　　）
A． B． C． D．
6．三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（　　）
A．3 B． C．﹣2 D．4
7．方程组的解是 　　．
8．解方程组：．
能力提升
9．若二元一次方程3x﹣y﹣7＝0，2x+3y﹣1＝0和2x+y﹣m＝0有公共解，则m的取值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．4
10．若方程组，其中xyz不等于0，那么x：y：z＝（　　）
A．2：3：1 B．1：2：3 C．1：4：1 D．3：2：1
11．已知方程组，则x+y+z的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
13．如图，每条边上的三个数之和都等于16，那么a，b，c这三个数按顺序分别为 　 　．
14．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当与时，y的值相等，求a﹣2b+3c的值．
16.若方程组的解使代数式x﹣3y+kz的值为5，求k的值．
培优拔尖
17．一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
18．某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元、C型每台3000元．
（1）甲中学现有资金210000元，计划全部用于购进这家电脑公司的A型和B型电脑共45台．这两种型号的电脑各购进多少台？
（2）乙中学现有资金190000元，计划全部用于购进这家电脑公司的三种型号电脑共60台，请你设计出所有不同的购买方案，并说明理由．
答案与解析
基础过关
1．下列是三元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．
【解析】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故A选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故B选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故C选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故D选项中的方程组是三元一次方程组．
故选D．
【点睛】本题考查了三元一次方程组，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键．本题侧重考查知识点的记忆能力．学生在日常学习中应从以下1个方向（【数学抽象】）培养对知识点的记忆能力．
2．解三元一次方程组，如果消掉未知数z，则应对方程组变形为（　　）
A．①+③，①×2﹣② B．①+③，③×2+② C．②﹣①，②﹣③ D．①﹣②，①×2﹣③
【思路点拨】观察z的系数，利用加减消元法消去z即可．
【解析】解：解三元一次方程组，如果消掉未知数z，
则应对方程组变形为②﹣①，②﹣③．
故选：C．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应（　　）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消常数项
【思路点拨】观察发现，未知数y的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去y．
【解析】解：观察未知数x，y，z的系数特点发现：
未知数y的系数要么相等，要么互为相反数，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去y，
故选：B．
【点睛】本题考查的是解方程组时，消元的技巧，掌握“根据相同未知数的系数特点进行消元”是解本题的关键．
4．下列四组数值中，是方程组的解的是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】利用加减消元法，进行计算即可解答．
【解析】解：，
①+②得：
3x+y＝1④，
①+③得：
4x+y＝2⑤，
⑤﹣④得：
x＝1，
把x＝1代入④中，
3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入①中，
1﹣4+z＝0，
解得：z＝3，
∴原方程组的解为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
5．解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经历如下的步骤，请你选出正确的步骤（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】分别按下列操作完成后，即可做出判断．
【解析】解：A．①+②得5x+y＝7，①×2+③得8x﹣y＝6，故A正确；
B．①+②得5x+y＝7，②×2﹣③得：2x+3y＝8，故B错误；
C．①+②得5x+y＝7，①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，故C错误；
D．①×2﹣③得﹣11y+8z＝2，①×2+③得8x﹣y＝6，故D错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6．三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k的值是（　　）
A．3 B． C．﹣2 D．4
【思路点拨】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1组成方程组，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．
【解析】解：，
把①式两边乘3，得9x﹣3y＝21③，
②+①得11x＝22，得x＝2，
把x＝2代入①得6﹣y＝7，
解得y＝﹣1，
将代入y＝kx﹣9得2k﹣9＝﹣1，
解得k＝4．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
7．方程组的解是 　　．
【思路点拨】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解析】解：，
①﹣②得：x﹣2z＝7④，
③﹣④得：z＝﹣9，
把z＝﹣9代入②得：y﹣9＝1，
解得：y＝10，
把z＝﹣9代入③得：x+9＝﹣2，
解得：x＝﹣11，
∴原方程组的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
8．解方程组：．
【思路点拨】方程组前两个方程相加消去y得到x与z的方程，与第三个方程联立求出x与z的值，进而求出y的值即可．
【解析】解：①+②得：9x﹣2z＝20④，
④﹣③得：8x＝16，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：2﹣2z＝4，
解得：z＝﹣1，
把x＝2，z＝﹣2代入②得：10﹣y﹣1＝7，
解得：y＝2，
则方程组的解为．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
能力提升
9．若二元一次方程3x﹣y﹣7＝0，2x+3y﹣1＝0和2x+y﹣m＝0有公共解，则m的取值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．3 D．4
【思路点拨】理解清楚题意，有二元一次方程3x﹣y﹣7＝0，2x+3y﹣1＝0求得x，y的值，将其代入方程2x+y﹣m＝0，可求得m的值．
【解析】解：①×3+②，得x＝2，
代入①，得y＝﹣1，
把x＝2，y＝﹣1代入方程2x+y﹣m＝0，
得2×2﹣1﹣m＝0，
m＝3．
故选：C．
【点睛】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
10．若方程组，其中xyz不等于0，那么x：y：z＝（　　）
A．2：3：1 B．1：2：3 C．1：4：1 D．3：2：1
【思路点拨】把z看成此时，求出x，y即可．
【解析】解：由，可得，
∴x：y：z＝2z：3z：z＝2：3：1．
故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
11．已知方程组，则x+y+z的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拨】把三个方程相加即可得到x+y+z的值．
【解析】解：，
①+②+③，得：2x+2y+2z＝﹣4+6+8＝10，
∴x+y+z＝5．
故选：C．
【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键．
12．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（　　）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【思路点拨】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【解析】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，
根据题意得：，
①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴2x+2y+2z＝400，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
13．如图，每条边上的三个数之和都等于16，那么a，b，c这三个数按顺序分别为 　5，6，4　．
【思路点拨】根据题意可列方程组，应用解三元一次方程组的解法进行求解即可得出答案．
【解析】解：根据题意可得，
，
①﹣②得，
a﹣c＝1④，
④+③得，
a＝5，
解得，
a，b，c这三个数按顺序分别为5，6，4．
故答案为：5，6，4．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，根据题意列出方程组及熟练应用三元一次方程组的解法进行求解是解决本题的关键．
14．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当与时，y的值相等，求a﹣2b+3c的值．
【思路点拨】由当与时，y的值相等，得出a和b的关系，再将x与y代入等式，得出关于a，b，c的方程组求解即可．
【解析】解：∵当由当与时y的值相等，
∴a+b+c＝a+b+c，
即11a+6b＝0，
x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20代入等式得，
，
①﹣②得：2b＝﹣22，
即b＝﹣11，
将b＝﹣11代入③得：a＝6，
把a＝6，b＝﹣11代入①，
∴c＝4，
∴a﹣2b+3c＝6+22+12＝40．
【点睛】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16.若方程组的解使代数式x﹣3y+kz的值为5，求k的值．
【思路点拨】先解出方程组的解，代入x﹣3y+kz＝5，可解出k的值．
【解析】解：①﹣②得y﹣z＝﹣2④，
④+③得y＝0，
代入③得z＝2，
代入②得x＝﹣1．
将方程组的解代入x﹣3y+kz＝5，
得﹣1+2k＝5，
解得：k＝3．
【点睛】本题的实质是考查三元一次方程组的解法．先通过求得三元一次方程组的解后，代入关于k的方程而求得k的值．
培优拔尖
17．一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【思路点拨】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得y+2z＝7，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．
【解析】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
，
解得：y+2z＝7，
y＝7﹣2z，
∵x，y，z都是小于9的正整数，
当z＝1时，y＝5，x＝3；
当z＝2时，y＝3，x＝4；
当z＝3时，y＝1，x＝5
当z＝4时，y＝﹣1（不符合题意，舍去）
∴租房方案有3种．
故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
18．某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其中A型每台6000元，B型每台4000元、C型每台3000元．
（1）甲中学现有资金210000元，计划全部用于购进这家电脑公司的A型和B型电脑共45台．这两种型号的电脑各购进多少台？
（2）乙中学现有资金190000元，计划全部用于购进这家电脑公司的三种型号电脑共60台，请你设计出所有不同的购买方案，并说明理由．
【思路点拨】（1）先设购进A型电脑x台，购进B型电脑y台．，再依据等量关系“购进A型电脑的台数+购进B型电脑的台数＝45”，“购进A型电脑的钱数+购进B型电脑的钱数＝210000”列出方程组求解即可；
（2）先设购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进C型电脑z台，然后列出方程组，消去未知数x得到y＝10﹣x，然后根据0≤y≤60列出不等式组0≤10﹣3x≤60，由此解出x的非负整数解即可得出购买方案．
【解析】解：（1）设购进A型电脑a台，购进B型电脑b台．
依题意得：，
解得：，
答：购进A型电脑15台，购进B型电脑30台．
（2）有四种不同的购买方案，理由如下：
设购进A型电脑x台，购进B型电脑y台，购进C型电脑z台．
依题意得：，
由①得：z＝60﹣x﹣y③，
将③代入②整理得：3x+y＝10，
∴y＝10﹣3x，
∵0≤y≤60，
∴0≤10﹣3x≤60，
解得：﹣50/3≤x≤10/3，
又∵x非负为整数，
∴x＝0，1，2，3，
当x＝0时，y＝10﹣3x＝10，z＝60﹣x﹣y＝50，
当x＝1时，y＝10﹣3x＝7，z＝60﹣x﹣y＝52，
当x＝2时，y＝10﹣3x＝4，z＝60﹣x﹣y＝54，
当x＝3时，y＝10﹣3x＝1，z＝60﹣x﹣y＝56，
方案一：购进A型电脑0台，购进B型电脑10台，购进C型电脑50台．
方案二：购进A型电脑1台，购进B型电脑7台，购进C型电脑52台．
方案三：购进A型电脑2台，购进B型电脑4台，购进C型电脑54台．
方案四：购进A型电脑3台，购进B型电脑1台，购进C型电脑56台．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组，三元一次方程组的应用，解答（1）的关键是准确地找出等量关系“购进A型电脑的台数+购进B型电脑的台数＝45”，“购进A型电脑的钱数+购进B型电脑的钱数＝210000”，解答（2）的关键是根据等量关系式列出两个三元一次方程，消去一个未知数，转化为一元一次不等式．
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