第1章平行线单元检测A卷(基础卷）-2023-2024学年浙教版七年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第1章 平行线 单元检测A卷(基础卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）
A．B． C． D．
3．如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为（　　）
A．64° B．66° C．84° D．86°
4．如图所示，下列结论成立的是（　　）
A．若∠1＝∠4，则BC∥AD B．若∠5＝∠C，则BC∥AD
C．若∠2＝∠3，则BC∥AD D．若AB∥CD，则∠C+∠ADC＝180°
5．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
6．如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝136°，则拐角∠BCD的度数是（　　）
A．44° B．54° C．106° D．136°
7．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠3＝55°，则∠2的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
8．下列说法正确的是（　　）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等
B．如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行
D．如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等
9．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　　）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
10．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°
C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝42°13′，则∠2的度数为 　 　．
12．如图，将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝3，则BC的长度是 　 　．
13．如图，
（1）如果AB∥CD，那么∠1+　 　＝180°，根据是　 　；
（2）如果∠2＝　 　，那么EF∥DG，根据是　 　；
（3）如果EF∥DG，那么∠3＝　 　，根据是　 　．
14．如图，将长方形纸条折叠，若∠1＝58°，则∠2＝　 　°．
15．已知一个角的两边与另一个角的两边互相平行，且一个角比另一个角2倍小30°，则这两个角的度数分别是 　 　．
16．将一副直角三角板ABC，ADE按如图1所示位置摆放，其中∠ACB＝∠AED＝90°，∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．若将三角板ADE绕点A按每秒3°的速度顺时针旋转180°，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段DE与三角板ABC的一条边平行时，t＝　 　．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm．
（1）求△ABC沿AB方向平移的距离；
（2）求四边形AEFC的周长．
18．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
19．根据解答过程填空（理由或数学式）．
已知：如图，∠D+∠3＝180°，AE平分∠BAD交CD于点F，∠4＝∠E．
求证：∠B＝∠DCE．
证明：∵∠D+∠3＝180°（已知），
∴AD∥BC（ 　 　）．
∴∠1＝∠　 　（ 　 　）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2（ 　 　）．
∴∠2＝∠　 　（ 　 　）．
∵∠4＝∠E（已知），
∴∠2＝∠4（ 　 　）．
∴AB∥CD（ 　 　）．
∴∠B＝∠DCE（ 　 　）．
20．如图，在△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC上，过点D的直线与线段EF相交于点M，已知∠1+∠2＝180°．
（1）说明：AC∥DM；
（2）若DE∥BC，∠1＝115°，∠C＝50°，求∠3的度数．
21．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝77°，∠DCE＝131°，求∠E的度数．
22．如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P＝90°，设∠BAP＝α．
（1）用α表示∠ACP；
（2）求证：AB∥CD；
（3）若AP∥CF，求证：FC平分∠DCE．
23．如图，已知AB∥CD，请回答下列问题：
（1）直接写出图形①中∠APC、∠PAB、∠PCD之间的关系是 　 　；
（2）直接写出图形②中∠APC、∠PAB、∠PCD之间的关系是 　 　；
（3）分别探究出图形③、图形④中，∠APC、∠PAB、∠PCD之间的关系，并请你从图形③或图形④中任选一个说明你所探究的结论的正确性．
24．将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 　 　（直接写出答案即可）．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．甲骨文是我国古代的一种文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据图形平移与翻折变换的性质解答即可．
【解析】解：由图可知，ABC利用图形的翻折变换得到，D利用图形的平移得到．
故选：D．
【点评】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
2．下列图形中，∠1和∠2不是同位角的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
【解析】解：选项A、B、D中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角；
选项C中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角．
故选：C．
【点评】本题考查了同位角的应用，注意：两条直线被第三条直线所截，如果有两个角在第三条直线的同旁，并且在两条直线的同侧，那么这两个角叫同位角．三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．
3．如图，直线l1和l2被l3所截，若l1∥l2，∠1+∠2＝232°，则∠3的度数为（　　）
A．64° B．66° C．84° D．86°
【点拨】根据对顶角相等结合已知可求出∠1的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠4的度数，再根据对顶角相等即可得出∠3的度数．
【解析】解：如图，
∵∠1+∠2＝232°，
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝116°，
∵l1∥l2，
∴∠1+∠4＝180°，
∴∠4＝64°，
∵∠3＝∠4，
∴∠3＝64°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，熟练掌握平行线的性质及对顶角的性质是解题的关键．
4．如图所示，下列结论成立的是（　　）
A．若∠1＝∠4，则BC∥AD B．若∠5＝∠C，则BC∥AD
C．若∠2＝∠3，则BC∥AD D．若AB∥CD，则∠C+∠ADC＝180°
【点拨】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故本选项错误；
B、∵∠5＝∠C，∴AB∥CD，故本选项错误；
C、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，∴∠C+∠ABC＝180°，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
5．如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法（图中三角形ABC是三角板），其依据是（　　）
A．同旁内角互补，两直线平行 B．两直线平行，同旁内角互补
C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【点拨】根据∠1和∠2是三角板中的同一个角，得∠1＝∠2，根据平行线的判定，即可．
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行），
∴C正确．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．
6．如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝136°，则拐角∠BCD的度数是（　　）
A．44° B．54° C．106° D．136°
【点拨】根据平行线的性质即可解答．
【解析】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝136°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
7．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠3＝55°，则∠2的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【点拨】由于平行，∠1+∠PFO＝180°，已知∠1＝155°，可得∠PFO的度数，又因∠3＝∠PFO+∠POF，可得∠POF的度数，对顶角相等，可得∠2的度数．
【解析】解：由于平行，∠1+∠PFO＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠PFO＝25°，
∵∠3＝∠PFO+∠POF，∠3＝55°，
∴∠POF＝30°，
∴∠2＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，两直线平行同旁内角互补是本题的关键．
8．下列说法正确的是（　　）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角必相等
B．如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行
D．如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等
【点拨】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解析】解：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角必相等，
故A错误，不符合题意；
如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直，
故B正确，符合题意；
如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行，
故C错误，不符合题意；
如果两角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，
故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
9．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝50°，当∠MAC为（　　）度时，AM∥BE．
A．15 B．65 C．70 D．115
【点拨】根据已知易得：AB∥CD，然后利用平行线的性质可得∠BCD＝∠ABC＝60°，再利用三角形内角和定理可得∠ACB＝70°，最后根据内错角相等，两直线平行可得当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，即可解答．
【解析】解：∵AB∥l，CD∥l，
∴AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝60°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝70°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝70°时，AM∥BE，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
10．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　）
A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90°
C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90°
【点拨】过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．
【解析】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，
则∠CDE＝∠E+∠CNE，
即∠CNE＝y﹣z
∵CM∥AB，AB∥EF，
∴CM∥AB∥EF，
∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，
∵∠BCD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∴x+y﹣z＝90°．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝42°13′，则∠2的度数为 　137°47′　．
【点拨】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角相等，得出角相等，再利用对顶角相等，等量代换得出即可．
【解析】解：∵a∥b，
∴∠1+∠3＝180°，
∵∠2＝∠3，
∴∠2+∠1＝180°，
∵∠1＝42°13′，
∴∠2＝180°﹣42°13′＝137°47′．
故答案为：137°47′．
【点评】本题考查了对顶角性质，平行线的性质，度分的换算，解题关键是利用平行线性质解决问题．
12．如图，将△ABC向右平移5个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，若EC＝3，则BC的长度是 　8　．
【点拨】根据平移的性质可得BC＝EF，CF＝5，然后列式求解即可．
【解析】解：∵△DEF是由△ABC向右平移5个单位长度得到，
∴BC＝EF，CF＝5，
∴BC＝EF＝EC+CF＝3+5＝8．
故选：8．
【点评】本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到BC＝EF是解题的关键．
13．如图，
（1）如果AB∥CD，那么∠1+　∠3　＝180°，根据是　两直线平行，同旁内角互补　；
（2）如果∠2＝　∠D　，那么EF∥DG，根据是　同位角相等，两直线平行　；
（3）如果EF∥DG，那么∠3＝　∠D　，根据是　两直线平行，内错角相等　．
【点拨】根据平行线的判定定理与平行线的性质进行填空．
【解析】解：（1）如果AB∥CD，那么∠1+3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）；
（2）如果∠2＝∠D，那么EF∥DG（同位角相等，两直线平行）；
（3）如果EF∥DG，那么∠3＝∠D（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：（1）∠3；两直线平行，同旁内角互补；
（2）∠D；同位角相等，两直线平行；
（3）∠D；两直线平行，内错角相等．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
14．如图，将长方形纸条折叠，若∠1＝58°，则∠2＝　64　°．
【点拨】根据平行线的性质、折叠的性质解答即可．
【解析】解：根据平行线的性质、折叠的性质可得：
∠1+∠2＝180°﹣∠1，
∵∠1＝58°，
∴58°+∠2＝180°﹣58°，
∠2＝64°．
故答案为：64．
【点评】本题考查了角的计算、平行线的性质、折叠的性质，熟练掌握平行线的性质、折叠的性质是解题的关键．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
15．已知一个角的两边与另一个角的两边互相平行，且一个角比另一个角2倍小30°，则这两个角的度数分别是 　30°，30°或70°，110°　．
【点拨】本题分两种情况考虑：两个角相等或两个角互补，即可解答．
【解析】解：如图1，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是：∠1＝∠2，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠BGE，
∵BC∥DE，
∴∠2＝∠BGE，
∴∠1＝∠2．
设∠1＝x°，
列方程得x＝2x﹣30，
解得：x＝30，
∴∠1＝∠2＝30°．
如图2，AB∥EF，BC∥DE．∠1与∠2的关系是：∠1+∠2＝180°．
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠BGE，
∵BC∥DE，
∴∠2+∠BGE＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
设∠1＝y°，
列方程得y+2y﹣30＝180，
解得：y＝70，
∴∠1＝70°，∠2＝110°．
故答案为：30°，30°或70°，110°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，应用的知识点为：两直线平行内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
16．将一副直角三角板ABC，ADE按如图1所示位置摆放，其中∠ACB＝∠AED＝90°，∠ADE＝∠DAE＝45°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．若将三角板ADE绕点A按每秒3°的速度顺时针旋转180°，如图2，在此过程中，设旋转时间为t秒，当线段DE与三角板ABC的一条边平行时，t＝　10秒或30秒或40秒　．
【点拨】由线段DE与三角板ABC的一条边平行可知有三种情况：（1）当DE∥BC时，点E落在线段AC上，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（2）当DE∥AC时，则∠BAE＝90°，由此可求出旋转角，进而可求出t的值；（3）当DE∥AB，则∠CAE＝90°，由此可求出旋转角，进而可求出t的值．
【解析】解：设旋转角为α，则旋转的时间t＝α÷3（秒），
∵在顺时针旋转180°的过程中，线段DE与三角板ABC的一条边平行，
∴有以下三种情况：
（1）当DE∥BC时，
∵∠ACB＝∠AED＝90°
∴点E落在线段AC上时，
∴旋转角α＝∠BAC＝30°，
∴t＝α÷3＝30÷3＝10（秒）；
（2）当DE∥AB时，则∠BAE+∠AED＝180°，
∵∠AED＝90°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AED＝90°，
∴旋转角α＝∠BAE＝90°，
∴t＝α÷3＝90÷3＝30（秒）；
（3）当DE∥AC时，则∠CAE+∠AED＝180°，
∵∠AED＝90°，
∴∠CAE＝180°﹣∠AED＝90°
∴旋转角α＝∠BAC+∠CAE＝120°，
∴t＝α÷3＝120÷3＝40（秒）；
综上所述：t＝10秒或30秒或40秒．
故答案为：10秒或30秒或40秒．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换与性质，平行线的判定，解答此题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，难点是利用分类讨论的思想进行分类讨论．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，△ABC沿AB方向平移至△DEF，若AE＝8cm，DB＝2cm．
（1）求△ABC沿AB方向平移的距离；
（2）求四边形AEFC的周长．
【点拨】（1）根据平移的性质可得AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，然后根据AE、BD的长度求解即可；
（2）根据平移的性质可得EF＝BC，CF＝AD，然后根据四边形的周长的定义列式计算即可得解．
【解析】解：（1）∵△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF，
∴AD＝BE＝CF，BC＝EF＝3cm，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝CF＝＝3（cm），即△ABC沿AB方向平移的距离是3cm；
（2）四边形AEFC的周长＝AE+EF+CF+AC＝8+3+3+4＝18（cm）．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
18．如图，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．
【点拨】根据平行线判定推出BD∥CE，求出∠D+∠CBD＝180°，推出AC∥DF，根据平行线性质推出即可．
【解析】证明：∵∠1＝∠2，
∴BD∥CE，
∴∠C+∠CBD＝180°，
∵∠C＝∠D，
∴∠D+∠CBD＝180°，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【点评】本题考查了平行线性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
19．根据解答过程填空（理由或数学式）．
已知：如图，∠D+∠3＝180°，AE平分∠BAD交CD于点F，∠4＝∠E．
求证：∠B＝∠DCE．
证明：∵∠D+∠3＝180°（已知），
∴AD∥BC（ 　同旁内角互补，两直线平行　）．
∴∠1＝∠　E　（ 　两直线平行，内错角相等　）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2（ 　角平分线的定义　）．
∴∠2＝∠　E　（ 　等量代换　）．
∵∠4＝∠E（已知），
∴∠2＝∠4（ 　等量代换　）．
∴AB∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　）．
∴∠B＝∠DCE（ 　两直线平行，同位角相等　）．
【点拨】先根据同旁内角互补，两直线平行证得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等得出∠1＝∠E，结合角平分线的定义即可证得∠2＝∠E，结合已知可证得∠2＝∠4，再根据同位角相等，两直线平行得出AB∥CD，从而得到∠B＝∠DCE．
【解析】证明：∵∠D+∠3＝180°（已知），
∴AD∥BC（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠1＝∠E（两直线平行，内错角相等）．
∵AE平分∠BAD（已知），
∴∠1＝∠2（角平分线的定义）．
∴∠2＝∠E（等量代换）．
∵∠4＝∠E（已知），
∴∠2＝∠4（等量代换）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
∴∠B＝∠DCE（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；E；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；E；等量代换；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，D、E、F三点分别在AB、AC、BC上，过点D的直线与线段EF相交于点M，已知∠1+∠2＝180°．
（1）说明：AC∥DM；
（2）若DE∥BC，∠1＝115°，∠C＝50°，求∠3的度数．
【点拨】（1）根据邻补角及题意得出∠DME＝∠2，再由平行线的判定证明即可；
（2）根据平行线的判定和性质得出∠DEM＝65°，再由三角形内角和定理求解即可．
【解析】（1）证明：∵∠1+∠DME＝180°，∠1+∠2＝180°
∴∠DME＝∠2
∴AC∥DM；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠DEC+∠C＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠DEC＝130°，
又∵∠1＝115°，
∴∠DME＝65°．
∵∠DME＝∠2，
∴∠2＝65°，
∴∠DEM＝∠DEC﹣∠2＝130°﹣65°＝65°．
∴∠3＝180°﹣∠DME﹣∠DEM＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质及三角形内角和定理，根据题意找出各角之间的关系是解题关键．
21．某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知AB∥CD，∠BAE＝77°，∠DCE＝131°，求∠E的度数．
【点拨】先延长DC交AE于点F，然后根据平行线的性质和三角形内角和，可以求得∠E的度数．
【解析】解：延长DC交AE于点F，
∵AB∥CD，∠BAE＝77°
∴∠BAE＝∠CFE＝77°，
∵∠DCE＝131°，∠DCE+∠ECF＝180°，
∴∠ECF＝49°，
∵∠ECF+∠CFE+∠E＝180°，
∴∠E＝180°﹣49°﹣77°＝54°．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．如图，AP，CP分别平分∠BAC，∠ACD，∠P＝90°，设∠BAP＝α．
（1）用α表示∠ACP；
（2）求证：AB∥CD；
（3）若AP∥CF，求证：FC平分∠DCE．
【点拨】（1）由角平分线的定义可得∠PAC＝α，在Rt△PAC中根据直角三角形的性质可求得∠ACP；
（2）结合（1）可求得∠ACD，可证明∠ACD+∠BAC＝180°，可证明AB∥CD；
（3）由平行线的性质可得∠ECF＝∠CAP，∠ECD＝∠CAB，结合条件可证得∠ECF＝∠FCD，可证得结论．
【解析】（1）解：
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP＝∠BAP＝α，
∵∠P＝90°，
∴∠ACP＝90°﹣∠CAP＝90°﹣α；
（2）证明：
由（1）可知∠ACP＝90°﹣α，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ACP＝180°﹣2α，
又∠BAC＝2∠BAP＝2α，
∴∠ACD+∠BAC＝180°，
∴AB∥CD；
（3）证明：
∵AP∥CF，
∴∠ECF＝∠CAP＝α，
由（2）可知AB∥CD，
∴∠ECD＝∠CAB＝2α，
∴∠DCF＝∠ECD﹣∠ECF＝α，
∴∠ECF＝∠DCF，
∴CF平分∠DCE．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行 同位角相等，②两直线平行 内错角相等，③两直线平行 同旁内角互补，④a∥b，b∥c a∥c．
23．如图，已知AB∥CD，请回答下列问题：
（1）直接写出图形①中∠APC、∠PAB、∠PCD之间的关系是 　∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°　；
（2）直接写出图形②中∠APC、∠PAB、∠PCD之间的关系是 　∠APC＝∠PAB+∠PCD　；
（3）分别探究出图形③、图形④中，∠APC、∠PAB、∠PCD之间的关系，并请你从图形③或图形④中任选一个说明你所探究的结论的正确性．
【点拨】（1）过P作PE∥AB，即可得到PE∥CD，再根据“再直线平行，同旁内角互补”即可得出∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°；
（2）过P作PF∥AB，即可得到PF∥CD，再根据“再直线平行，内错角相等”即可得出∠APF＝∠BAP，∠CPF＝∠DCP，再相加即可得到结论；
（3）如图③，过P作PM∥AB，即可得到PM∥CD，再根据平行线的性质和角的和差关系即可得到答案；如图④，过P作PN∥AB，即可得到PN∥CD，再根据平行线的性质和角的和差关系即可得到答案．
【解析】解：（1）如图①，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°，
∴∠A+∠APE+∠C+∠CPE＝360°，即∠APC+∠PAB+∠PCD＝360°；
（2）如图②，过P作PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴PF∥CD，
∴∠APF＝∠BAP，∠CPF＝∠DCP，
∴∠APF+∠CPF＝∠BAP+∠DCP，即∠APC＝∠PAB+∠PCD，
（3）如图③，过P作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠PCD＝∠CPM，∠PAB＝∠APM，
∴∠APC＝∠CPM﹣∠APM＝∠DCP﹣∠BAP，即∠APC＝∠PCD﹣∠PAB，
如图④，过P作PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠PCD＝∠CPN，∠PAB＝∠APN，
∴∠APC＝∠APN﹣∠CPN＝∠BAP﹣∠DCP，即∠APC＝∠PAB﹣∠PCD．
【点评】本题主要考查对平行线的性质，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．
24．将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板ABC和直角三角板EDC，∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，∠ABC＝90°，∠BAC＝45°），保持三角板EDC不动，将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转．
（1）如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时t等于 　15s或24s或27s或33s　（直接写出答案即可）．
【点拨】（1）先计算∠DCE的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得t的值；
（2）分别表示∠DCA与∠ECB的度数，相减可得数量关系；
（3）分四种情况讨论：AB分别和△DCE三边平行，还有AC∥DE，计算旋转角并根据速度列方程可得结论．
【解析】解：（1）如图2，∵∠EDC＝90°，∠DEC＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∵AC平分∠DCE，
∴∠ACE＝＝15°，
∴t＝＝3，
答：此时t的值是3s；
（2）当AC旋转至∠DCE的内部时，如图3，∠DCA与∠ECB的数量关系是：∠ECB﹣∠DCA＝15°；
理由是：由旋转得：∠ACE＝5t，
∴∠DCA＝30°﹣5t，∠ECB＝45°﹣5t，
∴∠ECB﹣∠DCA＝（45°﹣5t）﹣（30°﹣5t）＝15°；
（3）分四种情况：
①当AB∥DE时，如图4，∠ACE＝45°+30°＝75°，
t＝75÷5＝15；
②当AB∥CE时，如图5，则∠BCE＝∠B＝90°，
∴∠ACE＝90°+45°＝135°，
t＝135÷5＝27；
③当AB∥CD时，如图6，则∠DCB＝∠B＝90°，
∠ACE＝30°+90°+45°＝165°，
t＝165÷5＝33；
④当AC∥DE时，如图7，
∴∠ACD＝∠D＝90°，
∴∠ACE＝90°+30°＝5t，
t＝24；
综上，t的值是15s或24s或27s或33s．
故答案为：15s或24s或27s或33s
【点评】本题是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系，该类问题就简单多了．
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