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第2章 二元一次方程组 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
2．若是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，用含的代数式表示可得
A． B． C． D．
4．方程组的解是
A． B． C． D．
5．若方程组，其中不等于0，那么
A． B． C． D．
6．如果方程组的解与方程组的解相同，则、的值是
A． B． C． D．
7．对于实数、定义新运算：☆（其中，为常数），已知1☆，3☆，则的值为
A．9 B．8 C．4 D．3
8．若关于、的方程组的解满足，则等于
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
9．现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，设用张纸板做盒身，张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是
A． B．
C． D．
10．已知关于，的二元一次方程组的解为，若，满足二元一次方程组，则
A．0 B．2 C．4 D．6
二．填空题（共6小题）
11．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是 ．（答案不唯一，符合即可）
12．解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用①②得到的方程是 ．
13．已知，则为 ．
14．现有一段长为180米河道整治任务，由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治12米，工程队每天整治8米，共用时20天．小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已知列出一个方程为，则另一个方程是 ．
15．若是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
16．若关于、的方程组有整数解，则正整数的值为 ．
三．解答题（共8小题）
17．解方程组：
（1）；
（2）．
18．若与互为相反数，且关于的方程的解是，求的值．
19．若关于，的二元一次方程组的解中和的和为1，求的值．
20．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车和3辆型汽车的进价共计55万元；3辆型汽车和2辆型汽车的进价共计95万元．求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
21．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得．
（1）求正确的，的值；
（2）求原方程组的正确解．
22．（1）若方程与方程的解相同，求的值．
（2）在（1）的条件下，求关于、的方程组的解．
（3）善于研究的小益同学发现，无论取何值，（2）中方程组的解与之间都满足一个关系式，求这个关系式．
23．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．
（1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”： ．
（2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值．
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元．
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么 ．
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第2章 二元一次方程组 单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
本试卷共24题，其中选择10道、填空6道、解答8道．
一．选择题（共10小题）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，故本选项正确；
、、含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故本选项错误．
故选．
2．若是关于，的二元一次方程的一组解，则的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】将代入得，
，
故选．
3．已知，用含的代数式表示可得
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
，
．
故选．
4．方程组的解是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】，
①②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
故原方程组的解为，
故选．
5．若方程组，其中不等于0，那么
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，可得，
．
故选．
6．如果方程组的解与方程组的解相同，则、的值是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得：是的解，
故可得：，解得：．
故选．
7．对于实数、定义新运算：☆（其中，为常数），已知1☆，3☆，则的值为
A．9 B．8 C．4 D．3
【答案】
【解析】由题意得：
，
解得：，
．
故选．
8．若关于、的方程组的解满足，则等于
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】
【解析】，
①②得，，
即，
因为，
所以，
所以，
故选．
9．现用95张纸板制作一批盒子，每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张纸板制盒身、多少张纸板制盒底，可以使盒身和盒底正好配套，设用张纸板做盒身，张纸板做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】制作盒身和制作盒底的纸板共95张，
；
每张纸板可做4个盒身或做11个盒底，且一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，
．
根据题意可列方程组．
故选．
10．已知关于，的二元一次方程组的解为，若，满足二元一次方程组，则
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】
【解析】原方程组可化为：，
关于，的二元一次方程组的解为，
，
①②，得，
把代入①，得，
，
故选．
二．填空题（共6小题）
11．若方程组是二元一次方程组，则“”可以是 （答案不唯一，符合即可） ．
【答案】．（答案不唯一，符合即可）
【解析】“”可以是：，
故答案为：．（答案不唯一，符合即可）
12．解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用①②得到的方程是 ．
【答案】．
【解析】解二元一次方程组时，小华用加减消元法消去未知数，按照他的思路，用①②得到的方程是：，
故答案为：．
13．已知，则为 1 ．
【答案】1．
【解析】，
，
解得：，
则，
故答案为：1．
14．现有一段长为180米河道整治任务，由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治12米，工程队每天整治8米，共用时20天．小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数，，已知列出一个方程为，则另一个方程是 ．
【答案】．
【解析】根据题意得，是工程队的工作量，是工程队的工作量，
所以可得方程：，
故答案为：．
15．若是二元一次方程的一个解，则的值为 2024 ．
【答案】2024．
【解析】将代入方程可得，，
原式
；
故答案为：2024．
16．若关于、的方程组有整数解，则正整数的值为 1或3或5 ．
【答案】1或3或5．
【解析】，
由②得：③，
把③代入①得：，
把代入③得：，
关于、的方程组有整数解，
或或，或或或，
解得：或3或5，
正整数的值为：1或3或5．
故答案为：1或3或5．
三．解答题（共8小题）
17．解方程组：
（1）；
（2）．
【解析】（1）方程组整理，得，
①②，得，
解得，
把代入②，得，
解得，
故原方程组的解为；
（2），
②①，得④，
②③，得，即⑤，
④⑤，得，
把代入⑤，得，
把，代入①，得，
故原方程组的解为．
18．若与互为相反数，且关于的方程的解是，求的值．
【解析】根据题意得：，
可得，，
解得：，，
把，，代入方程得：，
整理得：，即，
解得：，
则原式．
19．若关于，的二元一次方程组的解中和的和为1，求的值．
【解析】和的和为1，
．
又，
．
把代入，得．
把，代入，得，
解得．
答：的值为．
20．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车和3辆型汽车的进价共计55万元；3辆型汽车和2辆型汽车的进价共计95万元．求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
【解析】设、两种型号的汽车进价为万元和万元，
，
解得：．
答：、两种型号的汽车每辆进价分别为25万元和10万元．
21．小鑫、小童两人同时解方程组时，小鑫看错了方程②中的，解得，小童看错了①中的，解得．
（1）求正确的，的值；
（2）求原方程组的正确解．
【解析】（1）根据题意，可得，
整理得：，
解得：；
（2）将，代入原方程组，得，
由②可得③，
将③代入①，可得，
解得：，
把代入③，解得：．
故原方程组的正确解是．
22．（1）若方程与方程的解相同，求的值．
（2）在（1）的条件下，求关于、的方程组的解．
（3）善于研究的小益同学发现，无论取何值，（2）中方程组的解与之间都满足一个关系式，求这个关系式．
【解析】（1）一元一次方程的解为，
将代入方程得：，
解得：，
的值为1；
（2）将代入原方程得：，
即，
①②得：，
将代入②得：，
解得：，
在（1）的条件下，关于、的方程组的解为；
（3）原方程组可变形为，
①②得：，
无论取何值，（2）中方程组的解与之间都满足一个关系式是．
23．定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”．
（1）直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”： ．
（2）二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出，的值．
【解析】（1）由题知，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
故答案为：．
（2）二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，
又二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，
，
解得，
，．
24．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数、满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需 元．
（3）对于实数、，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么 ．
【解析】（1），
由①②可得．
故答案为：．
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意得：，
由①②可得，
即购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
故答案为：30．
（3）依题意得：，
由①②可得，
即．
故答案为：．
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