初中数学浙教版七年级下册第2章二元一次方程组尖子生测试卷 含解析

二元一次方程组尖子生测试卷
综合考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．是下面哪个二元一次方程的解（　　）
A．y＝-x+2 B．x-2y＝1 C．x＝y-2 D．2x-3y＝1
2．我国古代数学著作《九章算术》记载一道问题：“今有五雀，六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻；一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤，问燕雀一枚各重几何？”其大意是：“现在有5只雀，6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻；将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等；5只雀、6只燕重量共一斤，问雀和燕各重多少？”古代记1斤为16两，设1只雀x两，一只燕y两，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．已知方程组 ，则 的值是（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
4．在沙县国际连锁早餐店里，李大爷买5个馒头、3个包子，老板少拿2元，只要17元；张大妈买11个馒头、5个包子，老板以售价的九折优惠，只要33.3元．若馒头每个 元，包子每个 元，依题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
5．若关于x、y的方程组 的解为整数，则满足条件的所有a的值的和为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．16
6．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（　　）
结论 Ⅰ ：若n的值为5，则y的值为1；
结论Ⅱ：的值为定值；
结论Ⅲ：若，则y的值为4或1．
A．Ⅰ ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ ，Ⅱ均错
7．已知a、b、c满足 ， ，若a、b、c都为非负数，设 ，求y的取值范围（　　）
A． B． C． D．
8．将两块完全相同的长方体木块先按图1的方式放置，再按图2的方式放置，测得的数据如图所示．则桌子的高度 （　　）
A．70 B．55 C．40 D．30
9．定义：如果代数式(，，，是常数)与(，，，是常数)，满足，，，则称这两个代数式与互为“和谐式”，对于上述“和谐式”、，下列三个结论正确的个数为（　　）
①若，，则的值为-1；
②若为常数，关于的方程与的解相同，则；
③若，为常数，的最小值为，则有最小值，且最小值为1.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．16 B．44 C．96 D．140
阅卷人 二、填空题
得分
11．已知关于a，b的方程组，则a﹣b的值为 　 　．
12．已知是方程的一组解，则的值为　 　．
13．已知方程组，那么的值是　 　．
14．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个，那么能连续搭建正三角形的个数是　 　．
15．若关于，的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是　 　．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、计算题
得分
16．
17．
阅卷人 四、解答题
得分
18．已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
19．根据所给信息，分别求出每只小猫和小狗的价格．
买一共要70元，
买一共要50元．
20．2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
21．在“五一”期间，小明和他的父亲坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅他们看到了表(一)，在游船上，他又注意到了表(二).
表(一)
　 里程(千米) 票价(元)
甲→乙 20 …
甲→丙 16 …
甲→丁 10 …
… … …
表(二)
　 出发时间 到达时间
甲→乙 8：00 9：00
乙→甲 9：20 10：00
甲→乙 10：20 11：20
… … …
爸爸对小明说：“我来考考你，若船在静水中的速度保持不变，你能知道船在静水中的速度和水流速度吗？”小明很快得出了答案，你知道小明是如何算的吗？
22．已知点P（x，y）的坐标满足方程组，点P在第三象限．
（1）请用含a的代表式表示x；
（2）请求出a的取值范围．
阅卷人 五、实践探究题
得分
23．综合与实践
问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组：．
（1）观察发现：如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设，，则原方程组可化为　 　，解关于m，n的方程组，得，
所以，解方程组，得　 　．
（2）探索猜想：运用上述方法解下列方程组：．
（3）拓展延伸：已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：把代入 y＝-x+2 ，得y=-5+2=-3≠3，等式不成立，故A错误；
把代入 x-2y＝1 ，得5-2×3=-1≠1，等式不成立，故B错误；
把代入 x＝y-2 ，得x=3-2=1≠5，等式不成立，故C错误；
把代入 2x-3y＝1 ，得2×5-3×3=1，等式成立，故D正确；
故答案为：D.
【分析】把 代入各个选项中，使得方程成立的便是正确选项.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：A.
【分析】根据将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，可得4x+y=5y+x，根据5只雀、6只燕重量共一斤，可得5x+6y=16，从而可以得到相应的方程组，即可得出答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】解： ，
①-②得： ，
故答案为：C．
【分析】利用加减消元法解方程组进行求解即可。
4．【答案】B
【解析】【解答】解：设馒头每个 元，包子每个 元，根据题意得
故答案为：B
【分析】设馒头每个 元，包子每个 元，根据题意列出方程组即可。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：对方程组 ，
②－①×2，得，∴，
∵关于x、y的方程组 的解为整数，
∴a-2=±1，±2，±4，即a=﹣2、0、1、3、4、6。
∴满足条件的所有a的值的和为﹣2+0+1+3+4+6=12．
故答案为：C．
【分析】先把a看作已知数求出，然后结合方程组的解为整数即可求出a的值，进而可得答案．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：由题意可得：，
②-①得：2x=n-m，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵m+n=8，
∴当n=5时，m=3，
∴，
∴结论Ⅰ正确；
∵①+②得：4x+4y=8，
∴x+y=2，
∴结论Ⅱ正确；
∴当x=1时，y=1，满足 ，
∴m-3n=0，
∴m=3n，
∴m=6，n=2，
∴当x=-2，y=4时，满足，
当x=-1时，则y=3，
∴m=-1+2×3=5，n=-1×3+2×3=3，
∴m-3n=5-3×3=-4，满足，
综上所述：当 时，y的值为4或3或1，
∴结论Ⅲ错误；
故答案为：B.
【分析】根据题意先求出，再利用二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂等计算求解即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ =3c-3，
∵a、b、c都为非负数，
∴ ，
∴2≤c≤9，
∴3≤3c-3≤24，
∴3≤y≤24．
故答案为：C．
【分析】由 和 关系式可以用c来表示a和b，进而可以用c来表示y，再根据a、b、c为三个非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，可以求得c的取值范围，最后根据c的取值范围来确定y的取值范围．
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设长方形的长为xcm，宽为ycm，
则有 ，
，得
，
解得， ，
故答案为：A．
【分析】设长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图象列出二元一次方程组求解即可。
9．【答案】C
【解析】【解答】解：①∵，，
依题意
解得：，，
∴，故①正确；
②的方程与的解相同，即与的解相同，
∴
∴，故②正确；
③
∵的最小值为，
当
∴的最小值为1，
∴有最小值，且最小值为1.
当，有最大值，且最大值为1 .
故③不正确，
故答案为：C.
【分析】利用定义可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后求出（m+n）2023的值，可对①作出判断；利用已知可得到与的解相同，据此可得到k的值，可对②作出判断；将A，B代入pA+qB，再进行变形，可得到pA+qB=，可推出其最小值为p-q，当p=q＞0时，可求出的最小值为1，此时A的最小值为1；当p-q＜0时，可知A的最大值为1，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
10．【答案】B
【解析】【解答】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：
解得： ．
故小长方形的长为8cm，宽为2cm，∴S阴影部分=S四边形ABCD﹣6×S小长方形=14×10﹣6×2×8=44（cm2）．
故答案为：B．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的长和宽，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
11．【答案】-1
【解析】【解答】解：
①-②=（3a+2b）-（2a+3b）=a-b=-1；
故答案为：-1
【分析】利用加减消元，方程组两个方程相减，即可得出代数式a-b=-1
12．【答案】10
【解析】【解答】解：∵是方程ax-2y=4的一组解，
∴a-2×3=4，
解得a=10.
故答案为：10.
【分析】将x=1、y=3代入ax-2y=4中进行计算可得a的值.
13．【答案】6
【解析】【解答】解：由，因式分解可得，
把代入得：，
=6.
故答案为：6.
【分析】利用平方差公式将进行因式分解，构造出，再把代入即可得到 的值.
14．【答案】293
【解析】【解答】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x+1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y+1）根火柴棍，
依题意，得： ，
解得： ．
故答案为293．
【分析】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x+1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y+1）根火柴棍，根据“搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
15．【答案】
【解析】【解答】解：∵
∴
又元一次方程组
与
有相同的解
∴
解得，
故答案为：
【分析】根据题意可得
，再利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
16．【答案】解：，
（1）+（2）得：
4x+8z=12 （4），
（2）×2+（3）得：
8x+9z=17 （5），
（4）×2-（5）得：
7z=7，
∴z=1，
将z=1代入（4）得：
x=1，
将x=1，z=1代入（1）得：
y=2.
∴原方程组的解为：.
【解析】【分析】（1）+（2）得4x+8z=12 （4），（2）×2+（3）得8x+9z=17 （5），从而将三元转化成了二元；（4）×2-（5）可解得z的值，将z值代入（4）可得x值，再将x、z的值代入（1）可得y的值，从而可得原方程组的解.
17．【答案】解：，
（1）×2003-（2）×2002得：
（20032-20022）y=6007×2003-6008×2002，
4005y=6007×2003-（6007+1）×2002，
4005y=6007×2003-6007×2002-2002，
4005y=6007×（2003-2002）-2002，
4005y=4005，
∴y=1，
将y=1代入（1）得：
x=2，
∴原方程组的解为：.
【解析】【分析】（1）×2003-（2）×2002将二元方程组转化成一元一次方程，解之可求得y的值，将y值代入（1）可求得x值，从而得出原方程组的解.
18．【答案】解：将方程化为a的表达式：
(x+y-2)a=x-2y-5，
由于x，y的值与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，
有 ，解得 。
【解析】【分析】将已知方程按a整理可得到(x+y-2)a=x-2y-5， 要使这个方程有一个公共解，就可得到x，y的值与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，建立关于x、y的方程组，解方程组求出x、y的值。
19．【答案】解：设每只小猫为x元，每只小狗为y元，由题意得．
解之得．
答：每只小猫为10元，每只小狗为30元．
【解析】【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是“1猫+2狗=70元”和“2猫+1狗=50”，列方程组求解即可．
20．【答案】（1）解：设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，
，
解得 ．
即一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；
（2）解：由题意可得，
设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为x辆、y辆，
，
解得 或 或 ，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；
第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；
第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．
【解析】【分析】（1）根据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；（2）根据题意可以列出相应的关系式，从而可以求得有几种方案．本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
21．【答案】解：设船在静水中的速度是x千米/时，水流速度为y千米时，根据题意，得
，
解得： .
答：船在静水中的速度为25千米/时，水流速度为5千米/时.
【解析】【分析】根据表格得出甲地到乙地以及乙地到甲地的时间和路程，进而得出等式求出即可.
22．【答案】（1）解：，
①+②得：2x＝4a+2，
求出x＝2a+1；
（2）解：，
利用加减消元法，①-②得：2y＝-2a-2，y＝-a-1
∴P (2a+1，-a-1)
∵ 点P 在第三象限
∴2a+1<0且-a-1<0
∴ -1< a < -
【解析】【分析】(1)用加减消元法求二元一次方程组，求出 2x＝4a+2 ，即 x＝2a+1 ；
(2)用加减消元法求二元一次方程组，求出 y＝-a-1 ，再根据 P （2a+1，-a-1）在第三象限得一元一次不等式组，最终得出-1< a <-。
23．【答案】（1）；
（2）解：设，，
则原方程组可化为，
解关于m，n的方程组，得，
所以，
解方程组，得
（3）解：方程组可化为，
∵关于x，y的二元一次方程组的解为，
∴，
∴．
【解析】【解答】解：（1）设4x+3y=m，6x-y=n，
则原方程组可化为，
解得：，
∴，
①＋②×3，得：22x=66，
∴x=3，
把x=3代入②得：y=6×3-16=2，
∴方程组的解为.
故答案为：；.
【分析】（1）设4x+3y=m，6x-y=n，代入原方程组即可化为关于m、n的方程组，解得m、n的值，得新方程组，解之得x、y的值；
（2）令2x+y=m，x-2y=n，原方程组化为，解出m和n的值代入2x+y=m，x-2y=n，即可求出x和y的值；
（3）先把原方程组化为例题中的形式，根据例题中方程组的解得 ，接着解之得原方程组的解.
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