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3.3 多项式的乘法
一．选择题（共4小题）
1．（2023春 港南区期中）已知：，则，的值分别为
A．5，3 B．5， C．，3 D．，
【答案】
【分析】由结合，即可得出、的值．
【解析】，
，
，，
故选．
2．（2022秋 辛集市期末）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为，则的值为
A． B． C． D．3
【答案】
【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可．
【解析】
，
展开式中不含的二次项，且一次项系数为，
，，
解得：，，
．
故选．
3．（2022秋 宁津县校级期末）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】要求阴影部分面积，若不规则图形可考虑利用大图形的面积减去小图形的面积进行计算，若规则图形可以直接利用公式进行求解．
【解析】图1中，阴影部分长宽长方形面积，
阴影部分的面积，
图2中，阴影部分大长方形面积长宽长方形面积长宽长方形面积边长的正方形面积，
阴影部分的面积，
．
故选．
4．（2022秋 顺庆区校级期末）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
【答案】
【分析】原面积可列式为，第二年按照庄园主的想法则面积变为，又，通过计算可知租地面积变小了．
【解析】由题意可知：原面积为（平方米），
第二年按照庄园主的想法则面积变为平方米，
，
，
面积变小了，
故选．
二．填空题（共6小题）
5．（2022秋 江夏区校级期末）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解析】，
，
故答案为：．
6．（2023秋 荔湾区校级期中）已知，，则 ．
【答案】
【分析】把，，代入进行求解即可．
【解析】，，
．
故答案为：．
7．（2023春 市中区校级期中）已知，，且的值与的取值无关，则的值为 ．
【答案】．
【分析】先根据整式的混合运算法则计算，得出，再根据的值与的取值无关得到，从而求出的值．
【解析】，，，
，
的值与的取值无关，
，
解得，
故答案为：．
8．（2023秋 海林市期末）已知与的积中不含项，也不含项，则的平方根是 ．
【答案】．
【分析】根据多项式乘多项式展开，再合并同类项得出，根据与的积中不含项和不含项得出且，求出、的值，再求出答案即可．
【解析】
，
与的积中不含项，也不含项，
且，
，，
，
的平方根是．
故答案为：．
9．（2023春 即墨区校级月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为，宽为的长方形，需要类卡片 3 张．
【答案】3．
【分析】利用长乘宽，求出长方形面积，找出各个面积对应卡片，即可找出相应的数量．
【解析】长方形面积长宽，
，
由题可知：类面积，类面积，类面积，
需要类卡片3张．
故答案为：3．
10．（2022秋 定州市期末）对于实数，，，，规定一种运算，如，那么当时，则 22 ．
【分析】由题中的新定义可知，此种运算为对角线乘积相减的运算，化简所求的式子得到关于的方程，利用多项式乘多项式的运算法则及平方差公式化简合并即可求出的值．
【解析】，
，
，
，
；
故答案为：22．
三．解答题（共3小题）
11．（2023春 东海县期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）多项式为 ，多项式为 ，例题的化简结果为 ；
（2）求多项式与的积．
【答案】（1）；；．（2）．
【分析】（1）根据单项式与多项乘法的逆运算可得和，然后合并同类项可得答案；
（2）直接根据单项式乘多项式计算即可．
【解析】（1），，
原式
，
故答案为：；；．
（2）
．
12．（2023春 永丰县期中）回答下列问题：
（1）计算：
① ；
② ．
③ ；
④ ．
（2）总结公式
（3）已知，，均为整数，且．求的所有可能值．
【答案】（1）；；；；
（2）；
（3）6或．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则计算①②③④这四个式子即可；
（2）根据（1）中的结果总结公式即可；
（3）运用（2）中的结论计算等式的左边，然后根据左右两边相等得到，，再根据，，均为整数，得出，或，或，或，，最后计算即可得出的所有可能值．
【解析】（1）①
；
②
；
③
；
④
；
故答案为：；；；；
（2），
故答案为：；
（3），
，
，，
，，均为整数，
，或，或，或，，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
综上，的所有可能值为6或．
13．（2022秋 鄱阳县期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．
（1）用含，的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式）
（2）若，，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
【答案】（1）平方米；
（2）12750元．
【分析】（1）用长方形面积减去4个正方形面积即可得到答案；
（2）根据（1）所求代入，求出草坪的面积，进而求出对应的费用即可．
【解析】（1）
平方米，
铺设的草坪的面积为平方米；
（2）当，时，平方米，
铺设草坪所需要的费用为元．
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3.3 多项式的乘法
一．选择题（共4小题）
1．（2023春 港南区期中）已知：，则，的值分别为
A．5，3 B．5， C．，3 D．，
2．（2022秋 辛集市期末）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为，则的值为
A． B． C． D．3
3．（2022秋 宁津县校级期末）通过计算比较图1，图2中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是
A． B．
C． D．
4．（2022秋 顺庆区校级期末）从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米的长方形土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会
A．变小了 B．变大了 C．没有变化 D．无法确定
二．填空题（共6小题）
5．（2022秋 江夏区校级期末）已知，则的值为 ．
6．（2023秋 荔湾区校级期中）已知，，则 ．
7．（2023春 市中区校级期中）已知，，且的值与的取值无关，则的值为 ．
8．（2023秋 海林市期末）已知与的积中不含项，也不含项，则的平方根是 ．
9．（2023春 即墨区校级月考）用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为，宽为的长方形，需要类卡片 张．
10．（2022秋 定州市期末）对于实数，，，，规定一种运算，如，那么当时，则 ．
三．解答题（共3小题）
11．（2023春 东海县期中）如图，这是一道例题的部分解答过程，其中，是两个关于，的二项式．
请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题：
（1）多项式为 ，多项式为 ，例题的化简结果为 ；
（2）求多项式与的积．
12．（2023春 永丰县期中）回答下列问题：
（1）计算：
① ；
② ．
③ ；
④ ．
（2）总结公式
（3）已知，，均为整数，且．求的所有可能值．
13．（2022秋 鄱阳县期末）如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，管理部门规划了4块边长均为米的正方形空地用于栽种梅、兰、竹、菊，剩余地块将铺设草坪．
（1）用含，的代数式表示铺设的草坪的面积；（结果化为最简形式）
（2）若，，预计每平方米铺设草坪的费用为30元，请预计铺设草坪所需要的费用．
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