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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解
4.3用乘法公式分解因式（1）
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2 B．3x2-4y C． D．
【答案】C
【解析】A：x2+4y2，是二项式，两项都能写成平方的形式，但是符号相同，A选项不符合题意；
B：3x2-4y，是二项式，但是有一项不能写成平方的形式，B选项不符合题意；
C：是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，C选项符合题意；
D：是二项式，两项都能写成平方的形式，但是符号相同，D选项不符合题意；
故答案为：C.
2．分解因式的结果是（ ）
A．（a+ab）（a-ab） B．
C．a（a+b）（a-b） D．a（a-b）2
【答案】C
【解析】a3-ab2=a（a2-b2）=a（a+b）（a-b）.
故答案为：C.
3．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
【答案】B
【解析】（x+1）2-9=（x+1）2-32=（x+1-3）（x+1+3）=（x-2）（x+4）；
故答案为：B.
4．若 ，则 的值为（ ）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
【答案】A
【解析】∵a+b=3，b-a=-7，
∴b2-a2=（b+a）（b-a）=3×（-7）=-21.
故答案为：A.
5．若，那么代数式M应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴.
故答案为：D.
6．已知n为整数，代数式的值可以是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【解析】∵（n+3）2-n2=(n+2+n)(n+3-n)=3(2n+3)，
∴该式的值一定是3的倍数，故B、C选项不符合题意，
∵n为整数，
∴2n+3一定是奇数，
∴该式的值能分解为3与一个奇数的乘积，
而18=3×6，21=3×7，
∴A选项不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
7． 若s+t=4，则 的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
【答案】C
【解析】∵s+t=4，
∴s2-t2+8t
=（s+t）（s-t）+8t
=4（s-t）+8t
=4s-4t+8t
=4s+4t
=4（s+t）
=4×4
=16.
故答案为：C.
8．将因式分解后得，那么n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由题意可得 ：
故答案为：B
9．利用平方差公式计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
=
=
=
=
故答案为：C.
10．已知，且，则 -的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
【答案】A
【解析】【解答】因为，
所以，
整理，得，
则，
即．
因为，
所以，
即．
由，得，
所以．
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．因式分解：x2-9= ．
【答案】（x-3）（x+3）
【解析】原式=x2-32=（x-3）（x+3）
故答案为：（x-3）（x+3）
12．分解因式：x4-1=
【答案】
【解析】x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x2+1）（x+1）（x-1）；
故答案为（x2+1）（x+1）（x-1）.
13．已知多项式P，Q的乘积为，若，则 ．
【答案】
【解析】由题意得：PQ=（b-2a）·Q= ，
∴（b-2a）·Q=（2a+b）(2a-b)
∴Q=-2a-b，
故答案为：-2a-b.
14．现有下列多项式：①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有 ．（只需填上题序号即可）
【答案】①③④
【解析】 ① 1-a2=(1-a)(1+a)，用到平方差公式；
② a2-2ab+b2=（a-b）2，未用到平方差公式；
③4a2-9b2=（2a+b）（2a-3b），用到平方差公式；
④ 3a3-12a=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2），用到平方差公式.
故答案为：①③④.
15．如果，，那么 .
【答案】-900
【解析】原式=
∵，
∴原式=
故答案为：-900.
16．若，且，则代数式的值为 ．
【答案】
【解析】∵
∴
∴(m+n)(m-n)=n-m，
∵
∴m＋n＝-1，
∵
∴
∴
故答案为：-2023.
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．把下列各式分解因式.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：原式=
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
18．用简便方法计算.
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1）解：
（2）解：
.
解：
=
=(7.2+7.8)×(7.2-7.8)
=-15×0.6
=-9.
19．下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤：
利用加法交换律变形：
第一步
提取公因式：
第二步
逆用积的乘方公式
…． 第三步
运用平方差公式因式分____
……第四步
（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ；
（2）请给出这个问题的正确解法．
【答案】（1）解：公因式没有提取完
（2）解：．
20．已知 和 满足方程组 求代数式 的值.
【答案】解：由②，得 ，
21．是否存在正整数x和y，使得，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由.
【答案】解：由得
则或或，
可得方程组：
，，
解得：
，，
22．在日常生活中我们经常用到密码，如取款、上网购物需要密码，有一种用因式分解法产生密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解：例如x4﹣y4=（x2+y2）（x+y）（x﹣y），当x=8，y=9时，x2+y2=145，x+y=17，x﹣y=4则可以得到密码是145174，1741454…，等等，根据上述方法
当x=32，y=12时，对于多项式x2y﹣y3分解因式后可以形成哪些数字密码？
【答案】解：原式=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y），
当x=32，y=12时，y=12，x+y=44，x﹣y=20，
可以得到的数字密码是：124420，122044，441220，442012，201244，204412．
23．已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示．
（1）分解因式：(2n+1)2-1．
（2）我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．
【答案】（1）解： (2n+1)2-1 = = =）
故答案为：
（2）解：所有“白银数”的最大公约数是8.
理由：∵n是正整数.
∴在n与n+1中必有一个数为偶数. ∴n（n+1）一定是2的倍数.
∴4n（n+1）一定是8的倍数.
∴所有“白银数”的最大公约数是8.
24．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a>b)，如图1．
（1）由图1得阴影部分的面积为 ，沿图1中的虚线剪开拼成图2，则图2中阴影部分的面积为 .
（2）由(1)的结果得出结论 .
（3）利用(2)中得出的结论计算：20172-20162．
【答案】（1）a2-b2；（a-b）（a+b）
（2）a2-b2=（a-b）（a+b）
（3）解：原式=（2017+2016）（2017-2016）=4033
【解析】（1）图1的阴影部分的面积为a2-b2；
图2中阴影部分的面积为
故答案为：a2-b2，（a-b）（a+b）.
（2）∵两个图形的阴影部分的面积相等，
∴a2-b2=（a-b）（a+b）.
故答案为：a2-b2=（a-b）（a+b）.
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浙教版2023-2024学年七下数学第4章因式分解
4.3用乘法公式分解因式（1）
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2 B．3x2-4y C． D．
2．分解因式的结果是（ ）
A．（a+ab）（a-ab） B．
C．a（a+b）（a-b） D．a（a-b）2
3．多项式(x+1)2-9因式分解的结果为（ ）
A．(x+8)(x+1) B．(x-2)(x+4) C．(x-4)(x+2) D．(x-10)(x+8)
4．若 ，则 的值为（ ）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
5．若，那么代数式M应是（ ）
A． B． C． D．
6．已知n为整数，代数式的值可以是（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
7． 若s+t=4，则 的值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
8．将因式分解后得，那么n等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．利用平方差公式计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，且，则 -的值为（ ）
A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．因式分解：x2-9= ．
12．分解因式：x4-1=
13．已知多项式P，Q的乘积为，若，则 ．
14．现有下列多项式：①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有 ．（只需填上题序号即可）
15．如果，，那么 .
16．若，且，则代数式的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．把下列各式分解因式.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
18．用简便方法计算.
（1） ； （2） ； （3） .
19．下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤：
利用加法交换律变形：
第一步
提取公因式：
第二步
逆用积的乘方公式
…． 第三步
运用平方差公式因式分____
……第四步
（1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是 ；
（2）请给出这个问题的正确解法．
20．已知 和 满足方程组 求代数式 的值.
21．是否存在正整数x和y，使得，若存在，求出满足条件的x和y的值；若不存在，请说明理由.
22．在日常生活中我们经常用到密码，如取款、上网购物需要密码，有一种用因式分解法产生密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解：例如x4﹣y4=（x2+y2）（x+y）（x﹣y），当x=8，y=9时，x2+y2=145，x+y=17，x﹣y=4则可以得到密码是145174，1741454…，等等，根据上述方法
当x=32，y=12时，对于多项式x2y﹣y3分解因式后可以形成哪些数字密码？
23．已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示．
（1）分解因式：(2n+1)2-1．
（2）我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．
24．在边长为a的正方形的一角减去一个边长为b的小正方形(a>b)，如图1．
（1）由图1得阴影部分的面积为 ，沿图1中的虚线剪开拼成图2，则图2中阴影部分的面积为 .
（2）由(1)的结果得出结论 .
（3）利用(2)中得出的结论计算：20172-20162．
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