【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册3.3多项式的乘法 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·台儿庄期中）若关于的代数式化简后不含有项，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．4
2．（2023七下·万源月考）若的展开式中常数项为-2，且不含项，则展开式中一次项的系数为（ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
3．（2023七下·莲湖期末）若的展开式中不含项和x项，则m，n的值应该是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·宣汉月考）长方形一边长为另一边比它小则长方形面积为 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022七下·杭州期中）将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（ ）
A．3 B．23 C．25 D．29
6．（2023七下·富阳期中）聪聪计算一道整式乘法的题：（x+m）（5x-4），由于聪聪将第一个多项式中的“+m”抄成“-m”，得到的结果为5x2-34x+24．这道题的正确结果是（ ）
A．5x2+26x-24 B．5x2-26x-24 C．5x2+34x-24 D．5x2-34x-24
7．（2022七下·嵊州期中）如图所示，在长方形中，横向涂色部分是长方形，另一涂色部分是平行四边形，则空白部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·运城期中）综合与实践课上，小颖将长方形硬纸片的四个角处剪去边长为x的小正方形，再按折痕(虚线)折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子，根据图中信息，该长方体盒子的体积可表示为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·巴州期末）阅读以下问题的解答过程：若多项式能被整除，求常数a的值．解法如下：
∵二次三项式中最高次项是，已知因式中最高次项是x，
又∵，
∴另一因式的最高次项应为．因此，可设另一因式为（其中m是常数项）．
即得，．∴．
可得，．∴，．
仿照以上解题方法，解答以下问题：已知被整除，则k的值为 ．
10．符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc，例如=1×4﹣2×3=﹣2．那么，根据阅读材料，化简= ．
11．（2023七下·青岛期中）数学兴趣小组发现：
利用你发现的规律：求： ．
12．（2023七下·青羊期末）如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
三、解答题
13．（2022七下·南宁期中）如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的垂直宽度都是1个单位长度），有一条纵向的弯曲小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位长度）.
（1）请你用含a、b的式子表示绿地面积：
（2）当米，米时，绿地面积是多少平方米？
14．（2023七下·定远期中）下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
（1）请根据规律，写出第4个等式： ；
（2）猜想： （其中为正整数，且）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
15．阅读材料：
类比是常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法.
①
∴（2x+3）+（3x-5）=5x-2.
③x+3
理解应用：
（1）请仿照上面的竖式方法计算：（2x+3）（x-5）.
（2）已知两个多项式的和为其中一个多项式为x -2，请用竖式的方法求出另一个多项式.
（3）已知一个长为（x+2）、宽为（x-2）的长方形A，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B（如图），若长方形B的周长是A 的周长的3倍，求长方形 B的面积（用含x的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵关于的代数式化简后不含有项，
∴m-3=0，
∴m=3，
故答案为：C.
【分析】利用多项式乘多项式法则先化简代数式，再求出m-3=0，最后求解即可。
2．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵（x+m）（x2+nx+1）
=x3+nx2+x+mx2+mnx+m
=x3+（m+n）x2+（mn+1）x+m
又∵ 展开式中常数项为-2，且不含x2项 ，
∴m=-2，m+n=0，
∴n=2，
∴mn+1=-2×2+1=-3.
故答案为：D.
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开化简，进而根据展开式中常数项为-2，且不含x2项 ，得m=-2，m+n=0，求解得出n的值，进而将m、n的值代入一次项系数计算可得答案.
3．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵（x2-2x+3）（x2+mx+n）
=x4+mx3+nx2-2x3-2mx2-2nx+3x2+3mx+3n
=x4+(m-2)x3+(n-2m+3)x2+(3m-2n)x+3n
又∵（x2-2x+3）（x2+mx+n）的展开式中不含x3与x项，
∴m-2=0，3m-2n=0，
解得m=2，n=3.
故答案为：A.
【分析】本题首先直接相乘计算，根据不含项x3和x的项，故其系数变为0，即可解出m和n.
4．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得
另一边长为2a+b-（a-b）=2a+b-a+b=a+2b，
∴这个长方形的面积为（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2.
故答案为：D
【分析】利用另一边比它小a-b，列式计算求出另一边的长，再利用长方形的面积公式及多项式乘以多项式的法则，进行计算，可求出结果.
5．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=；
∵，
∴，，，
∴，，，
∴；
故答案为：D.
【分析】根据被除式=商式×除式，建立等式，根据对应系数相等可求出a、b、c的值，再代入计算即可.
6．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵ （x-m）（5x-4）=5x2-34x+24，
∴5x2-4x-5mx+4m=5x2-34x+24，
即5x2-（4+5m）x+4m=5x2-34x+24，
∴4m=24，
∴m=6，
把m=6代入（x+m）（5x-4）得（x+6）（5x-4）=5x2+26x-24.
故答案为：A.
【分析】直接根据多项式乘以多项式的法则计算出（x-m）（5x-4），再根据多项式的性质即可得出m的值，将m的值代入原式按多项式乘以多项式的法则计算即可.
7．【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式；生活中的平移现象
【解析】【解答】解：根据题意得：图中空白部分的面积＝（a-c）（b-c）＝ab-bc-ac +c2.
故答案为：B.
【分析】利用平移的方法，空白部分其实就是一个长为（a-c），宽为（b-c）的矩形，进而根据矩形的面积等于长×宽列出式子，然后根据多项式乘以多项式的法则计算化简即可.
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得高为x，长为5-2x，宽为3-2x，
∴长方体盒子的体积可表示为，
故答案为：D
【分析】先根据题意找出长方体的长、宽、高，进而即可求解。
9．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式3x3+kx2+1的最高次项是3x3，
已知因式3x-1中最高次项是3x，
又∵x2 3x=3x3，
∴另一因式的最高次项应为x2．由此可设另一因式为（x2+mx+n）（其中m、n是常数项），
∴3x3+kx2+1=（3x-1）（x2+mx+n），
∴3x3+kx2+1=3x3+（3m-1）x2+（3n-m）x-n，
∴3m-1=k，3n-m=0，-n=1，
解得：k=-10．
故答案为：-10
【分析】 判断出另一个因式为二次三项式，设另一因式为（x2+mx+n），利用多项式乘多项式法则去括号，列出方程即可求出k的值．
10．【答案】4a+12
【知识点】多项式乘多项式
【解析】解：原式=（a+2）（a+3）﹣（a﹣2）（a+3）
=a2+5a+6﹣a2﹣a+6
=4a+12，
故答案为：4a+12．
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
当x=6，n=2024时，，
∴，
故答案为：
【分析】先观察题目的式子结合多项式乘法即可得到，进而根据当x=6，n=2024时即可求解。
12．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设FC=a，CE=b，由题意得CF=30-x，EC=20-x，
∵长方形的面积为平方单位，
∴ab=（20-x）（30-x）=220，a-b=（30-x）-（20-x）=10，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为平方单位．
故答案为：540
【分析】设FC=a，CE=b，由题意得CF=30-x，EC=20-x，进而根据题意得到ab=（20-x）（30-x）=220，a-b=（30-x）-（20-x）=10，再根据即可求解。
13．【答案】（1）解：根据平移的性质可知，绿地的面积可以看作是一个长为米，宽为米的长方形，
∴绿地的面积为平方米；
（2）解：当米，米时，绿地的面积为平方米，
答：绿地的面积是700平方米.
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式；生活中的平移现象
【解析】【分析】（1）根据平移将种草部分拼在一起是一个长为（a-2）米，宽为（b-1）米的长方形，进而根据长方形的面积计算公式及多项式乘以多项式的法则计算即可；
（2）将a=30米，与b=26米代入（1）计算的结果，计算即可得出答案.
14．【答案】（1）
（2）
（3）解：设（2）式中的，，，则有
即
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）
故答案为：
（2）若n为大于1的正整数，则＝
故答案为：；
（3）设（2）式中的，，，则有
∴，
∴．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；
（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；
（3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得．
15．【答案】（1）解：
（2x+3）（x-5）=2x2-7x-15.
（2）解：
另一个多项为：.
（3）解：∵矩形B的周长是A周长的3倍，
∴2×（x+2+x-2）×3=2×（x+10+x-2+a），
整理可得：a=4x-8，
所以矩形B的面积为：（x+2+8）（x-2+4x-8）=5x2+40x-10.
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解；
（2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解；
（3）根据已知条件，求出面积，然后分解多项式即可.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册3.3多项式的乘法 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·台儿庄期中）若关于的代数式化简后不含有项，则的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵关于的代数式化简后不含有项，
∴m-3=0，
∴m=3，
故答案为：C.
【分析】利用多项式乘多项式法则先化简代数式，再求出m-3=0，最后求解即可。
2．（2023七下·万源月考）若的展开式中常数项为-2，且不含项，则展开式中一次项的系数为（ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵（x+m）（x2+nx+1）
=x3+nx2+x+mx2+mnx+m
=x3+（m+n）x2+（mn+1）x+m
又∵ 展开式中常数项为-2，且不含x2项 ，
∴m=-2，m+n=0，
∴n=2，
∴mn+1=-2×2+1=-3.
故答案为：D.
【分析】先根据多项式乘以多项式的法则展开化简，进而根据展开式中常数项为-2，且不含x2项 ，得m=-2，m+n=0，求解得出n的值，进而将m、n的值代入一次项系数计算可得答案.
3．（2023七下·莲湖期末）若的展开式中不含项和x项，则m，n的值应该是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵（x2-2x+3）（x2+mx+n）
=x4+mx3+nx2-2x3-2mx2-2nx+3x2+3mx+3n
=x4+(m-2)x3+(n-2m+3)x2+(3m-2n)x+3n
又∵（x2-2x+3）（x2+mx+n）的展开式中不含x3与x项，
∴m-2=0，3m-2n=0，
解得m=2，n=3.
故答案为：A.
【分析】本题首先直接相乘计算，根据不含项x3和x的项，故其系数变为0，即可解出m和n.
4．（2023七下·宣汉月考）长方形一边长为另一边比它小则长方形面积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得
另一边长为2a+b-（a-b）=2a+b-a+b=a+2b，
∴这个长方形的面积为（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2.
故答案为：D
【分析】利用另一边比它小a-b，列式计算求出另一边的长，再利用长方形的面积公式及多项式乘以多项式的法则，进行计算，可求出结果.
5．（2022七下·杭州期中）将多项式除以后得商式，余式为0，则的值为（ ）
A．3 B．23 C．25 D．29
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=；
∵，
∴，，，
∴，，，
∴；
故答案为：D.
【分析】根据被除式=商式×除式，建立等式，根据对应系数相等可求出a、b、c的值，再代入计算即可.
6．（2023七下·富阳期中）聪聪计算一道整式乘法的题：（x+m）（5x-4），由于聪聪将第一个多项式中的“+m”抄成“-m”，得到的结果为5x2-34x+24．这道题的正确结果是（ ）
A．5x2+26x-24 B．5x2-26x-24 C．5x2+34x-24 D．5x2-34x-24
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵ （x-m）（5x-4）=5x2-34x+24，
∴5x2-4x-5mx+4m=5x2-34x+24，
即5x2-（4+5m）x+4m=5x2-34x+24，
∴4m=24，
∴m=6，
把m=6代入（x+m）（5x-4）得（x+6）（5x-4）=5x2+26x-24.
故答案为：A.
【分析】直接根据多项式乘以多项式的法则计算出（x-m）（5x-4），再根据多项式的性质即可得出m的值，将m的值代入原式按多项式乘以多项式的法则计算即可.
7．（2022七下·嵊州期中）如图所示，在长方形中，横向涂色部分是长方形，另一涂色部分是平行四边形，则空白部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式；生活中的平移现象
【解析】【解答】解：根据题意得：图中空白部分的面积＝（a-c）（b-c）＝ab-bc-ac +c2.
故答案为：B.
【分析】利用平移的方法，空白部分其实就是一个长为（a-c），宽为（b-c）的矩形，进而根据矩形的面积等于长×宽列出式子，然后根据多项式乘以多项式的法则计算化简即可.
8．（2023七下·运城期中）综合与实践课上，小颖将长方形硬纸片的四个角处剪去边长为x的小正方形，再按折痕(虚线)折叠，可以制成有底无盖的长方体盒子，根据图中信息，该长方体盒子的体积可表示为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意得高为x，长为5-2x，宽为3-2x，
∴长方体盒子的体积可表示为，
故答案为：D
【分析】先根据题意找出长方体的长、宽、高，进而即可求解。
二、填空题
9．（2023七下·巴州期末）阅读以下问题的解答过程：若多项式能被整除，求常数a的值．解法如下：
∵二次三项式中最高次项是，已知因式中最高次项是x，
又∵，
∴另一因式的最高次项应为．因此，可设另一因式为（其中m是常数项）．
即得，．∴．
可得，．∴，．
仿照以上解题方法，解答以下问题：已知被整除，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式3x3+kx2+1的最高次项是3x3，
已知因式3x-1中最高次项是3x，
又∵x2 3x=3x3，
∴另一因式的最高次项应为x2．由此可设另一因式为（x2+mx+n）（其中m、n是常数项），
∴3x3+kx2+1=（3x-1）（x2+mx+n），
∴3x3+kx2+1=3x3+（3m-1）x2+（3n-m）x-n，
∴3m-1=k，3n-m=0，-n=1，
解得：k=-10．
故答案为：-10
【分析】 判断出另一个因式为二次三项式，设另一因式为（x2+mx+n），利用多项式乘多项式法则去括号，列出方程即可求出k的值．
10．符号叫做二阶行列式，规定它的运算法则为=ad﹣bc，例如=1×4﹣2×3=﹣2．那么，根据阅读材料，化简= ．
【答案】4a+12
【知识点】多项式乘多项式
【解析】解：原式=（a+2）（a+3）﹣（a﹣2）（a+3）
=a2+5a+6﹣a2﹣a+6
=4a+12，
故答案为：4a+12．
【分析】利用题中的新定义计算即可得到结果．
11．（2023七下·青岛期中）数学兴趣小组发现：
利用你发现的规律：求： ．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
当x=6，n=2024时，，
∴，
故答案为：
【分析】先观察题目的式子结合多项式乘法即可得到，进而根据当x=6，n=2024时即可求解。
12．（2023七下·青羊期末）如图，在长方形中，，，点，是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为平方单位，则图中阴影部分的面积和为 平方单位．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设FC=a，CE=b，由题意得CF=30-x，EC=20-x，
∵长方形的面积为平方单位，
∴ab=（20-x）（30-x）=220，a-b=（30-x）-（20-x）=10，
∴，
∴图中阴影部分的面积和为平方单位．
故答案为：540
【分析】设FC=a，CE=b，由题意得CF=30-x，EC=20-x，进而根据题意得到ab=（20-x）（30-x）=220，a-b=（30-x）-（20-x）=10，再根据即可求解。
三、解答题
13．（2022七下·南宁期中）如图，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的垂直宽度都是1个单位长度），有一条纵向的弯曲小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位长度）.
（1）请你用含a、b的式子表示绿地面积：
（2）当米，米时，绿地面积是多少平方米？
【答案】（1）解：根据平移的性质可知，绿地的面积可以看作是一个长为米，宽为米的长方形，
∴绿地的面积为平方米；
（2）解：当米，米时，绿地的面积为平方米，
答：绿地的面积是700平方米.
【知识点】列式表示数量关系；多项式乘多项式；生活中的平移现象
【解析】【分析】（1）根据平移将种草部分拼在一起是一个长为（a-2）米，宽为（b-1）米的长方形，进而根据长方形的面积计算公式及多项式乘以多项式的法则计算即可；
（2）将a=30米，与b=26米代入（1）计算的结果，计算即可得出答案.
14．（2023七下·定远期中）下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1个多项式都是：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
（1）请根据规律，写出第4个等式： ；
（2）猜想： （其中为正整数，且）；
（3）利用（2）猜想的结论计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：设（2）式中的，，，则有
即
∴，
∴．
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】（1）
故答案为：
（2）若n为大于1的正整数，则＝
故答案为：；
（3）设（2）式中的，，，则有
∴，
∴．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的乘法计算可得；
（2）利用（1）中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；
（3）将原式变形为，再利用所得规律计算可得．
15．阅读材料：
类比是常用的数学思想.比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法.
①
∴（2x+3）+（3x-5）=5x-2.
③x+3
理解应用：
（1）请仿照上面的竖式方法计算：（2x+3）（x-5）.
（2）已知两个多项式的和为其中一个多项式为x -2，请用竖式的方法求出另一个多项式.
（3）已知一个长为（x+2）、宽为（x-2）的长方形A，将它的长增加8，宽增加a得到一个新长方形B（如图），若长方形B的周长是A 的周长的3倍，求长方形 B的面积（用含x的代数式表示）.
【答案】（1）解：
（2x+3）（x-5）=2x2-7x-15.
（2）解：
另一个多项为：.
（3）解：∵矩形B的周长是A周长的3倍，
∴2×（x+2+x-2）×3=2×（x+10+x-2+a），
整理可得：a=4x-8，
所以矩形B的面积为：（x+2+8）（x-2+4x-8）=5x2+40x-10.
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法竖式的运算方法计算即可求解；
（2）根据多项式与多项式的减法竖式的运算方法计算即可求解；
（3）根据已知条件，求出面积，然后分解多项式即可.
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