【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册3.4乘法公式 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·临渭期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(a+2)(a-2)=a2-4，故此选项计算正确，符合题意；
C、(-3a2b)2=9a4b2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a-b)2=a2-2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、合并同类项：把多项式中得同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
B、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
C、积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
D、完全平方公式：两个数的差的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍.
熟记相关运算法则是解题的关键
2．（2023七下·丹东期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
∵已知，
∴
∴①当m=-2b时，得：
解得：
②当m=2b时，得：
解得：
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式将展开得到：，再根据对应项相等即可得出答案.
3．（2023七下·昌黎期末）若，则n的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵20232023 20232021=20232021(20232-1)
∴20232021(20232-1)=2023n(20232-1)
∴n=2021
故答案为：D.
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式的应用是解决本题的关键。
4．如图，在正方形ABCD中，P是线段AC上任意一点，过点P分别作EF∥AD，MN∥AB．设正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和为S1，其余部分(即图中两阴影部分)的面积之和为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1>S2 B．S1≥S2 C．S1【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形AEPM和正方形CFPN的边长为a和b，
则正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和S1=a2+b2，
图中两阴影部分的面积之和S2=ab+ab=2ab，
把S1-S2=a2+b2-2ab=（a-b）2，
∵（a-b）2≥0，
∴S1≥S2；
故答案为：B.
【分析】先设正方形AEPM和正方形CFPN的边长为a和b，表示出S1与S2后，根据完全平方数比较大小即可得出答案.
5．（2023七下·南山期末）a、b、c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a、c为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是（ ）
A．正方形比长方形的面积大1
B．长方形比正方形的面积大1
C．正方形和长方形的面积一样大
D．正方形和长方形的面积关系无法确定
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵a、b、c是三个连续的正整数，
∴a=b-1，c=b+1，
∴以a、c为长和宽作长方形的面积为ac=（b+1）（b-1）=b2-1，
∴b2-1＜b2，
∴以b为边长的正方形面积大.
故答案为：A.
【分析】根据a、b、c是三个连续的正整数，用含b的式子表示出a、c，然后根据长方形与正方形的面积计算公式分别表示出正方形与长方形的面积，再比较大小即可.
6．（2023七下·萧山期末）设，，，，其中，，给出以下结论：
当时，；不论为何值，．
则下列判断正确的是（ ）
A．，都对 B．，都错 C．对，错 D．错，对
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵n=ab， ，，
∴n=（2023+t）（2021+t）=（2022+1+t）（2022-1+t）=4，
∴（2022+t）2-1=4
∴（2022+t）2=5；
∴p=（a+b）2-2ab=（2023+t+2021+t）2-2n
=（4044+2t）2-2×4=4（t+2022）2+8=4×5-8=12，故①正确；
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误
∴①对，②错.
故答案为：C.
【分析】将a，b代入n=4可得到（2022+t）2=5；利用完全平方公式，可知p=（a+b）2-2ab，狄仁杰可求出p的值，可对①作出判断；当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，可对②作出判断.
7．（2023七下·盐湖期末）数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．下列图形中能验证的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：A、根据图象可知：，∴A符合题意；
B、根据图象可得：，∴B不符合题意；
C、根据图象可知：，∴C不符合题意；
D、根据图象可知：，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得答案.
8．（2023七下·海港期末）如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为a2-x2，
由右图可表示阴影部分的面积为：122x+2aa-x=a+xa-x ， ∴ a2-x2=a+xa-x
故答案为：D.
【分析】 分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果.
二、填空题
9．（2023七下·雅安期末）已知，则多项式的值为 ．
【答案】2027
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用
【解析】【解答】∵，
∴
，
故答案为：2027.
【分析】将代入计算即可.
10．（2023七下·青白江期末）若，，则 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】利用平方差公式可得，再求出即可.
11．（2023七下·顺义期中）观察下列各式的规律：；；；请将发现的规律用含的式子表示为 ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
【分析】观察等号左边第一个因数分别是1，3，5，7…，是以1开始的奇数，所以第n个数是2n-1；等号左边第二个因数分别是3，5，7，9…，是以3开始的奇数，所以第n个数是2n+1。等号右边第一项底数分别是2，4，6，8…，是2开始的偶数，所以第n个数是2n。
所以结果是
故填：
12．（2023七下·浙江期末）已知大长方形的长为a，宽为b (a≠2b)，三个形状和大小都相同的小长方形按如图的方式放置在大长方形内，若x、y表示小长方形的长和宽，给出下列四个等式： ．
①x-y=a-b；
②x2-y2=
③(x+y)2=
④
其中等式成立的有 (填序号)
【答案】①②④
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据图象可得：
②-①得：x-y=a-b，
①+②得：，
2②-①得：，
2①-②得：，
∴；
；
；
故答案为：①②④.
【分析】先根据图列出二元一次方程组，分别求出x-y、x+y、x、y与a和b的关系式，结合平方差公式、完全平方公式即可求解.
三、解答题
13．（2023七下·瑶海期末）我们容易发现：；；．
（1）观察以上各式，请判断与之间的大小关系，并说明理由；
（2）利用（1）中的结论，当，时，求的最小值；
（3）根据（1）中的结论猜想与之间的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∴当且仅当时，取得最小值2；
（3）解：，理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【知识点】无理数的大小比较；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再求最小值即可；
（3）先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
14．（2023七下·贵阳期中）某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多．做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，共站有排；小学部站的是正方形方阵，排数和每排人数都是．
（1）该学校初中部比小学部多多少名学生？
（2）当，时，试求该学校一共有多少名学生．
【答案】（1）解：该学校初中部学生人数为：名，
小学部学生人数为：名，
该学校初中部比小学部多的学生数名，
答：该学校初中部比小学部多名学生；
（2）解：该学校初中部和小学部一共的学生数名，
当，时，原式（名）．
答：该学校一共有名学生．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】(1)该学校初中部比小学部多的学生数=初中部排成的长方形方阵的排数X每排所站的人数一小学部排成的方形方阵的排数X每排所站人数，把相关数值代入化简即可；
(2)先通过（1）得出的该校初中部和小学部的人数，相加得到一共的学生数，再把a =10，b=2代入求值即可。
15．（2023七下·安庆期中）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为，求的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积．
【答案】（1）；；
（2）解：由题意得：，，
；
（3）解：由题意得，图中阴影部分的面积为：，
，，
图中阴影部分的面积为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据所给的图形判断求解即可；
（2）根据图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为， 求出 ，， 再求解即可；
（3）先求出 ，， 再求阴影部分的面积即可。
1 / 1【提高卷】2024年浙教版数学七年级下册3.4乘法公式 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·临渭期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·丹东期末）已知，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．
3．（2023七下·昌黎期末）若，则n的值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
4．如图，在正方形ABCD中，P是线段AC上任意一点，过点P分别作EF∥AD，MN∥AB．设正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和为S1，其余部分(即图中两阴影部分)的面积之和为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1>S2 B．S1≥S2 C．S15．（2023七下·南山期末）a、b、c是三个连续的正整数，以b为边长作正方形，分别以a、c为长和宽作长方形，我们可以得到的结论是（ ）
A．正方形比长方形的面积大1
B．长方形比正方形的面积大1
C．正方形和长方形的面积一样大
D．正方形和长方形的面积关系无法确定
6．（2023七下·萧山期末）设，，，，其中，，给出以下结论：
当时，；不论为何值，．
则下列判断正确的是（ ）
A．，都对 B．，都错 C．对，错 D．错，对
7．（2023七下·盐湖期末）数形结合是数学解题中常用的思想方法，可以使某些抽象的数学问题直观化、简洁化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．在学习整式运算乘法公式的过程中，每个公式的推导教材都安排了运用图形面积加以验证．下列图形中能验证的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023七下·海港期末）如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为x的小正方形，将余下部分对称剪开，拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，x的恒等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023七下·雅安期末）已知，则多项式的值为 ．
10．（2023七下·青白江期末）若，，则 ．
11．（2023七下·顺义期中）观察下列各式的规律：；；；请将发现的规律用含的式子表示为 ．
12．（2023七下·浙江期末）已知大长方形的长为a，宽为b (a≠2b)，三个形状和大小都相同的小长方形按如图的方式放置在大长方形内，若x、y表示小长方形的长和宽，给出下列四个等式： ．
①x-y=a-b；
②x2-y2=
③(x+y)2=
④
其中等式成立的有 (填序号)
三、解答题
13．（2023七下·瑶海期末）我们容易发现：；；．
（1）观察以上各式，请判断与之间的大小关系，并说明理由；
（2）利用（1）中的结论，当，时，求的最小值；
（3）根据（1）中的结论猜想与之间的大小关系，并说明理由．
14．（2023七下·贵阳期中）某学校分为初中部和小学部，初中部的学生人数比小学部多．做广播操时，初中部排成的是一个规范的长方形方阵，每排人，共站有排；小学部站的是正方形方阵，排数和每排人数都是．
（1）该学校初中部比小学部多多少名学生？
（2）当，时，试求该学校一共有多少名学生．
15．（2023七下·安庆期中）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为，求的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若，，求图3中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2，故此选项计算错误，不符合题意；
B、(a+2)(a-2)=a2-4，故此选项计算正确，符合题意；
C、(-3a2b)2=9a4b2，故此选项计算错误，不符合题意；
D、(a-b)2=a2-2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、合并同类项：把多项式中得同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
B、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；
C、积的乘方：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
D、完全平方公式：两个数的差的平方，等于它们的平方和，加上它们积的2倍.
熟记相关运算法则是解题的关键
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
∵已知，
∴
∴①当m=-2b时，得：
解得：
②当m=2b时，得：
解得：
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式将展开得到：，再根据对应项相等即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵20232023 20232021=20232021(20232-1)
∴20232021(20232-1)=2023n(20232-1)
∴n=2021
故答案为：D.
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式的应用是解决本题的关键。
4．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形AEPM和正方形CFPN的边长为a和b，
则正方形AEPM和正方形CFPN的面积之和S1=a2+b2，
图中两阴影部分的面积之和S2=ab+ab=2ab，
把S1-S2=a2+b2-2ab=（a-b）2，
∵（a-b）2≥0，
∴S1≥S2；
故答案为：B.
【分析】先设正方形AEPM和正方形CFPN的边长为a和b，表示出S1与S2后，根据完全平方数比较大小即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵a、b、c是三个连续的正整数，
∴a=b-1，c=b+1，
∴以a、c为长和宽作长方形的面积为ac=（b+1）（b-1）=b2-1，
∴b2-1＜b2，
∴以b为边长的正方形面积大.
故答案为：A.
【分析】根据a、b、c是三个连续的正整数，用含b的式子表示出a、c，然后根据长方形与正方形的面积计算公式分别表示出正方形与长方形的面积，再比较大小即可.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵n=ab， ，，
∴n=（2023+t）（2021+t）=（2022+1+t）（2022-1+t）=4，
∴（2022+t）2-1=4
∴（2022+t）2=5；
∴p=（a+b）2-2ab=（2023+t+2021+t）2-2n
=（4044+2t）2-2×4=4（t+2022）2+8=4×5-8=12，故①正确；
当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，故②错误
∴①对，②错.
故答案为：C.
【分析】将a，b代入n=4可得到（2022+t）2=5；利用完全平方公式，可知p=（a+b）2-2ab，狄仁杰可求出p的值，可对①作出判断；当t=-2022时，a=1，b=-1，m=0，此时无意义，可对②作出判断.
7．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：A、根据图象可知：，∴A符合题意；
B、根据图象可得：，∴B不符合题意；
C、根据图象可知：，∴C不符合题意；
D、根据图象可知：，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积可得答案.
8．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为a2-x2，
由右图可表示阴影部分的面积为：122x+2aa-x=a+xa-x ， ∴ a2-x2=a+xa-x
故答案为：D.
【分析】 分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果.
9．【答案】2027
【知识点】代数式求值；平方差公式及应用
【解析】【解答】∵，
∴
，
故答案为：2027.
【分析】将代入计算即可.
10．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】∵，，
∴，
∴，
故答案为：3.
【分析】利用平方差公式可得，再求出即可.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
【分析】观察等号左边第一个因数分别是1，3，5，7…，是以1开始的奇数，所以第n个数是2n-1；等号左边第二个因数分别是3，5，7，9…，是以3开始的奇数，所以第n个数是2n+1。等号右边第一项底数分别是2，4，6，8…，是2开始的偶数，所以第n个数是2n。
所以结果是
故填：
12．【答案】①②④
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据图象可得：
②-①得：x-y=a-b，
①+②得：，
2②-①得：，
2①-②得：，
∴；
；
；
故答案为：①②④.
【分析】先根据图列出二元一次方程组，分别求出x-y、x+y、x、y与a和b的关系式，结合平方差公式、完全平方公式即可求解.
13．【答案】（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴；
（2）解：∵，
∴
∴当且仅当时，取得最小值2；
（3）解：，理由如下：
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴．
【知识点】无理数的大小比较；完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再求最小值即可；
（3）先求出 ，再求出 ，最后求解即可。
14．【答案】（1）解：该学校初中部学生人数为：名，
小学部学生人数为：名，
该学校初中部比小学部多的学生数名，
答：该学校初中部比小学部多名学生；
（2）解：该学校初中部和小学部一共的学生数名，
当，时，原式（名）．
答：该学校一共有名学生．
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】(1)该学校初中部比小学部多的学生数=初中部排成的长方形方阵的排数X每排所站的人数一小学部排成的方形方阵的排数X每排所站人数，把相关数值代入化简即可；
(2)先通过（1）得出的该校初中部和小学部的人数，相加得到一共的学生数，再把a =10，b=2代入求值即可。
15．【答案】（1）；；
（2）解：由题意得：，，
；
（3）解：由题意得，图中阴影部分的面积为：，
，，
图中阴影部分的面积为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）根据所给的图形判断求解即可；
（2）根据图2的总面积为，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为， 求出 ，， 再求解即可；
（3）先求出 ，， 再求阴影部分的面积即可。
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