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专题3.1 同底数幂的乘法
模块1：学习目标
1.掌握同底数幂的乘法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并进行运算。
2.运用同底数幂的乘法法则解诀一下 实际问题。
3.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进步体会幂的意义。
4.了解积的乘方的运算性质，能解决一些实际问题。
模块2：知识梳理
1）同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）。
注：①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算； ②是乘法运算，切不可与加法运算混淆。
拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数；②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）。
2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数 。
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数； (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数；
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数。
3）积的乘方：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）。
模块3：核心考点与典例
考点1、同底数幂相乘
例1．（2023上·河南新乡·八年级校考期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据相应的运算法则计算即可．
【详解】解：．故选：B．
变式1. （2024上·福建厦门·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加即可求解．
【详解】解：，故选：B．
变式2. （2023上·湖北襄阳·八年级校考期中）下列计算中①，②，③，④，⑤，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算，熟练掌握：同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键，根据合并同类项和同底数幂的乘法运算法则进行判断即可．
【详解】①，正确；②，正确；③，原计算错误；
④，正确；⑤，原计算错误；综上，正确的有3个，故选：C．
变式3.（2023下·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂的乘法法则“底数不变指数相加”解答即可．
【详解】解：，，．故选：C．
考点2、同底数幂乘法的逆用
例1．（2024上·四川泸州·八年级校联考阶段练习）已知，则的值是（ ）．
A． B． C．5 D．6
【答案】D
【分析】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用同底数幂的乘法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【详解】解： ，，，故选：D．
变式1. （2024下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）可以写成（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，直接利用同底数幂的乘法的逆运算直接得出答案．
【详解】解：，故选：C．
变式2. （2023下·浙江金华·七年级统考期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作．
(1）根据题意，，则 ．
(2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ．
【答案】 3
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用，
（1）根据定义可得，由即可得出．
（2）由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式．
【详解】解：（1）由定义可知即，∵，∴，
（2）由定义可知：，，，
∵，∴，∴，∴，故答案为3；．
考点3、用科学记数法表示数的乘法
例1．（2024上·河南安阳·八年级统考期末）信息技术的存储设备常用B，，，等存储量的单位（、、可以简称为K、M、G）．例如，我们常说某计算机的硬盘容量为（简称），某U盘的容量是，某个文件的大小是等，其中，，（字节）．对于一个存储量为的U盘，其容量有多少B（字节）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加是解题的关键．
根据题意列出算式，再根据同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴对于一个存储量为的闪存盘，其容量有．故选D．
变式1. （2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作600秒可做 次运算．
【答案】
【分析】分析题意，每秒可做次运算，列出工作600秒可做的运算次数的算式；接下来进行解答，然后用科学记数法表示出来即可．
【详解】解：它工作600秒可做的运算次数为：（次），
故它工作600秒可做次运算．故答案为：．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
变式2. （2023下·广东河源·七年级校考期中）光的速度是 米/秒，太阳光从太阳照射到地球的时间约为 秒，则太阳离地球的距离约为 米．（用科学记数法表示）
【答案】
【分析】先计算，后用科学记数法表示即可．
【详解】根据题意，得太阳离地球的距离约为（米），
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的应用，熟练掌握计算方法是解题的关键．
考点4、幂的乘方运算
例1．（2024上·四川绵阳·八年级统考期末）若，则的值为（ ）
A．5 B．11 C．18 D．27
【答案】C
【分析】本题考查幂的乘方及同底数幂乘法的逆运算，根据可得，根据幂的乘方可得，根据同底数幂乘法的逆运算即可得答案．熟练掌握幂的乘方运算法则是解题关键．
【详解】解：∵，∴，∵，∴．故选：C．
变式1. （2024上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方，根据公式计算即可得解．
【详解】根据题意，得，故选A．
变式2. （2024·浙江·七年级培优）若，，则（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
【答案】A
【分析】本题考查了幂的乘方的化简求值，熟练掌握幂的乘方的法则是解答本题的关键，先计算幂的乘方，再将，代入计算，即得答案．
【详解】当，，时，．故选：A．
变式3. （2024下·陕西西安·七年级校考期中）已知，则的大小关系是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查幂的乘方，将，，全部化成以为底数的指数幂，再比较即可得出答案，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
【详解】解：；；；
，；即．故答案为：．
考点5、幂的乘方的逆用
例1．（2024上·重庆永川·八年级统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的逆运算，幂的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．根据同底数幂的逆运算和幂的乘方的逆运算法则得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，∴，故选：A．
变式1. ．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）若，则（ ）
A． B．9 C． D．6
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方法则逆用等知识点，是掌握整体代入法思想是解题的关键．把变形得到，再把用同底数幂乘法化简，然后把整体代入计算即可．
【详解】解：∵，∴，∴．故选B．
变式2. （2023·眉山·八年级校考期中）若，，用含x的代数式表示 。
【答案】
【分析】本题主要考查幂的乘方的逆运算，解答的关键是对相应的法则的掌握与应用．由可得，再代入即可求解；
【详解】解：∵，∴
∵则故答案为：
变式3.（2024·浙江·八年级竞赛）若，则n的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了幂的乘方逆应用，同底数幂的乘法的逆应用，根据已知，正确变形计算即可．
【详解】∵，∴，
∴，∴∴，故答案为：2．
考点6、积的乘方运算
例1．（2024上·吉林·八年级统考期末）下列各式计算正确的有（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键．
根据幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，逐一判断．
【详解】解：①，正确；②，不正确；
③，正确；④，不正确；正确的有：①③， 故答案为：B．
变式1. （2024下·陕西西安·九年级校考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方，根据运算法则计算即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，故选：D．
变式2.（2024上·陕西西安·九年级校考期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方等运算法则，掌握相关运算法则是解题的关键．
直接运用积的乘方、幂的乘方的运算法则化简即可解答．
【详解】解：．故选：A．
考点7、积的乘方的逆用
例1．（2024上·河南新乡·八年级校考阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方，有理数的乘方，根据积的乘方运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：故答选：D．
变式1. （2024上·北京朝阳·八年级校考期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
【答案】
【分析】本题主要考查积的乘方法则，将两数进行正确的变形是解题的关键．利用积的乘方将两数变形后变形大小．
【详解】解：，，
，，故．故答案为：．
变式2. （2024上·江西南昌·八年级统考期末） ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了逆用积的乘方运算法则，掌握是解题的关键
先将化成，再进行计算即可
【详解】解：．
故答案为：．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·山东临沂·校考一模）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算正确，符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；故选：C．
2．（2023·河南南阳·校联考一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：万．故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
3．（2024上·吉林·八年级统考期末）当，则的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方逆用法则，代数式求值，利用同底数幂的乘法，幂的乘方逆用法则将转化为，由，得到，整体代入计算即可．
【详解】解：，，
，故选：A．
4．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】本题考查了幂的运算，将原方程化为，得到，，再根据a，b，c为正整数，求出a，c的值，进而求出答案．
【详解】解：根据题意得：，∴，，
∵a，b，c为正整数，∴当时，；则有：；
当时，；则有：；
当时，，则有：；∴不可能为8．故选：D．
5．（2024·浙江·八年级竞赛）计算（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查幂的乘方和积的乘方，先运用幂的乘方和积的乘方的运算法则运算，然后运算乘法解题即可．
【详解】解：，故选D．
6．（2023上·湖南湘西·八年级校考阶段练习）小方和小亮在玩抽卡计算的游戏，他们设计了如下图所示的4张卡片，请你从中抽取两张卡片，并计算它们的乘积，能够得到的卡片组合是以下四个选项的哪一个呢（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】本题考查了整式的乘法，熟记“同底数幂相乘底数不变指数相加”是解题关键．
【详解】解：A、①③的乘积为，不符合题意；
B、②③的乘积为，不符合题意；C、②④的乘积为，不符合题意；
D、①④的乘积为，符合题意；故选：D．
7．（2023上·天津滨海新·八年级统考期末）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用积的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：
故选：A．
8．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【答案】A
【分析】先表示每个袋子中球的个数，再根据总数可知每个袋子中球的个数，进而求出， ，最后逆用同底数幂相乘法则求出答案．
【详解】调整后，甲袋中有个球，，乙袋中有个球，，丙袋中有个球．
∵一共有（个）球，且调整后三只袋中球的个数相同，
∴调整后每只袋中有（个）球，∴，，
∴，， ∴．故选：A．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，找准数量关系，合理利用整体思想是解答本题的关键．
9．（2023下·山西太原·七年级统考期中）下列各图中，能直观解释“”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据长方形和正方形的面积计算公式进行求解即可．
【详解】、 表示，故不符合题意；
B、 表示，故不符合题意；C、 表示，故符合题意；
D、 表示，故不符合题意．故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，正确理解数形结合的思想求解是解题的关键．
10．（2022上·山西吕梁·八年级统考期末）下列命题中正确的有（ ）
①为奇数时，一定有等式；②无论为何值，等式都成立；
③三个等式，，都成立；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据乘方、幂的乘方、积的乘方等知识逐个判断即可解答．
【详解】解：①当为奇数时，一定有等式，故①正确；
②当为奇数时，等式成立，故②错误；
③，，都成立，故③正确；
④若，，由则，即，解得，故④错误．正确的共有2个．故选B．
【点睛】本题考查了乘方、幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·四川成都·七年级校考期中）已知，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据同底数幂乘法运算得出，然后求出结果即可．
【详解】解：∵，∴，∴，∴．故答案为：4．
12．（2024上·青海西宁·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】利用同底数幂的乘法法则和科学记数法表示数的方法求解．
本题考查同底数幂的乘法及科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：原式．故答案为：．
13．（2023上·上海嘉定·七年级校考阶段练习）下列各式中，①；②；③；④；⑤，正确的有 (写序号)．
【答案】③⑤
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；提取公因式法分别计算判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，利用提取公因式法计算，熟练掌握运算法则和运算性质是解题的关键．
【详解】解：，原式错误；，原式错误；
，原式正确；，原式错误；
，原式正确；所以正确的有，故答案为：．
14．（2023上·云南昆明·八年级校考期中）若，，则 ．
【答案】/或/或
【分析】本题主要考查幂的乘方与积的乘方的逆运算，利用幂的乘方与积的乘方的法则进行运算即可，解题的关键是熟练掌握对相应的运算法则．
【详解】解：∵，，∴，，
，∴，故答案为：．
15．（2024·浙江·七年级培优）式子的值的个位数是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了积的乘方运算，以及数字的规律，解题的关键是正确找到的个位数．
根据题意，分别找出和的个位数即可．
【详解】解：原式＝，
∵……，∴的个位数是每四个数一个循环，即2、4、8、6、2……，
∵∴的末位数是6；∵ ∵∴的个位数为2
故答案为：2．
16．（2024上·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）已知，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，根据，而，得出，从而得出n的值．
【详解】解：∵，而，
∴当时，，∴，∴．故答案为：1．
17．（2023上·浙江台州·八年级统考期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ．
【答案】30
【分析】本题主要考查了新定义的运算、同底数幂乘法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．设，，，易得，，，且，然后根据，即可求得的值．
【详解】解：设，，，则有，，，且，
∴，即有．故答案为：30．
18．（2024上·山东济宁·八年级统考期末）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，下列结论：①就是200个2相乘；②；③比大；④的个位数字是8．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】根据乘方的定义可判断①；根据幂的乘方的逆运算可得，据此可判断②；根据题意可得，则，由此可判断③；求出，个数数字是2，，个数数字是4，，个数数字是8，，个数数字是6，，个数数字是2，得到规律这一列数的个数数字是每4个数为一个循环，2，4，8，6循环出现，据此可判断④．
【详解】解：就是200个2相乘，故①正确；，故②正确；
，，∴，∴，即，故③正确；
，个数数字是2，，个数数字是4，，个数数字是8，
，个数数字是6，，个数数字是2，，个数数字是4，……，
以此类推，可知这一列数的个数数字是每4个数为一个循环，2，4，8，6循环出现，
∵，∴的个位数字是6，故④错误；故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了乘方的意义，幂的乘方和幂的乘方的逆运算，数字类的规律探索，实数的运算，熟练掌握幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024下·浙江·七年级专题练习）计算：(1) (2)
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握幂的乘方与积的乘方，同底数幂相乘的运算法则用其逆用是解题的关键．（1）先运算幂的乘方计算，再用同底数幂相乘法则计算即可；
（2）先逆用同底数幂的相乘法则变形，再逆用积的乘方法则计算即可
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
20．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先化简符号，再利用同底数幂的乘法法则计算；
（2）先计算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后合并．
【详解】（1）解：
；
（2）
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
21．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）【阅读理解】阅读下列内容，观察分析，回答问题：
Ⅰ．；
Ⅱ．；
Ⅲ．．
【概括总结】通过以上分析，填空：
（m、n为正整数）．
（1）在上述分析过程中：①所在括号中填______，②所在括号中填______．
【应用与拓展】计算：（2）_________；（3）_________；
（4）如果x是不等于1的正数，且，求n的值．
【答案】【概括总结】（1）①； ②【应用与拓展】（2）；（3）；（4）8
【分析】（1）根据总结的规律计算即可；（2）根据总结的规律计算即可；
（3）根据总结的规律计算即可；（4）根据总结的规律得到，解方程求解即可．
【详解】（1）∵
故答案为：，．
（2）；故答案为：；（3）故答案为：；
（4）∵，且x是不等于1的正数，
∴，解得，∴n的值为8．
【点睛】此题考查了同底数幂的乘法运算，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法运算法则．
22．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）一般的数学公式可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）．
(1)已知，，，请把a，b，c用“＜”连接起来：______．
(2)若，，求的值．(3)计算：．
【答案】(1)(2)72(3)
【分析】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的逆运算，掌握运算法则并灵活运用是解答的关键．（1）利用幂的乘方逆运算法则将a、b、c化为指数相同的数，再比较底数的大小即可求解；
（2）利用同底数幂的乘法、幂的乘方的逆运算求得即可；
（3）利用同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算法则求解即可．
【详解】（1）解：，，，
∵，∴，∴，故答案为：；
（2）解：∵，，∴；
（3）解：
．
23．（2024上·江西宜春·七年级统考期末）一般地，n个相同因数a相乘，即，记作，这种运算叫做乘方，由乘方的意义，我们可以得到：，自己换几个数试试，例如：．
(1)发现：________，________；(2)归纳概括：________（m，n都是正整数）；
(3)利用（2）的公式，请计算：．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
（1）根据题意得出，，结合同底数幂的乘法法则即可解答；
（2）根据题意得出结合同底数幂的乘法法则即可解答；
（3）根据（2）中的结论，进行计算即可．
【详解】（1）解：；，故答案为：，；
（2）解：，故答案为：；
（3）解：．
24．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）阅读探究题：
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，．
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，
解：，∵，∴
(1)，求x的值(2)[类比解答]比较，的大小．(3)[拓展拔高]比较，，的大小．
【答案】(1)6(2)(3)
【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则，是解题的关键．（1）逆用幂的乘方，列出方程进行求解即可；（2）转化为同底数幂，比较指数即可；（3）转化为同指数，比较底数即可．
【详解】（1）解：，即：，∴，∴；
（2），∵，∴，即：；
（3），
∵，∴；∴．
25．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业计算：．解：原式．
(1)计算：①；②(2)若，请求出n的值．
【答案】(1)①；② ；(2)
【分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，幂的乘方运算，熟记运算法则是解本题关键；（1）①先把原式化为，再计算即可；② 先把原式化为，再计算即可；（2）先把原式化为，得，再解方程即可.
【详解】（1）解：①；
②；
（2）∵，∴，∴，∴，解得：.
26．（2023春·浙江 七年级期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
【答案】(1)2，4，6(2)(3)(4)证明见解析
【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：，；
（3）由特殊到一般，得出结论：．
（4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论．
【详解】（1）∵，， ∴，故答案为：2，4，6；
（2）∵，，，，
∴，故答案为：；
（3）由（2）的结果可得，故答案为：．
（4）设，，则，
∴，∴，∴．
【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
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专题3.1 同底数幂的乘法
模块1：学习目标
1.掌握同底数幂的乘法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并进行运算。
2.运用同底数幂的乘法法则解诀一下 实际问题。
3.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进步体会幂的意义。
4.了解积的乘方的运算性质，能解决一些实际问题。
模块2：知识梳理
1）同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n ，（m，n为正整数）。
注：①底数一定要一样。如：（-a）与a，底数不同，需先化成相同底数，再进行计算； ②是乘法运算，切不可与加法运算混淆。
拓展：① am·an·ap =am+n+p，（m，n，p为正整数；②(a+b)n(a+b)m = a+b)m+n（m，n为正整数）。
2）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数 。
拓展：（(am)n）p=amnp，其中m，n，p为正整数； (am)n=amn=(an) m，其中m，n为正整数；
((a+b) m) n=(a+b) mn，其中m，n为正整数。
3）积的乘方：积的乘方，等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。拓展：(abc)m=ambmcm ，其中m为正整数。
注：1）乘方的优先级高于乘法的优先级；2）在进行积的乘方运算时，要将积中的每一个因式分别乘方，再将所得结果相乘，不能漏乘某项。在幂的运算中，注意底数为负数时，将底数的常数项因式看作（-1）。
模块3：核心考点与典例
考点1、同底数幂相乘
例1．（2023上·河南新乡·八年级校考期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2024上·福建厦门·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023上·湖北襄阳·八年级校考期中）下列计算中①，②，③，④，⑤，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3.（2023下·辽宁沈阳·七年级校考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点2、同底数幂乘法的逆用
例1．（2024上·四川泸州·八年级校联考阶段练习）已知，则的值是（ ）．
A． B． C．5 D．6
变式1. （2024下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）可以写成（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2023下·浙江金华·七年级统考期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作．
(1）根据题意，，则 ．
(2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是 ．
考点3、用科学记数法表示数的乘法
例1．（2024上·河南安阳·八年级统考期末）信息技术的存储设备常用B，，，等存储量的单位（、、可以简称为K、M、G）．例如，我们常说某计算机的硬盘容量为（简称），某U盘的容量是，某个文件的大小是等，其中，，（字节）．对于一个存储量为的U盘，其容量有多少B（字节）（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）一种计算机每秒可做次运算，它工作600秒可做 次运算．
变式2. （2023下·广东河源·七年级校考期中）光的速度是 米/秒，太阳光从太阳照射到地球的时间约为 秒，则太阳离地球的距离约为 米．（用科学记数法表示）
考点4、幂的乘方运算
例1．（2024上·四川绵阳·八年级统考期末）若，则的值为（ ）
A．5 B．11 C．18 D．27
变式1. （2024上·重庆沙坪坝·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2024·浙江·七年级培优）若，，则（ ）
A．23 B．25 C．27 D．29
变式3. （2024下·陕西西安·七年级校考期中）已知，则的大小关系是 ．
考点5、幂的乘方的逆用
例1．（2024上·重庆永川·八年级统考期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
变式1. ．（2024上·湖北孝感·八年级统考期末）若，则（ ）
A． B．9 C． D．6
变式2. （2023·眉山·八年级校考期中）若，，用含x的代数式表示 。
变式3.（2024·浙江·八年级竞赛）若，则n的值为 ．
考点6、积的乘方运算
例1．（2024上·吉林·八年级统考期末）下列各式计算正确的有（ ）
①；②；③；④
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④
变式1. （2024下·陕西西安·九年级校考期中）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024上·陕西西安·九年级校考期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
考点7、积的乘方的逆用
例1．（2024上·河南新乡·八年级校考阶段练习）计算的结果是（ ）
A． B． C．－ D．－
变式1. （2024上·北京朝阳·八年级校考期中）比较大小： ．（填“”、“”或“”）
变式2. （2024上·江西南昌·八年级统考期末） ．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·山东临沂·校考一模）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河南南阳·校联考一模）“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·吉林·八年级统考期末）当，则的值为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
4．（2024上·福建泉州·八年级统考期末）已知，，为正整数，且满足，则的取值不可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024·浙江·八年级竞赛）计算（ ）．
A． B． C． D．
6．（2023上·湖南湘西·八年级校考阶段练习）小方和小亮在玩抽卡计算的游戏，他们设计了如下图所示的4张卡片，请你从中抽取两张卡片，并计算它们的乘积，能够得到的卡片组合是以下四个选项的哪一个呢（ ）
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
7．（2023上·天津滨海新·八年级统考期末）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·江苏镇江·统考中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
9．（2023下·山西太原·七年级统考期中）下列各图中，能直观解释“”的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022上·山西吕梁·八年级统考期末）下列命题中正确的有（ ）
①为奇数时，一定有等式；②无论为何值，等式都成立；
③三个等式，，都成立；④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·四川成都·七年级校考期中）已知，则的值为 ．
12．（2024上·青海西宁·八年级统考期末）计算： ．
13．（2023上·上海嘉定·七年级校考阶段练习）下列各式中，①；②；③；④；⑤，正确的有 (写序号)．
14．（2023上·云南昆明·八年级校考期中）若，，则 ．
15．（2024·浙江·七年级培优）式子的值的个位数是 ．
16．（2024上·四川成都·七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）已知，则 ．
17．（2023上·浙江台州·八年级统考期末）定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，则的值为 ．
18．（2024上·山东济宁·八年级统考期末）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大、保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中大约的小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，下列结论：①就是200个2相乘；②；③比大；④的个位数字是8．其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024下·浙江·七年级专题练习）计算：(1) (2)
20．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：(1)； (2)．
21．（2023下·河北唐山·七年级统考期中）【阅读理解】阅读下列内容，观察分析，回答问题：
Ⅰ．；
Ⅱ．；
Ⅲ．．
【概括总结】通过以上分析，填空：
（m、n为正整数）．
（1）在上述分析过程中：①所在括号中填______，②所在括号中填______．
【应用与拓展】计算：（2）_________；（3）_________；
（4）如果x是不等于1的正数，且，求n的值．
22．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）一般的数学公式可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（m，n为正整数）．
(1)已知，，，请把a，b，c用“＜”连接起来：______．
(2)若，，求的值．(3)计算：．
23．（2024上·江西宜春·七年级统考期末）一般地，n个相同因数a相乘，即，记作，这种运算叫做乘方，由乘方的意义，我们可以得到：，自己换几个数试试，例如：．
(1)发现：________，________；(2)归纳概括：________（m，n都是正整数）；
(3)利用（2）的公式，请计算：．
24．（2023上·广西南宁·八年级校考期中）阅读探究题：
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，．
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，
解：，∵，∴
(1)，求x的值(2)[类比解答]比较，的大小．(3)[拓展拔高]比较，，的大小．
25．（2023上·河南南阳·八年级统考期中）下图是东东同学完成的一道作业题，请你参考东东的方法解答下列问题．
东东的作业计算：．解：原式．
(1)计算：①；②(2)若，请求出n的值．
26．（2023春·浙江 七年级期中）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．
(1)计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____．
(2)写出（1）、、之间满足的关系式______．(3)由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）．
(4)设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性．
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