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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解
4.3用乘法公式分解因式（2）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知x+y=1，则 的值为 （ ）
A．1 B． C．2 D．1或2
4．若 是完全平方式，则 p的值为 （ ）
A．1 B．±2 C．±1 D．±4
5．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
6．已知M=8x2-y2+6x-2，N=9x2+4y+13，则M-N的值为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
7．已知 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式① ， ② ， ③ 1 ， ④ ，其中满足条件的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．已知2x-y=1，xy=2，则4x3y-4x2y2+xy3的值为（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
9．若，，则的值是（ ）
A．2 B．5 C．20 D．9
10．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若二次多项式是一个完全平方式，则实数k的值是 .
12．若与b互为相反数，则 .
13．若m=4n+3，则：m2-8mn+16n2= .
14．若m2+n2－6n＋4m＋13＝0，m2－n2= ；
15．已知，则代数式 ．
16．任意选取四个连续的自然数，将它们的积再加上1，所得的结果可以用一个自然数的平方表示.如：.设这四个连续的自然数分别为，则，其中“"用含的式子表示为 .
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．分解因式
（1）（2） ； （3）
（4） ； （5）； （6）
18．分解因式：
（1）-4x2+12xy-9y2． （2）a3+2a2+a． （3）4-12(a-b)+9(a-b)2．
（4）-3x2+6xy-3y （5）81x4-72x2y2+16y4． （6）4a2-(a2+1)2．
19．利用因式分解简便运算.
（1） ， （2）
（3） ； （4） .
20．阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）．
①；②；③；④
（2）将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式．
（3）若是完全平方式，求的值．
21．浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到，“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．例如：
分解因式：
求的最小值：
，
可知，当时，代数式有最小值，最小值是-8.
根据阅读材料，解决下列问题：
①分解因式：；
②求代数式的最小值；
③晓静同学求得代数式的最小值为-4.
请问晓静同学的答案是否正确.若正确，请写出取最小值时的x，y的值；
若不正确，请直接写出正确的最小值.
22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
23．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m，则原式＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2
再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1＋2（x-y）＋（x-y）2＝ ；
（2）因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
（3）因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
24．若x满足，求的值.
解：设，则，
所以.
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 x 满足（x+2） （x-7）＝6，求（x+2）2+（x－7）2的值.
（2）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是 35，分别以 MF、DF 为边作正方形，求阴影部分的面积.
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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解
4.3用乘法公式分解因式（2）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、x2-1=(x+1)(x-1)，可以利用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、x2-2x=x(x+2)，可以利用提取公因式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、x2+2x+1=(x+1)2，可以利用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意；
D、x2-2x-1，不能在实数范围内分解因式，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
2．下列多项式不能运用完全平方公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 A：不能运用完全平方公式分解因式，符合题意；
B：能运用完全平方公式分解因式，不符合题意；
C：能运用完全平方公式分解因式，不符合题意；
D：能运用完全平方公式分解因式，不符合题意；
故答案为：A.
3．已知x+y=1，则 的值为 （ ）
A．1 B． C．2 D．1或2
【答案】B
【解析】∵x+y=1，
∴x2+xy+y2===.
故答案为：B.
4．若 是完全平方式，则 p的值为 （ ）
A．1 B．±2 C．±1 D．±4
【答案】C
【解析】∵ 是完全平方式，
∴
故答案为：C.
5．已知，则的值为 （ ）
A．9 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】∵m2=3n+a，n2=3m+a，
∴m2-n2=3n+a-3m-a=3n-3m，即(m+n)(m-n)=3(n-m)，
又∵m≠n，
∴m-n≠0，
∴m+n=-3，
∴m2+2mn+n2=(m+n)2=(-3)2=9.
故答案为：A.
6．已知M=8x2-y2+6x-2，N=9x2+4y+13，则M-N的值为（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．不能确定
【答案】B
【解析】M-N= 8x2-y2+6x-2-（ 9x2+4y+13 ）
=8x2-y2+6x-2-9x2-4y-13=-x2+6x-9-y2-4y-4-2=-（x-3）2-（y+2）2-2
∵（x-3）2≥0，（y+2）2≥0，
∴-（x-3）2≤0，-（y+2）2≤0，
∴-（x-3）2-（y+2）2-2≤-2，
∴M-N的值为负数.
故答案为：B.
7．已知 加上一个单项式后能成为一个整式的完全平方，给出下面四个单项式① ， ② ， ③ 1 ， ④ ，其中满足条件的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】 ∵ + =， 故① 正确；
∵ ，不能构成完全平方，故 ② 不正确；
∵ -1== ，故 ③ 正确；
∵ + =，故 ④ 正确；
∴满足条件得共有3个；
故答案为：B.
8．已知2x-y=1，xy=2，则4x3y-4x2y2+xy3的值为（ ）
A．-2 B．1 C．-1 D．2
【答案】D
【解析】∵2x-y=1，xy=2，
∴4x3y-4x2y2+xy3 =xy(4x2-4xy+y2)=xy(2x-y)2=2×12=2.
故答案为：D.
9．若，，则的值是（ ）
A．2 B．5 C．20 D．9
【答案】A
【解析】，
，
，
，
，
，
，
故答案为：A.
10．已知，，，则代数式的值为（ ）
A．4 B．10 C．8 D．6
【答案】D
【解析】∵，，，
∴a-b=m+2020-m-2021=-1，a-c=m+2020-m-2022=-2，b-c=m+2021-m-2022=-1，
∴
=
=
=
=1+4+1
=6，
故答案为：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若二次多项式是一个完全平方式，则实数k的值是 .
【答案】4或-4
【解析】∵二次多项式是一个完全平方式，
∴
∴
故答案为：4或-4.
12．若与b互为相反数，则 .
【答案】0
【解析】∵与b互为相反数，
∴，
∴a+2b=0，
∴a2+4ab+4b2=(a+2b)2=0.
故答案为：0.
13．若m=4n+3，则：m2-8mn+16n2= .
【答案】9
【解析】∵m=4n+3，
∴m-4n=3，
∴m2-8mn+16n2=（m-4n）2，
=32，
=9.
故答案为：9.
14．若m2+n2－6n＋4m＋13＝0，m2－n2= ；
【答案】-5
【解析】根据配方法和拆数法，可知 可化为 ，配方为（m+2）2+（n-3）2=0，根据非负数的意义可求得m=-2，n=3，代入 4-9=-5.
故答案为-5.
15．已知，则代数式 ．
【答案】
【解析】原式提取公因数得2ab（a2-2ab+b2）=2ab（a-b）2，代入ab=2，a-b=3，得36
16．任意选取四个连续的自然数，将它们的积再加上1，所得的结果可以用一个自然数的平方表示.如：.设这四个连续的自然数分别为，则，其中“"用含的式子表示为 .
【答案】
【解析】n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2.
故答案为：n2+3n+1.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．分解因式
（1）
（2）
（3）
（4） ；
（5）
（6）
【答案】（1）解：解：原式
（2）原式
（3）解：原式
（4）解：原式
（5）解：原式
（6）解：原式
18．分解因式：
（1）-4x2+12xy-9y2．
（2）a3+2a2+a．
（3）4-12(a-b)+9(a-b)2．
（4）-3x2+6xy-3y
（5）81x4-72x2y2+16y4．
（6）4a2-(a2+1)2．
【答案】（1）解：-4x2+12xy-9y2
=-（4x2-12xy+9y2）
=-[（2x）2-2·2x·3y+（3y）2]
=-（2x-3y）2.
（2）解：a3+2a2+a
=a（a2+2a+1）
=a（a+1）2.
（3）解：4-12（a-b）+9（a-b）2
=22-2×2×3（a-b）+[3（a-b）]2
=[2-3（a-b）]2
=（2-3a+3b）2.
（4）解：-3x2+6xy-3y2
=-3（x2-2xy+y2）
=-3（x-y）2.
（5）解：81x4-72x2y2+16y4
=（9x2）2-2·（9x2）（4y2）+（4y2）2
=（9x2-4y2）2
=[（3x）2-（2y）2]2
=[（3x-2y）（3x+2y）]2
=（3x-2y）2（3x+2y）2.
（6）解：4a2-（a2+1）2
=（2a）2-（a2+1）2
=[2a+（a2+1）][2a-（a2+1）]
=（2a+a2+1）（2a-a2-1）
=-（a+1）2（a2-2a+1）
=-（a+1）2（a-1）2.
19．利用因式分解简便运算.
（1） ，
（2）
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：
（2）解：原式
（3）解：原式 =1000
（4）解：原式
20．阅读理解：所谓完全平方式，就是对于一个整式如果存在另一个整式，使得，则称完全平方式．例如，，，则，均为完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的是 （只填序号）．
①；②；③；④
（2）将（1）中所选的完全平方式写成一个整式的平方的形式．
（3）若是完全平方式，求的值．
【答案】（1）①④
（2）解：①；
②
（3）解：∵是完全平方式，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】（1） ①， ④，都是完全平方式；
②；③都不是完全平方式；
故答案为：①④ .
21．浙教版数学课本七下第四章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到，“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．例如：
分解因式：
求的最小值：
，
可知，当时，代数式有最小值，最小值是-8.
根据阅读材料，解决下列问题：
①分解因式：；
②求代数式的最小值；
③晓静同学求得代数式的最小值为-4.
请问晓静同学的答案是否正确.若正确，请写出取最小值时的x，y的值；
若不正确，请直接写出正确的最小值.
【答案】①分解因式：；
②
当时，的值最小，最小值为3.
③晓静同学的答案不正确；
代数式的最小值为2.
代数式
当时，的值最小，
最小值为2.
22．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2-2xy+y2-16＝（x-y）2一16＝（x-y+4）（x-y-4）
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn；
（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2-2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：9a2+4b2-25m2-n2+12ab+10mn
=（9a2+12ab+4b2）-（25m2-10mn+n2）
=（3a+2b）2-（5m-n）2
=（3a+2b+5m-n）（3a+2b-5m+n）
（2）解：由2a2+b2+c2-2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2-2ab-2ac=0
∴（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）=0，∴（a-b）2+（a-c）2=0
根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，
于是：a-b=0，a-c=0，
所以，a=b=c．
即：△ABC的形状是等边三角形．
23．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1
解：将“x＋y”看成整体，令x＋y＝m，则原式＝m2＋2m＋1＝（m＋1）2
再将x＋y＝m代入，得原式＝（x＋y＋1）2
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1＋2（x-y）＋（x-y）2＝ ；
（2）因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
（3）因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
【答案】（1）
（2）解：因式分解：9（x-2）2-6（x-2）＋1
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
（3）解：因式分解：（x2-6x）（x2-6x＋18）＋81
将看成整体，令
则原式
再将代入，得原式
【解析】（1）1+2(x-y)+(x-y)2=(x-y+1)2；
24．若x满足，求的值.
解：设，则，
所以.
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若 x 满足（x+2） （x-7）＝6，求（x+2）2+（x－7）2的值.
（2）已知正方形 ABCD 的边长为 x，E，F 分别是 AD、DC 上的点，且 AE＝1，CF＝3，长方形 EMFD 的面积是 35，分别以 MF、DF 为边作正方形，求阴影部分的面积.
【答案】（1）解：设，，则，，
∴
（2）解：由题意得：，，
则，
∵阴影部分的面积等于正方形MFRN的面积减去正方形DFGH的面积，
∴阴影部分的面积为：，
设，，
则，，
∴，
∴或（不符题意，舍去），
∴
故阴影部分的面积为24.
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