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2.5 三元一次方程组及其解法
一．选择题（共10小题）
1．（2023春 遵化市期中）下列是三元一次方程组的是
A． B．
C． D．
2．（2023春 秦州区校级期中）下列四组数值中，是方程组的解的是
A． B． C． D．
3．（2023春 昆明期中）解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消常数项
4．（2023春 通道县期末）已知方程组，则的值是
A．9 B．8 C．7 D．6
5．（2022秋 南开区校级期末）已知且，则的值为
A．9 B． C．12 D．不确定
6．（2023春 岚山区期末）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的方程组，则应对方程组进行的变形是
A．①②，②③ B．①③，②③
C．①②，②③ D．①③，②③
7．（2023秋 甘州区校级月考）若，，则的值等于
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
8．（2023秋 青山区校级月考）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
9．（2023秋 新吴区期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为
A． B． C． D．
10．（2023 沂水县二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是
A．1元 B．3元 C．5元 D．7元
二．填空题（共4小题）
11．（2023春 东台市月考）方程组的解是 ．
12．（2023秋 固原期末）已知：，且，则的值等于 ．
13．（2023秋 郫都区期末）已知、、满足，则 ．
14．（2022秋 海淀区校级期末）已知，，则 ．
三．解答题（共6小题）
15．（2023春 杨浦区期末）解方程组：．
16．（2023秋 济南期中）某工厂有甲、乙、丙三个车间，已知甲车间人数比丙车间人数少，而丙车间人数比乙车间人数多，且又比甲、乙两车间人数和的少4人．三个车间共有多少人？
17．（2023秋 应城市期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需10小时．某日，该小船在早晨6点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，2小时后找到救生圈．
（1）若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？
（2）救生圈于何时掉入水中？
18．（2023春 林州市期末）阅读理解在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组．
解：把②代入①得，，解得．
把代入②得，
所以方程组的解为．
（2）已知，求的值．
解：①②，得，③
③，得．
类比迁移
（1）求方程组的解．
（2）若，求的值．
19．（2023秋 酒泉期末）阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
20．（2023春 浉河区期末）请阅读下面对话，并解答问题：
一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销、两种商品．、两种商品的进货单价之和为5元；商品零售价比进货单价多1元，商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买商品3件和商品2件，共19元．你知道、两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！
问题：
（1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程．
（2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程．
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2.5 三元一次方程组及其解法
一．选择题（共10小题）
1．（2023春 遵化市期中）下列是三元一次方程组的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．
【解析】对于选项，第二个方程中未知数的次数是2，
故选项中方程组不是三元一次方程组；
对于选项，第一个方程中分母含有未知数，
故选项中方程组不是三元一次方程组；
对于选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故选项中的方程组是三元一次方程组．
故选．
2．（2023春 秦州区校级期中）下列四组数值中，是方程组的解的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
【解析】，
①②得：
④，
①③得：
⑤，
⑤④得：
，
把代入④中，
，
解得：，
把，代入①中，
，
解得：，
原方程组的解为：，
故选．
3．（2023春 昆明期中）解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消常数项
【答案】
【分析】观察发现，未知数的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去．
【解析】观察未知数，，的系数特点发现：
未知数的系数要么相等，要么互为相反数，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去，
故选．
4．（2023春 通道县期末）已知方程组，则的值是
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．
【解析】，
①②③得：，
解得：，
故选．
5．（2022秋 南开区校级期末）已知且，则的值为
A．9 B． C．12 D．不确定
【答案】
【分析】用第二个方程减去第一个方程即可得到与的关系，然后根据，即可得到的值，本题得以解决．
【解析】
②①，得
，
，
，
解得，，
故选．
6．（2023春 岚山区期末）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的方程组，则应对方程组进行的变形是
A．①②，②③ B．①③，②③
C．①②，②③ D．①③，②③
【答案】
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解析】，
①②得：，
②得：④，
③④得：，
即，
故选．
7．（2023秋 甘州区校级月考）若，，则的值等于
A．0 B．1 C．2 D．不能求出
【答案】
【分析】由 ①， ②，利用整体的思想①②即可解决问题．
【解析】 ①，
②，
①②得到：，
，
故选．
8．（2023秋 青山区校级月考）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
【答案】
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款元，元，元，根据题意列出方程组，计算即可求出，，的值，即可得到结果．
【解析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款元，元，元，
根据题意得：，
①②得：，即，
，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选．
9．（2023秋 新吴区期末）春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据“当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为”，可列出关于，，的三元一次方程组，解之可用含的代数式表示出，的值，代入后可求出的值．
【解析】根据题意得：，
解得：，
．
故选．
10．（2023 沂水县二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是
A．1元 B．3元 C．5元 D．7元
【答案】
【分析】设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱，根据购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，列出三元一次方程组，解之得出的值即可．
【解析】设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱，
由题意得：，
①②得：③，
①②得：，
④，
将④代入③中得：，
，
即晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是7元，
故选．
二．填空题（共4小题）
11．（2023春 东台市月考）方程组的解是 ．
【分析】先计算①②③可得：④，然后再用④①，④②，④③，进行计算即可解答．
【解析】，
①②③得：，
即④，
④①得：，
④②得：，
④③得：，
原方程组的解为：．
故答案为：．
12．（2023秋 固原期末）已知：，且，则的值等于 ．
【答案】-15
【分析】先设比例系数为，代入，转化为关于的一元一次方程解答．
【解析】设，
则，，，
代入，
得，
解得：，
，，，
于是．
故本题答案为：．
13．（2023秋 郫都区期末）已知、、满足，则 ．
【答案】．
【分析】把两个方程相加，可得，据此可得；①②，可得，据此可得，进而得出答案．
【解析】，
①②，得，
即，
；
①②，得，
即，
，
．
故答案为：．
14．（2022秋 海淀区校级期末）已知，，则 ．
【答案】．
【分析】在，中，未知数 系数相同，的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用的代数式表示出、，进而得出答案．
【解析】①，
②，
①②，得，即，
①②，得，即，
．
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
15．（2023春 杨浦区期末）解方程组：．
【答案】．
【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
【解析】，
②③得：
④，
④得：
⑤，
⑤①得：
，
解得：，
把代入①得：
，
解得：，
把，代入②得：
，
解得：，
原方程组的解为：．
16．（2023秋 济南期中）某工厂有甲、乙、丙三个车间，已知甲车间人数比丙车间人数少，而丙车间人数比乙车间人数多，且又比甲、乙两车间人数和的少4人．三个车间共有多少人？
【答案】三个车间共有306人．
【分析】设甲车间有人，乙车间有人，丙车间有人，根据“甲车间人数比丙车间人数少，而丙车间人数比乙车间人数多，且又比甲、乙两车间人数和的少4人”，可列出关于，，的三元一次方程组，解之可得出，，的值，再将其代入中，即可求出结论．
【解析】设甲车间有人，乙车间有人，丙车间有人，
根据题意得：，
由①可知：④，
由②可知：，
，
即⑤．
将④代入③得：，
即⑥．
联立⑤⑥组成关于，的二元一次方程组得，
解得：，
，
．
答：三个车间共有306人．
17．（2023秋 应城市期末）一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需10小时．某日，该小船在早晨6点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，2小时后找到救生圈．
（1）若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？
（2）救生圈于何时掉入水中？
【答案】（1）救生圈从港口漂流到港口所需时间为48小时；
（2）救生圈于上午11时掉入水中．
【分析】（1）设小船在静水中的速度为，水流速度为，港口到港口的距离为，然后根据题意可列方程为，根据行船问题可进行求解；
（2）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需6小时到港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，然后根据题意可列方程为，进而问题可求解．
【解析】（1）设小船在静水中的速度为，水流速度为，港口到港口的距离为，由题意得：
，
解得：，
救生圈按水流速度由港口漂流到港口需要的时间为（小时）；
答：救生圈从港口漂流到港口所需时间为80小时．
（2）设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得：
，
解得：，
；
答：救生圈于上午11时掉入水中．
18．（2023春 林州市期末）阅读理解在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组．
解：把②代入①得，，解得．
把代入②得，
所以方程组的解为．
（2）已知，求的值．
解：①②，得，③
③，得．
类比迁移
（1）求方程组的解．
（2）若，求的值．
【答案】（1）；
（2）的值为1．
【分析】（1）利用（1）的解题思路，进行计算即可解答；
（2）利用（2）的解题思路，进行计算即可解答．
【解析】（1），
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
原方程组的解为：；
（2），
①②得：，
，
的值为1．
19．（2023秋 酒泉期末）阅读理解：已知实数，满足①，②，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组，则 ， ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值．
【答案】（1），5；
（2）30；
（3）．
【分析】（1）由方程组的两式相减与相加即可得出结果；
（2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，由题意列出方程组，即可得出结果；
（3）由定义新运算列出方程组，求出，即可得出结果．
【解析】（1），
由①②得：，
①②得：，
，
故答案为：，5；
（2）设铅笔单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
由题意得：，
由①②得：，
，
答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；
（3）由题意得：，
由①②可得：，
．
20．（2023春 浉河区期末）请阅读下面对话，并解答问题：
一天晚饭后小明与隔壁小店老板闲聊，小店老板说：我经销、两种商品．、两种商品的进货单价之和为5元；商品零售价比进货单价多1元，商品零售价比进货单价的2倍少1元，按零售价购买商品3件和商品2件，共19元．你知道、两种商品的进货单价各多少元吗？小明想了想很快回答了小店老板的问题．并给小店老板出了个问题：上次我去逛超市，买甲、乙、丙三样商品，拿了4件甲商品，7件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我共8元，我没带那么多钱，就改成了买2件甲商品，3件乙商品，1件丙商品，结果售货员告诉我要6元，可我钱还是不够，我算了算，我的钱恰好够买甲、乙、丙商品各一件，你知我那天带了多少钱吗？小店老板晕了，叹道：这我那知呀！后生可畏，后生可畏啊！
问题：
（1）你知小明是怎样求解小店老板的问题的吗？请写出求解过程．
（2）小明给老板的问题真的不能解决吗？若能解，请写出求解过程．
【分析】（1）设商品进货价元，商品进货价元，则商品零售价为元，商品零售价为元，利用、两种商品的进货单价之和为5元得到；利用零售价购买商品3件和商品2件，共19元得，然后组成二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）设甲商品售价为元，乙商品售价为元，丙商品售价为元，利用题意列方程组，然后利用加减法计算的值即可．
【解析】（1）设商品进货价元，商品进货价元，
根据题意得，
解得．
答：、两种商品的进货单价分别为2元，3元；
（2）设甲商品售价为元，乙商品售价为元，丙商品售价为元，
根据题意得，
①②得，则③，
②③得．
答：小明那天带了5元钱．
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