【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册3.4乘法公式 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·茶陵期末）设，，．若，则的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
2．（2023七下·杭州期中）不论x，y取什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值（ ）
A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数
3．（2023七下·娄星期中）计算，结果是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·镇海期中）已知： . 求： 代数式 的值为（ ）
A．-5 B．5 C． D．25
5．（2023七下·南京期末）有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·宝安期中）比较图1和图2你可以得到 ① ，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是 ② （ ）
A．①②26 B．①②
C．①② D．①②26
7．（2023七下·龙岗期中）如图所示，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过拼剪，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（2023七下·浙江期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= ；③x2-y2=mn；④x2+y2= ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
二、填空题
9．（2023七下·紫金期中） = ；
10．（2023七下·大渡口期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．例如：可配方成；可配方成．若，则的值为 ．
11．（2023七下·文山期末）两个正方形的边长分别为a和b，且a+b=10，ab=22 ，那么阴影部分的面积是 ．
12．（2023七下·深圳期中）如图，阴影部分是边长是的大正方形剪去一个边长是的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号）
三、解答题
13．（2023七下·高陵期末）【阅读理解】
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，求的值．
解：因为，
所以，
所以，
所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，求和的值．
（2）若满足，求的值；
14．（2023七下·平遥月考）公元3世纪，古希腊数学家丢番图（Diophantus）在其《算术》一书中设置了以下问题：已知两正整数之和为20，乘积为96，求这两个数．因为两数之和为20，所以这两个数不可能同时大于10，也不可能同时小于10，必定是一个大于10，一个小于10．根据如图所示的设法，可设一个数为，则另一个数为，根据两数之积为96，可得．请根据以上思路解决下列问题：
（1）若两个正整数之和为100，大数比小数大，根据丢番图的设法，这两个正整数可表示为 和 ；
（2）请你根据丢番图的运算方法，计算的值．
15．（2023七下·上城期末）综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源：提供长度不同的两种木棒各根如图
入项任务：运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形，且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究．
问题探究过程
（1）发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是 ；请用简洁的语言描述
（2）提出问题：
请用代数式表示你的发现设两种木棒的长度分别为，其中，四种图形面积分别为，，，．
例如：小明的结论是．
小张的结论是，
你的结论是： ；
（3）分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：，，
，
你的证明： ；
（4）拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图： ；
你的关系式： ．
（5）迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答： ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴a=c+1，b=c-1，
∵，
∴，
∴c2+2c+1+c2-2c+1=34，
∴2c2+2=34，
解得：，
故答案为：A.
【分析】利用c表示出a=c+1，b=c-1，再结合，可得，再求出的值即可.
2．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： x2＋y2＋2x－4y＋7=x2+2x+1+y2-4y+4+2=（x+1）2+（y-2） 2+2，
无论x，y为任何实数时，
（x+1）2+（y-2） 2≥0，
∴（x+1）2+（y-2） 2+2≥2，
∴x2＋y2＋2x－4y＋7的值不小于2.
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式将代数式转化为（x+1）2+（y-2） 2+2，利用平方的非负性可得到（x+1）2+（y-2） 2≥0，据此可得到（x+1）2+（y-2） 2+2≥2，即可求解.
3．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
，故D正确.
故答案为：D.
【分析】原式可变形为(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)，然后利用平方差公式进行计算.
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
a2-a-a2+b=-5，
b-a=-5，
∴（b-a）2=25，
a2+b2=25+2ab，
∴==.
故答案为：C.
【分析】由可得b-a=-5，再将两边平方，可得a2+b2=25+2ab，然后整体代入原式中，再化简即可.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：
S2＝b（a+b）×2+ab×2+（a-b）2
＝ab+b 2+ab+a 2-2ab+b 2
＝a 2+2b 2，
S1＝（a+b）2-S2
＝（a+b）2-（a2+2b2）
＝a2+2ab+b2-a2-2b2
＝2ab-b2，
∵S2＝2S1，
∴2（2ab-b2）＝a2+2b2，
∴4ab-2b2＝a2+2b2，
∴a2+4b 2-4ab＝0，
∴（a-2b）2＝0，
∴a-2b＝0，
∴a＝2b．
故选：C．
【分析】先用含有a、b的代数式分别表示S2＝a 2+2b 2，S1＝2ab-b 2，再根据S2＝2S1，得a2+2b 2＝2（2ab-b 2），整理得（a-2b）2＝0，所以a＝2b．
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a-b）2，
大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）2，
因此（a+b）2＝（a-b）2+4ab，
即（a+b）2-（a-b）2＝+4ab，
②设AC＝a，CF＝b，
因为AB＝8，S1+S2＝26，
所以a+b＝8，a2+b2＝26，
因为（a+b）2＝a2+b2+2ab，
所以64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
所以阴影部分的面积是
故答案为：B
【分析】①利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，②用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题．
7．【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图①，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2＝（a+b）（a-b），
所以①符合题意；
（2）如图②，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的底为（a+b），高为（a-b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2＝（a+b）（a-b），
所以②符合题意；
（3）如图③，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的上底为2b，下底为2a，高为（a-b）的梯形，因此面积为（2a+2b）（a-b）＝（a+b）（a-b），
因此有a2-b2＝（a+b）（a-b），
所以③符合题意；
综上所述，①②③都符合题意，
故答案为：D
【分析】按照不同的裁剪方式，拼接成不同的图形，用不同的方法表示拼接前、后阴影部分的面积，即可得出答案
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，m=x+y，n=x-y，
因此①正确；
由于mn=（x+y）（x-y）=x2-y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，4xy=S大正方形 S小正方形，
即4xy=m2 n2，
故，
因此②不正确；
由于x2+y2
=（x+y）2-2xy
，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：C．
【分析】根据两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍进行计算即可.
9．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用平方差公式将每一项都分解成两个因式，然后约分得出计算结果。
10．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴x-1=0，y+2=0，
∴x=1，y=-2，
∴x+y=1-2=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用完全平方公式求出，再求出x=1，y=-2，最后代入计算求解即可。
11．【答案】17
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵两个正方形的边长分别为种a和b，
∴图形①的面积S1= a(a-b)2=a2-ab2，
图形②的面积S2=b22，∴阴影部分的面积为S1+S2=a2-ab2+b22=(a+b)2-3ab2，
∵a+b=10，ab=22，∴S1+S2=100-662=17.
故答案为：17.
【分析】本题运用完全平方式解决三角形的面积和问题，利用a+b，ab和a2+b2之间的关系互相转化.
12．【答案】①②③④
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图①可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图②可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图③可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积==(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图④可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
故答案为：①②③④.
【分析】结合阴影部分的面积公式，求证平方差公式即可。
13．【答案】（1）解：∵，
∴，
；
（2）解：设，
则，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的变形及推论求解即可；
（2）设m=x-2023，n=x-2010，则m2+n2=189，m-n=-13，根据完全平方公式可得mn=[(m-n)2-(m2+n2)]，从而整体代入计算即可.
14．【答案】（1）50+a；50-a
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；用字母表示数
【解析】【分析】（1）由两数之和及两数之差，可将两个数表示为50+a，50-a；
（2）原式变形为 ，利用平方差公式计算即可.
15．【答案】（1）丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和
（2）
（3）证明：，． ．又， ．
（4）；．
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图，连接各点，
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和.
（2）根据（1）中的发现， 得S丙= S乙 + S丁；
故答案为：S丙= S乙 + S丁.
（4）示意图如图，
图中每个矩形的面积为S矩形= ab，
小正方形的面积为S小正方形= (a- b)2，
大正方形的面积为S大正方形=(a + b)2，
∵S大正方形= S小正方形+ 4S矩形，
∴(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
故答案为：(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
（5）∵，
根据(a+b)2=(a-b)2 + 4ab可得
(x+y)2= (x-y)2 + 4xy，
即31 = (x- y)2+4×7，
解得（x- y）2=3，
则；
故答案为：.
【分析】（1）将丙图用辅助线进行分割，判断其面积与其它摆法面积之间的数量关系；
（2）根据（1）中的发现，写出各面积之间的关系即可；
（3）按照例子，直接证明即可；
（4）画出示意图，根据总面积等于各组成图形面积之和，得到a和b之间的数量关系式；
（5）根据完全平方公式的变形得(x+y)2=(x-y)2 + 4xy， 将x+y和xy的值分别代入，求得x-y值.
1 / 1【培优卷】2024年浙教版数学七年级下册3.4乘法公式 同步练习
一、选择题
1．（2023七下·茶陵期末）设，，．若，则的值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
【答案】A
【知识点】代数式求值；完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴a=c+1，b=c-1，
∵，
∴，
∴c2+2c+1+c2-2c+1=34，
∴2c2+2=34，
解得：，
故答案为：A.
【分析】利用c表示出a=c+1，b=c-1，再结合，可得，再求出的值即可.
2．（2023七下·杭州期中）不论x，y取什么实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值（ ）
A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： x2＋y2＋2x－4y＋7=x2+2x+1+y2-4y+4+2=（x+1）2+（y-2） 2+2，
无论x，y为任何实数时，
（x+1）2+（y-2） 2≥0，
∴（x+1）2+（y-2） 2+2≥2，
∴x2＋y2＋2x－4y＋7的值不小于2.
故答案为：A
【分析】利用完全平方公式将代数式转化为（x+1）2+（y-2） 2+2，利用平方的非负性可得到（x+1）2+（y-2） 2≥0，据此可得到（x+1）2+（y-2） 2+2≥2，即可求解.
3．（2023七下·娄星期中）计算，结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
，故D正确.
故答案为：D.
【分析】原式可变形为(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)，然后利用平方差公式进行计算.
4．（2023七下·镇海期中）已知： . 求： 代数式 的值为（ ）
A．-5 B．5 C． D．25
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
a2-a-a2+b=-5，
b-a=-5，
∴（b-a）2=25，
a2+b2=25+2ab，
∴==.
故答案为：C.
【分析】由可得b-a=-5，再将两边平方，可得a2+b2=25+2ab，然后整体代入原式中，再化简即可.
5．（2023七下·南京期末）有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得：
S2＝b（a+b）×2+ab×2+（a-b）2
＝ab+b 2+ab+a 2-2ab+b 2
＝a 2+2b 2，
S1＝（a+b）2-S2
＝（a+b）2-（a2+2b2）
＝a2+2ab+b2-a2-2b2
＝2ab-b2，
∵S2＝2S1，
∴2（2ab-b2）＝a2+2b2，
∴4ab-2b2＝a2+2b2，
∴a2+4b 2-4ab＝0，
∴（a-2b）2＝0，
∴a-2b＝0，
∴a＝2b．
故选：C．
【分析】先用含有a、b的代数式分别表示S2＝a 2+2b 2，S1＝2ab-b 2，再根据S2＝2S1，得a2+2b 2＝2（2ab-b 2），整理得（a-2b）2＝0，所以a＝2b．
6．（2023七下·宝安期中）比较图1和图2你可以得到 ① ，如图3，点C是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积是 ② （ ）
A．①②26 B．①②
C．①② D．①②26
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】①大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab+（a-b）2，
大正方形边长为a+b，故面积也可以表达为：（a+b）2，
因此（a+b）2＝（a-b）2+4ab，
即（a+b）2-（a-b）2＝+4ab，
②设AC＝a，CF＝b，
因为AB＝8，S1+S2＝26，
所以a+b＝8，a2+b2＝26，
因为（a+b）2＝a2+b2+2ab，
所以64＝26+2ab，解得ab＝19，
由题意：∠ACF＝90°，
所以阴影部分的面积是
故答案为：B
【分析】①利用等面积法，大正方形面积等于阴影小正方形面积加上四个长方形面积，得到关系式，②用数形结合思想用完全平方公式解决几何面积问题．
7．（2023七下·龙岗期中）如图所示，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过拼剪，拼成了图①、图②、图③三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是（ ）．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图①，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的长为（a+b），宽为（a-b）的长方形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2＝（a+b）（a-b），
所以①符合题意；
（2）如图②，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的底为（a+b），高为（a-b）的平行四边形，因此面积为（a+b）（a-b），
因此有a2-b2＝（a+b）（a-b），
所以②符合题意；
（3）如图③，
左图的阴影部分的面积为a2-b2，裁剪后拼接成右图的上底为2b，下底为2a，高为（a-b）的梯形，因此面积为（2a+2b）（a-b）＝（a+b）（a-b），
因此有a2-b2＝（a+b）（a-b），
所以③符合题意；
综上所述，①②③都符合题意，
故答案为：D
【分析】按照不同的裁剪方式，拼接成不同的图形，用不同的方法表示拼接前、后阴影部分的面积，即可得出答案
8．（2023七下·浙江期中）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边长(x>y) ．则①x-y=n；②xy= ；③x2-y2=mn；④x2+y2= ，中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由拼图可知，m=x+y，n=x-y，
因此①正确；
由于mn=（x+y）（x-y）=x2-y2，
因此③正确；
由于xy表示一个小长方形的面积，由拼图可知，4xy=S大正方形 S小正方形，
即4xy=m2 n2，
故，
因此②不正确；
由于x2+y2
=（x+y）2-2xy
，
因此④不正确；
综上所述，正确的有①③，
故答案为：C．
【分析】根据两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍进行计算即可.
二、填空题
9．（2023七下·紫金期中） = ；
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用平方差公式将每一项都分解成两个因式，然后约分得出计算结果。
10．（2023七下·大渡口期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．例如：可配方成；可配方成．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴x-1=0，y+2=0，
∴x=1，y=-2，
∴x+y=1-2=-1，
故答案为：-1.
【分析】利用完全平方公式求出，再求出x=1，y=-2，最后代入计算求解即可。
11．（2023七下·文山期末）两个正方形的边长分别为a和b，且a+b=10，ab=22 ，那么阴影部分的面积是 ．
【答案】17
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵两个正方形的边长分别为种a和b，
∴图形①的面积S1= a(a-b)2=a2-ab2，
图形②的面积S2=b22，∴阴影部分的面积为S1+S2=a2-ab2+b22=(a+b)2-3ab2，
∵a+b=10，ab=22，∴S1+S2=100-662=17.
故答案为：17.
【分析】本题运用完全平方式解决三角形的面积和问题，利用a+b，ab和a2+b2之间的关系互相转化.
12．（2023七下·深圳期中）如图，阴影部分是边长是的大正方形剪去一个边长是的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号）
【答案】①②③④
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图①可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图②可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图③可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积==(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图④可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
故答案为：①②③④.
【分析】结合阴影部分的面积公式，求证平方差公式即可。
三、解答题
13．（2023七下·高陵期末）【阅读理解】
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，求的值．
解：因为，
所以，
所以，
所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）已知，求和的值．
（2）若满足，求的值；
【答案】（1）解：∵，
∴，
；
（2）解：设，
则，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的变形及推论求解即可；
（2）设m=x-2023，n=x-2010，则m2+n2=189，m-n=-13，根据完全平方公式可得mn=[(m-n)2-(m2+n2)]，从而整体代入计算即可.
14．（2023七下·平遥月考）公元3世纪，古希腊数学家丢番图（Diophantus）在其《算术》一书中设置了以下问题：已知两正整数之和为20，乘积为96，求这两个数．因为两数之和为20，所以这两个数不可能同时大于10，也不可能同时小于10，必定是一个大于10，一个小于10．根据如图所示的设法，可设一个数为，则另一个数为，根据两数之积为96，可得．请根据以上思路解决下列问题：
（1）若两个正整数之和为100，大数比小数大，根据丢番图的设法，这两个正整数可表示为 和 ；
（2）请你根据丢番图的运算方法，计算的值．
【答案】（1）50+a；50-a
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；用字母表示数
【解析】【分析】（1）由两数之和及两数之差，可将两个数表示为50+a，50-a；
（2）原式变形为 ，利用平方差公式计算即可.
15．（2023七下·上城期末）综合实践．
活动主题：探究图形面积与代数式之间的关系
活动资源：提供长度不同的两种木棒各根如图
入项任务：运用以上根木棒不折断摆成长方形或正方形，且木棒全部用完选取同学们的甲、乙、丙、丁四种不同的摆法如图进行研究．
问题探究过程
（1）发现问题：
请观察以上所有图形，并研究不同2种或2种以上摆法的图形面积之间关系，你发现哪些结论？
例如：小明发现：甲摆法的面积是乙摆法总面积的2倍．
小张发现：丁摆法的总面积大于乙摆法的总面积．
聪明的你，能提出不同于小明和小张的更创新更有意义问题吗？
你的发现是 ；请用简洁的语言描述
（2）提出问题：
请用代数式表示你的发现设两种木棒的长度分别为，其中，四种图形面积分别为，，，．
例如：小明的结论是．
小张的结论是，
你的结论是： ；
（3）分析问题：
请用所学的数学知识证明你的结论．
例如：小明的证明方法如下．
证：，，
，
你的证明： ；
（4）拓展创新：
把甲摆法围成大长方形纸片沿虚线剪成四个全等的小长方形，请用四个小长方形拼摆出边长为的正方形，画出示意图，并用等式表达示意图中的各图形面积之间的关系．
你的示意图： ；
你的关系式： ．
（5）迁移应用：
根据以上的研究结论，请解决数学问题，若，，求的值．
你的解答： ．
【答案】（1）丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和
（2）
（3）证明：，． ．又， ．
（4）；．
（5）
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）如图，连接各点，
由图可知，丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和；
故答案为：丙摆法的面积是乙摆法与丁摆法的面积之和.
（2）根据（1）中的发现， 得S丙= S乙 + S丁；
故答案为：S丙= S乙 + S丁.
（4）示意图如图，
图中每个矩形的面积为S矩形= ab，
小正方形的面积为S小正方形= (a- b)2，
大正方形的面积为S大正方形=(a + b)2，
∵S大正方形= S小正方形+ 4S矩形，
∴(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
故答案为：(a+b)2=(a-b)2 + 4ab.
（5）∵，
根据(a+b)2=(a-b)2 + 4ab可得
(x+y)2= (x-y)2 + 4xy，
即31 = (x- y)2+4×7，
解得（x- y）2=3，
则；
故答案为：.
【分析】（1）将丙图用辅助线进行分割，判断其面积与其它摆法面积之间的数量关系；
（2）根据（1）中的发现，写出各面积之间的关系即可；
（3）按照例子，直接证明即可；
（4）画出示意图，根据总面积等于各组成图形面积之和，得到a和b之间的数量关系式；
（5）根据完全平方公式的变形得(x+y)2=(x-y)2 + 4xy， 将x+y和xy的值分别代入，求得x-y值.
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