初中数学浙教版七年级下册第四章 因式分解单元测验（含解析）

第四章因式分解
综合考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、单选题
得分
1．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
2．多项式的公因式是（　　）．
A． B． C． D．
3．下列分解因式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．若 是完全平方式，则m的值等于（　　）
A．2 B．4或-4 C．2或-2 D．8或-8
5．下列多项式中，是完全平方式的为（　　）
A． B． C． D．
6．若x=1， ，则x2+4xy+4y2的值是（　　）
A．2 B．4 C． D．
7．若m+ =5，则m2+ 的结果是（　　）
A．23 B．8 C．3 D．7
8．把二次三项式2x2﹣8xy+5y2因式分解，下列结果中正确的是（　　）
A．（x﹣ y）（x﹣ y）
B．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
C．（2x﹣4y+ y）（x﹣ y）
D．2（x﹣ y）（x﹣ y）
9．若（和不相等），那么式子的值为（　　）
A．2022 B． C．2023 D．
10．已知，，都是正整数，其中，且，设，则（　　）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
阅卷人 二、填空题
得分
11．将a3b － ab 进行因式分解的结果是　 　 .
12．把多项式因式分解 的结果是　 　．
13．已知x2+mx+ 是完全平方式，则m＝　 　．
14．已知正实数a、b、c满足 ．则c的最大值是　 　.
15．已知实数a，b，c满足a2+b2-4a≤1，b2+c2-8b≤-3，且c2+a2-12c≤-26，则(a+b)c的值为　 　．
16．若一个四位数的个位数字与十位数字的和与它们的差之积恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数称为“和差数”，令的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，且，则 　 　；当，均为整数时，的最大值为　 　．
阅卷人 三、解答题
得分
17．如图，在一块半径为R的圆形板材上，冲去半径为r的四个小圆，小刚测得R=6.8cm，r=1.6
cm，他想知道剩余阴影部分的面积，你能利用所学过的因式分解的方法帮助小刚计算吗？请
写出求解的过程（π取3）．
18．已知 4m+n=40，2m-3n=5．求（m+2n）2-（3m-n）2 的值．
19．仔细阅读下面的例题，仿照例题解答问题，
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为，
得
化简得
整理得
于是有解得
因此另一个因式是，的值为21．
问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，
∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，
∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC的最大边c的值；
（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．
21．现有若干张长方形和正方形卡片，如图所示.请运用拼图的方法，选取图中相应的种类和一定数量的卡片拼成一个大长方形，使它的面积等于a2+4ab+3b2，并根据拼成图形的面积，把多项式a2+4ab+3b2因式分解.
22．认真阅读下列因式分解的过程，再回答问题：
=(1+x) .
（1）上述因式分解的方法是 .
（2）分解因式： x(1+x) .
（3）猜想 x(1+x)"分解因式的结果.
阅卷人 四、实践探究题
得分
23．先阅读材料：
分解因式： .
解：令 ，
则
所以 .
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式： 　 　；
（2）分解因式： ；
（3）证明：若 为正整数，则式子 的值一定是某个整数的平方.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：A.等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴公因式为：，
故答案为：C.
【分析】利用公因式的定义求解即可.
3．【答案】C
【解析】【解答】A. ，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，符合题意；
D. ，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】运用因式分解的定义逐项判断即可；
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵x2+mx+16＝x2+mx+42，
∴mx＝±2 x 4，
解得m＝8或﹣8．
故答案为：D．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的这两数乘积二倍项即可确定m的值．
5．【答案】A
【解析】【解答】A. = ，故符合题意
B. = ，故不符合题意
C. = ，故不符合题意
D. = ，故不符合题意
故答案为：A
【分析】利用配方法分别转化为完全平方式的形式即可求解．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：原式=（x+2y）2=（1+2× ）2=4．故答案为：B
【分析】根据完全平方公式a22ab+b2=（ab）2，分解因式x2+4xy+4y2=（x+2y）2，把x、y的值代入，求出代数式的值.
7．【答案】A
【解析】【解答】因为m+ =5，所以m2+ =(m+ )2﹣2=25﹣2=23．
故答案为：A．
【分析】两边平方可得。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：令2x2﹣8xy+5y2＝0，
解得x1＝ y，x2＝ y，
∴2x2﹣8xy+5y2＝2（x﹣ y）（x﹣ y）
故答案为：D．
【分析】把x看成未知数，把y看成常数，令2x2﹣8xy+5y2＝0，解得x的值，即可得出答案。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022，
可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m，
∴ (m+n)(m-n)=n-m，
∵m≠n，
∴ m+n=-1，
∵ m2=n+2022，n2= m + 2022，
∴ m2-n =2022，n2-m = 2022，
∴ m3-2mn+n3
=m3 -mn-mn+n3
=m(m2-n)+n(n2-m)
= 2022m +2022n
= 2022(m +n)
=2020 x(-1)
=-2022.
故答案为：B.
【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案.
10．【答案】C
【解析】【解答】解：x2-xz-xy+yz=23，
x（x-z）-y（x-z）=23，
（x-y）（x-z）=23，
∵x＞y，
∴x-y＞0，
∵x，y，z都是正整数，
∴x-z=1，x-y=23或x-z=23，x-y=1，
∵a=x-z，
∴a=1或a=23，
[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a
=（3a2+6a-a-2-5a+2）÷a
=3a2÷a
=3a，
当a=1时，原式=3，
当a=23时，原式=69，
∴[（3a-1）（a+2）-5a+2]÷a的值为3或69；
故答案为：C.
【分析】先将x2-xz-xy+yz=23分解因式求出x-z，得到a的值，根据正式的混合运算化简原式，代入a的值即可求解.
11．【答案】ab(a+1)(a-1)
【解析】【解答】解：a3b-ab=ab（a2-1）=ab（a+1）（a-1）.
【分析】先提取公因式ab，再根据平方差公式进行因式分解.
12．【答案】
【解析】【解答】 ．
故答案为: ．
【分析】先提取公因式,再利用公式法因式分解即可．
13．【答案】±
【解析】【解答】∵x2+mx+ 是完全平方式，
∴m＝± ，
故答案为：±
【分析】首末两项分别是x和这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和积的2倍，据此求出m的值．
14．【答案】
【解析】【解答】解：∵a2+b2+c2-ac-bc=1,
∴a2-ac+c2+b2-bc+c2+c2=1,
∴(a-c)2+(b-c)2+c2=1
∵(a-c)2≥0，(b-c)2≥0，
∴c2≤1
∴c2≤2，
∵c>0,
∴c≤.
故当a=b=c=时，
c有最大值 .
故答案为：
【分析】把左式配方，根据完全平方式为非负数的性质，可得c2的取值范围，从而得出c的取值范围.
15．【答案】27
【解析】【解答】解：由条件知(a2 +b2 -4a) +(b2+c2-8b) +(c2+a2-12c)≤-28，
则2a2-4a +2b2 -8b+2c2-12c≤-28，
即2(a2-2a+1)+2(b2-4b+4)+2(c2-6c+9)≤0．
∴(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2≤0，
∴a=1，b=2，c=3．
(a+b)c=33=27．
故答案为：27.
【分析】解决此题的方法是将已知条件配成完全平方式的表现形式，然后根据完全平方式的非负性，结合不等式求出a、b、c的值.将三个已知不等式相加得，(a2 +b2 -4a) +(b2+c2-8b) +(c2+a2-12c)≤-28，配方得2(a2-2a+1)+2(b2-4b+4)+2(c2-6c+9)≤0，即(a-1)2+(b-2)2+(c-3)2≤0，又因为(a-1)2≥0，(b-2)2≥0，(c-3)2≥0，故a=1，b=2，c=3，所以(a+b)c=33=27．
16．【答案】；6318
【解析】【解答】解：∵记，且，
∴，
∴；
∵四位数称为“和差数”，
∴，
∴，
∴，
∵，均为整数，
∴d≥c，为整数，
设（N为整数），
∴d=Nc，
∴，
∴N=8或2，
当N=8时，
①当c=1时，d=8，∴M=6318；
②当c=2时，d=16，不合题意；
当N=2时，
①当c=1时，d=2，，不合题意；
②当c=2时，d=4，M=1224；
③当c=3时，d=6，M=2736；
④当c=4时，d=8，M=4848；
⑤当c=5时，d=18，不合题意；
综上所述：的最大值为6318；
故答案为：，6318
【分析】运用“和差数”的定义即可得到的值，进而根据“和差数”的定义运用因式分解结合题意设（N为整数），进而即可得到N=8或2，再分类讨论即可求解。
17．【答案】解：阴影部分面积=πR2﹣4πr2
=π（R2﹣4r2）
=π（R﹣2r）（R+2r）
=3×﹙6.8+2×1.6﹚×﹙6.8﹣2×1.6﹚
=108．
【解析】【分析】用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余阴影部分的面积，分解因式然后把R和r的值代入计算出对应的代数式的值．
18．【答案】解：（m+2n）2-（3m-n）2
=[m+2n+（3m-n）][m+2n-（3m-n）]
=-（4m+n）（2m-3n）
∵4m+n=40，2m-3n=5
∴原式=-40×5=-200
【解析】【分析】将m+2n和3m-n看着整体，利用平方差公式分解因式，再整体代入求值。
19．【答案】解：设另一个因式为，得
化简得
整理得
于是有
解得
因此另一个因式是，的值为2．
【解析】【分析】设另一个因式为，得，再展开并利用待定系数法可得，再求出即可。
20．【答案】（1）解：∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，
∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，
∴x﹣y=0，y+3=0，
∴x=﹣3，y=﹣3，
∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，
即xy的值是9.
（2）解：∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，
∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，
∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，
∴a﹣5=0，b﹣6=0，
∴a=5，b=6，
∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，
∴6≤c＜11，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．
（3）解：∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，
∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，
∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，
∴a﹣4=0，c﹣8=0，
∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，
∴a+b+c=4﹣4+8=8，
即a+b+c的值是8.
【解析】【分析】（1）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性即可求解；
（2）类比材料提供的思路方法，先对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、b的值，最后根据三角形三边关系即可求解；
（3）由条件可知b=a-8，代入原式左边，类比材料提供的思路方法，对原式左边拆项分组分解，再利用偶次幂的非负性可得a、c的值，据此即可解答。
21．【答案】解：如图
a2＋3ab＋2b2＝(a＋b)(a＋2b)
【解析】【分析】本题主要考查因式分解与几何图形之间的联系，对小卡片的面积和要拼成的大长方形的面积进行比较，从而得出所需小卡片的张数是解题的关键.
取1张边长为a的大正方形卡片，3张边长为b的小正方形卡片和4张长为a，宽为b的小长方形卡片，可以
拼成题目所要求的大长方形，它的面积为 a2＋4ab＋3b2 ，它的边长分别为 (a＋b) 和 (a＋3b) . 所以a2＋4ab＋3b2＝(a＋b)(a＋3b).
22．【答案】（1）解：上述因式分解的方法是提取公因式法 .
（2）解：
=(1+x)[1+x+x(1+x)+(1+x)2]
=(1+x)2[1+x+x(1+x)]
=(1+x)3(1+x)
=(1+x)4.
（3）解：由（2）得原式=(1+x)n+1.
【解析】【分析】（1）上述因式分解的方法是提取公因式法 ；
（2）利用提公因式法分别提取公因式(1+x)共3次即得结论；
（3）同（2）方法，分别提取公因式(1+x)共n次即得结论.
23．【答案】（1）
（2）令 ，
则
，
所以 .
（3）
.
∵ 是正整数，
∴ 也为正整数.
∴式子 的值一定是某一个整数的平方.
【解析】【解答】解：（1）令 ，
则
所以 .
故答案为：（1-x-y）2；
【分析】（1）令 ，根据材料中的解题过程和完全平方公式因式分解即可；
（2）令 ，根据材料中的解题过程和完全平方公式因式分解即可；
（3）根据多项式乘多项式法则和完全平方公式因式分解，即可得出结论.
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