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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解4.1因式分解
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay
C．x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1 D．（x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3
3．已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为 （ ）
A． B． C． D．
4．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如下表，各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
9．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
10．下列多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．下列从左到右的变形：
①(x+1)(x-1)=x2-1．②3a2-6a=3a(a-2)．
③9a2-12a+4=(3a-2)2．④3abc3=3c·abc2．
其中属于因式分解的有 (填序号)
12．若将多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2)，则a+b的值为
13．当k= 时，二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3)．
14．若因式分解的结果是，那么m=
15．若多项式x2+mx﹣6有一个因式是（x+3），则m=
16．关于x，y的二次式x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积，则m的值是
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
18．若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．
19．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．
20．分解因式（x2+5x+3）（x2+5x﹣23）+k=（x2+5x﹣10）2后，求k的值．
21．若多项式x2﹣mx+4可分解为（x﹣2）（x+n），求m n的值．
22．
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
23．仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
24．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解4.1因式分解
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列等式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、等式从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、等式从左到右的变形，不是将一个多项式化为几个整式的乘积形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、等式从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、等式从左到右的变形是将一个多项式化为几个整式的乘积形式，是因式分解，故此选项符合题意.
故答案为：D.
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ay
C．x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1 D．（x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3
【答案】A
【解析】A、a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；
B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、（x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
3．已知把一个多项式分解因式，得到的结果为(x+1)(x-3)，则这个多项式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 (x+1)(x-3) =x2-3x+x-3=x2-2x-3.
故答案为：C.
4．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
B、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
C、该等式右边不是几个整式的积的形式，则不是因式分解，不符合题意；
D、该等式的变形过程符合因式分解，不符合题意；
故答案为：D.
5．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A.，不是因式分解，故A不符合题意；
B.，是因式分解，故B符合题意；
C.，故C不符合题意；
D.，不是因式分解，故D不符合题意；
故答案为：B.
6．如下表，各式从左到右的变形中，是因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】是因式分解，不是因式分解，不是因式分解，不是因式分解，所以是因式分解的有1个.
故答案为：A.
7．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、a2-4=(a+2)(a-2)；符合题意；
B、2m2-4m=2m(m-2)；符合题意；
C、不能分解；
D、-a2+2ab-b2=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2.
故选：A.
8．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、 ，等号右边不是乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
B、 属于整式的乘法，故不符合题意；
C、 ，等号左边是单项式，不是因式分解，故不符合题意；
D、 ，是因式分解，故符合题意；
故答案为：D.
9．对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解 B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解
【答案】C
【解析】 ①， 从左到右的变形属于因式分解，
② ，从左到右的变形属于整式的乘法，
∴①属于因式分解，②属于整式的乘法；
故答案为：C.
10．下列多项式中，能因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、不能因式分解，不符合题意；
B、不能因式分解，不符合题意；
C、，能分解因式，符合题意；
D、不能因式分解，不符合题意；
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．下列从左到右的变形：
①(x+1)(x-1)=x2-1．②3a2-6a=3a(a-2)．
③9a2-12a+4=(3a-2)2．④3abc3=3c·abc2．
其中属于因式分解的有 (填序号)
【答案】②③
【解析】①（x+1）（x-1）=x2-1，是多项式乘多项式误；
②3a2-6a=3a（a-2），是因式分解；
③9a2-12a+4=（3a-2）2，是因式分解；
④3abc3=3c·abc2，不是因式分解；
故答案为：②③.
12．若将多项式x2+ax+b分解因式的结果为(x+1)(x-2)，则a+b的值为
【答案】-3
【解析】∵（x+1）（x-2）=x2-x-2，
∴a=-1，b=-2；
故a+b=-1+（-2）=-3；
故答案为：-3.
13．当k= 时，二次三项式x2-kx+12分解因式的结果是(x-4)(x-3)．
【答案】7
【解析】∵（x-4）（x-3）=x2-7x+12，
∴k=7；
故答案为：7.
14．若因式分解的结果是，那么m=
【答案】1
【解析】将（x+）2展开得：x2+x+，
则与mx对应的项为：x．
所以m=1．
15．若多项式x2+mx﹣6有一个因式是（x+3），则m=
【答案】1
【解析】由题意可得出：x2+mx﹣6=（x+3）（x+n），
等式的右边可以展开为：x2+nx+3x+3n=x2+（n+3）x+3n，
∴x2+mx﹣6=x2+（n+3）x+3n
得3n=﹣6，n+3=m，
得n=﹣2，代入另一式得m=1．
故答案为：1．
16．关于x，y的二次式x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个一次因式的乘积，则m的值是
【答案】-18
【解析】解：设x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24=（x+ay+3）（x+by﹣8），
∴x2+7xy+my2﹣5x+43y﹣24=x2+（a+b）xy+aby2﹣5x+（﹣8a+3b）y﹣24，
∴，
解得，
∴m=ab=﹣18．
故答案为：﹣18．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解
（1） .
（2） .
（3） .
（4） .
【答案】（1）解：等式右边不是积的形式，不是因式分解；
（2）解：是整式的乘法，不是因式分解；
（3）解：等式右边不是积的形式，不是因式分解；
（4）解：是因式分解.
18．若2x2+mx﹣1能分解为（2x+1）（x﹣1），求m的值．
【答案】解：∵2x2+mx﹣1=（2x+1）（x﹣1）=2x2﹣x﹣1，
∴mx=﹣x，
则m=﹣1．
19．已知关于x的二次三项式x2+mx+n有一个因式（x+5），且m+n=17，试求m、n的值．
【答案】解法一：设另一个因式是x+a，则有（x+5） （x+a），=x2+（5+a）x+5a，=x2+mx+n，∴5+a=m，5a=n，这样就得到一个方程组解得∴m、n的值分别是7、10．解法二：依题意知，x=﹣5是方程x2+mx+n=0的解，则25﹣5m+n=0，①又m+n=17，②由①②得到：m=7，n=10．
20．分解因式（x2+5x+3）（x2+5x﹣23）+k=（x2+5x﹣10）2后，求k的值．
【答案】解：k=（x2+5x﹣10）2﹣（x2+5x+3）（x2+5x﹣23），
=（x2+5x）2﹣20（x2+5x）+100﹣（x2+5x）2+20（x2+5x）+69，
=169．
21．若多项式x2﹣mx+4可分解为（x﹣2）（x+n），求m n的值．
【答案】解：∵x2﹣mx+4=（x﹣2）（x+n）=x2+（n﹣2）x﹣2n，
∴﹣m=n﹣2，﹣2n=4，
解得：m=4，n=﹣2，
则mn=﹣8．
22．
（1） ，这种从左到右的变形是 ；
（2） ，这种从左到右的变形是 .
（3）依据因式分解的意义，因为 ，所以 因式分解的结果是 .
【答案】（1）因式分解
（2）整式的乘法
（3）(x+2y)(x-2y)
【解析】(1)∵左式是一个多项式，右式是两个因式的乘积，
∴该变形是：因式分解.
(2)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴该变形是：整式的乘法.
(3)∵左式是两个因式的乘积，右式是一个多项式，
∴根据因式分解的意义， 因式分解的结果是：(x+2y)(x-2y) .
23．仔细阅读下面例题．解答问题：
例题：已知二次三项式，x2-4x+m分解因式后有一个因式是(x+3)．求另一个因式以及m的值．
解：方法一：设另一个因式为(x+n)，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)．则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，∴ ，解得 ，∴另一个因式为(x-7)，m的值为-21.
方法二：设x2-4x+m=k(x+3)(k≠0)，当x=-3时，左边-9+12+m，右边=0，∴9+12+m=0，解得m=-21，将x2-4x-21分解因式，得另一个因式为(x-7).
仿照以上方法一或方法二解答：已知二次三项式8x2-14x-a分解因式后有一个因式是(2x-3)．求另一个因式以及a的值．
【答案】解：参照方法一解答：∵二次项系数为8，一个因式（2x-3）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数为8÷2=4，则可设另一个因式为(4x+b)，
得8x2-14x-a=（2x-3）(4x+b)=8x2+(2b-12)x-3b，
∴ ，解得 ，
则另一个因式为（4x-1），a=-3.
参照方法二解答：设8x2-14x-a=k(2x-3) (k≠0)，当x= 时，左边=18-21-a,右边=0，则18-21-a=0，解得a=-3.
则另一个因式为（4x-1）.
24．先阅读第（1）题的解答过程，然后再解第（2）题．
（1）已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
解法一：设2x3﹣x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），
则：2x3﹣x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b
比较系数得，解得，∴
解法二：设2x3﹣x2+m=A （2x+1）（A为整式）
由于上式为恒等式，为方便计算了取，
2×=0，故 ．
（2）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），求m、n的值．
【答案】解：设x4+mx3+nx﹣16=A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x=1，得1+m+n﹣16=0①，
取x=2，得16+8m+2n﹣16=0②，
由①、②解得m=﹣5，n=20．
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