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专题3.2单项式的乘法+专题3.3多项式的乘法
模块1：学习目标
1.掌握单项式乘单项式的法则，并运用它们进行运算。
2.熟悉单项式乘法运算变形。
3.掌握多项式乘单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。
4.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混运算。
模块2：知识梳理
1）单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2）单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3）多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
模块3：核心考点与典例
考点1、单项式乘单项式
例1．（2024上·云南保山·八年级统考期末）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了单项式乘单项式的法则，根据单项式乘单项式的法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法公式进行计算，不同字母连同指数作为积的因式，进行计算即可．
【详解】解：，故选D．
变式1.（2023·浙江·七年级校考期中）x的m次方的5倍与的7倍的积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】x的m次方的5倍为，的7倍是，据此求解即可．
【详解】解：根据题意得，x的m次方的5倍与x2的7倍的积为：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，正确理解题意是解题的关键．
变式2.（2023上·广东河源·七年级校考期中）计算： ．
【答案】/
【分析】此题考查了整式的运算．根据单项式乘以单项式法则计算即可解答本题．
【详解】解：
故答案为：．
变式3.（2023下·广东清远·七年级统考期末）若□，则□内应填的单项式是 ．
【答案】
【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解．
【详解】解：∵，
∴□内应填的单项式是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
考点2、单项式乘单项式的应用
例1．（2024上·四川绵阳·八年级统考期末）在一块边长为的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查单项式的乘法和积的乘方，根据容积的公式为底面积乘以高即可计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键.
【详解】解：纸盒的底面积为,高为，
故容积为 故选A
变式1.（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）一头非洲大象质量的最高纪录为，则头这样的大象的质量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式与单项式的乘法运算，根据运算法则计算，再写成科学记数法的形式即可．
【详解】解：．故选A．
变式2.（2023下·河北沧州·七年级统考期中）如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用大长方形的面积减去小长方形的面积列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【详解】解：余下的阴影部分面积为：故选B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是能根据图形列出代数式及整式的混合运算顺序和运算法则．
考点3、单项式乘多项式
例1．（2024上·湖北随州·八年级统考期末）在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：“□”内应填的符号为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了单项式乘多项式．熟练掌握单项式乘多项式是解题的关键．
根据单项式乘多项式的运算求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，∴“□”内应填的符号为，故选：A．
变式1. （2024上·福建福州·八年级福建师大附中校考期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查单项式乘多项式，掌握单项式乘多项式的运算法则是解题关键．
根据单项式乘多项式的运算法则进行计算求解．
【详解】解：，故答案为：．
变式2.（2023·四川达州·七年级校考期中）若a，b均为整数，且，则等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．16
【答案】C
【分析】根据得到，则，求出，代入即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，∴，解得，∴，故选：C
【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键．
变式3．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）若对任意都成立，则 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可．
【详解】解：，，，
原式子对任意都成立，，，解得：，，．答案：1．
考点4、单项式乘多项式的应用
例1．（2023上·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为，点在射线上移动，以为边作正方形，连接、、，在点移动的过程中，的面积（ ）
A．无法确定 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积；根据阴影部分面积就是两个正方形面积和减去空白的三角形面积求解即可．
【详解】解：设正方形边长为，
，故选：D．
变式1.（2023上·四川巴中·八年级校考期中）三角形的一边长为，这条边上的高为，这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题是整式的乘法在实际中的应用，掌握单项式乘以多项式法则是解题的关键．根据三角形的面积等于底乘以底上高的一半，来解决此题．
【详解】解：根据题意，得，即这个三角形的面积为．故选：C．
变式2.（2023·吉林·八年级校考期中）要使的展开式中不含项，则的值是 ．
【答案】2
【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则即可求出答案.
此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：
的展开式中不含项，,解得：．故答案为：2．
变式3．（2023上·浙江·八年级专题练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题 ，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ．
【答案】
【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【详解】解：，横线上应填写，故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键．
考点5、多项式乘多项式
例1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）若的计算结果中项的系数为，则为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解答本题的关键．根据多项式乘以多项式的法则，计算含项的系数之和，得到方程并求解，即得答案．
【详解】在的计算过程中含项有和，
所以解得．故选B．
变式1. （2024·浙江台州·七年级统考期末）已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的乘法，代入求值，先运用整式的乘法展开，然后整体代入是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
变式2.（2023下·浙江金华·七年级统考期末）要使的展开式中不含常数项，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，理解多项式中不含常数项是解题的关键．先根据多项式乘以多项式的法则，将展开，合并同类项之后令常数项为0，即可求解．
【详解】解：，
的展开式中不含常数项，．故选：C．
考点6、多项式乘多项式的应用
例1．（2024下·广东江门·八年级校考开学考试）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式运算，需要利用图形的一些性质得出式子，考查学生观察图形的能力．要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【详解】解：图1中，阴影部分长宽长方形面积，阴影部分的面积，
图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积，
阴影部分的面积，．故选：B
变式1. （2024上·四川宜宾·八年级统考期末）若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定
【答案】C
【分析】本题考查的是整式的混合运算，利用求差法、多项式乘多项式的运算法则进行计算，根据计算结果判断即可．掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
∴，故选：C．
变式2.（2024下·浙江·七年级专题练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了列代数式，根据最大长方形的面积的不同表示方式列出对应的代数式即可．
【详解】解：最大长方形的长为，宽为，则最大长方形的面积可以表示为，故①正确；最大长方形面积可以表示为长为，宽为b的长方形面积加上2个长为，宽为a的长方形面积，则最大长方形的面积可以表示为，故②正确；
最大长方形面积可以表示为长为，宽为m的长方形面积加上长为，宽为n的长方形面积，则最大长方形的面积可以表示为，故③正确；
最大长方形面积可以表示为长为，宽为m的长方形面积加上长为，宽为n的长方形面积再加上2个长为a，宽为m的长方形面积再加上2个长a，宽为n的长方形面积，则最大长方形的面积可以表示为，故④正确；故选D．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·山西临汾·八年级校考阶段练习）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用单项式乘单项式的法则，进行计算即可．
【详解】解：．故选：B．
【点睛】本题考查单项式的乘法．熟练掌握单项式的乘法法则：系数乘系数，相同字母按照同底数幂的乘法进行计算，只在一个单项式中出现的字母连同指数写在积里，作为积的一个因式，是解题关键．
2.（2023上·四川眉山·八年级校考期中）若，则m、n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据多项式乘以多项式的法则计算，再根据多项式相等的条件即可求出、的值．
【详解】解：∵，，
∴，∴，．故选：B．
3．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）一个长方体，它的底面是边长为的正方形，高为，它的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】据长方体的体积公式列式，根据积的乘方和幂的乘方法则，单项式乘单项式的法则计算即可．
【详解】解：它的体积为：，故选：D．
【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2023上·广东深圳·七年级校联考期中）一个长方形的长为x，宽比长的一半多1，则这个长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】本题主要考查了列代数式及单项式乘多项式，先求出长方形的宽，然后根据长方形的面积公式进行计算是解题的关键．
【分析】解：∵长方形的长为，宽比长的一半多1，∴长方形的长为，
∴长方形的面积为，故选：C．
5．（2024·浙江·七年级期中）小刘在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，发现这样一道题：，你认为“□”内应填写（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴口=，故选：D．
6．（2024·福建泉州·八年级统考期末）若等式成立，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，将等式左侧运算，利用对应项的系数相同即可求出的值，正确使用多项式的乘法法则是解题的关键．
【详解】解：，
∵，∴，故选：．
7．（2023春·七年级课时练习）如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】应用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再根据C类卡片的面积进行判断即可得出答案．
【详解】解：依题意，，
∵类卡片的面积为，∴需要类卡片张数为，故选：B．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则进行求解是解决本题的关键．
8．（2024·北京海淀·七年级统考期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（ ）注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了单项式乘以单项式、整式的加减的应用，分别求出、、，进行比较即可得出答案，根据图形求出、、是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，
，，
，，故选：D．
9．（2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）对于任意自然数n，代数式一定能被一个整数整除，那么这个整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
【答案】C
【分析】先将化简为，由n是自然数，即可得出答案．
【详解】解：，n是自然数，能被6整除，故选：C．
【点睛】本题考查整式乘法运算，加减运算及数的整除性，熟练掌握整式的混合运算法则是解题关键．
10．（2023上·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式乘法的应用，根据长方形面积公式判断各式是否正确即可，根据图形正确列出算式是解题的关键．
【详解】解：，该选项正确，符合题意；
，应为，该选项错误，不符合题意；
，该选项正确，符合题意；
，该选项正确，符合题意；∴正确的有，故选：．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下浙江·七年级专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据“单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式中只含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式”计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
12．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据运算法则准确计算即可．
【详解】解：，故答案为：．
13．（2022上·重庆·八年级重庆十八中校考期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ．
【答案】18
【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可．
【详解】解：∵代数式的值是7，∴，∴，∴，
∴，故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
14．（2024下·浙江·七年级专题练习）长方形的长是，它的周长是，面积是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了整式乘法的应用，整式加减的应用，解题的关键是根据周长和一边长求出另外一条边长，再求出长方形的面积即可．
【详解】解：∵长方形的长为，周长是，
∴长方形的宽为：，
∴它的面积是：．故答案为：．
15．（2023·广东深圳·七年级校考期中）若恒成立，则 ．
【答案】0
【分析】将等式左边按照单项式乘以多项式，再合并同类项，整理后形式和等式右边一致，即可求出a ，b 的值，代入求值即可求出答案．
【详解】解：根据题意可得：∵等式左边，
∴，∴，解得：，
∴．故答案为：0
【点睛】本题主要考查的是整式的运算，掌握单项式与多项式的乘法运算，合并同类项即可求出结果，也是解题的关键．
16．（2023上·湖北荆门·八年级统考期末）已知的展开式中不含项，常数项是，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查整式的混合运算，整式中不含某项的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．
根据多项式乘以多项式展开，再根据不含的项，含项的系数为零即可求解．
【详解】解：，
∵常数项为，∴，∴，
∵不含项，∴，∴，∴，故答案为：．
17．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即．例如：当时，．若，则 ， ， ．
【答案】 4 20
【分析】本题考查多项式乘多项式求和，恒等式的问题．先根据中二次项系数为3，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵中二次项系数为3，∴，
∴
，
∵，∴，
∴，，故答案为：4；；20．
18．（2024上·浙江台州·八年级统考期末）若对任意x恒成立，其中均为整数，则m的值为 ．
【答案】/或/或
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，有理数乘法．先根据多项式乘以多项式的计算法则得到，从而可得a、b的值，由此即可得到答案．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵a、b为整数，∴或或或，∴，∴的值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）计算：．
【答案】．
【分析】根据积的乘方及单项式乘以单项式可进行求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查积的乘方及单项式乘以单项式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
20．（2023·吉林四平·八年级校联考期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了单项式乘多项式、化简求值．先去括号再合并同类项，得，再把代入，即可作答．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．（2023下·湖南郴州·七年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【分析】首先去括号、合并同类项，得到最简式，把x、y的值代入最简式，求出即可．
【详解】
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，熟练掌握整式的混合运算和求值是解题的关键．
22．（2023·甘肃陇南·八年级统考期末）已知的展开式中不含项，常数项是．(1)求m、n的值；(2)求的值．
【答案】(1)，(2)7
【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出，的值；
（2）先将原式进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．
【详解】（1）解：原式
，
由于展开式中不含项，常数项是，则且，解得：，；
（2）由（1）可知：，，
原式．
【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
23．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算的结果．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）根据题意得出，，得出，，求出a、b即可；
（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．
【详解】（1）根据题意得：，
，所以，，解得：，；
（2）当，时，．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
24．（2024上·河北保定·七年级校联考期中）为了优化宜居环境，某小区规划修建一个“”形广场，平面图形如图所示.(1)的长度可表示为_____；(2)求这个广场的周长；(3)若，时，则该广场的面积为_____
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，注意计算的准确性即可．
（1）计算即可求解；（2）计算即可求解；
（3）根据计算出广场的面积，再代值计算即可．
【详解】（1）解：，故答案为：
（2）解：，答：这个广场的周长为
（3）解：广场的面积为：，
当，时，，故答案为：
25．（2023秋·江苏·七年级统考期末）用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：．
(1)求的值；(2)若，求a的值；
(3)若，，试比较P与Q的大小，并说明理由．
【答案】(1)(2)(3)，理由见解析
【分析】(1)利用题中的新定义运算进行运算，即可求出其值；
(2)已知等式，利用题中的新定义运算，可得方程，解方程即可求出a的值；
(3)首先利用题中的新定义运算，分别求得P、Q的最简式，再利用作差法进行大小的比较，即可判定．
【详解】（1）解：
（2）解：，，解得；
（3）解：，理由如下：
，
，
，，，．
【点睛】此题考查了新定义运算，有理数及整式的混合运算，理解题意，准确计算是解决本题的关键．
26．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．
(1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）；
(2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）；
(3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)(2)正确，有关，无关(3)存在使得S为定值，理由见解析
【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．（1）由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为；（2）由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为，据此求解即可；
（3）由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，
∴小长方形的长为，故答案为：；
（2）解：∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm，
∴阴影A的较短边为，阴影B的较短边为，
∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为；
∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的周长为，
阴影B的周长为，
∴阴影A和阴影B的周长之和为，
∴阴影A和阴影B的周长之和与有关，与无关，故答案为：正确，有关，无关；
（3）解：∵阴影A的较长边为，较短边为，
阴影B的较长边为，较短边为，
∴阴影A的面积为，
阴影B的面积为，
∴阴影A和阴影B的面积之和为，
∴当时，为定值，定值为．
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专题3.2单项式的乘法+专题3.3多项式的乘法
模块1：学习目标
1.掌握单项式乘单项式的法则，并运用它们进行运算。
2.熟悉单项式乘法运算变形。
3.掌握多项式乘单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算。
4.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混运算。
模块2：知识梳理
1）单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注：①单项式乘单项式，结果仍为单项式；②单项式相乘时，注意不要漏掉无相同之母的项。
2）单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：p(a+b+c)=pa+pb+pc
注：单项式乘以多项式的积仍是一个多项式，积的项数与原多项式的项数相同；如果式中含有乘方运算，仍应先算乘方，在算乘法。
3）多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。
注：运算过程中，需要关注符号的变化（负负得正，正负为负）；乘法运算的结果中，如果有同类项，需要合并同类项，化为最简形式。
模块3：核心考点与典例
考点1、单项式乘单项式
例1．（2024上·云南保山·八年级统考期末）计算：的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023·浙江·七年级校考期中）x的m次方的5倍与的7倍的积是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023上·广东河源·七年级校考期中）计算： ．
变式3.（2023下·广东清远·七年级统考期末）若□，则□内应填的单项式是 ．
考点2、单项式乘单项式的应用
例1．（2024上·四川绵阳·八年级统考期末）在一块边长为的正方形纸板中，将四个角分别剪去边长为的小正方形，然后将四周突出部分折起，折成一个无盖的盒子，则该无盖盒子的容积为（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2023上·山西吕梁·八年级校考期中）一头非洲大象质量的最高纪录为，则头这样的大象的质量为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023下·河北沧州·七年级统考期中）如图，将一张长方形的铁皮剪去一个小长方形，余下的阴影部分面积是（ ）
A． B． C． D．
考点3、单项式乘多项式
例1．（2024上·湖北随州·八年级统考期末）在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：“□”内应填的符号为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2024上·福建福州·八年级福建师大附中校考期末）计算： ．
变式2.（2023·四川达州·七年级校考期中）若a，b均为整数，且，则等于（ ）
A．6 B．8 C．9 D．16
变式3．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）若对任意都成立，则 ．
考点4、单项式乘多项式的应用
例1．（2023上·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为，点在射线上移动，以为边作正方形，连接、、，在点移动的过程中，的面积（ ）
A．无法确定 B． C． D．
变式1.（2023上·四川巴中·八年级校考期中）三角形的一边长为，这条边上的高为，这个三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·吉林·八年级校考期中）要使的展开式中不含项，则的值是 ．
变式3．（2023上·浙江·八年级专题练习）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学后，小华回到家拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题 ，空格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写 ．
考点5、多项式乘多项式
例1．（2024上·山东临沂·八年级统考期末）若的计算结果中项的系数为，则为（ ）
A． B．3 C． D．
变式1. （2024·浙江台州·七年级统考期末）已知，，则 ．
变式2.（2023下·浙江金华·七年级统考期末）要使的展开式中不含常数项，则（ ）
A． B． C． D．
考点6、多项式乘多项式的应用
例1．（2024下·广东江门·八年级校考开学考试）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（ ）
A． B．
C． D．
变式1. （2024上·四川宜宾·八年级统考期末）若，，则M与N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．M与N的大小由x的取值而定
变式2.（2024下·浙江·七年级专题练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023上·山西临汾·八年级校考阶段练习）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023上·四川眉山·八年级校考期中）若，则m、n的值分别为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·浙江杭州·七年级统考期末）一个长方体，它的底面是边长为的正方形，高为，它的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·广东深圳·七年级校联考期中）一个长方形的长为x，宽比长的一半多1，则这个长方形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·七年级期中）小刘在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，发现这样一道题：，你认为“□”内应填写（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·福建泉州·八年级统考期末）若等式成立，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·七年级课时练习）如图，现有，两类正方形卡片和类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，那么需要类卡片张数为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．（2024·北京海淀·七年级统考期末）某玩具厂在生产配件时，需要分别从棱长为的正方体木块中，挖去一个棱长为的小正方体木块，得到甲、乙、丙三种型号的玩具配件（如图所示）．将甲、乙、丙这三种配件的表面积分别记为、、，则下列大小关系正确的是（ ）注：几何体的表面积是指几何体所有表面的面积之和．
A． B． C． D．
9．（2023上·四川乐山·八年级校考阶段练习）对于任意自然数n，代数式一定能被一个整数整除，那么这个整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．12
10．（2023上·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④，你认为其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下浙江·七年级专题练习）计算： ．
12．（2024上·河南驻马店·八年级统考期末）计算 ．
13．（2022上·重庆·八年级重庆十八中校考期中）已知代数式的值是7，则代数式的值是 ．
14．（2024下·浙江·七年级专题练习）长方形的长是，它的周长是，面积是 ．
15．（2023·广东深圳·七年级校考期中）若恒成立，则 ．
16．（2023上·湖北荆门·八年级统考期末）已知的展开式中不含项，常数项是，则 ．
17．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）18世纪欧拉引进了求和符号“”（其中，且和表示正整数），对这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来，即．例如：当时，．若，则 ， ， ．
18．（2024上·浙江台州·八年级统考期末）若对任意x恒成立，其中均为整数，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023春·江苏·七年级专题练习）计算：．
20．（2023·吉林四平·八年级校联考期末）先化简，再求值：，其中．
21．（2023下·湖南郴州·七年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
22．（2023·甘肃陇南·八年级统考期末）已知的展开式中不含项，常数项是．(1)求m、n的值；(2)求的值．
23．（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）在计算时，甲把b错看成了6，得到结果是：；乙把a错看成，得到结果是：．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算的结果．
24．（2024上·河北保定·七年级校联考期中）为了优化宜居环境，某小区规划修建一个“”形广场，平面图形如图所示.(1)的长度可表示为_____；(2)求这个广场的周长；(3)若，时，则该广场的面积为_____
25．（2023秋·江苏·七年级统考期末）用“”定义一种新的运算：对于任意有理数x和y，规定：．如：．
(1)求的值；(2)若，求a的值；
(3)若，，试比较P与Q的大小，并说明理由．
26．（2023下·广东佛山·七年级校考期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为．
(1)小长方形的较长边为 （用代数式表示）；
(2)阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为，是 的（填正确/错误）；阴影A和阴影B的周长值之和与 （填有关/无关），与 （填有关/无关）；
(3)设阴影A和阴影B的面积之和为S，是否存在使得S为定值，若存在请求出的值和该定值，若不存在请说明理由．
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