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分课时教学设计
《2.5 三元一次方程组及其解法》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是浙教版七年级下册第2章《二元一次方程组》第5节的内容，在此之前，学生已学习了一元一次方程和二元一次方程组的解法等有关内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。同时，本节课的学习，也是对二元一次方程解法的深入再学习。学习三元一次方程组解法的同时也是对学生代入法、加减法消元的检验，是对二元一次方程组解法的提高。
学习者分析 七年级的学生年龄较小，思维比较直观，独立思考有一定的难度，特别是作为选学内容的三元一次方程组解法对他们来说有一定的挑战性，因此，引导学生主动自信的参与学习是学好这节课的前提，积极调动学生运用已有知识，用二元一次方程的解法，灵活应用代入法、加减法进行消元化归思想。引导学生大胆尝试，在探究中，寻找解决问题的方法。
教学目标 1.了解三元一次方程组的定义，掌握简单的三元一次方程组的解法。 2.经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想。 3.培养分析问题、解决问题的能力与合作意识、探索精神。
教学重点 了解三元一次方程组的定义，掌握简单的三元一次方程组的解法。
教学难点 经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示问题： 1.什么是二元一次方程组？ 由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组. 2.什么是二元一次方程组的解？ 同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解. 教师出示课本问题：一副扑克牌共54张.老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友.甲拿到的牌数是乙的2倍;若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张.问老师分给甲、乙、丙各几张牌 思考：这个问题中要求的未知数有几个 你能列出关于这些未知数的几个方程 请试一试. 这个问题中要求的未知数有3个。 设老师分给甲x张牌、乙y张牌、丙z张牌，得 x+y+z=54 ① x=2y ② 学生活动1： 学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。 学生根据教师提示列出方程。活动意图说明： 通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：探究三元一次方程组的概念教师活动2： 例2 ：观察下面两个方程，你能发现什么特点？ x+y+z=54 ① 1.都含有三个未知数， 2.含有未知数的项的次数都是一次. 教师出示三元一次方程定义。 和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程. 注意：三元一次方程需要满足的条件： ①是整式方程； ②含有三个未知数； ③含有的未知数的项的次数都是1，三个条件缺一不可. 三元一次方程组 由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组. 【做一做】下列方程组中，不是三元一次方程组的是( D ). 温馨提示：三元一次方程组中的每个方程不一定都是三元一次方程，但整个方程组中必须含有三个未知数.学生活动2： 学生回答教师提出的问题。 学生根据教师引导总结三元一次方程和三元一次方程组的定义。 学生根据定义完成例题。活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：探究三元一次方程组的解法教师活动3： 教师出示问题：你能求出这个方程组的解吗？ 解：将②分别代入①，③，消去 x，得 解这个二元一次方程组，得y=10，z=24. 将y=10代入②得x=20. 和解二元一次方程组一样，解三元一次方程的基本思想也是“消元”，通过消元将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程. 解：将③分别代入①，②，消去 x，得 解这个二元一次方程组，得y=5，z=7. 将y=5，z=7代入③得x=-2. 解：①+③，得5x+5y=25. ④ ①×2-②，得5x-y=19. ⑤ ④-⑤，得6y=6，所以y=1. 将y=1代入⑤，得x=4. 再将x=4，y=1代入①，得z=-1. 【总结归纳】 解三元一次方程组的一般步骤： (1)利用“代入法”或“加减法”，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组. (2)解这个二元一次方程组，得到两个未知数的值. (3)将求得的两个未知数的值代入到原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到第三个未知数的值. (4)将求得的三个未知数的值用大括号联立起来，得到三元一次方程组的解. 【拓展提高】 (1)将一个方程与另外两个方程分组进行消元时，必须是消去同一个未知数，否则无法达到真正消元的目的. (2)除去代入消元法和加减消元法外，三元一次方程组也可用一些特殊的解法，解题前应认真观察，选择适当的方法.学生活动3： 学生在教师的引导下求出方程组的解。 学生了解解三元一次方程的基本思想也是“消元”。 师生共同完成课本例题，教师讲解解题方法。 师生总结解三元一次方程组的一般步骤。活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：2.5 三元一次方程组及其解法 一、三元一次方程 二、三元一次方程组 三、三元一次方程组解法
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列是三元一次方程组的是( D ). A． B．C． D． 2.已知方程组把这个三元一次方程组消元转化成二元一次方程组需要经历的步骤为( A ) A． B． C． D． 3. 解方程组 解：④＋②，得2x＋3y＝18.④ ②＋③，得4x＋y＝16.⑤ ④×2－⑤，得5y＝20，解得y＝4. 把y＝4代入④， 得2x＋12＝18，解得x＝3.把x＝3，y＝4代入①， 得3＋4＋z＝12，解得z＝5.所以原方程组的解为 4.一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1.如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是( B ). A．325 B．217 C．433 D．541 选做题： 5.解三元一次方程组如果要使运算简便，那么消元时最好应先消去( B ) A．x B．y C．z D．常数项 6.有A，B，C三种商品，如果购买5件A，2件B，3件C共需513元，购买3件A，6件B，5件C共需375元，那么购买A，B，C各一件共需( B )元． A.110 B.111 C.220 D.222 【综合拓展类作业】 7.某学校的篮球数比排球数的2倍少3，足球数与排球数的比是2:3，三种球共41个，求三种球各有多少个. 解:设篮球有x个，排球有y个，足球有z个. 把①代入③，得3y+z=44. ④ 由④得z=44-3y. ⑤ 把⑤代入②，得y=12. 把y=12分别代入①⑤，得x=21，z=8. 答:篮球有21个，排球有12个，足球有8个.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.有铅笔、作业本、签字笔三种学习用品．若购买铅笔3支，作业本7本，签字笔1支共需20.5元；若购买铅笔4支，作业本8本，签字笔2支共需25元，那么，购买铅笔、作业本、签字笔各1件共需( D ) A．2.5元 B．3元 C．3.5元 D．4.5元 2.设“■”“▲”“●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●” ( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 选做题 3.某宾馆有单人间、双人间、三人间三种客房供游客选择．现某旅游团有20名游客同时被安排居住在该宾馆，若每间客房都住满，共租了9间客房，则租房方案有( D ) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【综合拓展类作业】 4.某市在开展“五水共治”工作中，有120吨污泥需要清理．现有甲、乙、丙三种车型同时参与运送，一次运完，具体信息如下表(假设每辆车均满载)．已知参与运送的总车辆数为15辆，共花费6 400元运费.问甲、乙、丙三种车型各有多少辆？ 解：设甲种车型有x辆，乙种车型有y辆， 丙种车型有z辆．根据题意，得 解得 答：甲种车型有3辆，乙种车型有5辆，丙种车型有7辆．
教学反思 本节课在学生独立思考的基础上，合作交流，互助学习，三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性较强，因此在解题前必须认真观察方程组中各个方程的系数特点，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键，一般来说应先消去系数最简单的未知数.
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第二章
课标要求 1.了解二元一次方程的概念和二元一次方程解的不唯一性。 2.了解二元一次方程组的概念，理解二元一次方程组的解的概念。 3.了解解二元一次方程组的基本思想是通过消元，化二元为一元。 4.掌握解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。 5.了解应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤。 6.会应用二元一次方程组解决简单的实际问题。 7.了解三元一次方程组的概念，能解简单的三元一次方程组。
内容分析 本章是在七年级上册“一元一次方程”的基础上，进一步讨论二元一次方程(组)的有关概念、解法和应用等，并在二元一次方程组的基础上，学习三元一次方程组及解法.本章是一元一次方程知识的延伸和拓广，也是今后学习一般线性方程组、及函数等的基础，具有承上启下的作用.教学过程中要求学生能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程(组)，理解方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组，并能根据解的特征选择适当的方法简化解题过程。能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性。
学情分析 七年级的学生已在前一学段和七年级上册学习了一元一次方程的相关概念与应用。但是这个阶段的学生具有不熟练的读写能力和对文字类题目(应用题)的恐惧心理，在学习中存在不会审题(不会读题)，导致其不能准确分析问题中数量关系；所以在教学过程中认真把握课标要求，以学生熟悉的实际问题入手，引入教学，降低学习难度，消除学生对问题的恐惧心理，使学生易于参与到学习活动中来，提高学生应用数学知识解决实际问题的兴趣和能力。同时注意培养学生读的习惯和思考的能力，应用题教学可以放慢速度，让学生充分审题，在理解的基础上尝试解决实际问题。
单元目标 （一）教学目标 1.以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系→设未知数→列方程组→解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型. 2.了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的等量关系. 3.了解解二元一次方程组的基本目标:使方程组逐步转化为x=a，y=b的形式，体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的方法一代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 4.了解三元一次方程组及其解法，进一步体会“消元”思想，能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法. 5.通过探究实际问题，进一步认识利用二(三)元一次方程组解决实际问题的基本过程，体会数学应用的价值，提高分析问题、解决问题的能力. （二）教学重点、难点 重点： 1.了解二元一次方程和二元一次方程组的概念； 2.会用不同的方法求二元一次方程组的解(消元思想)； 3.列二元一次方程组解决实际问题(建模思想). 难点： (1)根据方程组的形式,确定先消哪个元,选用哪个消元方法比较便捷. (2)利用二元一次方程组分析、解决实际问题.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1二元一次方程12.2二元一次方程组12.3解二元一次方程组22.4二元一次方程组的应用22.5三元一次方程组及其解法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务 二元一次方程1.理解二元一次方程的定义； 2.能够准确叙述处二元一次方程的解的概念； 3.能熟练的求出二元一次方程的一个解。 掌握二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念，能把二元一次方程中的一个未知数表示用另一个未知数的代数式来表示． 探索二元一次方程的定义，利用一元一次方程求解的方法求二元一次方程的一个解。 二元一次方程组 1．了解二元一次方程组和二元一次方程组的解． 2．会判断一组未知数的值是否为二元一次方程组的解．1.理解并掌握二元一次方程组及其解的概念． 2.会用列表尝试的方法求二元一次方程组的解．类比迁移，归纳出二元一次方程组及解的概念，小组之间交流，探索二元一次方程组的解。 解二元一次方程组1.会用代入消元法解二元一次方程组。 2.对代入消元法的探究，使学生体会代入消 元法所体现的化未知为已知的化归思想方法。通过探究解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神，进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。通过梳理“情境问题”中方程组的解法过程，适时给出概念，感受概念是通过实际生活抽象得出的，从而体验“过程与方法”。1.掌握用加减消元法解简单的二元一次方程组； 2.经历加减消元法解二元一次方程组的探究过程，使学生进一步体会化归思想。通过用加减消元法解二元一次方程组培养学生在运算的过程中勤于思考、善于归纳总结的良好习惯。本节课教学中通过设计系列问题，引导学生积极思维，层层深入，注重加减消元法的产生和形成过程，通过观察、分析、比较、归纳得出方法，进一步体会化归思想。 二元一次方程组的应用1.利用二元一次方程组解决面积问题、产品配套、和差倍分、行程等问题. 2.会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题. 在实际问题中找等量关系、列方程组，会用列方程组解决实际问题.根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学,让学生能顺利地列出正确的二元一次方程组.1.会用表格、示意图分析数量关系，寻找等量关系； 2.加深对方程模型的理解，增强数学应用意识； 掌握利用二元一次方程组解决实际问题． 通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性。 三元一次方程组及其解法知道三元一次方程组的概念，知道解三元一次方程组的基本思路。 会解三元一次方程组。经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想。用二元一次方程的解法，灵活应用代入法、加减法进行消元化归思想。引导学生大胆尝试，在探究中，寻找解决问题的方法。
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2.5 三元一次方程组及其解法
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.了解三元一次方程组的定义，掌握简单的三元一次方程组的解法。
2.经历认识三元一次方程组，并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会消元思想。
3.培养分析问题、解决问题的能力与合作意识、探索精神。
复习回顾
1.什么是二元一次方程组？
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.
2.什么是二元一次方程组的解？
同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解.
新知讲解
一副扑克牌共54张.老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友.甲拿到的牌数是乙的2倍;若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张.问老师分给甲、乙、丙各几张牌
思考：这个问题中要求的未知数有几个 你能列出关于这些未知数的几个方程 请试一试.
新知讲解
一副扑克牌共54张.老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友.甲拿到的牌数是乙的2倍;若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张.问老师分给甲、乙、丙各几张牌
这个问题中要求的未知数有3个。
设老师分给甲x张牌、乙y张牌、丙z张牌，得
x+y+z=54 ①
x=2y ②
新知讲解
x+y+z=54 ①
观察下面两个方程，你能发现什么特点？
1.都含有三个未知数，
2.含有未知数的项的次数都是一次.
新知讲解
和二元一次方程类似，含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程.
三元一次方程
注意：三元一次方程需要满足的条件：
①是整式方程；
②含有三个未知数；
③含有的未知数的项的次数都是1，三个条件缺一不可.
新知讲解
由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组.
三元一次方程组
x+y+z=54 ①
x=2y ②
例如：
新知讲解
【做一做】下列方程组中，不是三元一次方程组的是( ).
D
温馨提示：三元一次方程组中的每个方程不一定都是三元一次方程，但整个方程组中必须含有三个未知数.
新知讲解
x+y+z=54 ①
x=2y ②
你能求出这个方程组的解吗？
解：将②分别代入①，③，消去 x，得
解这个二元一次方程组，得y=10，z=24.
将y=10代入②得x=20.
新知讲解
x+y+z=54 ①
x=2y ②
和解二元一次方程组一样，解三元一次方程组的基本思想也是“消元”，通过消元将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.
新知讲解
解：将③分别代入①，②，消去 x，得
解这个二元一次方程组，得y=5，z=7.
将y=5，z=7代入③得x=-2.
新知讲解
解：①+③，得5x+5y=25. ④
①×2-②，得5x-y=19. ⑤
④-⑤，得6y=6，所以y=1.
将y=1代入⑤，得x=4.
再将x=4，y=1代入①，得z=-1.
新知讲解
【总结归纳】
解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用“代入法”或“加减法”，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.
(2)解这个二元一次方程组，得到两个未知数的值.
(3)将求得的两个未知数的值代入到原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到第三个未知数的值.
(4)将求得的三个未知数的值用大括号联立起来，得到三元一次方程组的解.
新知讲解
【拓展提高】
(1)将一个方程与另外两个方程分组进行消元时，必须是消去同一个未知数，否则无法达到真正消元的目的.
(2)除去代入消元法和加减消元法外，三元一次方程组也可用一些特殊的解法，解题前应认真观察，选择适当的方法.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：1.下列是三元一次方程组的是( ).
D
课堂练习
A
课堂练习
课堂练习
B
4.一个三位数，各个数位上数字之和为10，百位数字比十位数字大1.如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是( ).
A．325
B．217
C．433
D．541
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
B
课堂练习
6.有A，B，C三种商品，如果购买5件A，2件B，3件C共需513元，购买3件A，6件B，5件C共需375元，那么购买A，B，C各一件共需( )元．
A.110 B.111 C.220 D.222
B
课堂练习
【综合实践类作业】
7.某学校的篮球数比排球数的2倍少3，足球数与排球数的比是2:3，三种球共41个，求三种球各有多少个.
解:设篮球有x个，排球有y个，足球有z个.
把①代入③，得3y+z=44. ④
由④得z=44-3y. ⑤
课堂练习
【综合实践类作业】
把⑤代入②，得y=12.
把y=12分别代入①⑤，得x=21，z=8.
答:篮球有21个，排球有12个，足球有8个.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
1.含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做三元一次方程.
2.由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组叫做三元一次方程组.
3.解三元一次方程的基本思想也是“消元”，通过消元将解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为
解一元一次方程.
板书设计
课题：2.5 三元一次方程组及其解法
教师板演区
学生展示区
一、三元一次方程
二、三元一次方程组
三、三元一次方程组解法
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.有铅笔、作业本、签字笔三种学习用品．若购买铅笔3支，作业本7本，签字笔1支共需20.5元；若购买铅笔4支，作业本8本，签字笔2支共需25元，那么，购买铅笔、作业本、签字笔各1件共需( )
A．2.5元 B．3元
C．3.5元 D．4.5元
D
作业布置
2.设“■”“▲”“●”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，若要使第三架天平也平衡，则“？”处应该放“●”
( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
作业布置
选做题：
3.某宾馆有单人间、双人间、三人间三种客房供游客选择．现某旅游团有20名游客同时被安排居住在该宾馆，若每间客房都住满，共租了9间客房，则租房方案有( )
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
D
作业布置
【综合实践类作业】
4.某市在开展“五水共治”工作中，有120吨污泥需要清理．现有甲、乙、丙三种车型同时参与运送，一次运完，具体信息如下表(假设每辆车均满载)．已知参与运送的总车辆数为15辆，共花费6 400元运费.问甲、乙、丙三种车型各有多少辆？
车型 甲 乙 丙
运载量(吨/辆) 5 7 10
运费(元/辆) 300 400 500
作业布置
【综合实践类作业】
谢谢
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