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浙教版2023-2024学年七下数学第3章整式的乘除
（解析版）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．化简(2+1)(22+1)(24 +1)(28+1)(216+1)的结果是（ ）
A．232-1 B．232+1 C．(216+1)2 D．(216-1)2
【答案】A
【解析】原式=
,
故答案为：A.
2．已知x+y=3，x3+y3=9，则x7+y7=（ ）．
A．129 B．225 C．125 D．675
【答案】A
【解析】∵x3 +y3 =(x+y)[(x+y)2-3xy]=(x+y)3-3xy(x+y)，
∴9=27-9xy，xy=2．
∴x2+y2=(x+y)2 -2xy=5，
x4+y4=(x2 +y2)2 -2x2y2=17．
∴x7+y7=(x3 +y3)(x4+y4)-x3y4-x4y 3=9×17-x3y3(x+y)=153 -8×3= 129．
3．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
【答案】B
【解析】2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
4．为求1+2+22+23+…+22015的值，可令S=1+2+22+23+…+22015，则2S=2+22+23+…+22016，因此2S﹣S=22016﹣1.仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52015的值为（ ）
A．52015﹣1 B．52016﹣1 C． D．
【答案】D
【解析】设a =1+5+52+53+…+52015，则5a=5（1+5+52+53+…+52015）=5+52+53+…+52015+52016，
∴5a-a=（5+52+53+…+52015+52016）-（1+5+52+53+…+52015）=52016-1，
即a= .
故答案为：D.
5．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式m，n，n-m；
第⒉次操作后得到整式m，n，n-m，-m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏.则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n-m D．2n
【答案】D
【解析】根据题意：
第1次操作后得到整式m，n，n-m；共3个整式；
第2次操作后得到整式m，n，n-m，-m；共4个整式；
第3次操作后得到整式m，n，n-m，-m，-n；共5个整式；
第4次操作后得到整式m，n，n-m，-m，-n，m-n；共6个整式；
第5次操作后得到整式m，n，n-m，-m，-n，m-n，m；共7个整式；
第6次操作后得到整式m，n，n-m，-m，-n，m-n，m，n；共8个整式；
第7次操作后得到整式m，n，n-m，-m，-n，m-n，m，n，n-m；共9个整式；
…
第2023次操作后得到整式m，n，n-m，-m，-n，m-n，……m，n，n-m；共2025个整式；
我们发现：整式串每六个整式一循环.
六个整式之和=m+n+（n-m）+（-m）+（-n）+（m-n）=0，
2025÷6=337…3，
第2023次操作后得到的整式串各项之和是=337×0+m+n+（n-m）=2n.
故答案为：D.
6．下列说法中：①若，，则；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若，则或；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是0.5；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】①∵am=6，an=3，∴am-n=am÷an=6÷3=2，故此小题正确；
②如图，当AB∥CD时，
∵AB∥CD，
∴∠CMP=∠BPM，
∵PQ平分∠BPM，MN平分∠CMP，
∴∠QPM=∠BPM，∠NMP=∠CMP，
∴∠QPM=∠NMP，
∴MN∥PQ；
当AB不平行CD时，∠CMP≠∠BPM，当然∠QPM≠∠NMP，当然MN就不平行PQ，故此小题错误；
③∵（t-2）2t=1，∴2t=0或t-2=±1，解得：t=0或3或1，故此小题错误；
④∵的解也是二元一次方程x-3y=-2的解，
∴的解也是ax+y=4的解，
解
得，
∴是ax+y=4的解，
∴4a+2=4，
解得a=0.5，故此小题正确，
综上正确的有①④.
故答案为：C.
7．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
【答案】D
【解析】如图，
设矩形的两边长分别是、；阴影部分的长分别为下、；
则，即：，
，；
；
矩形的面积是，矩形的周长是；
故A、是正确的；
又因为的面积是的面积是；
；
故正确
故答案为：D.
8．已知，则ab-b+a的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】B
【解析】∵（a-b）2=a2-2ab+b2， ，
∴（a-b）2+2ab=9，
∴ab=，
∴ab-b+a===，
∵，
∴ab-b+a的最大值为5.
故答案为：B。
9．已知 ， ，…， 都是正数，如果 M＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），N＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），那么 M，N 的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
【答案】A
【解析】设
M-N
∵ ， ，…， 都是正数
∴
∴
故答案为：A.
10．有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①b3＝2a+5；
②当a＝2时，第3项为16；
③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；
⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
【答案】A
【解析】第一项是a2，
第二项是a2+2a+1，
用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则，
将b1加2记为b2，则，
将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是，
当a＝2时，第三项是，②正确；
将b2加2记为b3，则，①正确；
第三项与b3相加作为第四项，则第四项是，
将b3加2记为b4，则，
第四项与b4相加作为第五项，则第五项是，
第4项与第5项之和为25，则，解得a＝0或，③错误；
…
综上所述：，第项为，
第2022项为，④错误；
当时，
，
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知n为奇数且a≠0，化简（8an+3﹣6an+2﹣5an+1）÷（﹣a）n＝ ．
【答案】﹣8a3+6a2+5a
【解析】由题意可得：
=
=
故答案为：
12．已知 ， ，则 .
【答案】-1
【解析】∵ =192， =192，
∴ =192=32×6， =192=32×6，
∴ =32， =6，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ .
13．已知，则的值等于
【答案】-1
【解析】∵a=-1，
∴（a+1）2=17=a2+2a+1，
∴a2+2a=16，
∴a5+2a4-17a3-a2+18a-17
=a5+2a4-16a3-a3-2a2+16a+a2+2a-16-1
=a3（a2+2a-16）-a（a2+2a-16）+（a2+2a-16）-1
=0-0+0-1
=-1.
故答案为：-1.
14．若，则 ．
【答案】49
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：49．
15．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i.
根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ .
【答案】7﹣7i
【解析】（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2
＝2﹣4i+i﹣2i2+4+i2﹣4i
＝6﹣i2﹣7i
＝6﹣（﹣1）﹣7i
＝7﹣7i.
故答案为：7﹣7i.
16．一个三位数A．它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“三好数”，将“三好数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为，另记A和的和为．例如：246满足，则246是“三好数”，且，则134 （选填“是”或“不是”)“三好数”；已知“三好数”M的百位数字小于个位数字，且能被8整除，则满足条件的“三好数”M的最大值为 ．
【答案】不是；
【解析】，
134不是“三好数”；
设“三好数”M百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，（a，b，c为1至9的整数，），
则，，
，
，
，
，
能被8整除，，
或，
或，
又，
要想M取最大值，则，，，
满足条件的“三好数”M的最大值为，
故答案为：不是；
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ▲ ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ▲ ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
【答案】①解：∵如图，左图的阴影部分的面积是a2﹣b2，
右图的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
这就验证了平方差公式；
②62；
③[ n（n+1）]2
【解析】②如图，
A表示1个1×1的正方形，即1×1×1=13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23；
G与H，E与F和I可以表示3个3×3的正方形，即3×3×3=33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
由此可得：13+23+33=（1+2+3）2=62；
故答案为：62；
③由上面表示几何图形的面积探究可知，13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，
又∵1+2+3+…+n= n（n+1），
∴13+23+33+…+n3=[ n（n+1）]2．
故答案为：[ n（n+1）]2．
18．阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式有一个因式是2x＋1，求m的值．
解法一：设，
则：，
比较系数得：，解得：，∴；
解法二：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故．
（1）已知多项式有两个因式分别是（x－1）和（x－2），求m和n的值；
（2）已知多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，求k的值．
【答案】（1）解：设，
令x＝1，则1－m＋2n－16＝0，
令x＝2，则16－8m＋4n－16＝0，
即，解得：，
（2）解：令，，
再令x＝－2，则－8＋4k＋3＝m；
令x＝－3，则－27＋9k＋3＝n；
∵多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，
∴n－m＝1，
∴（9k－24）－（4k－5）＝1，
9k－24－4k＋5＝1，
5k＝20，
k＝4．
19．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：
（1）由图2可以得到：
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，求的值；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：①由图2得，
∵，，
∴；
②∵，∴，∴，∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】（1）由图2知，大正方形的面积等于，也可表示成
∴
故答案为：．
20． 阅读材料，解决后面的问题：
若，求的值．
解：，
，
即：，，，
解得：，，．
（1）若，求的值；
（2）已知等腰的两边长，，满足，求该的周长；
（3）已知正整数，，满足不等式，求的值．
【答案】（1）解：，．
，，解得：，．
；
（2）解：，，
，即，．，是等腰的两边长，
当是腰，是底时，的周长；
当是腰，是底时，的周长．
（3）解：，，
，，，为正整数，所以，即，
或1或，即或5或3，
当时，或1或，或2.5或1.5且，，为正整数，，，，
；
当时，，即，与题意不符，舍去；
当时，，即，与题意不符，舍去．
综上所述，．
21．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0．
．
当时，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
（2）知识运用：若，当 时，有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
【答案】（1）3；3
（2）1；大；
（3）解：，
，
，
，
当时，的最小值为．
【解析】（1）∵，
∴当x=3时，代数式的最小值是3；
故答案为：3；3.
（2）∵，
∴当x=1时，y有最大值为-2；
故答案为：1；大；-2.
22．如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分、、、的周长分别为，，，，面积分别为，，，．
（1）若，，，求长方形的面积；
（2）若长方形的周长为，长方形的周长为，能求出，，，中的哪些值？
（3）若，，，求结果用含，，的代数式表示．
【答案】（1）解：长方形的长为：，
长方形的宽为：，
故长方形的面积为：，
，，代入得，
面积为：，
长方形的面积为；
（2）解：长方形的周长为，
即，
，
同理，长方形的周长为，
即，
，
得，
如图，，
，
，
，
能求出，，的值；
（3）解：，
，
，
，
，
，
则
=
=
=
=
，
．
23．有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．
（1）观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）；
（2）将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值；
若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值．
【答案】（1）解：由题可知：，
（2）解：①阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为：，
，
；
②阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，
将代入得：，
，即舍去，
．
24．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”．
（1）写出一个30到50之间的“正巧数”；
（2）设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
（3）m，n为正整数，且，若是“正巧数”．
①求的值；
②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”．
【答案】（1）解：如：，
∴40是正巧数；
（2）解：由题意可得：
∴由和构成的“正巧数”能被8整除；
（3）解：①
∵是“正巧数”，
∴；
②∵是“正巧数”，
∴也是“正巧数”，
∴能被8整除，
，
∵能被8整除，80能被8整除，
∴能被8整除，
即是“正巧数”．
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浙教版2023-2024学年七下数学第3章整式的乘除
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．化简(2+1)(22+1)(24 +1)(28+1)(216+1)的结果是（ ）
A．232-1 B．232+1 C．(216+1)2 D．(216-1)2
2．已知x+y=3，x3+y3=9，则x7+y7=（ ）．
A．129 B．225 C．125 D．675
3．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（ ）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
4．为求1+2+22+23+…+22015的值，可令S=1+2+22+23+…+22015，则2S=2+22+23+…+22016，因此2S﹣S=22016﹣1.仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52015的值为（ ）
A．52015﹣1 B．52016﹣1 C． D．
5．在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动，对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式m，n，n-m；
第⒉次操作后得到整式m，n，n-m，-m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏.则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n-m D．2n
6．下列说法中：①若，，则；②两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；③若，则或；④已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则a的值是0.5；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
7．如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
8．已知，则ab-b+a的最大值为（ ）
A． B．5 C． D．
9．已知 ， ，…， 都是正数，如果 M＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），N＝（ + +…+ ）（ + +…+ ），那么 M，N 的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
10．有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论：
①b3＝2a+5；②当a＝2时，第3项为16；③若第4项与第5项之和为25，则a＝7；
④第2022项为（a+2022）2；⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2；
以上结论正确的是（ ）
A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知n为奇数且a≠0，化简（8an+3﹣6an+2﹣5an+1）÷（﹣a）n＝ ．
12．已知 ， ，则 .
13．已知，则的值等于
14．若，则 ．
15．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a、b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i.
根据以上信息，完成下面计算：（2+i）（1﹣2i）+（2﹣i）2＝ .
16．一个三位数A．它的各个数位上的数字均不为零，且满足百位上数字与个位上数字的和等于十位上数字的两倍，则称这个三位数为“三好数”，将“三好数”A的百位数字与个位数字交换位置后得到的新数记为，另记A和的和为．例如：246满足，则246是“三好数”，且，则134 （选填“是”或“不是”)“三好数”；已知“三好数”M的百位数字小于个位数字，且能被8整除，则满足条件的“三好数”M的最大值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～18题每题6分，第19～24题每题10分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．
证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：
这个图形的面积可以表示成：
（a+b）2或 a2+2ab+b2
∴（a+b）2 =a2+2ab+b2
这就验证了两数和的完全平方公式．
类比解决：
①请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）
问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？
如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23
而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．
由此可得：13+23=（1+2）2=32
尝试解决：
②请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33= ．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．
问题拓广：
③请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3= ．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）
18．阅读材料，完成下列问题．
材料：已知多项式有一个因式是2x＋1，求m的值．
解法一：设，
则：，
比较系数得：，解得：，∴；
解法二：设（A为整式）；
由于上式为恒等式，为方便计算了取，，故．
（1）已知多项式有两个因式分别是（x－1）和（x－2），求m和n的值；
（2）已知多项式除以x＋2所得的余数，比该多项式除以x＋3所得的余数少1，求k的值．
19．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如，由图1可以得到：
（1）由图2可以得到：
（2）利用图2所得的等式解答下列问题：
①若实数a，b，c满足，，求的值；
②若实数x，y，z满足，，求的值．
20． 阅读材料，解决后面的问题：
若，求的值．
解：，
，
即：，，，
解得：，，．
（1）若，求的值；
（2）已知等腰的两边长，，满足，求该的周长；
（3）已知正整数，，满足不等式，求的值．
21．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
，
当时，的值最小，最小值是0．
．
当时，的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）知识再现：当 时，代数式的最小值是 ；
（2）知识运用：若，当 时，有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
22．如图，将三个边长，，的正方形分别放入长方形和长方形中，记阴影部分、、、的周长分别为，，，，面积分别为，，，．
（1）若，，，求长方形的面积；
（2）若长方形的周长为，长方形的周长为，能求出，，，中的哪些值？
（3）若，，，求结果用含，，的代数式表示．
23．有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．
（1）观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）；
（2）将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值；
若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值．
24．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”．
（1）写出一个30到50之间的“正巧数”；
（2）设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
（3）m，n为正整数，且，若是“正巧数”．
①求的值；
②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”．
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