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专题3.4 乘法公式+专题3.5 整式的化简
模块1：学习目标
1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。
3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题。
5.掌握整式化简的运算顺序和运用乘法公式画家。
模块2：知识梳理
1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
2）完全平方和（差）公式：
3）完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
4）拓展：利用可推导除一些变式
①；
②；
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
5）整式的化简应遵循先乘方，再乘除、最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式。
模块3：核心考点与典例
考点1、平方差公式及其运用
例1．（2023上·广西南宁·八年级统考期末）下列式子可用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点“一项的符号相同，另一项的符号相反”是解题的关键．根据平方差公式的特点：一项的符号相同，另一项的符号相反，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，不可用平方差公式计算，不符合题意；
B. ，不可用平方差公式计算，不符合题意；
C. ，不可用平方差公式计算，不符合题意；
D. ，可用平方差公式计算，符合题意．故选：D．
变式1. （2023·上海嘉定·七年级校考阶段练习）（ )．
【答案】
【分析】本题考查平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．利用完全平方差公式进行求解即可．
【详解】解：．故答案为：．
变式2.（2024下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）若，，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点是解决问题的关键．利用平方差公式进行计算，即可得出答案．
【详解】解：，，，，故答案为：5
变式3.（2024上·河南洛阳·八年级统考期末）如果一个数大于0且等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
【答案】D
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据题意设出两个相邻的奇数，进而求出它们的差，从而推出“幸福数”一定是8的倍数，据此可得答案．
【详解】解：设两个连续的奇数为（n为大于1的整数），
=，
∴“幸福数”一定是8的倍数，∴四个选项中只有D选项中的数是8的倍数，故选：D．
考点2、平方差公式与几何图形
例1．（2023·福建·八年级统考期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了几何图形与乘法公式；根据两个图形中阴影部分面积相等即可验证．
【详解】解：图甲中阴影部分面积为边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积，即；图乙中阴影部分面积等于长为、宽为的长方形面积，即，
根据这两部分面积相等有：；故选：A．
变式1.（2024·河南洛阳·八年级统考期末）如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，左边一幅图中，阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，右边一幅图中，阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此分别表示出两幅图中阴影部分面积，再由两幅图阴影部分面积相等即可得到答案．
【详解】解：左边一幅图中，阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即，
右边一幅图中，阴影部分面积是一个长为，宽为的长方形面积，即，
∵两幅图中阴影部分面积相等，∴，故选：B．
变式2.（2024上·山东临沂·八年级统考期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________；
A． B． C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：，求的值；②计算：．
【答案】(1)B(2)①；②．
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是掌握平方差公式并能灵活应用．
（1）表示出两个图中阴影的面积可得答案；
（2）①由已知和平方差公式可得答案；②先用平方差公式，再约分即可．
【详解】（1）解：第一个图形面积为，第二个图形的面积为，
∴可以验证的等式是：，故答案为：B；
（2）解：①
②原式
．
考点3、完全平方公式
例1．（2023·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，则代数式______．
【答案】
【分析】将所给式子变形为，再将所求式子利用完全平方公式变形，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，∴，
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握整体思想的运用，不要盲目代入．
变式1.（2023·浙江七年级课时练习） ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：原式，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
变式2.（2023·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）利用乘法公式进行计算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查平方差公式和完全平方公式．
（1）根据完全平方公式即可求出答案；
（2）根据平方差公式即可求出答案；
解题的关键是将各式化为完全平方公式或平方差公式进行运算．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
考点4、完全平方公式与几何图形
例1．（2020下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（ ）．
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】直接利用已知边长表示出各部分面积即可．
【详解】解：由题意可得：阴影部分的面积为：，也可以表示为：，
能验证的乘法公式是：．故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键．
变式1. （2023·江西宜春·八年级统考期末）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出图形的面积，根据图形面积的关系，写出等式即可．
【详解】解：大正方形的边长为：,空白正方形边长：，
图形面积：大正方形面积，空白正方形面积，四个小长方形面积为：，
∴=+．
故选择：B．
【点睛】本题考查利用面得到的等式问题，掌握面积的大小关系，抓住大正方形面积=空白小正方形面积+四个小正方形面积是解题关键．
变式2.（2023·四川成都·七年级校考阶段练习）若x满足，求的值．
解：设，，则，，．
请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若满足，求的值；
(2)，求与的值；
(3)已知正方形的边长为，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】(1)(2)，(3)
【分析】本题考查代数式求值，涉及完全平方公式、整体代入求值等，读懂题意，找准条件与所求代数式的练习，利用完全平方公式变形，整体代入求值即可得到答案．
（1）设，，根据材料中的方法，求出和与差，利用完全平方公式代值求解即可得到答案；（2）设，，根据材料中的方法，求出和与差，利用完全平方公式代值求解即可得到答案；由，代值求解即可得到答案；
（3）根据题意，得到正方形边长，数形结合得到，设，，利用材料中的方法，求出，代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设，，则，，；
（2）解：，，设，，
则，，，即，解得，
；，
；
（3）解：根据题意可知正方形的边长为，正方形的边长为，
正方形的边长为不为负值，，即，
，
长方形的面积是15，，
设，，则，，
，
即，负值舍去；，阴影部分的面积是．
考点5、完全平方公式的字母系数
例1．（2023·四川眉山·八年级统考期中）如果二次三项式是完全平方式，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式，解题时注意下面两个公式的结构特征：和．
【详解】由是完全平方式，故 得 故选：C．
变式1. （2023·四川宜宾·八年级统考期末）若代数式是一个完全平方式，则 ．
【答案】或4
【分析】本题考查了完全平方公式的应用：根据，结合，列式计算，即可作答．
【详解】解：∵是一个完全平方式
∴则解得或4。故答案为：或4
变式2. （2024上·重庆城口·八年级统考期末）已知是完全平方式，则a的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了完全平方式的应用能力，根据完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，解得，故答案为：．
考点6、完全平方公式中的知二求二
例1．（2024上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题：
【基础公式】请写出完全平方公式______；
【公式变形】公式可以变形为______；
【基础应用】（1）已知：，，求的值；（2）已知：，求的值；
【拓展拔高】若，求的值．
【答案】基础公式：；公式变形：或；基础应用：（1）；（2）；拓展拔高：
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式以及公式变形是解题的关键．
基础公式：根据完全平方公式解答即可；公式变形：通过移项即可得出变形结果；
基础应用：（1）根据公式变形中的结果代入计算即可；（2）根据公式变形中的结果代入计算即可；
拓展拔高：先判断出，即可得出，从而得到，然后根据公式变形中的结果代入计算即可．
【详解】解：基础公式：请写出完全平方公式；故答案为：；
公式变形：公式可以变形为或；
故答案为：或； 基础应用：（1）∵，
又∵，∴；
（2）∵，
拓展拔高： 方程两边同除以a得
即
变式1.（2023上·四川眉山·八年级校考期末）已知，，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式及公式的变形是解题关键．
利用完全平方公式得出，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，，∴，故选：C．
变式2.（2023上·山东临沂·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．14 B． C．7 D．4
【答案】A
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式变形，即可求解．
【详解】解：∵，∴，解得：．故选：A．
变式3.（2023·山东日照·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查完全平方公式的变形，利用完全平方公式变形解决问题是解题关键．由可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴，故选B．
考点7、完全平方公式中应用--配方
例1．（2024·陕西西安·七年级校考期中）阅读以下材料：若，求的值．
思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出．
解：，
，，
又．
请你根据上述阅读材料解决下列问题：(1)若，求的值；
(2)当分别取何值时，代数式有最小值？并求其最小值．
【答案】(1)；(2)代数式有最小值，最小值为．
【分析】本题考查完全平方公式的拓展应用，充分理解材料，掌握将多项式配成完全平方式的方法以及理解完全平方式的非负性是解题关键．（1）将等式左边整理为两个完全平方式和的形式，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求解；（2）将其整理为三个完全平方式与的和的形式，利用其非负性求解即可．
【详解】（1）解：∵，∴，
∴，又，，
∴，，∴，，∴；
（2）解：∵，
又，，，
∴代数式有最小值，最小值为．
变式1.（2024·江苏南通·八年级统考期末）已知满足，则的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性等，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将配方成，求出a，b，c的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，解得，∴，故选：B．
变式2.（2023上·福建福州·八年级校考期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子：，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列问题：(1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ．
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．
①用含的式子表示花圃的面积；②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
【答案】(1)小，(2)①平方米；②当时，花圃的最大面积为1250平方米
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；（1）根据题中所给方法可进行求解；（2）①利用长方形的面积长宽可得结论；②利用题中所给方法即可解决问题．
【详解】（1）解：，∵，∴，
∴代数式有最小值，最小值为；故答案为小，；
（2）解：①由图可得花圃的面积：平方米；
②由①可知：，
当时，，且，
当时，花圃的最大面积为1250平方米．
考点8、整式的化简与求值
例1．（2024上·海南海口·八年级统考期末）计算(1)；(2)；
(3)先化简，再求值：，其中，．
【答案】(1)(2)(3)；
【分析】本题考查了整式的混合运算和化简求值，主要考查学生的计算能力和化简能力．
（1）根据多项式乘多项式和积的乘方计算可以解答本题；
（2）根据单项式乘多项式和完全平方公式可以解答本题；；
（3）先据单项式乘多项式和完全平方公式化简题目中的式子，然后将x、y的值代入即可解答本题．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
当，时，原式．
变式1.（2023下·陕西咸阳·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】，1
【分析】本题考查了整式的乘除混合运算、平方差公式以及化简求值：先根据平方差公式算乘法、以及根据多项式乘多项式法则展开运算，再合并同类项，得，再把代入计算，即可作答．
【详解】解：
把代入上式 得
变式2.（2023·广东·八年级校联考期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，36
【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
根据完全平方公式及平方差公式进行化简，然后代值求解即可．
【详解】解：原式，
当，时，原式．
变式3.（2023上·江西赣州·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：其中．
【答案】，原式
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：，
当时，原式．
模块4：同步培优题库
全卷共26题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·江西赣州·八年级统考期末）下列各式使用乘法公式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，根据平方差公式和完全平方公式的结构特征进行判断即可．
【详解】解：A. ，计算正确，故选项A不符合题意；
B. ，计算正确，故选项B不符合题意；
C. ，计算错误，故选项C符合题意；
D. ，计算正确，故选项D不符合题意；故选：C．
2．（2024上·陕西商洛·八年级校考期末）若，则m的值为（ ）
A．4 B．1 C．－1 D．－4
【答案】B
【分析】本题考查完全平方公式应用．根据题意将展开整理后对应相等即可得到本题答案．
【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．
3．（2023上·河南漯河·八年级校考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】题目主要考查整式的乘法运算，包括平方差公式及完全平方公式的计算，先运用平方差公式，然后再利用完全平方公式计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键
【详解】解：，故选：C
4．（2024上·山东德州·八年级统考期末）已知，则的值是（ ）
A．4 B．9 C．36 D．144
【答案】C
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据，利用平方差公式得到，则．
【详解】解：∵，∴，
∴，∴，∴，故选：C．
5．（2024下·陕西西安·七年级校考期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了新概念和平方差公式，两个连续奇数分别为，，利用平方差公式计算，得到两个连续奇数构造的“好数”是的倍数，据此解答即可，熟练掌握平方差公式：是解题的关键．
【详解】设两个连续奇数分别为，，
∴，
∴两个连续奇数构造的“好数”是的倍数，
、是的倍数，符合题意；、不是的倍数，不符合题意；
、不是的倍数，不符合题意；、不是的倍数，不符合题意；故选：．
6．（2023上·云南德宏·八年级统考期末）如图所示，将（甲）图中阴影部分的小长方形变换到（乙）图的位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形的应用；分别表示出两个图形阴影部分的面积，再根据应用部分面积相等即可得到答案．
【详解】解：图甲中，阴影部分的面积为，图乙中阴影部分的面积为，
∵图甲和图乙中阴影部分面积相等，∴，故选：A．
7．（2024下·陕西西安·七年级陕西师大附中校考开学考试）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式，将变形，然后将整体代入即可解答熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
【详解】解：由得，，
∵，∴，∴，故选：．
8．（2024上·广东珠海·八年级校考开学考试）a、b为实数，整式的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键．先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值．
【详解】解：，
∵，，∴的最小值是，故选A．
9．（2023上·河南商丘·八年级校联考期末）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．22
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方式，正方形的面积和整式的混合运算等知识点，先求出，，然后计算出，再根据，求出，最后整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，
∴，
∵，，∴，∴（负值舍去），
∴．故选：C．
10．（2023·浙江·七年级专题练习）已知a，b，c满足，，，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】将已知三个等式的左右分别相加，然后根据配方法将其转化为偶次方的和的形式；最后根据非负数的性质解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，∴，
即，∴，
∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质，解题的关键是根据完全平方和公式将代数式转化为偶次方的和的形式，求出a，b，c的值．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·浙江金华·七年级校联考期中）在数学中，有时会出现大数值的运算．在学习了整式的乘法以后，通过用字母代替数转化成整式乘法来解决，能达到化繁为简的效果。例：若，，比较、的大小时，设，则，．∵，∴．参考上述解题过程，计算： ．
【答案】
【分析】根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】解：，故答案为：．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
12．（2022下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）若，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是根据完全平方公式将展开，然后根据两个多项式相等，即可得出的值．
【详解】解：∵，，
∴，∴．故答案为：．
13．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习） ．
【答案】
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：，故答案为：．
14．（2023·江苏苏州·七年级统考期中） 已知，那么 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，对已知条件两边平方，整理后不难求解.
【详解】解: 即 故答案为 11.
15．（2023·浙江七年级课时练习）若n满足，_____．
【答案】4
【分析】设，则：，利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：设，则：，
∵，∴，
∴，∴，∴；故答案为：．
【点睛】本题考查完全平方公式．解题的关键是构造完全平方公式，利用整体思想，进行求解．
16．（2024·四川成都·七年级校考期末）如图，一块总面积为的型空地，可以看成由两个正方形和拼成，现计划在长方形区域种植格桑花．若的长为，则格桑花的种植面积为 ．
【答案】50
【分析】本题考查了完全平方公式，根据，两边平方后把正方形和的面积为代入即可求解．
【详解】解：∵，∴，∴，
∵正方形和的面积为，∴，∴，
∴，即格桑花的种植面积为．故答案为：50．
17．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）请你计算：，…猜想的结果是____（n为大于2的正整数）
【答案】##
【分析】各式计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，写出即可．
【详解】解：∵，，；
∴猜想，故答案为：
【点睛】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
18．（2023·四川成都·模拟预测）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：
，展开式有两项，系数分别为1，1；
，展开式有三项，系数分别为1，2，1；
，展开式有四项，系数分别为1，3，3，1；
…
根据以上规律，（a＋b）4展开式共有五项，系数分别为 ．
【答案】1、4、6、4、1
【分析】此题考查完全平方公式，多项式展开式，数字的变化规律，正确观察已知的式子与对应的三角形之间的关系是关键．
观察可得（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于相邻两项的系数和．
【详解】解：根据题意知，的各项系数分别为1、、、、1，
即：1、4、6、4、1；
∴． 故答案为：1、4、6、4、1．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·河南安阳·八年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中
【答案】；．
【分析】此题主要考查了整式的混合运算化简求值．直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再利用已知变形代入即可．
【详解】
把代入得，．
20．（2024下·浙江·七年级专题练习）用乘法公式计算：
(1) (2) (3) (4)
【答案】(1)4899.91(2)(3)(4)
【分析】本题主要考查乘法公式里的完全平方公式和平方差公式，找出算式里的规律，把原式变成完全平方和平方差的形式是解题的关键．（1）把原式化成再利用平方差公式计算；（2）把原式化成再利用完全平方公式计算；（3）把看成一个整体，原式就可以看成是的平方差，就可以利用平方差公式计算；（4）先把看成一个整体，原式就可以看成是的完全平方，就可以利用完全平方公式计算．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
21．（2023上·山东济宁·八年级校考阶段练习）李老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律，请你结合这些算式解答下列问题.请观察以下算式：
①；
②；
③；……
(1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______；(2)设两个连续奇数为，（其中n为正整数）、写出它们的平方差，并说明结果是8的倍数．
【答案】(1)(2)，说明见解析
【分析】本题考查了数字类规律探索，完全平方公式，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据已知算式得规律，即可得出答案；
（2）将利用完全平方公式展开，再合并同类项，得到结果，即可得出结论．
【详解】（1）解：观察可知，第④个算式为，故答案为：；
（2）解：设两个连续奇数为，（n为正整数）
，结果是8的倍数．
22．（2024上·山东济宁·八年级统考期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：．
(1)由图2，可得等式：______．(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
【答案】(1)；(2)88．
【分析】本题考查的是多项式的乘法与几何图形面积的关系，完全平方公式的几何意义以及灵活应用，熟练的利用面积法得到代数恒等式是解本题的关键．（1）由图2的面积可表示为：或，再利用面积的不变性可得等式；（2）把，代入，从而可得答案．
【详解】（1）解：由图（2）的面积可表示为：或；
∴可得等式为：；
（2）解：∵，，，
∴，∴．
23．（2023·广东东莞·八年级校考期末）如图，六边形是一个轴对称图形，请将该图形沿对称轴剪开，将得到的两个全等图形拼成一个新的轴对称图形（两个全等图形不重叠）．(1)请画出新的轴对称图形；(2)设六边形的面积为，新的轴对称图形面积为，判断，的大小关系，并直接用含的式子表示出来；(3)计算：．
【答案】(1)见解析(2)，，(3)
【分析】此题主要考查了平方差公式，画轴对称图形，解题关键是熟记平方差公式：即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．对于有图形的题需要注意利用数形结合求解更形象直观．
（1）将边长为的两边分别结合即可；
（2六边形的面积为等于正方形面积减小正方形面积，由（1）可知为梯形，由梯形面积公式计算即可，最后由平方差公式即可求解；（3）运用平方差公式求解即可．
【详解】（1）解：新的轴对称图形如图所示．（答案不唯一）
（2）由题意可知：；．
，，
（3）
24．（2023上·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①，，求和的值；②已知，求的值．
【答案】（1）（2）①1，，②
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键．（1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到；（2）①由（1）得到，把，，代入求，再利用完全平方公式求的值；
②由完全平方公式可知，，即则的值可求．
【详解】（1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即；
方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于，所以其面积为；
∴；故答案为：；
（2）①由（1）可知
∵，，∴，解得，，
∵，∴，∴．
②∵，∴即，∴．
25．（2023上·山东临沂·八年级统考期末）多项式乘法的学习中，等式可以用平面图形（图1）的面积来说明．
(1)【探究】请使用（图2）的2种规格的正方形，设计一个平面图形方案说明等式是正确的；(2)【拓展】为进一步探索部分平面图形的面积与等式的关系，在某次数学活动中，准备了（图3）所示的三种规格的正方形、长方形卡片若干张．小明从中选取9张，拼成一个边长为的正方形，请你写出与其面积相应的等式；(3)【应用】请利用（2）中得到的等式解答以下问题：若实数满足，，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，幂的运算法则．（1）将该图形的面积用两种方式表示，即可解答；（2）将该图形的面积用两种方式表示，即可解答；
（3）根据，得出， 根据，得出，则，由（2）可得：，即可解答．
【详解】（1）解：设计图形如图所示：∵将该图形看做一个大正方形，则面积，
将该图形看做两个正方形和两个长方形，则面积，
∴．
（2）解：∵将该图形看做一个大正方形，则面积，
将该图形看做3个正方形和6个长方形，则面积，
∴．
（3）解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
由（2）可得：，
∴，∴．
26．（2024上·山东济南·八年级统考期末）阅读材料：
利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：求代数式的最小值
．
，当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)求代数式的最小值；
(2)若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
(3)试说明：无论取任何实数时，多项式的值总为正数．
【答案】(1)的最小值是3(2)；大；－2(3)说明见解析
【分析】本题考查配方法，涉及完全平方公式、平方非负性等知识，读懂题意，利用配方法，结合平方非负性即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键．
（1）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案；
（2）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案；
（3）根据阅读材料，利用配方法，结合平方的非负性求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，的最小值是3；
（2）解：
，当时，y有最大值，这个值是，故答案为：，大，；
（3）解：，
，，，
无论取任何实数时，多项式的值总为正数．
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专题3.4 乘法公式+专题3.5 整式的化简
模块1：学习目标
1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。
2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算；了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。
3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算。
4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题。
5.掌握整式化简的运算顺序和运用乘法公式画家。
模块2：知识梳理
1）平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
两个式子的和与两个式子的差的乘积，等于这两个数的平方差。
注：①字母a、b仅是一个表达式，即可以表示一个数字、一个字母，也可以表示单项式、多项式。
②在套用平方差公式时，要依据公式的形式，将原式变形成符合公式的形式，在利用公式。特别需要注意“-”的处理。
2）完全平方和（差）公式：
3）完全平方和（差）公式：等于两式平方和加（减）2倍的积
注：①a、b仅是一个符号，可以表示数、字母、单项式或多项式；②使用公式时，一定要先变形成符合公式的形式
4）拓展：利用可推导除一些变式
①；
②；
注：变式无需记忆。在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
5）整式的化简应遵循先乘方，再乘除、最后算加减的顺序，能运用乘法公式的则运用公式。
模块3：核心考点与典例
考点1、平方差公式及其运用
例1．（2023上·广西南宁·八年级统考期末）下列式子可用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023·上海嘉定·七年级校考阶段练习）（ )．
变式2.（2024下·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）若，，则 ．
变式3.（2024上·河南洛阳·八年级统考期末）如果一个数大于0且等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（ ）
A．205 B．250 C．502 D．520
考点2、平方差公式与几何图形
例1．（2023·福建·八年级统考期末）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A． B．
C． D．
变式1.（2024·河南洛阳·八年级统考期末）如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（ ）
A． B．
C． D．
变式2.（2024上·山东临沂·八年级统考期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：________；
A． B． C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知：，求的值；②计算：．
考点3、完全平方公式
例1．（2023·黑龙江大庆·八年级校考期末）已知，则代数式______．
变式1.（2023·浙江七年级课时练习） ( )
A． B． C． D．
变式2.（2023·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）利用乘法公式进行计算：(1)；(2)．
考点4、完全平方公式与几何图形
例1．（2020下·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图，根据标注该图所反映的乘法公式是（ ）．
A．B．C． D．
变式1. （2023·江西宜春·八年级统考期末）图（1）是一个长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，然后按图（2）拼成一个正方形，通过计算，用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2023·四川成都·七年级校考阶段练习）若x满足，求的值．
解：设，，则，，．
请仿照上面的方法求解下面问题：(1)若满足，求的值；
(2)，求与的值；
(3)已知正方形的边长为，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．
考点5、完全平方公式的字母系数
例1．（2023·四川眉山·八年级统考期中）如果二次三项式是完全平方式，则常数的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2023·四川宜宾·八年级统考期末）若代数式是一个完全平方式，则 ．
变式2. （2024上·重庆城口·八年级统考期末）已知是完全平方式，则a的值为 ．
考点6、完全平方公式中的知二求二
例1．（2024上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式——完全平方公式，解答下列各题：
【基础公式】请写出完全平方公式______；
【公式变形】公式可以变形为______；
【基础应用】（1）已知：，，求的值；（2）已知：，求的值；
【拓展拔高】若，求的值．
变式1.（2023上·四川眉山·八年级校考期末）已知，，则的值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
变式2.（2023上·山东临沂·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A．14 B． C．7 D．4
变式3.（2023·山东日照·八年级统考期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点7、完全平方公式中应用--配方
例1．（2024·陕西西安·七年级校考期中）阅读以下材料：若，求的值．
思路分析：一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性转化成两个一元一次方程，进而求出．
解：，
，，
又．
请你根据上述阅读材料解决下列问题：(1)若，求的值；
(2)当分别取何值时，代数式有最小值？并求其最小值．
变式1.（2024·江苏南通·八年级统考期末）已知满足，则的值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
变式2.（2023上·福建福州·八年级校考期中）我们已学完全平方公式：，观察下列式子：，
，原式有最小值是；
，
，原式有最大值是；
并完成下列问题：(1)代数式有最 （填大或小）值，这个值= ．
(2)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为米，完成下列任务．
①用含的式子表示花圃的面积；②请说明当取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
考点8、整式的化简与求值
例1．（2024上·海南海口·八年级统考期末）计算(1)；(2)；
(3)先化简，再求值：，其中，．
变式1.（2023下·陕西咸阳·七年级校联考阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
变式2.（2023·广东·八年级校联考期末）先化简，再求值：，其中，．
变式3.（2023上·江西赣州·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：其中．
模块4：同步培优题库
全卷共26题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·江西赣州·八年级统考期末）下列各式使用乘法公式不正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·陕西商洛·八年级校考期末）若，则m的值为（ ）
A．4 B．1 C．－1 D．－4
3．（2023上·河南漯河·八年级校考阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
4．（2024上·山东德州·八年级统考期末）已知，则的值是（ ）
A．4 B．9 C．36 D．144
5．（2024下·陕西西安·七年级校考期中）若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个正整数为“好数”．下列正整数中能称为“好数”的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·云南德宏·八年级统考期末）如图所示，将（甲）图中阴影部分的小长方形变换到（乙）图的位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A． B． C．D．
7．（2024下·陕西西安·七年级陕西师大附中校考开学考试）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·广东珠海·八年级校考开学考试）a、b为实数，整式的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
9．（2023上·河南商丘·八年级校联考期末）图1为某校八（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示八（1）（2）两个班级的基地面积．若，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．22
10．（2023·浙江·七年级专题练习）已知a，b，c满足，，，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023下·浙江金华·七年级校联考期中）在数学中，有时会出现大数值的运算．在学习了整式的乘法以后，通过用字母代替数转化成整式乘法来解决，能达到化繁为简的效果。例：若，，比较、的大小时，设，则，．∵，∴．参考上述解题过程，计算： ．
12．（2022下·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）若，则的值是 ．
13．（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习） ．
14．（2023·江苏苏州·七年级统考期中） 已知，那么 ．
15．（2023·浙江七年级课时练习）若n满足，_____．
16．（2024·四川成都·七年级校考期末）如图，一块总面积为的型空地，可以看成由两个正方形和拼成，现计划在长方形区域种植格桑花．若的长为，则格桑花的种植面积为 ．
17．（2023秋·山东济宁·八年级统考期末）请你计算：，…猜想的结果是____（n为大于2的正整数）
18．（2023·四川成都·模拟预测）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭示了（n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：
，展开式有两项，系数分别为1，1；
，展开式有三项，系数分别为1，2，1；
，展开式有四项，系数分别为1，3，3，1；
…
根据以上规律，（a＋b）4展开式共有五项，系数分别为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023上·河南安阳·八年级校联考阶段练习）先化简，再求值：，其中
20．（2024下·浙江·七年级专题练习）用乘法公式计算：
(1) (2) (3) (4)
21．（2023上·山东济宁·八年级校考阶段练习）李老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律，请你结合这些算式解答下列问题.请观察以下算式：
①；
②；
③；……
(1)请结合上述三个算式的规律，写出第④个算式：______；(2)设两个连续奇数为，（其中n为正整数）、写出它们的平方差，并说明结果是8的倍数．
22．（2024上·山东济宁·八年级统考期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：．
(1)由图2，可得等式：______．(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值．
23．（2023·广东东莞·八年级校考期末）如图，六边形是一个轴对称图形，请将该图形沿对称轴剪开，将得到的两个全等图形拼成一个新的轴对称图形（两个全等图形不重叠）．(1)请画出新的轴对称图形；(2)设六边形的面积为，新的轴对称图形面积为，判断，的大小关系，并直接用含的式子表示出来；(3)计算：．
24．（2023上·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________．
（2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题：
①，，求和的值；②已知，求的值．
25．（2023上·山东临沂·八年级统考期末）多项式乘法的学习中，等式可以用平面图形（图1）的面积来说明．
(1)【探究】请使用（图2）的2种规格的正方形，设计一个平面图形方案说明等式是正确的；(2)【拓展】为进一步探索部分平面图形的面积与等式的关系，在某次数学活动中，准备了（图3）所示的三种规格的正方形、长方形卡片若干张．小明从中选取9张，拼成一个边长为的正方形，请你写出与其面积相应的等式；(3)【应用】请利用（2）中得到的等式解答以下问题：若实数满足，，求的值．
26．（2024上·山东济南·八年级统考期末）阅读材料：
利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．
例如：求代数式的最小值
．
，当时，有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：(1)求代数式的最小值；
(2)若，当 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ．
(3)试说明：无论取任何实数时，多项式的值总为正数．
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