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专题3-8 整式的乘除 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江七年级期中）若a≠0，化简下列各式，正确的个数有（ ）
（1）a0 a a5＝a5；（2）（a2）3＝a6；（3）（﹣2a4）3＝﹣6a12；（4）a÷a﹣2＝a3；（5）a6＋a6＝2a12；（6）2﹣2÷25×28＝32；（7）a2 （﹣a）7 a11＝﹣a20
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】分别根据零整数指数幂的定义，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及负整数指数幂的定义逐一判断即可．
【解析】解：a0 a a5＝a6，故（1）错误；（a2）3＝a6，故（2）正确；（﹣2a4）3＝﹣8a12，故（3）错误；
a÷a﹣2＝a3，故（4）正确；a6＋a6＝2a6，故（5）错误；2﹣2÷25×28＝2，故（6）错误；
a2 （﹣a）7 a11＝﹣a20，故（7）正确，所以正确的个数为3个．故选：C．
【点睛】本题考查零整数指数幂的定义，同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及负整数指数幂等知识，熟练掌握法则是关键．
2．（2023·河南·八年级期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵左边，．
右边□，∴□内上应填写．故选：A．
【点睛】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．
3．（2023·福建·晋江八年级期末）如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
【答案】B
【分析】根据单项式乘以多项式法则计算，即可求解．
【详解】解：
∵结果中不含x的五次项，∴，解得：．故选：B
【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式法则，理解结果中不含x的五次项，即该项的系数等于0是解题的关键．
4．（2023·江苏无锡市·八年级期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（ ）
A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20
【答案】B
【分析】利用题中的新定义计算即可得到m的值．
【详解】根据题意得，
∵
∴n=5,即= x2＋x 6＋x2＋x 12＋x2＋x 20== 则m＝ 38．故选：B．
【点睛】此题考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2023·江苏南京市·七年级期末）根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）①；②；③；④
A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④
【答案】A
【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算．
【详解】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6，
则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确；②如图所示：
阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确；
④如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确；③由④知本项错误．故选：A．
【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，理解好图形面积的多种表达形式是解题关键．
6．（2023·江西八年级阶段练习）请你估计一下，的值最接近于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式对所求式子进行化简，从而进行求解．
【详解】解：
．故选：B．
【点睛】此题主要考查平方差公式及其应用，解题的关键是利用平方差公式进行展开．
7．（2023·湖北武汉·八年级期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD比AB大3时，S2﹣S1的值为（ ）
A．3a B．3b C．3a﹣b D．3b﹣a
【答案】B
【分析】利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．
【详解】解：∵，
，
∴
∵AD比AB大3，∴，∴．故选：B．
【点睛】本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积以及整式的运算法则．
8．（2023·湖南双峰·七年级期中）无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．非负数 B． C．正数 D．负数
【答案】C
【分析】把含a的放一块，配成完全平方公式，把含b的放一块，配成完全平方公式，根据平方的非负性即可得出答案．
【详解】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，即原式的值总是正数．故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，对代数式进行正确变形是解题的关键．
9．（2023·郑州八年级月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（ ）
A．136 B．86 C．36 D．50
【答案】B
【分析】根据完全平方公式进行变形，可得出答案．
【详解】解：设a=m-53，b=m-47，则ab=25，a-b=-6，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=（-6）2+50=86，∴（m-53）2+（m-47）2=86，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．
10．（2023·重庆月考）已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48 B．36 C．96 D．无法计算
【答案】A
【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．
【解析】解：，，
，，
，，
，
，
，故选：A．
【点睛】本题考查单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的综合运用，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·湖南常德·七年级期末）若方程4x2+（m+1）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为__．
【答案】-5或3
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解：∵4x2+（m+1）x+1可以写成一个完全平方式，∴4x2+（m+1）x+1＝（2x±1）2＝4x2±4x+1，
∴m+1＝±4，解得：m＝-5或3，故答案为：-5或3．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键．
12．（2023·江苏徐州·七年级期中）观察以下等式：
，，……根据你所发现规律，计算：__________．
【答案】
【分析】根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，利用规律来解答．
【详解】解：根据，，，…的规律，得出：，，
．故答案是：．
【点睛】本题主要考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题．
13．（2023·锦江区·七年级期中）已知，则____________．
【答案】47
【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．
【解析】∵，∴（x＋）2＝49，即＋2＝49，则47，故答案为：47．
【点睛】此题考查完全平方公式，正确运用公式是解题关键．
14．（2023·湖南岳阳·七年级期末）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数．例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．观察此图，在横线上写出展开式中的未知项，（__________）．
【答案】-4ab3
【分析】由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n-1的相邻两个系数的和，由此可得（a±b）4的各项系数的绝对值依次为1、4、6、4、1．
【详解】解：（a-b）4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4．故答案为：-4ab3．
【点睛】本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
15．（2023·湖北·八年级期末）已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．
【答案】2 大 4
【分析】先把配成完全平方式与一个常数和的形式，然后根据任何数的平方都是非负数即可求解．
【详解】解：，∵，∴，∴
∴当时，式子有最大值，这个值为4；故答案为2，大，4；
【点睛】本题考查了利用完全平方公式求代数式的最值，解题的关键是掌握利用平方法对代数式进行变形，并掌握的性质求最值，
16．（2023·浙江东阳·八年级期末）将16y2+1再加上一个整式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为______．
【答案】8y，-8y，64y4
【分析】因为a2±2ab+b2=（a±b）2，由16y2+1=（4y）2+1，①当a2=（4y）2，b2=1，则a=4y，b=1，即可得出±2ab的值，即可得出答案；②当2ab=16y2，b2=1，即可得出a的值，即可得出a2的值即可得出答案．
【详解】解：∵16y2+1=（4y）2+1，∴（4y）2+8y+1=（4y+1）2，
∴（4y）2-8y+1=（4y-1）2，∴（8y2）2+16y2+1=64y4+16y2+1=（8y2+1）2，故答案为：8y，-8y，64y4．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练应用完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
17．（2023·湖南郴州·七年级期末）已知，则___________．
【答案】1
【分析】原式可化为，再应用积的乘方运算法则，可化为，由已知，应用平方差公式可化为，代入计算即可得出答案．
【详解】解：，，，，
，原式．故答案为：1．
【点睛】本题考查平方差公式及积的乘方，解题关键是熟练应用平方差公式和积的乘方法则进行计算．
18．（2023·河南郑州·七年级期中）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为
【答案】8
【分析】设出长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案．
【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，由图1可得，（a+b）2-4ab=35，即a2+b2=2ab+35①，
由图2可得，（2a+b）（a+2b）-5ab=102，即a2+b2=51②，
由①②得，2ab+35=51，所以ab=8，即长方形的面积为8，故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用代数式表示各个图形的面积，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·陕西咸阳·七年级期末）运用乘法公式计算：．
【答案】-4
【分析】先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查平方差公式，能正确运用平方差公式进行计算是解题关键，注意： ．
20．（2023·山东茌平·七年级期末）先化简后求值：
（1），其中 .
（2），其中，．
【答案】（1）； -7．（2），12
【分析】（1）按照完全平方公式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入x取值求出代数式的值．（2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再代入求值即可求解．
【详解】（1）原式 当时，原式=-7
（2）原式==
==，当，时，原式==12．
【点睛】本题考查整式化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合运算法则是解题的关键．
21．（2023·四川八年级开学考试）（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系；（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值；（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【答案】（1）代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系，理由见详解；（2）1；（3）k=20，另一个因式为：．
【分析】（1）先算多项式乘多项式以及单项式乘多项式，再合并同类项，即可得到结论；
（2）先算多项式乘多项式，从而得到2a+b=0，-2b=-4，进而即可求解；
（3）由题意得=，进而即可求解．
【详解】解：（1）＝s2＋2st＋s 2st 4t2 2t＋4t2＋2t＝s2＋s．
故代数式的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
（2）∵（）（）=2ax3-ax2+2ax-2bx2+bx-2b，
又∵多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，
∴2a+b=0，-2b=-4，∴a=-1，b=2，∴=；
（3）∵二次三项式有一个因式是，
∴==，∴2m-5=3，5m=k，∴m=4，k=20，另一个因式为：．
【点睛】本题考查多项式乘多项式、单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．
22．（2023·广东五华·）从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．
A． B． C．
（2）若，，求的值；
（3）计算：．
【答案】（1）B；（2）；（3）
【分析】（1）观察图1与图2，根据两图形阴影部分面积相等，验证平方差公式即可；
（2）已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
（3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【详解】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：，
上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；
（2）∵，∵∴
（3）
【点睛】此题考查了平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
23．（2023·龙泉驿·七年级期中）根据下列材料，解答问题．
例：求1＋3＋32＋33＋…＋3100的值．
解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100
则3S＝32＋33＋…＋3100＋3101
因此，3S﹣S＝3101﹣1，
∴S＝，即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝．
（1）仿照例题，求1＋5＋52＋53＋……＋52019的值．
（2）求证：1＋3＋32＋33……＋363＝（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）．
（3）求1＋7＋72＋73＋……＋763的个位数字．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）0
【分析】（1）模仿例题计算即可；（2）分别计算出左边和右边，即可得证；（3）先探索出个位数字的循环规律，再把所有数的个位数字相加即可得到答案．
【详解】解：（1）令S=1+5+52+53+……+52019，
则5S=5+52+53+……+52019+52020，∴5S-S=52020-1，∴S=；
（2）证明：设S=1+3+32+33……+363，
则3S=3+32+33……+363+364，∴3S-S=364-1，∴S=，
设T=（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）
=（32-1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）=…=（364-1），∴S=T．
（3）∵1=1，7=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，..．
∴每四个数字的末尾按1，7，9，3循环，
∵（63+1）÷4=16，∴（1+7+9+3）×16=320，∴1+7+72+73+……+763的个位数字是0．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，探索规律，探索出个位数字的循环规律是解题的关键．
24．（2023·江苏·七年级期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，
∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此，代数式x2+4x+2有最小值﹣2；
②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，
∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4；阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 ；
（2）求代数式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值；
（3）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
【答案】（1）-3；（2）3；（3）当x=25时，花圃的最大面积为1250平方米
【分析】（1）将代数式x2-4x+1配方可得最值；（2）将代数式-a2-b2-6a+4b-10配方可得最值；
（3）利用长方形的面积=长×宽，表示出花圃的面积再利用配方法即可解决问题．
【详解】解：（1）x2-4x+1=（x2-4x+4）-3=（x-2）2-3，
∵（x-2）2≥0，∴（x-2）2-3≥-3，原式有最小值是-3；故答案为：-3；
（2）-a2-b2-6a+4b-10=-（a2+6a+9）-（b2-4b+4）+3=-（a+3）2-（b-2）2+3，
∵（a+3）2≥0，（b-2）2≥0，∴-（a+3）2≤0，-（b-2）2≤0，∴-（a+3）2-（b-2）2+3的最大值为3；
（3）花圃的面积：x（100-2x）=（-2x2+100x）平方米；-2x2+100x=-2（x-25）2+1250，
∵当x=25时，100-2x=50＜100，∴当x=25时，花圃的最大面积为1250平方米．
【点睛】本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最
值问题，属于中考常考题型．
25．（2023·江西景德镇·七年级期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是______；
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：______； 方法2：______；
(3)观察图②，请你写出，，ab之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x＋y＝6，，则x－y＝______；
(5)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
根据图③，写出一个代数恒等式：______；
(6)已知a＋b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．
【答案】(1)(2)；(3)(4)(5)(6)
【分析】（1）根据图形中，阴影正方形的边长为小长方形的长与宽的差，即可求得答案；
（2）依据图形的特点，分为两种方法，一种依据边长运用面积公式直接求面积，另一种用大正方形的面积减去四个小矩形的面积；
（3）根据两种面积的求法的结果相等，即可得到答案；
（4）根据第三问中已知的等式，将数值分别代入，即可求得答案.
（5）方法1：根据正方体的体积公式，正方体的边长的立方就是正方体的体积；
方法2：2个正方体和6个长方体的体积和就是大长方体的体积；
（6）根据（5）中的公式，变形进行求解即可.
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是；故答案为：
(2)方法一：已知边长直接求面积为（a-b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2-4ab；
故答案为；
(3)由阴影部分面积相等可得
(4)由（a+b）2-4ab=（a-b）2，可得（x-y）2+4xy=（x+y）2，
,, 故答案为25
(5)方法一：正方体棱长为a+b，∴体积为（a+b）3，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a3+b3+3a2b+3ab2，
(6)a+b=3，ab=1，
【点睛】考查完全平方公式以及立方公式的几何背景，从整体和局部两种情况分析并写出面积以及体积的表达式是解题的关键.
26．（2023·长沙市八年级月考）阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．
这个三角形给出了（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等．从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．
（1）根据材料规律，请直接写出的展开式；（2）根据材料规律，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值；（3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值．
【答案】（1）；
（2），=1或9； （3）或
【分析】（1）依据规律进行计算即可；（2）分子分母同时除以可化为，得出，从而求得，即可求得，代入即可求解；
（3）将式子通过完全平方式变形为，设，，，通过与的关系联立阅读材料可求得的值．
【详解】解：（1）；
（2）
∵∴，即，可得，
∵，可得
当时，=
当时，=
（3）∵整理得到
∵设，，，
则 ，解得
∴
∴
∴当时，；
当时，；∴或
【点睛】本题考查了乘法公式的运用；解题的关键是根据题目式子的形式进行恰当变形，从而求解，注意平方根的个数．
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专题3-8 整式的乘除 章末检测卷
全卷共26题 测试时间：90分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2023·浙江七年级期中）若a≠0，化简下列各式，正确的个数有（ ）
（1）a0 a a5＝a5；（2）（a2）3＝a6；（3）（﹣2a4）3＝﹣6a12；（4）a÷a﹣2＝a3；（5）a6＋a6＝2a12；（6）2﹣2÷25×28＝32；（7）a2 （﹣a）7 a11＝﹣a20
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·河南·八年级期中）今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·福建·晋江八年级期末）如果的结果中不含x的五次项，那么m的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．
4．（2023·江苏无锡市·八年级期中）在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如记=1+2+3+…+（n﹣1）+n，=（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知，则m的值是（ ）
A．﹣62 B．﹣38 C．﹣40 D．﹣20
5．（2023·江苏南京市·七年级期末）根据需要将一块边长为的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后，制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（ ）①；②；③；④
A．①②④ B．①②③④ C．① D．②④
6．（2023·江西八年级阶段练习）请你估计一下，的值最接近于（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2023·湖北武汉·八年级期末）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD比AB大3时，S2﹣S1的值为（ ）
A．3a B．3b C．3a﹣b D．3b﹣a
8．（2023·湖南双峰·七年级期中）无论，为何值，代数式的值总是（ ）
A．非负数 B． C．正数 D．负数
9．（2023·郑州八年级月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，则（m﹣53）2+（m﹣47）2的值为（ ）
A．136 B．86 C．36 D．50
10．（2023·重庆月考）已知实数m，n，p，q满足，，则（ ）
A．48 B．36 C．96 D．无法计算
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2023·湖南常德·七年级期末）若方程4x2+（m+1）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则m的值为__．
12．（2023·江苏徐州·七年级期中）观察以下等式：
，，……根据你所发现规律，计算：__________．
13．（2023·锦江区·七年级期中）已知，则____________．
14．（2023·湖南岳阳·七年级期末）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数．例如，展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．观察此图，在横线上写出展开式中的未知项，（__________）．
15．（2023·湖北·八年级期末）已知关于x的式子－x2＋4x，当x＝______时，式子有最_____值，这个值是______．
16．（2023·浙江东阳·八年级期末）将16y2+1再加上一个整式，使它成为一个完全平方式，则加上的整式为______．
17．（2023·湖南郴州·七年级期末）已知，则___________．
18．（2023·河南郑州·七年级期中）有若干个大小形状完全相同的小长方形现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为35；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为102（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2023·陕西咸阳·七年级期末）运用乘法公式计算：．
20．（2023·山东茌平·七年级期末）先化简后求值：
（1），其中 .
（2），其中，．
21．（2023·四川八年级开学考试）（1）试说明代数式的值与、的值取值有无关系；（2）已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，试求的值；（3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
22．（2023·广东五华·）从边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）．
A． B． C．
（2）若，，求的值；
（3）计算：．
23．（2023·龙泉驿·七年级期中）根据下列材料，解答问题．
例：求1＋3＋32＋33＋…＋3100的值．
解：令S＝1＋3＋32＋33＋…＋3100
则3S＝32＋33＋…＋3100＋3101
因此，3S﹣S＝3101﹣1，
∴S＝，即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝．
（1）仿照例题，求1＋5＋52＋53＋……＋52019的值．
（2）求证：1＋3＋32＋33……＋363＝（3＋1）（32＋1）（34＋1）（38＋1）（316＋1）（332＋1）．
（3）求1＋7＋72＋73＋……＋763的个位数字．
24．（2023·江苏·七年级期末）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，观察下列式子：
①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，
∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此，代数式x2+4x+2有最小值﹣2；
②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，
∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代数式﹣x2+2x+3有最大值4；阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式x2﹣4x+1的最小值为 ；
（2）求代数式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值；
（3）如图，在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃，为了设计一个尽可能大的花圃，设长方形垂直于围墙的一边长度为x米，则花圃的最大面积是多少？
25．（2023·江西景德镇·七年级期中）【知识生成】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图①是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是______；
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：______； 方法2：______；
(3)观察图②，请你写出，，ab之间的等量关系______；
(4)根据（3）中的等量关系解决如下问题：若x＋y＝6，，则x－y＝______；
(5)【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
根据图③，写出一个代数恒等式：______；
(6)已知a＋b＝3，ab＝1，利用上面的规律求的值．
26．（2023·长沙市八年级月考）阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．
这个三角形给出了（n 为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应展开式中各项的系数等．从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．
（1）根据材料规律，请直接写出的展开式；（2）根据材料规律，如果将看成，直接写出的展开式（结果化简）；若，求的值；（3）已知实数a、b、c，满足，且，求的值．
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