浙教版七年级下册第1章《平行线》培优测试（含解析）

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七年级下册平行线培优测试
一、选择题
1．如图，长方形纸片ABCD分别沿着EF、DH折叠后，点A，B，C分别落在点A′，B′，C′的位置，当DA'∥B'C'时，∠1=67°，则∠2=（　　）．
A．23° B．46° C．56° D．67°
2．某同学在一次数学实践活动课中将-条对边互相平行的纸带进行两次折叠(如图) ．折痕分别为AB，CD，若CD∥BE，且∠CBE=∠ABC，则∠1为（　　）
A．106° B．108° C．109° D．110°
3．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系为（　　）
A．α+β-γ＝90° B．β＝α+γ C．α+β+γ＝180° D．β+γ-α＝90°
4．如图，在 中， ， 是 内角 的平分线， 是 外角 的平分线， 是 外角 的平分线，以下结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D． 平分
5．将矩形纸带按如图所示方式折叠，若，则（　　）
A．130° B．125° C．120° D．115°
6．如图，直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示放置（），边交直线于点，边交直线于点，边分别交直线于点，在线段上取一点，连结，且有，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放.其中含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动(转动角度小于).当DE与三角尺ABC的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　）
A．或或 B．或或
C．或或 D．或或
9．如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角∠1与折射角∠2的度数比为3∶2．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为α，β，在液体中两条折射光线的夹角为γ，则α，β，γ三者之间的数量关系为（　　）
A． （α＋β）＝γ B． （α＋β）＝120°－γ
C．α＋β＝γ D．α＋β＋γ＝180°
10．如图，AB∥CD，∠BAC与∠DCA的平分线相交于点G，GE⊥AC于点E，F为AC上的一点，且FA=FG=FC，GH⊥CD于H．下列说法：①AG⊥CG；②∠BAG=∠CGE；③S△AFG=S△CFG；④若∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGF=50度．其中正确的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
11．两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中，　 　时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
12．如图，，A、B分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点B逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线转动的速度是/秒，射线转动的速度是/秒，且a、b满足．若射线绕点A顺时针先转动18秒，射线才开始绕点B逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动　 　秒时，射线与射线互相平行．
13．为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．已知，连接，，则　 　；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动　 　秒时，两灯的光线互相平行．
14．如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过　 　秒边与三角板的一条直角边（边，）平行．
15．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图2：当∠BAD＝15°时，BC∥DE.则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为　 　.
16．图1是一款落地的平板支撑架，AB，BC是可转动的支撑杆.调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板，，，则　 　；现将支撑杆AB调整至图3所示位置，调整过程中，大小不变，，再顺时针调整平板DE至，使得，则　 　.
解答题
17．如图，直线与相交于点，，，，求证：.
证明：已知，
（　　）
已知，
▲ （　　）
已知，
（　　）
即 ▲ .
▲ （　　）
（　　）
18．已知直线，垂足为点，点A，B分别在直线OA，OB上.点是平面上任一点，连接PA，PB
（1）当点P在如图1所示位置时，，则　 　°；
（2）当点移动到如图2所示位置时，求之间的数量关系，并说明理由：
（3）如图3，在(2)的条件下分别作的角平分线交于点，
①若，求的度数；
②请直接写出和的数量关系.
四、综合题
19．
（1）【基础巩固】
如图1，已知，求证：；
（2）【尝试应用】
如图2，在四边形中，，点E是线段上一点．，，求的度数；
（3）【拓展提高】
如图3，在四边形中，，点E是线段上一点，若平分，．
①试求出的度数；
②已知，，点G是直线上的一个动点，连接并延长．
②-1若恰好平分，当与四边形中一边所在直线垂直时， ▲ ；
②-2如图4，若是的平分线，与的延长线交于点F，与交于点P，且，则 ▲ （用含的代数式表示）．
20．已知直线AB∥CD，
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 　；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　 　.
21．已知 ，点 在直线 ， 之间，连接 ， ，如图1，易得 .
（1）若 ，请在如图1中画出 的角平分线 ， 的角平分线 ， ， 两线交于点 ，利用上述结论，求 的度数；
（2）若 平分 ，将线段 沿 平移至 .
①如图2，若 ， 平分 ，求 的度数；
②如图3，若 平分 ，请写出 与 的数量关系，并说明理由.
22．光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用.例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理.
（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；
（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b.平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝ ，求 .
（3）如图③，若 ＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝ （90°＜ ＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出 的度数.（可用含x的代数式表示）.
23．如图1，在三角形ABC中，∠ABC=90°，直线a与边AC，AB分别交于D，E两点，直线b与边BC，AC分别交于F，G两点，且a∥b
（1）若∠AED=44°，求∠BFG的度数；
（2）如图2，P为边AB上一点，连结PF，若∠PFG+∠BFG=180°，请你探索∠PFG与∠AED的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠DEB=m，延长AB交直线b于点Q，在射线DC上有一动点P，连结PE，PQ，请直接写出∠PEQ，∠EPQ，∠PQF的数量关系（用含m的式子表示）
24．我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A光射线自AM顺时针旋转至AN便立即逆时针旋转至AM，如此循环.灯B光射线自BP顺时针旋转至BQ便立即逆时针旋转至BP，如此循环.两灯交叉照射且不间断巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a，b满足(a﹣4b)2+(a+b﹣5)2＝0．若这一带江水两岸河堤相互平行，即PQ∥MN，且∠BAN＝60°．根据相关信息，解答下列问题.
（1）a=　 　，b=　 　.
（2）若灯B的光射线先转动24秒，灯A的光射线才开始转动，在灯B的光射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光射线互相平行？
（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯A的光射线到达AN之前，若两灯射出的光射线交于点C，过点C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动的过程中，∠BAC与∠BCD间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，延长DA'交AB于点M，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠B=90°，
由折叠得∠A=∠DA'H=90°，∠B=∠B'=90°，∠BFE=∠EFB'，
∴∠EFB'=∠BFE=180°-∠1=113°，∠HA'M=90°，
∴∠B'FG=∠EFB'-∠1=46°，
∴∠C'GA=∠B'GF=90°-∠B'FG=44°，
∵ DA'∥B'C' ，
∴∠A'MH=∠C'GM=44°，
∴∠2=90°-∠A'MH=90°-44°=46°.
故答案为：B.
【分析】延长DA'交AB于点M，根据长方形的性质可得∠A=∠B=90°，根据折叠的性质可得∠A=∠DA'H=90°，∠B=∠B'=90°，∠BFE=∠EFB'，根据邻补角定义可求出∠BFE的度数，进而根据角的和差求出∠B'FG的度数，由三角形内角和定理及对顶角相等求出∠C'GA的度数，根据二直线平行，同位角相等求出∠A'MH=∠C'GM=44°，最后再根据三角形的内角和定理算出答案.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ∠CBE=∠ABC ，∠ABC=∠ABE+∠CBE，
∴∠ABE=2∠CBE，
∵∠ABE+∠ABC=180°，
∴5∠CBE=180°，
∴∠CBE=36°，
∵BE∥CD，
∴∠CBE+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-36°=144°，
∵∠BCD+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-144°=36°，
∴∠1=∠BCD-∠ECD=144°-36°=108°.
故答案为：B.
【分析】根据角的和差及∠CBE=∠ABC得∠ABE=2∠CBE，根据折叠的性质及平角的定义可得∠ABE+∠ABC=180°，据此求出∠CBE=36°，由二直线平行，同旁内角互补得∠CBE+∠BCD=180°，则得∠BCD=144°，根据折叠的性质及平角的定义可得∠BCD+∠ECD=180°，据此求出∠ECD=36°，最后根据∠1=∠BCD-∠ECD即可算出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：过点C作CG∥AB，延长CD交EF于点H，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CG，
∴∠AMC=∠MCG=α，∠GCH=∠EHD=90°-∠MCG=90°-α，
∵∠NDH=180°-β，∠NDH=180°-∠EHD-∠γ，
∴180°-β=180°-∠EHD-∠γ
∴180°-β=180°-（90°-α）-∠γ，
∴α+β-γ＝90° .
故答案为：A
【分析】过点C作CG∥AB，延长CD交EF于点H，可推出AB∥EF∥CG，利用平行线的性质可证得∠AMC=∠MCG=α，∠GCH=∠EHD=90°-α，利用邻补角的定义和三角形的内角和定理可得到180°-β=180°-∠EHD-∠γ，据此可得到α、β、γ的关系.
4．【答案】D
【解析】【解答】A. ∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故A不符合题意.
B. 由(1)可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故B不符合题意.
C. 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90° ∠ABD，
故C不符合题意；
D. ∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90° ∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】A、由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等两直线平行得出结论符合题意．
B、由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出结论∠ACB=2∠ADB，
C、在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出结论∠ADC=90°-∠ABD；
D、由BD平分∠ABC，得到∠ABD=∠DBC，由于∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°- ∠ABC，得到∠ADB不等于∠CDB，故不符合题意．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
由折叠可得，，
∵∠1=50°，
∴∠3=65°，
因为AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=115°；
故答案为：D.
【分析】由折叠可得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出∠2的度数.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：延长EA交直线b于点N，如下图所示：
设∠ADH=α，则∠ADM=α
∵∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°
∴∠HDG=180°-∠ADH-∠ADM=180°-2α
由题意得：∠HAD=90°
∵∠HAD是△ADN的外角
∴∠HAD=∠ADM+∠AND
∴∠AND=∠HAD-∠ADM=90°-α
∵直线a∥b
∴∠BEF=∠AND=90°-α
∴.
故答案为：A.
【分析】先设∠ADH=α，结合∠ADH=∠ADM得到∠ADM=α，然后根据∠HDG+∠ADH+∠ADM=180°就可以把∠HDG用α表示出来；由直角三角板ABC可得∠HAD=90°，把∠HAD看成△ADN的外角就可以把∠AND用α表示出来，再根据直线a∥b得到∠BEF=∠AND，从而把∠BEF和∠HDG都用α表示，最后得出答案.
7．【答案】D
【解析】【解答】解： ①由题意得：∠G=∠MPN=90°，∴GE//MP，故①正确；
②由题意得∠EFG=30°，∴∠EFN=180°-∠EFG=150°，故②正确；
③过点F作FH//AB， 如图，
∵AB//CD
∴∠BEF+∠EFD=180°，FH//CD
∴∠HFN=∠MNP=45°
∴∠EFH=∠EFN-∠HFN=105°
∴∠BEF=180°-∠EFH=75°，故 ③ 正确；
④∵∠GEF=60°，∠BEF=75°，
∴∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=45°，
∵∠MNP=45°
∴∠AEG+∠MNP=90°，
∵∠GPN=180°-∠MPN=180°-90°=90°，
∴∠AEG+∠MNP=∠GPN，故 ④正确；
综上所述，正确的有4个.
故答案为：D.
【分析】
①由题意可得∠G=∠MPN=90°，利用内错角相等，两直线平行即可判定GE//MP；
②由题意可得∠EFG=30°，利用邻补角即可求∠EFN=150°；
③过点F作FH//AB， 可得FH//CD， 从而得∠HFN=∠MNP=45°，可求得∠EFH=105°， 再利用平行线的性质即可求得∠BEF=75°；
④利用角的计算可求得∠AEG=∠PMN=45°，∠GPM=90°，即可得出答案.
8．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可知∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，
∵将含45°角的三角尺DBE绕顶点顺时针转动 (转动角度小于180°），
∴0°＜∠ABE＜180°，
当DE∥AC时，
∴∠C=∠BOE=90°，
∴∠EBO=90°-∠E=90°-45°=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBO=60°-45°=15°；
当DE∥AB时，
∠E=∠ABE=45°；
当DE∥BC时，
∴∠E=∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=60°+45°=105°；
∴∠ABE的度数为15°或45°或105°.
故答案为：C.
【分析】利用已知可得到∠A=30°，∠ABC=60°，∠E=∠D=45°，∠C=∠EBD=90°，0°＜∠ABE＜180°；再分情况讨论：当DE∥AC时，利用平行线的性质可证得∠EOB=90°，利用三角形的内角和定理求出∠EBO的度数，即可求出∠ABE的度数；当DE∥AB时，利用平行线的性质可求出∠ABE的度数；当DE∥BC时，利用平行线的性质可求出∠CBE的度数，根据∠ABE=∠ABC+∠CBE，代入计算求出∠ABE的度数；综上所述可得到符合题意的∠ABE的度数.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∴γ=∠1+∠2①，
又∵入射角与折射角的度数比为3：2，
∴∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），
∴γ=（90°-α）+（90°-β）=（180°-α-β），
∴γ=120°-（α+β），即（α+β）=120°-γ.
故答案为：B.
【分析】如图2，分别作出两条入射关系的法线并延长，与折线的夹角分别为∠1和∠2，再过γ角的顶点作法线的平行线，夹角分别为∠3和∠4，由平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，从而得γ=∠1+∠2，再根据入射角与折射角的度数比为3：2，分别求得∠1=（90°-α），∠2=（90°-β），再代入①式中，整理化简即可得到（α+β）=120°-γ.
10．【答案】A
【解析】【分析】灵活利用平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的性质进行分析。
【解答】①中，根据两条直线平行，同旁内角互补，得∠BAC+∠ACD=180°，
再根据角平分线的概念，得∠GAC+∠GCA=∠BAC+∠ACD=×180°=90°，
再根据三角形的内角和是180°，得AG⊥CG；
②中，根据等角的余角相等，得∠CGE=∠GAC，故∠BAG=∠CGE；
③中，根据三角形的面积公式，
∵AF=CF，∴S△AFG=S△CFG；
④中，根据题意，得：在四边形GECH中，∠EGH+∠ECH=180°．
又∠EGH：∠ECH=2：7，则∠EGH=180°×=40°，∠ECH=180°×=140°．
∵CG平分∠ECH，∴∠FCG=∠ECH=70°，
根据直角三角形的两个锐角互余，得∠EGC=20°．
∵FG=FC，
∴∠FGC=∠FCG=70°，
∴∠EGF=50°．
故上述四个都是正确的。
【点评】此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念。
11．【答案】30°或45°或75°
【解析】【解答】①当A'C//AB时，如图所示：
∵∠BAC=45°，
∴∠A'CA=∠BAC=45°；
②当A'D'//AC时，
∵∠A'=30°，
∴∠A'CA=∠A'=30°；
③当A'D'//AB时，如图所示：
过点C作CD//AB，则CD//AB//A'D'，
∴∠A=∠ACD，∠A'=∠A'CD，
∴∠A'CA=∠ACD+∠A'CD=∠A+∠A'=75°；
综上所示，当∠A'CA的度数为30°或45°或75°时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
故答案为：30°或45°或75°.
【分析】分类讨论：①当A'C//AB时，②当A'D'//AC时，③当A'D'//AB时，再分别求解即可.
12．【答案】15或22.5
【解析】【解答】解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行，
射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'=18×5=90°，
分两种情况：
①如图，当9∵∠BAN= =45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°， ∠BAM"=∠M'AM" -∠M'AB=5t°-45° ，
当∠ABQ'=∠BAM”时，BQ'//AM"，
此时，45°-t°=5t°-45°，
解得t=15；
②如图，当18∵∠BAN=45°=∠ABQ，
∴∠ABQ'=45°-t°，∠BAM''=45°-（5t°-90°）=135°-5t°，
当∠ABQ'=∠BAM''时，BQ'//AM'' ，
此时，45°-t°=135°-5t，
解得t=22.5；
综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行.
故答案为15或22.5.
【分析】先求出∠MAM'=18×5=90°，再分类讨论：①当913．【答案】60；45或105
【解析】【解答】解：∵∠MAB+∠BAN=180°， ，
∴∠BAN=180°×=60°，∠BAM=180°-∠BAN=120°，
当AC与BD相遇前，设灯A的光线转动x秒时，两灯的光线AC∥BD，如图，
∵，
∴∠ABP=∠BAM=120°，
∵AC∥BD，
∴∠CAB=∠ABD，
∴120°-2x=120°-（45+x），
解得：x=45，
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN前，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴2x-120°=45+x-120，解得x=45，不合题意，舍去；
当AC与BD相遇后，设灯A的光线转动x秒时，AC灯为达到AN后，两灯的光线AC∥BD，如图3，
∴∠CAB=∠ABD，
∴60°-（2x-180°）=45+x-120°，解得：x=105，
综上可知：当灯A的光线转动45或105秒时， 两灯的光线互相平行．
故答案为：60，45或105.
【分析】由∠MAB+∠BAN=180°，且，可求出∠BAN=60°，∠BAM=120°，设灯A的光线转动x秒时AC∥BD，根据CA与BD相遇前和相遇后可能存在的平行情况，然后利用平行线的性质进行解答即可.
14．【答案】15，60，105或150
【解析】【解答】解：如图3，当点E在MN上方且DE∥BC时，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，当点F在MN上方且DF∥BC时，
，
，
，
，
；
如图5，当点E在MN下方且DE∥BC时，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图6，当点F在MN下方且DF∥BC时，
，
，
，
，
15，60，105或150，
故答案为：15，60，105或150.
【分析】分类讨论：①当点E在MN上方且DE∥BC时，②当点F在MN上方且DF∥BC时，③当点E在MN下方且DE∥BC时，④当点F在MN下方且DF∥BC时，根据4种不同的情况分别画出图形，利用平行线的性质得到DF旋转的角度进而解得t值.
15．【答案】45°，60°，105°，135°
【解析】【解答】解：如图，
当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；
当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；
当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°.
故答案为：45°，60°，105°，135°.
【分析】分①当AC∥DE时，②当BC∥AD时，③当BC∥AE时，④当AB∥DE时四种情况分别画出图形，然后根据平行线的性质及直角三角板的特点即可解决问题.
16．【答案】42；84°
【解析】【解答】解：如图2，过点B作BG∥AF，
∵ED∥AF，
∴AF∥BG∥DE，
∴∠A+∠ABG=∠CBG+∠BCE=180°，
∵∠BAF=∠BCE，
∴∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，
∵BG∥DE，
∴∠GBC=∠BCD=42°；
如图3，延长FA交BC于点G，
∵∠BAF=146°，
∴∠BAG=180°-∠BAF=180°-146°=34°，
又∵∠B=84°，
∴∠BGA=180°-∠B-∠BAG=180°-84°-34°=62°，
∵FG∥D'E'，
∴∠BCE'=∠BGA=62°，
∵∠BCE=∠BAF=146°，
∴∠ECE'=∠BCE-∠BCE'=146°-62°=84°，
∴∠DCD'=∠ECE'=84°.
故答案为：42，84°.
【分析】如图2，过点B作BG∥AF，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AF∥BG∥DE，由二直线平行，同旁内角互补及等角的补角相等可得∠ABG=∠CBG=∠ABC=42°，进而根据二直线平行，内错角相等可得∠BCD的度数；如图3，延长FA交BC于点G，先由邻补角定义算出∠BAG的度数，再根据三角形的内角和定理算出∠BGA的度数，接着由二直线平行，同位角相等，求出∠BCE'的度数，进而根据角的和差及对顶角相等可求出∠DCD'的度数.
17．【答案】证明：已知，
两直线平行，同位角相等，
又已知，
等量代换，
已知，
等式的性质，
即，
等量代换，
内错角相等，两直线平行.
故答案为：两直线平行，同位角相等；；等量代换；等式的性质；；；等量代换；内错角相等，两直线平行.
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠4=∠BAE，结合∠3=∠4可得∠3=∠BAE，由已知条件可知∠1=∠2，由角的和差关系可得∠BAE=∠DAC，推出∠3=∠DAC，然后根据平行线的判定定理进行证明.
18．【答案】（1）140
（2）结论：∠APB=90°-∠OAP-∠OBP
证明：过点P作PF∥OB，
同理可证AC∥PF∥OB，PF⊥AO，
∴∠OBP=∠BPF，∠ADP=90°，
∴∠OAP+∠APD=90°即∠OAP+∠APB-∠BPF=90°，
∴∠OAP+∠APB-∠OBP=90°，
∴∠APB=90°-∠OAP-∠OBP.
（3）解：①过点Q作QM∥OB，交AO于点G，
由（2）的规律可知∠AQB=90°-∠OAQ-∠OBQ，∠APB=90°-∠OAP-∠OBP，
∴∠OAP+∠OBP=90°-∠APB=90°-60°=30°，
∵AQ，BQ分别平分∠OAP，∠OBP，
∴∠OAP=2∠OAQ，∠OBP=2∠OBQ，
∴2∠OAQ+2∠OBQ=30°，
∴∠OAQ+∠OBQ=15°，
∴∠AQB=90°-15°=75°.
②∠APB和∠AQB的数量关系为∠AQB=45°-∠APB.
理由：由（2）的规律可知∠AQB=90°-∠OAQ-∠OBQ，∠APB=90°-∠OAP-∠OBP，
∠OAP=2∠OAQ，∠OBP=2∠OBQ，
∴∠OAP+∠OBP=2∠OAQ+2∠OBQ=2（∠OAQ+∠OBQ），∠OAP+∠OBP=90°-∠APB，
∴∠OAQ+∠OBQ=（∠OAP+∠OBP）=（90°-∠APB），
∴∠AQB=90°-（90°-∠APB）=45°-∠APB.
【解析】【解答】解：（1）过点P作PE∥OB，
∵AC∥OB，OA⊥OB，
∴AC∥OB∥PE，OA⊥AC
∴∠CAP+∠APE=180°，∠BPE=∠OBP=30°，
∴∠OAP+∠CAP=90°，
∴∠CAP=90°-20°=70°，
∴∠APE=180°-70°=110°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=110°+30°=140°.
故答案为：140
【分析】（1）过点P作PE∥OB，结合已知条件可证得AC∥OB∥PE，OA⊥AC，理由平行线的性质可推出∠CAP+∠APE=180°，∠BPE=∠OBP=30°，可求出∠CAP，∠APE的度数，然后根据∠APB=∠APE+∠BPE，代入计算求出∠APB的度数.
（2）过点P作PF∥OB，同理可证AC∥PF∥OB，PF⊥AO，利用平行线的性质可证得∠OAP+∠APB-∠OBP=90°，即可求解.
（3）①过点Q作QM∥OB，交AO于点G，由（2）的规律可知∠AQB=90°-∠OAQ-∠OBQ，∠APB=90°-∠OAP-∠OBP，可求出∠OAP+∠OBP的度数，理由角平分线的定义可证得∠OAP=2∠OAQ，∠OBP=2∠OBQ，据此可推出∠OAQ+∠OBQ的度数，即可求出∠AQB的度数；②由（2）的规律可知∠AQB=90°-∠OAQ-∠OBQ，∠APB=90°-∠OAP-∠OBP，∠OAP=2∠OAQ，∠OBP=2∠OBQ，可表示出∠OAQ+∠OBQ，然后代入可得∠APB和∠AQB的数量关系.
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如下图过点作，交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①设，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②-1：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
如图和所在直线垂直于点M时：
，
如图和所在直线垂直于点G时：
∵，
∴，
，
如图和所在直线垂直于点C时：
，
∴或或；
②-2：由2.1可知，，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEF，∠CBE=∠BEF，然后根据∠AEB=∠AEF+∠BEF进行证明；
（2）过点E作EF∥AD，交AB于点F，则EF∥AD∥BC，由平行线的性质可得∠CBE=∠BEF，∠DAE=∠AEF=30°，则∠BEF=∠AEB-∠AEF=40°，据此解答；
（3）①设∠DAC=2α，∠ABC=β，由角平分线的概念可得∠DAE=∠CAE=α，由已知条件可得∠CAB=∠ABC=β，根据平行线的性质可得∠ABC+∠DAB=180°，代入化简可得α+β=90°，然后根据∠BAE=∠CAB+∠CAE=α+β进行计算；
②-1：由已知条件结合内角和定理可得∠ABE=∠AEB=45°，则∠ABC=∠ABE+∠EBC=75°，利用内角和定理求出∠ACB的度数，根据角平分线的概念可得∠ACD=∠ACB=30°，当CG和AB所在直线垂直于点M时，在△AMC中，由内角和定理可得∠ACG的度数；当CG和AD所在直线垂直于点G时，根据∠ACG=∠BCG-∠BCA进行计算；当CG和CD所在直线垂直于点C时，∠ACG=∠ACD+∠DCG，据此计算；
②-2：由2.1可知∠CAB=∠ABC=75°，∠ACB=30°，根据∠BAC=∠AFC+∠ACF可得∠ACF=75°-α，根据角平分线的概念可得∠ACD=150°-2α，由平行线的性质可得∠ADC+∠BCD=180°，据此解答.
20．【答案】（1）∠E=∠END﹣∠BME
（2）解：如图2，∵AB∥CD，
∴∠CNP=∠NGB，
∵∠NPM是△GPM的外角，
∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，
∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，
∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，
∵AB∥CD，
∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，
∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，
∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，
即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，
∴∠E+2∠NPM=180°；
（3）
【解析】【解答】（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠END=∠EFB，
∵∠EFB是△MEF的外角，
∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，
（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，
∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AGE，
∵∠ABE是△BEG的外角，
∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①
∵∠ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，
∴∠ABM= ∠ABE=∠CHB，∠CDN= ∠CDE=∠FDH，
∵∠CHB是△DFH的外角，
∴∠F=∠CHB﹣∠FDH= ∠ABE﹣ ∠CDE= （∠ABE﹣∠CDE），②
由①代入②，可得∠F= ∠E，
即 .
【分析】（1）利用平行线的性质可证得∠END=∠EFB；再利用三角形的外角的性质可证得∠E=∠EFB﹣∠BME，由此可证得结论.
（2）利用平行线的性质可证得∠CNP=∠NGB，利用三角形的外角的性质去证明∠NPM==∠CNP+∠PMA；再利用角平分线的定义可推出∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，利用平行线的性质可得到∠MFE=∠CNE=2∠CNP；然后利用三角形的内角和定理可证得∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，即可证得结论.
（3）延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，利用平行线的性质和三角形外角的性质可推出∠E=∠ABE﹣∠CDE①，再利用角平分线的定义及三角形的外角的性质可证得∠F== （∠ABE﹣∠CDE）②；然后由①代入②，可求出结果.
21．【答案】（1）解：如图所示，
过点M作MN∥AB，
∵AB//CD，
∴MN∥AB//CD，
∴∠BAM=∠AMN，∠DCM=∠CMN，
∵AP是∠BAE的角平分线，CQ是∠DCE的角平分线，
∴∠BAM= ∠BAE，∠DCM= ∠DCE，
即∠AMN= ∠BAE，∠CMN= ∠DCE，
∵AE⊥CE，
∴∠AEC=90°，
∵∠BAE+∠DCE=∠AEC=90°，
∴∠AMC=∠AMN+∠CMN= ∠BAE+ ∠DCE= （BAE+∠DCE）= 45°；
（2）解：∵AH平分∠BAE，
∴∠BAH=∠EAH，
①∵FH平分∠DFG，
∴设∠GFH=∠DFH=x，
又∵CE∥FG，
∴∠ECD=∠GFD=2x，
又∠AEC=∠BAE+∠DCE=80°，
∴∠BAH=∠EAH=40°-x，
如图，过点H作HI∥AB，
∴∠AHF=∠BAH+∠DFH =40°-x+x=40°；
②∠AHF=90°+ ∠AEC，理由如下：
设∠GFD=2m，∠BAH=∠EAH=n，
∵FH平分∠CFG，
∴∠GFH=∠CFH= = 90°-m，
由（1）知∠AEC=∠BAE+∠DCE=2n+2m，即m+n= ∠AEC，
如图，过点H作HJ∥AB，
∴∠AHF-∠AHJ +∠CFH=∠AHF-n +∠CFH= 180°，
即∠AHF-n +90°-m= 180°，
∴∠AHF=90°+（m+n），
∴∠AHF=90°+ ∠AEC.
【解析】【分析】（1）过点M作MN∥AB，结合已知条件可证得MN∥AB//CD，利用平行线的性质可推出∠BAM=∠AMN，∠DCM=∠CMN；再利用角平分线的定义可证得∠AMN= ∠BAE，∠CMN= ∠DCE，再利用垂直的定义可求出∠AEC=90°；然后根据∠AMC=∠AMN+∠CMN，可求出∠AMC的度数.
（2）利用角平分线的定义可证得∠NAH=∠EAH，①利用角平分线的定义，设∠GFH=∠DFH=x，利用平行线的性质可表示出∠ECD=∠GFD=2x，同时可表示出∠BAH；过点H作HI∥AB，即可去除∠AHF的度数；②设∠GFD=2m，∠BAH=∠EAH=n，利用角平分线的定义可表示出∠CFH，同时可证得m+n= ∠AEC；过点H作HJ∥AB，利用平行线的性质可证得∠AHF-n +∠CFH= 180°，从而可推出∠AHF=90°+（m+n），整体代入可表示出∠AHF.
22．【答案】（1）解：∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠APC=∠BPD，
∵∠CPD=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠APC=45°；
（2）解：如图②：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，
∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，
∵a∥b，
∴∠EPQ+∠PQF=180°，
∴2（∠GPQ+∠PQG）=180°，
∴∠GPQ+∠PQG=90°，
∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°，
∴∠PGQ=90°，
∵PG⊥AB，QG⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°，
∴∠PBQ=360°-90°-90°-90°=90°，
即α=90°.
（3）解：若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，
由（2）知，∠E=90°，
∵α=108°，
∴∠BCE=α-∠E=108°-90°=18°，
∴β=180°-∠BCE=180°-18°=162°；
若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，
∵∠BHF=∠AHP=x，
∴∠BFH=∠CFG=180°-α-x=180°-108°-x=72°-x，
∴∠PHF=180°-2x，∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2（72°-x）=36°+2x，
∵a∥b，
∴∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，
∴∠FGb=360°-（36°+2x）-（180°-2x）=144°，
则∠CGF=180°-∠FGQ=36°，
由∠CGF+∠CFG+β=180°，
得β=180°-∠CFG-∠CGF=180°-（72°-x）-36°=72°+x，
综上，β角的度数为162°或72°+x.
【解析】【分析】（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，可得到∠APC=∠BPD，结合已知条件可得到∠APC+∠BPD=90°，即可求出∠APC的度数.
（2）过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，利用平面镜成像原理入射角等于反射角，可证得∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，利用平行线的性质可推出∠EPQ+∠PQF=180°，从而可求出∠GPQ+∠PQG=90°，即可求出∠PGQ的度数；再利用垂直的定义及四边形的内角和定理可得到∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°；然后求出∠ABC的度数.
（3）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，由（2）可知∠E=90°，再根据∠BCE=α-∠E，可求出∠BCE的度数；然后根据β=180°-∠BCE，可求出β的值；若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，利用平行线的性质可证得∠BHF=∠AHP=x，可表示出∠BFH，∠PHF，∠HFG，再证明∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，由此可求出∠FGB的度数，∠CGF的度数，然后根据∠CGF+∠CFG+β=180°，可得到β角的度数.
23．【答案】（1）解：如图1，过点B作直线BH∥a，
∴∠ABH=∠AED=44°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBH=90°－∠ABH=46°，
∵BH∥a，a∥b，
∴BH∥b，
∴∠CBH+∠BFG=180°，
∴∠BFG=180°－∠CBH=134°
（2）解：图2，过点B作直线BH∥a
由（1）得，BH∥a∥b，
∴∠ABH=∠AED，
又∠CBH+∠ABH=90°，
∴∠CBH+∠AED=90°，
∵∠CBH+∠BFG=180°，
又∠PFG+∠BFG=180°，
∴∠CBH=∠PFG，
∴∠AED+∠PFG=90°.
（3）∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m或∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m
【解析】(3)①当P点在GD上时，如图，作PM∥b，
∴∠PQF=∠MPQ，
∴∠EPM=∠EPQ-∠MPQ=∠EPQ-∠PQF，
∵a∥b，PM∥b，
∴a∥PM，
∴∠EPM=∠PED，
∴∠DEQ=∠PED+∠PEQ=∠EPM+∠PEQ=∠EPQ-∠PQF+∠PEQ，
即∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m ；
②当P点DG的延长线上时，如图，作PM∥b，
∴∠PQF=∠MPQ，
∴∠EPM=∠EPQ+∠MPQ=∠EPQ+∠PQF，
∵a∥b，PM∥b，
∴a∥PM，
∴∠EPM=∠PED，
∴∠DEQ=∠PED+∠PEQ=∠EPM+∠PEQ=∠EPQ+∠PQF+∠PEQ，
即∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m .
【分析】(1) 过点B作直线BH∥a， 由由平行线的性质求出∠ABH，然后根据余角的性质求出∠CBH，根据平行线的传递性得出BH∥b，最后根据平行线的性质求∠BFG即可；
(2) 由于BH∥a，由平行线的性质得出∠ABH=∠AED， 结合余角的性质 ∠CBH+∠AED=90°， 由于BH∥b， 由平行线的性质得出∠CBH+∠BFG=180°，结合∠PFG+∠BFG=180°，可得∠CBH=∠PFG，则可得出∠AED+∠PFG=90°；
（3）分两种情况讨论，作PM∥b，根据平行线的性质得出∠PQF=∠MPQ，即①当P点在GD上时，推出∠EPM=∠EPQ-∠MPQ=∠EPQ-∠PQF，最后得出∠PEQ+∠EPQ－∠PQF=m ；②当P点DG的延长线上时，推出∠EPM=∠EPQ+∠MPQ=∠EPQ+∠PQF，最后得出∠PEQ+∠EPQ+∠PQF=m .
24．【答案】（1）4；1
（2）解：设A灯光射线转动x秒时，两灯的光射线互相平行.
①当灯A光射线转第1轮时，
有4x=x+24，则x=8.
②当灯A光射线转第⒉轮时，有4x-180+x+24=180 ，则x=67.2.
③当灯A光射线转第3轮时，有4x-360=x+24，则x=128.
综上：x=8或67.2或128秒时，两灯的光射线互相平行.
（3）解：设A灯转动x秒，∠BAC=60°-(180°-4x)=4x-120°，
∵CD⊥AC，∴∠BCD=90°-∠BCA.∠BCA=∠PBC+∠CAN=x+180°-4x=180°-3x，
∴∠BCD=90°-∠BCA=90°-(180°-3x)=3x-90°，
∴∠BAC：∠BCD=(4x-120)：(3x-90)=4：3.
【解析】【分析】(1)直接根据 (a﹣4b)2+(a+b﹣5)2＝0，由非负性得到a-4b=0，a+b-5=0，解出a、b即可.
(2)设A灯光射线转动x秒时，两灯的光射线互相平行. 分类讨论 当灯A光射线转第1轮时 、2转时、3转时，根据题意列出方程即可求出.
(3) 设A灯转动x秒 ，先求出∠BAC的度数接着由直角三角形两锐角互余进而求出∠BCD，即可求出答案.
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