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专题3.6 同底数幂的除法+专题3.7 整式的除法
模块1：学习目标
1.掌握正整数幂的除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能熟练运算。
2.运用同底数幂的除法法则解决一下实际问题。
3.掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式除多项式的法则，并运用它们进行运算。
4.掌握整式的加、诚、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。
模块2：知识梳理
1）同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。
2）与的应用
1）零指数幂：=1()； 2）负整数指数幂：=（，p为正整数）。
注意：；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==；在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
3） ()的应用
注：，可能有三种情况：=1()； =1； =1（n为偶数）
4) 单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
5) 多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
模块3：核心考点与典例
考点1、同底数幂的除法运算
例1．（2023下·浙江·七年级专题练习）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查同底数幂的除法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，运算式要注意符号和整体思想的运用．根据同数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】解：A、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确．故选：D．
变式1.（2024上·湖南衡阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，幂的乘方等计算， 先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可．
【详解】解：，故选：B．
变式2.（2024上·河南商丘·八年级统考期末）若，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂除法的计算．
根据同底数幂除法的计算法则进行求解即可．
【详解】解：∵，，∴．故选：B．
变式3.（2024上·河南安阳·八年级统考期末）已知，n的值是（ ）
A． B．2 C．0.5 D．
【答案】B
【分析】此题考查了同底数幂除法法则，先将化为，根据同底数幂除法法则得到，计算可得答案．
【详解】解：∴∴，故选：B．
考点2、同底数幂的除法的逆运算
例1．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期中）已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查整式乘除法，涉及同底数幂的乘法运算及其逆运算、幂的乘方运算及其逆运算、同底数幂的除法运算及其逆运算等，由，代值求解即可得到答案，熟记同底数幂的乘除运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，故答案为：．
变式1. 7．（2024·浙江·八年级竞赛）若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，解题的关键在于熟记同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【详解】 故选：A．
变式2. （2023上·四川南充·八年级统考期末）已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方，关键是掌握同底数幂的除法与幂的乘方法则的逆用．
由同底数幂的除法和幂的乘方法则逆用，即可得到结论．
【详解】解：∵，∴，
，，故答案为：．
变式3. （2023·上海七年级期末）如果，，那么________________．
【答案】
【分析】根据同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用变形，然后利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵，，
∴=====故答案为：．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质的应用，掌握同底数幂除法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键．
考点3、同底数幂的除法的应用
例1．（2023上·四川资阳·八年级四川省安岳中学校考期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了整式的加减计算，同底数幂除法的逆运算，先分别表示出经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为，，，再由题意可得最后三个袋子中的球都是21个，由此得到，即，最后根据进行计算求解即可．
【详解】解：经过取走和取出后，甲、乙、丙三个袋子中的球数分别为，，，
∵一共有个球，且最后三个袋子中的球的数量相同，
∴最后三个袋子中的球都是21个，∴，
∴，∴，故答案为：2．
变式1. （2024上·浙江杭州·七年级统考期末）是的（ ）倍．
A．2 B．4 C．2024 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同底数幂除法的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据题意列出算式进行求解即可．
【详解】解：，∴是的2024倍．故选：C．
考点4、与的相关计算
例1．（2023·浙江七年级期末）计算
【答案】1
【分析】先算幂运算，化简后在算加减运算．
【详解】原式．
【点睛】本题考查0指数幂、负指数幂和幂运算，把握运算规则是解题关键．
变式1.（2023·成都市七年级月考）无意义，则x的取值为 ________．
【答案】
【分析】根据底数不为0的数的0次幂是1，可得底数不为0，可得答案．
【详解】解：由题意得，解得，故答案为：．
【点睛】本题考查了零指数幂，掌握零指数幂的底数不能为0是解决此题的关键．
变式2．（2023·江苏南通市·八年级月考）当a______时，(a-2)0=1．
【答案】a≠2
【分析】根据零指数幂的定义进行求解即可．
【详解】根据零指数幂的定义：任何非零数的零指数幂为1，
得到，解得故答案为．
【点睛】本题考查了零指数幂的性质，重点是熟记零指数幂的定义，即任何非零数的零指数幂为1．
变式3.（2023·陕西延安市·八年级期末）计算：．
【答案】7
【分析】原式利用负整数指数幂法则、零指数幂法则、绝对值的代数意义及乘方的意义计算即可得到结果．
【详解】解：．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式4．（2023·山西八年级期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：0.00000034=，故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10 n，其中1≤a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
考点5、 ()的应用
例1.（2023.成都市锦江区初一期中）已知,则x= 。
【答案】-2；0；1
【详解】情况1: 解得：x=-2； 情况2：解得：x=1；
情况3：解得：x=0；x +2=2（偶数），故符合条件
故答案为：-2；1；0
变式1.（2023.成外初一月考）若，则x的值为 。
【答案】-2； 1
【详解】情况1: 解得：x=-2； 情况2：解得：x=1；
情况3：解得：x=0；x +3=3（奇数），故不符合条件
故答案为：-2； 1
变式2．（2023·浙江杭州市·七年级模拟）已知，则______．
【答案】或
【分析】分三种情况讨论，当或当或，分别解方程，再检验可得答案．
【详解】解： ，当时， 当时，，
经检验： 不合题意舍去，
当时，时， 综上：或
【点睛】本题考查的是乘方的意义，乘方符号的确定，零次幂的含义，掌握以上知识是解题的关键．
考点6、单项式除单项式
例1．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键．根据积的乘方进行计算，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解： 故答案为
变式1. （2024上·海南海口·八年级统考期末）计算: ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，先根据积的乘方进行计算，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．
【详解】解：故答案为：．
变式2.（2024·陕西西安·校考一模）若，则★代表的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用单项式乘以单项式计算即可．
【详解】解：根据题意，得，故选：D．
考点7、多项式除单项式
例1．（2024上·青海西宁·八年级统考期末）计算： ．
【答案】/
【分析】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答．
【详解】解：，故答案为：．
变式1. （2023·河北沧州·八年级联考阶段练习）若______，则横线上的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了多项式除以单项式，多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．
【详解】根据乘除法互逆运算可知，横线上的式子为，选：．
变式2.（2024上·河北邯郸·八年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则：用多项式的每项去除以单项式即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，，答案：．
变式3.（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）已知多项式除以一个多项式A，得商式为，则这个多项式 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．直接用多项式除以单项式即可得到答案．
【详解】解：多项式除以一个多项式A，得商式为，
；；，故答案为：．
考点8、整式除法的应用
例1．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）若三角形的面积为，底边上的高为，则三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：三角形的底边长为，故选C．
变式1. （2024上·陕西延安·八年级统考期末）一个长方形的面积为，其中一边长为，则长方形的另一边长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了整式的除法，解题的关键是的正确计算．
【详解】解：一个长方形的面积为，一边长为，
它的另一边长为：，故答案为：．
变式2. （2023上·吉林长春·八年级校考期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的除法，掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加是解题的关键．
【详解】解：，故选：A．
考点9、整式混合运算
例1．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中.
【答案】，
【分析】应用完全平方公式和平方差公式，将中括号中的式子展开，合并同类项后，在根据多项式除单项式进行化简，将代入，即可求值，本题考查了完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式和平方差公式．
【详解】解：
当时，．
变式1．（2024上·四川眉山·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式以及多项式乘多项式法则进行计算，再将括号内合并同类项，再进行除法计算，最后代入计算即可．
【详解】
将代入，可得原式．
变式2．（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）计算：
(1)；(2)求的值，其中，．
【答案】(1)(2)，
【分析】本题考查了多项式除以单项式，整式的化简求值．(1)根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．(2)根据去括号，合并同类项，进行化简，后代入求值即可．
【详解】（1）解：＝ ＝．
（2）解：
当，时，．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·浙江台州·八年级统考期末）的运算结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的法则解题即可得到答案．
【详解】解：，故选D．
2．（2023上·湖北荆门·八年级统考期末）信息技术的存储设备常用B，，，等作为存储量的单位，其中，，（字节）．对于一部存储量为8的数码相机，它最多能拍摄并保存大小为的数码相片（ ）
A．张 B．张 C．张 D．张
【答案】B
【分析】本题主要考查有理数的乘方．根据乘方的定义，得．再根据同底数幂的乘法法则（m，n是正整数），可得答案．
【详解】解：∵，，，
∴．,
∴最多能拍摄并保存大小为的数码相片张, 故选：B．
3．（2023上·河南周口·八年级校联考期中）若，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了同底数幂的除法法则，根据同底数幂的除法法则进行计算，建立关于m，n的方程求解即可．
【详解】解：，，，故选：B．
4．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）下列四个算式：①；②；③；④．其中计算不正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
【答案】B
【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方法则逐个解题
【详解】解：①，错误，②，正确，
③，错误，④，正确故①③错误，故选：B．
5．（2023·浙江杭州·七年级校考阶段练习）是的（ ）倍．
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查同底数幂的除法，运用同底数幂除法法则进行计算即可得到答案
【详解】解：，即：是的4倍．故选：C．
6．（2023上·吉林四平·八年级校联考期末）有下列式子：①；②；③；④，其中计算正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了整式的乘除，涉及同底数幂除法、积的乘方、整式乘法，根据相关运算法则逐一计算，即可得出答案．
【详解】解：，故此选项错误；，故此选项错误；
，故此选项错误；，正确．故选：C．
7．（2024上·四川泸州·八年级统考期末）已知，，m，n为正整数，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可．
【详解】解：当，时，
．故选：B．
8．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）如果，那么的值等于（ ）
A． B． C．12 D．21
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂除法运算逆运算，根据，将，代入求值，即可解题．
【详解】解：，将，代入上式，有，故答案为：A．
9．（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）三角形的面积是，它的一条高是，这条高对应的底边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了整式的除法运算：根据三角形的面积等于底乘高的一半，故底边长等于面积除以高，列式计算即可作答．
【详解】解：∵三角形的面积是，它的一条高是，
∴这条高对应的底边长故选：A
10．（2023·浙江·七年级校联考期末）小亮在计算时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确的结果与错误的结果的乘积是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别计算出与的结果，然后将它们相乘计算即可．
【详解】解：∵，
∴，故答案为：．故选：C
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024上·广西河池·八年级统考期末）计算的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，掌握单项式除以单项式的法则是解题的关键．
把系数相除得，同底数的幂相除得，再把所得的商相乘即可．
【详解】解： 故答案为：．
12．（2023·江西八年级月考）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012用科学记数法表示应该是______．
【答案】1.2×10﹣6
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
【详解】解：将0.0000012用科学记数法表示应该是1.2×10﹣6．故答案为：1.2×10﹣6．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（2023上·福建福州·八年级统考期末）若，则的值是 ．
【答案】4
【分析】本题考查同底数幂除法．根据同底数幂除法法则计算即可．
【详解】解：，，，解得：，故答案为：4．
14．（2024上·陕西商洛·八年级校考期末）已知，，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了同底数幂的除法的逆运算、幂的逆运算．根据同底数幂的除法的逆运算、幂的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，，∴故答案为：．
15．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）若，则 ．
【答案】16
【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键；
把化简为同底数幂的运算，由得，代入即可求解；
【详解】，
∴，，，，故答案为：16
16．（2023·四川郫都·初一期末）计算：（）2019×（）﹣2020＝_____．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂的定义以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【解析】解：（）2019×（）﹣2020＝．故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的运算及负指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．（2023·辽宁鞍山·八年级统考阶段练习）若A与的积为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据乘除法互为逆运算，只需要计算出的结果即可得到答案．
【详解】解：∵A与的积为
∴，故答案为：．
18．（2023上·山西临汾·八年级校联考期中）第七届山西（运城）国际果品交易博览会于10月23日到30日在运城市举办．本届果博会以“果蔬运城，走向世界”为主题，努力将果博会办成果农的丰收节、果业的嘉年华、果企的狂欢季、果品的竞秀场．小玲家的苹果园呈长方形，果园的面积为平方米，一边长为米，则该苹果园的另一边长为 米．
【答案】/
【分析】本题考查了整式的除法，由长方形的面积求法可知由一边乘以另一边而得，则本题由面积除以边长可求得另一边．
【详解】解：∵长方形面积是，一边长为，
∴它的另一边长是：．故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024上·吉林·八年级统考期末）计算：．
【答案】．
【分析】本题考查了整式的乘除混合运算，根据积的乘方、同底数幂相乘、同底数幂相除法则化简，即可作答．
【详解】解：
20．（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）化简：
【答案】
【分析】本题考查了幂的相关运算，涉及了同底数幂的乘除法、幂的乘方，合并同类项法则，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】原式
21．（2023·浙江·七年级课堂例题）已知的值为64，求的值．
【答案】．
【分析】本题考查同底数幂相乘，同底数幂相除．根据题意先将每项均换成以为底的，再将64写成，最后指数相等即可得到本题答案．
【详解】解：由题意得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，∴．
22．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）仔细阅读下列计算过程：
（________）
（________）
．
①在________上填写恰当的运算根据；
②上述计算是否正确，若错误，请你写出你认为正确的计算．
【答案】①积的乘方、幂的乘方；同底数幂相乘（或单项式乘以单项式的法则）
②不正确 ，见解析．
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，整数除法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
①根据积的乘方、幂的乘方；同底数幂相乘（或单项式乘以单项式的法则）分析填空；
②先算乘方，然后再算除法．
【详解】解：①
（积的乘方、幂的乘方）
（同底数幂相乘）
．
故答案为：积的乘方、幂的乘方；同底数幂相乘（或单项式乘以单项式的法则）；
②不正确，正确的计算如下：
．
23．（2024下·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式和多项式除以单项式，先根据完全平方公式，平方差公式和多项式除以单项式法则进行化简，然后把进行代入即可，熟练熟练运算法则是解题的关键．
【详解】解：，，
，，；
∵，∴原式．
24．（2023·河北唐山·一模）某市计划修建一个长为米，宽为米的矩形市民休闲广场．
(1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）；
(2)如果用一种正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖．
【答案】(1) (2)块
【分析】(1)根据面积公式，单项式乘以单项式法则计算即可．
(2)根据总面积除以单块大理石的面积计算即可．
【详解】（1）根据题意，得（）．
答：广场的面积为．
（2）∵单块大理石的面积是，
∴．
答：需要块大理石地砖．
【点睛】本题考查了整式的除法与乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
25．（2023·北京西城·八年级校考期中）爱思考的小郭同学发现教科书中介绍了多项式除以单项式的方法，并没有介绍多项式除以多项式的方法，通过查阅资料小郭同学发现了多项式除以多项式的一种方法叫“综合除法”，综合除法主要用于一元多项式，除以一次多项式的演算，以便获得商式和余式，具体方法如下：
①写出分离系数竖式：
②进行相关计算：
将落下得到，计算并置于下方，计算得到；计算并置于下方，计算得到……计算并置于下方，计算得到．
③写出计算结果：除以得到商式
和余式．
解决问题：利用综合除法求除以的商式和余式．
由此可知，除以的商式是______，余式是______．
【答案】 ； 2．
【分析】根据题中“综合除法”的运算方法进行计算即可．
【详解】解：由题意得：
∴商式为，余式为2，
故答案为：①，②2．
【点睛】本题考查了整式的除法运算，正确理解“综合除法”的运算方法是解题的关键．
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专题3.6 同底数幂的除法+专题3.7 整式的除法
模块1：学习目标
1.掌握正整数幂的除法运算性质，能用文字和符号语言正确地表述这些性质，并能熟练运算。
2.运用同底数幂的除法法则解决一下实际问题。
3.掌握单项式除以单项式，多项式除以单项式以及多项式除多项式的法则，并运用它们进行运算。
4.掌握整式的加、诚、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。
模块2：知识梳理
1）同底数幂的除法运算
同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。
2）与的应用
1）零指数幂：=1()； 2）负整数指数幂：=（，p为正整数）。
注意：；当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数，即“底倒指反”，即==；在混合运算中,始终要注意运算的顺序。
3） ()的应用
注：，可能有三种情况：=1()； =1； =1（n为偶数）
4) 单项式除单项式
通常分为三个步骤：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
5) 多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。
注：计算时，多项式各项要包含它前面的符号，结果所得商的项数与原多项式的项数相同；当被除式的某一项与除式相同时，商为1，注意不能漏除某一项。
模块3：核心考点与典例
考点1、同底数幂的除法运算
例1．（2023下·浙江·七年级专题练习）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024上·湖南衡阳·八年级统考期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024上·河南商丘·八年级统考期末）若，，则（ ）
A．2 B．3 C．6 D．12
变式3.（2024上·河南安阳·八年级统考期末）已知，n的值是（ ）
A． B．2 C．0.5 D．
考点2、同底数幂的除法的逆运算
例1．（2023上·辽宁盘锦·八年级校考期中）已知，，则的值为 ．
变式1. （2024·浙江·八年级竞赛）若，则（ ）．
A． B． C． D．
变式2. （2023上·四川南充·八年级统考期末）已知，，则的值为 ．
变式3. （2023·上海七年级期末）如果，，那么________________．
考点3、同底数幂的除法的应用
例1．（2023上·四川资阳·八年级四川省安岳中学校考期中）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出个球放入丙袋，最后从丙袋中取出个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则的值等于 ．
变式1. （2024上·浙江杭州·七年级统考期末）是的（ ）倍．
A．2 B．4 C．2024 D．
考点4、与的相关计算
例1．（2023·浙江七年级期末）计算
变式1.（2023·成都市七年级月考）无意义，则x的取值为 ________．
变式2．（2023·江苏南通市·八年级月考）当a______时，(a-2)0=1．
变式3.（2023·陕西延安市·八年级期末）计算：．
变式4．（2023·山西八年级期末）英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔物理学奖．石墨烯是目前世上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将数0.00000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
考点5、 ()的应用
例1.（2023.成都市锦江区初一期中）已知,则x= 。
变式1.（2023.成外初一月考）若，则x的值为 。
变式2．（2023·浙江杭州市·七年级模拟）已知，则______．
考点6、单项式除单项式
例1．（2024上·河南南阳·八年级统考期末）计算： ．
变式1. （2024上·海南海口·八年级统考期末）计算: ．
变式2.（2024·陕西西安·校考一模）若，则★代表的代数式是（ ）
A． B． C． D．
考点7、多项式除单项式
例1．（2024上·青海西宁·八年级统考期末）计算： ．
变式1. （2023·河北沧州·八年级联考阶段练习）若______，则横线上的式子为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（2024上·河北邯郸·八年级统考期末）计算： ．
变式3.（2023下·四川成都·七年级校考阶段练习）已知多项式除以一个多项式A，得商式为，则这个多项式 ．
考点8、整式除法的应用
例1．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）若三角形的面积为，底边上的高为，则三角形的底边长为（ ）
A． B． C． D．
变式1. （2024上·陕西延安·八年级统考期末）一个长方形的面积为，其中一边长为，则长方形的另一边长为 ．
变式2. （2023上·吉林长春·八年级校考期末）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（ ）
A． B． C． D．
考点9、整式混合运算
例1．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中.
变式1．（2024上·四川眉山·八年级期中）先化简，再求值：，其中．
变式2．（2023上·湖北襄阳·八年级统考期末）计算：
(1)；(2)求的值，其中，．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：80分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024上·浙江台州·八年级统考期末）的运算结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖北荆门·八年级统考期末）信息技术的存储设备常用B，，，等作为存储量的单位，其中，，（字节）．对于一部存储量为8的数码相机，它最多能拍摄并保存大小为的数码相片（ ）
A．张 B．张 C．张 D．张
3．（2023上·河南周口·八年级校联考期中）若，则有（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）下列四个算式：①；②；③；④．其中计算不正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
5．（2023·浙江杭州·七年级校考阶段练习）是的（ ）倍．
A．2 B．3 C．4 D．8
6．（2023上·吉林四平·八年级校联考期末）有下列式子：①；②；③；④，其中计算正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
7．（2024上·四川泸州·八年级统考期末）已知，，m，n为正整数，则＝（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·湖南永州·八年级统考期末）如果，那么的值等于（ ）
A． B． C．12 D．21
9．（2024上·湖北襄阳·八年级统考期末）三角形的面积是，它的一条高是，这条高对应的底边长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·浙江·七年级校联考期末）小亮在计算时，错把括号内的减号写成了加号，那么正确的结果与错误的结果的乘积是( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2024上·广西河池·八年级统考期末）计算的结果是 ．
12．（2023·江西八年级月考）正常情况下，一个成年人的一根头发大约是0.0000012千克，将0.0000012用科学记数法表示应该是______．
13．（2023上·福建福州·八年级统考期末）若，则的值是 ．
14．（2024上·陕西商洛·八年级校考期末）已知，，则的值是 ．
15．（2024上·四川乐山·八年级统考期末）若，则 ．
16．（2023·四川郫都·初一期末）计算：（）2019×（）﹣2020＝_____．
17．（2023·辽宁鞍山·八年级统考阶段练习）若A与的积为，则 ．
18．（2023上·山西临汾·八年级校联考期中）第七届山西（运城）国际果品交易博览会于10月23日到30日在运城市举办．本届果博会以“果蔬运城，走向世界”为主题，努力将果博会办成果农的丰收节、果业的嘉年华、果企的狂欢季、果品的竞秀场．小玲家的苹果园呈长方形，果园的面积为平方米，一边长为米，则该苹果园的另一边长为 米．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2024上·吉林·八年级统考期末）计算：．
20．（2024上·湖北武汉·八年级统考期末）化简：
21．（2023·浙江·七年级课堂例题）已知的值为64，求的值．
22．（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）仔细阅读下列计算过程：
（________）
（________）
．
①在________上填写恰当的运算根据；
②上述计算是否正确，若错误，请你写出你认为正确的计算．
23．（2024下·浙江·七年级专题练习）先化简，再求值：，其中．
24．（2023·河北唐山·一模）某市计划修建一个长为米，宽为米的矩形市民休闲广场．
(1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）；
(2)如果用一种正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖．
25．（2023·北京西城·八年级校考期中）爱思考的小郭同学发现教科书中介绍了多项式除以单项式的方法，并没有介绍多项式除以多项式的方法，通过查阅资料小郭同学发现了多项式除以多项式的一种方法叫“综合除法”，综合除法主要用于一元多项式，除以一次多项式的演算，以便获得商式和余式，具体方法如下：
①写出分离系数竖式：
②进行相关计算：
将落下得到，计算并置于下方，计算得到；计算并置于下方，计算得到……计算并置于下方，计算得到．
③写出计算结果：除以得到商式
和余式．
解决问题：利用综合除法求除以的商式和余式．
由此可知，除以的商式是______，余式是______．
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