第1章 平行线单元检测B卷(提升卷）-2023-2024学年浙教版七年级数学下册单元检测卷（含解析）

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第1章 平行线 单元检测B卷(提升卷）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，如图是亚运会的吉祥物“琮琮”，通过平移“琮琮”可以得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
2．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两个大拇指代表被截直线，食指代表截线）．
下列三幅图依次表示（　　）
A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角
3．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（　　）
A．∠B+∠2＝180° B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠3 D．∠1＝∠B
4．如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠1＝125°，则∠2＝（　　）
A．110° B．130° C．150° D．80°
5．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）
①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝120°，第二次拐角∠C＝140°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数应为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
8．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝62°，∠BAC＝54°，当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行．
A．54 B．64 C．74 D．114
9．如图，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠ACP＝2∠PCD＝40°，连结AP，若∠BAP＝α，∠CAP＝α+β，下列说法中错误的是（　　）
A．当∠P＝60°时，α＝40° B．当∠P＝60°时，β＝40°
C．当β＝20°时，∠P＝80° D．当β＝0°时，∠α＝60°
10．如图1，∠DEF＝25°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕GF折叠成图3，则∠CFE的度数为（　　）
A．105° B．115° C．130° D．155°
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝　 　度．
12．如图，下列条件中：
①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有　 　（填写所有正确的序号）．
13．如图，已知在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，将此直角三角形沿射线BC方向平移，到达直角三角形A1B1C1的位置，其中点B1落在边BC的中点处，此时边A1B1与边AC相交于点D，如果BC1＝9cm，AD＝CD＝2cm，那么四边形ABB1D的面积＝　 　cm2．
14．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，且C岛在B岛的北偏西40°方向，则∠ACB＝　 　°．
15．如图，已知AB∥CD，FE⊥AB于点E，点G在直线CD上，且位于直线EF的右侧．
（1）若∠EFG＝120°，则∠FGC的度数是 　 　；
（2）若∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是 　 　．
16．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒12°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝　 　秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．如图，已知∠1＝48°，∠2＝132°，∠C＝∠D．求证：
（1）BD∥CE；
（2）∠A＝∠F．
18．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿AB方向平移至△DEF，AE＝8cm，DB＝2cm．
（1）AC和DF的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　；
（2）∠BGF＝　 　°；
（3）求△ABC沿AB方向平移的距离；
（4）若AC＝4cm，求四边形AEFC的周长．
19．填空并完成以下证明：
如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．
解：∠AED与∠C的大小关系是∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1＝∠DFH（ 　 　），
∴　 　＝180°，
∴EH∥AB（ 　 　），
∴∠3＝∠ADE（ 　 　），
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（ 　 　），
∴DE∥BC（ 　 　），
∴∠AED＝∠C（ 　 　）．
20．如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）请说明DE∥BC的理由；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．
21．如图所示的是一个潜望镜模型示意图，AB，CD代表镜子摆放的位置，并且AB∥CD，EF是进入潜望镜的光线，MN是离开潜望镜的光线，光线经过镜子反射时，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：MN∥EF．
22．如图，已知点G在EF上，点C，D在AB上，∠E＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若CF⊥BG，∠4+∠B＝90°，求证：AG∥CF；
（3）在（2）的条件下，∠AGF＝2∠F+30°，求∠5的度数．
23．如图1，已知直线MN∥直线PQ，点A为直线MN上一点，点B为直线PQ上一点，且∠ABP＝80°，点C是直线PQ上一动点，且点C在点B右侧，过点C作CD∥AB交直线MN于点D，连接AC．
（1）若AC平分∠BAD，请直接写出∠ACD的度数；
（2）作∠CAE＝∠CAD，交直线PQ于点E，AF平分∠BAE．（说明：解答过程用数字表示角）
①如图2，若点E，F都在点B的右侧，求∠CAF的度数．
②在点C的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠AFB＝3∠EAF成立？若存在，求出∠ACD的度数：若不存在，请说明理由．
24．如图，直线PQ∥MN，一副三角板按如图①放置（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°），其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数；
（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒6°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（t不大于30）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值；
②若在△ABC绕B点旋转的同时，△CDE绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点分别为H，K）．请直接写出当边BG∥HK时t的值．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．第19届亚运会将于2023年9月23日至2023年10月8日在杭州举行，如图是亚运会的吉祥物“琮琮”，通过平移“琮琮”可以得到的图形是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据平移的定义进行判断即可．
【解析】解：根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，
故A、B、D选项均不符合题意；C选项符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了生活中的平移，解题的关键是熟练掌握平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
2．两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两个大拇指代表被截直线，食指代表截线）．
下列三幅图依次表示（　　）
A．同位角、同旁内角、内错角 B．同位角、内错角、同旁内角
C．同位角、对顶角、同旁内角 D．同位角、内错角、对顶角
【点拨】两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，我们把这种两个角称为同位角；两条平行直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，由此分析各图即可得解．
【解析】解：第一幅图表示同位角，第二幅图表示内错角，第三幅图表示同旁内角．
故选：B．
【点评】本题侧重考查本题考查同位角，内错角，同旁内角，掌握它们的定义是解题关键．
3．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥EF的是（　　）
A．∠B+∠2＝180° B．∠1＝∠4 C．∠B＝∠3 D．∠1＝∠B
【点拨】根据平行线的判定逐项进行判断即可．
【解析】解：A、∵∠B+∠2＝180，∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意；
B、∵∠1＝∠4，∴AC∥EF（内错角相等，两直线平行），不符合题意；
C、∵∠B＝∠3，∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行），不符合题意；
D、∵∠1＝∠B，∴BC∥DF（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥EF，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法是解题的关键，即①同位角相等 两直线平行，②内错角相等 两直线平行，③同旁内角互补 两直线平行．
4．如图，将一张长方形纸条折叠，如果∠1＝125°，则∠2＝（　　）
A．110° B．130° C．150° D．80°
【点拨】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，根据翻折的性质可得∠3＝∠4，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【解析】解：∵长方形纸条对边互相平行，
∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣125°＝55°，
由折叠的性质得，∠3＝∠4，
∵长方形纸条对边互相平行，
∴∠2＝∠3+∠4＝55°+55°＝110°．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
5．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】分别根据平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、平行公理及推论对各小题进行逐一分析即可．
【解析】解：①符合对顶角的性质，故本小题正确；
②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；
③符合平行线的判定定理，故本小题正确；
④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质、对顶角及邻补角的定义、平行公理及推论，熟知以上各知识点是解答此题的关键．
6．学行线后，小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）
①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【点拨】解决本题关键是理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直．
【解析】解：由作图过程可知，∠1＝∠2，为内错角相等；∠1＝∠4，为同位角相等；
可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，用到的知识点为：平行线的判定定理等知识．理解折叠的过程是解决问题的关键．
7．如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B＝120°，第二次拐角∠C＝140°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数应为（　　）
A．130° B．140° C．150° D．160°
【点拨】先延长BC，ED交于点F，根据平行线的性质，得出∠F＝∠B＝120°，再根据∠BCD＝140°，可得∠DCF＝40°，根据∠CDE＝∠F+∠DCF进行计算即可．
【解析】解：如图，延长BC，ED交于点F，
∵AB∥EF，
∴∠F＝∠B＝120°，
∵∠BCD＝140°，
∴∠DCF＝40°，
∴∠CDE＝∠F+∠DCF＝120°+40°＝160°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行线性质以及三角形外角性质的运用，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
8．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD＝62°，∠BAC＝54°，当∠MAC为（　　）度时，AM与CB平行．
A．54 B．64 C．74 D．114
【点拨】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解析】解：∵AB，CD都与地面l平行，
∴AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝62°，∠BAC＝54°，
∴∠ACB＝64°，
∴当∠MAC＝∠ACB＝64°时，AM∥CB．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
9．如图，AB∥CD，点P在AB，CD之间，∠ACP＝2∠PCD＝40°，连结AP，若∠BAP＝α，∠CAP＝α+β，下列说法中错误的是（　　）
A．当∠P＝60°时，α＝40° B．当∠P＝60°时，β＝40°
C．当β＝20°时，∠P＝80° D．当β＝0°时，∠α＝60°
【点拨】过点P作PG∥AB交AC于点G，根据平行线的判定与性质对各个选项进行分析即可．
【解析】解：过点P作PG∥AB交AC于点G．
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACD＝180°，
∵PG∥AB，
∴∠BAP＝∠APG＝α，PG∥CD，
∴∠GPC＝∠PCD，
∵∠ACP＝2∠PCD＝40°，
∴∠PCD＝20°，
∴∠ACD＝60°，∠GPC＝20°，
∴∠CAB＝∠BAP+∠CAP＝α+α+β＝2α+β＝180°﹣∠ACD＝120°，
当∠P＝60°时，∠APG＝α＝60°﹣∠GPC＝40°，故A正确，不符合题意；
∴β＝120°﹣2α＝40°，故B正确，不符合题意；
当β＝20°时，α＝（120°﹣β）＝50°，
∴∠APC＝∠APG+∠GPC＝α+20°＝70°，故C错误，符合题意；
当β＝0°时，α＝（120°﹣β）＝60°，故D正确，符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．如图1，∠DEF＝25°，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠成图2，再沿折痕GF折叠成图3，则∠CFE的度数为（　　）
A．105° B．115° C．130° D．155°
【点拨】由矩形的性质可知AD∥BC，由此可得出∠BFE＝∠DEF＝25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【解析】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：
图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换以及矩形的性质，解题的关键是找出∠CFE＝180°﹣3∠BFE．解决该题型题目时，根据翻折变换找出相等的边角关系是关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．如图，AB∥CD，BC∥DE，∠B＝72°，则∠D＝　108　度．
【点拨】先根据AB∥CD求出∠C的度数，再由BC∥DE即可求出∠D的度数．
【解析】解：∵AB∥CD，∠B＝72°，
∴∠C＝∠B＝72°，
∵BC∥DE，
∴∠D＝180°﹣∠C＝180°﹣72°＝108°．
故答案为：108．
【点评】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
12．如图，下列条件中：
①∠B+∠BCD＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠B＝∠5；
则一定能判定AB∥CD的条件有　①③④　（填写所有正确的序号）．
【点拨】根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB∥CD；
根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB∥CD；
根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB∥CD．
【解析】解：①∵∠B+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
②∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB；
③∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD；
④∵∠B＝∠5，
∴AB∥CD，
故答案为：①③④．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理．
13．如图，已知在直角三角形ABC，∠ACB＝90°，将此直角三角形沿射线BC方向平移，到达直角三角形A1B1C1的位置，其中点B1落在边BC的中点处，此时边A1B1与边AC相交于点D，如果BC1＝9cm，AD＝CD＝2cm，那么四边形ABB1D的面积＝　9　cm2．
【点拨】根据平移的性质求出三角形的边长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【解析】解：由平移变换的性质可知，BB1＝CC1＝B1C＝BC1＝3cm，
∴BC＝6cm，
∵AD＝CD＝2cm，
∴AC＝4cm，
∴S四边形ABB1D＝S△ABC﹣S△B1CD
＝×6×4﹣×2×3
＝12﹣3
＝9（cm2）．
故答案为：9．
【点评】本题考查平移的性质，理解平移的性质是正确解答的前提，求出三角形的面积是得出正确答案的关键．
14．如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，且C岛在B岛的北偏西40°方向，则∠ACB＝　90　°．
【点拨】过C作CD∥AE，根据平行线的性质即可得到结论．
【解析】解：如图，过C作CD∥AE，
∴∠ACD＝∠CAE＝50°，
∵AE∥BF，
∴CD∥BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝40°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°，
故答案为：90．
【点评】本题考查了平行线的性质，方向角，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．如图，已知AB∥CD，FE⊥AB于点E，点G在直线CD上，且位于直线EF的右侧．
（1）若∠EFG＝120°，则∠FGC的度数是 　30°　；
（2）若∠AEH＝∠FGH＝20°，∠H＝50°，则∠EFG的度数是 　140°　．
【点拨】（1）过点F作FM∥AB，根据平行线的性质求解即可；
（2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB，根据平行线的性质求解即可．
【解析】解：（1）过点F作FM∥AB，
∵FE⊥AB，FM∥AB，
∴FE⊥FM，
∴∠EFM＝90°，
∵∠EFG＝120°，
∴∠MFG＝∠EFG﹣∠EFM＝30°，
∵FM∥AB，AB∥CD，
∴FM∥CD，
∴∠FGC＝∠MFG＝30°，
故答案为：30°；
（2）过点F作FM∥AB，过点H作HN∥AB，
∴∠AEH＝∠EHN＝20°，
∵∠EHG＝50°，
∴∠NHG＝∠EHG﹣∠EHN＝30°，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CD，
∴∠CGH＝∠NHG＝30°，
∵∠FGH＝20°，
∴∠FGC＝∠CGH+∠FGN＝50°，
根据（1）知，∠EFM＝90°，∠FGC＝∠MFG，
∴∠MFG＝50°，
∴∠EFG＝∠EFM+∠MFG＝140°，
故答案为：140°．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．
16．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，∠DAC＝30°．接着如图2保持三角板ABC不动，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒12°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝　或或　秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
【点拨】分三种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解析】解：分三种情况：
①当A′C∥AB时，如图：
∴∠A′CA＝∠BAC＝45°，
∴12t＝45，
∴t＝．
②当A'D'∥AC时，
∴∠A′CA＝∠A′＝30°，
∴12t＝30，
∴t＝．
③当A'D'∥AB时，
∴∠A′CA＝∠A+∠A′＝75°，
∴12t＝75，
∴t＝．
综上所述，当旋转时间t＝或或秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
故答案为：或或．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共66分）
17．如图，已知∠1＝48°，∠2＝132°，∠C＝∠D．求证：
（1）BD∥CE；
（2）∠A＝∠F．
【点拨】（1）由∠1＝48°，∠2＝132°，得出∠1+∠2＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出BD∥CE；
（2）由BD∥CE得出∠C＝∠ABD，由∠C＝∠D得出∠ABD＝∠D，利用“内错角相等，两直线平行”可证出AC∥DF，进而可证出∠A＝∠F．
【解析】证明：（1）∵∠1＝48°，∠2＝132°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CE；
（2）∵BD∥CE，
∴∠C＝∠ABD，
又∵∠C＝∠D，
∴∠ABD＝∠D，
∵AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）通过角的计算，找出∠1+∠2＝180°；（2）利用平行线的判定，得出AC∥DF．
18．如图，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC沿AB方向平移至△DEF，AE＝8cm，DB＝2cm．
（1）AC和DF的数量关系为 　AC＝DF　，位置关系为 　AC∥DF　；
（2）∠BGF＝　90　°；
（3）求△ABC沿AB方向平移的距离；
（4）若AC＝4cm，求四边形AEFC的周长．
【点拨】（1）根据平移的性质得出AC＝DF，AC∥DF即可；
（2）根据平移的性质和平行线的性质解答即可；
（3）根据平移的性质可得AD＝BE，然后根据AE＝8cm，DB＝2cm求出AD＝BE的值即可；
（4）根据勾股定理求出BC，可得EF的长，然后根据平移的性质得到CF＝AD＝3cm，再根据四边形周长的计算方法解答即可．
【解析】解：（1）∵△ABC沿AB方向平移至△DEF，
∴AC＝DF，AC∥DF，
故答案为：AC＝DF，AC∥DF；
（2）由平移的性质得出AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DGB＝90°，
∴∠BGF＝180°﹣90°＝90°，
故答案为：90°；
（3）由平移得AD＝BE，
∵AE＝8cm，DB＝2cm，
∴AD＝BE＝＝3cm，
∴平移的距离为3cm；
（4）在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，AB＝AD+DB＝3+2＝5cm，
∴BC＝＝3 cm，
∴EF＝BC＝3cm，
又∵CF＝AD＝3cm，
∴四边形AEFC的周长＝AC+AE+EF+CF＝4+8+3+3＝18cm．
【点评】本题考查了勾股定理，平行线的性质和平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键
19．填空并完成以下证明：
如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．
解：∠AED与∠C的大小关系是∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1＝∠DFH（ 　对顶角相等　），
∴　∠DFH+∠2　＝180°，
∴EH∥AB（ 　同旁内角互补，两直线平行　），
∴∠3＝∠ADE（ 　两直线平行，内错角相等　），
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（ 　等量代换　），
∴DE∥BC（ 　同位角相等，两直线平行　），
∴∠AED＝∠C（ 　两直线平行，同位角相等　）．
【点拨】由∠1+∠2＝180°，∠1＝∠DFH，得到EH∥AB，求得∠B＝∠ADE，得到DE∥BC，即可求得∠AED＝∠C．
【解析】解：∠AED与∠C的大小关系是∠AED＝∠C．
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知），
∠1＝∠DFH（对顶角相等），
∴∠DFH+∠2＝180°，
∴EH∥AB（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：对顶角相等；∠DFH+∠2；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
【点评】本题考查根据平行线判定与性质证明，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
20．如图，D，E，G分别是AB，AC，BC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）请说明DE∥BC的理由；
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，判断CD与EG的位置关系，并说明理由．
【点拨】（1）根据已知条件和对顶角相等可证明AB∥EG，再根据平行线的性质得角相等，再等量代换可得∠3＝∠EGC，进而可得DE∥BC；
（2）根据已知条件可得∠B＝45°，可以证明CD⊥AB，再由AB∥EG，即可得CD⊥EG．
【解析】解：（1）∵∠1+∠2＝180°，∠1＝∠DFG，
∴∠2+∠DFG＝180°，
∴AB∥EG，
∴∠B＝∠EGC，
又∵∠B＝∠3，
∴∠3＝∠EGC，
∴DE∥BC；
（2）CD⊥EG．
理由如下：
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠EDC，
∵DE∥BC，
∴∠B＝∠ADE＝∠EDC，
又∵∠2＝2∠B，∠2+∠ADE+∠EDC＝180°，
∴2∠B+∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝45°，
∴∠2＝2∠B＝90°，
∴CD⊥AB
又∵AB∥EG，
∴CD⊥EG．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区别平行线的判定与性质并熟练运用．
21．如图所示的是一个潜望镜模型示意图，AB，CD代表镜子摆放的位置，并且AB∥CD，EF是进入潜望镜的光线，MN是离开潜望镜的光线，光线经过镜子反射时，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：MN∥EF．
【点拨】先证明∠2＝∠3，可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，再结合平角的定义可得∠5＝∠6，从而可得答案．
【解析】证明：∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3．
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4．
又∵∠1+∠2+∠5＝180°，∠3+∠4+∠6＝180°，
∴∠5＝∠6．
∴MN∥EF．
【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟记平行线的判定方法与性质并灵活应用是解本题的关键．
22．如图，已知点G在EF上，点C，D在AB上，∠E＝∠1，∠2＝∠3．
（1）求证：AB∥EF；
（2）若CF⊥BG，∠4+∠B＝90°，求证：AG∥CF；
（3）在（2）的条件下，∠AGF＝2∠F+30°，求∠5的度数．
【点拨】（1）根据对顶角相等可得∠1＝∠2，然后根据等量代换可得∠E＝∠3，从而根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠CNB＝90°，从而可得∠B+∠BCN＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠4＝∠BCN，再利用（1）的结论可得∠BCN＝∠F，从而可得∠4＝∠F，最后根据同位角相等，两直线平行可得AG∥CF，即可解答；
（3）利用（2）的结论可得∠AGF+∠F＝180°，从而求出∠F＝50°，然后根据垂直定义可得∠FNG＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余进行计算即可解答．
【解析】（1）证明：∵∠E＝∠1，∠2＝∠3，∠1＝∠2，
∴∠E＝∠3，
∴AB∥EF；
（2）证明：∵CF⊥BG，
∴∠CNB＝90°，
∴∠B+∠BCN＝90°，
∵∠4+∠B＝90°，
∴∠4＝∠BCN，
∵AB∥EF，
∴∠BCN＝∠F，
∴∠4＝∠F，
∴AG∥CF；
（3）解：∵AG∥CF，
∴∠AGF+∠F＝180°，
∵∠AGF＝2∠F+30°，
∴∠F＝50°，
∵CF⊥BG，
∴∠FNG＝90°，
∴∠5＝90°﹣∠F＝40°，
∴∠5的度数为40°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
23．如图1，已知直线MN∥直线PQ，点A为直线MN上一点，点B为直线PQ上一点，且∠ABP＝80°，点C是直线PQ上一动点，且点C在点B右侧，过点C作CD∥AB交直线MN于点D，连接AC．
（1）若AC平分∠BAD，请直接写出∠ACD的度数；
（2）作∠CAE＝∠CAD，交直线PQ于点E，AF平分∠BAE．（说明：解答过程用数字表示角）
①如图2，若点E，F都在点B的右侧，求∠CAF的度数．
②在点C的运动过程中，是否存在这样的情形，使∠AFB＝3∠EAF成立？若存在，求出∠ACD的度数：若不存在，请说明理由．
【点拨】（1）先根据平行线的性质求得∠BAD，再根据角平分线的定义求得结果；
（2）①根据平行线的性质与折叠性质，角平分线的定义求解便可；
②根据平行线的性质，角的大小关系便可解答．
【解析】解：（1）∵MN∥PQ，∠ABP＝80°，
∴∠BAD＝∠ABP＝80°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝40°；
（2）①∵AF平分∠BAE，
∴∠EAF＝，
∵∠CAE＝∠CAD，
∴∠CAF＝＝40°；
②存在．
当E点在B点右边时，如图，
则∠AFB＝∠DAF＝3∠EAF，
∴∠DAE＝2∠EAF，
∵∠BAF＝∠EAF，∠CAE＝∠CAD，
∴∠BAF＝∠EAF＝∠CAE＝∠CAD，
∵∠ABP＝∠DAB＝80°，
∴∠BAF＝∠EAF＝∠CAE＝∠CAD＝20°，
∴∠BAC＝60°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°，
当点E在B点左边时，如图，
设∠EAF＝∠BAF＝x°，则∠AFB＝3x°，
∵MN∥PQ，
∴∠BAD＝∠ABP＝80°，∠DAF+∠AFB＝180°，
∴80°+x°+3x°＝180°，
∴x＝25，
∴∠DAE＝80°+2x°＝130°，
∴∠ACB＝∠DAC＝∠DAE＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABP＝80°，
∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝15°，
综上，∠ACD＝15°或60°．
【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，关键是正确应用角平分线定义与平行线的性质解题．
24．如图，直线PQ∥MN，一副三角板按如图①放置（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°），其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数；
（2）如图②，若将△ABC绕B点以每秒6°的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t秒（t不大于30）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值；
②若在△ABC绕B点旋转的同时，△CDE绕E点以每秒4°的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点分别为H，K）．请直接写出当边BG∥HK时t的值．
【点拨】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
（2）①首先证明∠GBC＝∠DCN＝30°，由此构建方程即可解决问题．
②分两种情形：如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．根据∠GBN＝∠KRN构建方程即可解决问题．如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．根据∠GBN+∠KRM＝180°构建方程即可解决问题．
【解析】解：（1）如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN＝∠ACN＝75°，
∵PQ∥MN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°．
（2）①如图②中，
∵BG∥CD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴6t＝30，
∴t＝5．
∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为5．
②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R．
∵BG∥KR，
∴∠GBN＝∠KRN，
∵∠QEK＝60°+4°t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+4°t）＝30°﹣4°t，
∴6°t＝30°﹣4°t，
∴t＝3．
如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R．
∵BG∥KR，
∴∠GBN+∠KRM＝180°，
∵∠QEK＝60°+4°t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣4°t）＝4°t﹣30°
∴6°t+4°t﹣30°＝180°，
∴t＝21．
综上所述，满足条件的t的值为3或21．
【点评】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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