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2023-2024学年浙江七年级数学下学期第四章《因式分解》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据因式分解的定义把一个多项式分解为几个整式的乘积即可求解．
【详解】解：、，等式的右边不是几个多项式的乘积，故此选项不符合题意；
B、，属于因式分解，故此选项符合题意；
C、，属于整式的乘法，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式是关键．
2．（本题3分）（22-23七年级下·浙江丽水·期末）若多项式可因式分解为，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．1
【答案】B
【分析】将计算后求得，的值，然后代入中计算即可．
【详解】解：，
，，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．
3．（本题3分）（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】将所求代数式化为，再代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式的方法是解答的关键．
4．（本题3分）（22-23八年级下·山东济南·期中）多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出公因式．
【详解】
即多项式分解因式时，应提取的公因式是
故选：C．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
5．（本题3分）（2023七年级下·浙江·专题练习）下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式和平方差公式的公式结构进行分析判断．本题考查公式法分解因式，掌握完全平方公式和平方差公式的结构是解题关键．
【详解】解：A、可以使用完全平方公式进行因式分解，，故此选项符合题意；
B、不能使用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
C、不能使用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
D、不能使用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
故选：A．
6．（本题3分）（2023七年级下·浙江·专题练习）在多项式，，，中，能用平方差公式因式分解的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：，能利用平方差公式分解；；
，能利用平方差公式分解；；
，不能利用平方差公式分解；
，不能利用平方差公式分解，
则能用平方差公式因式分解的有2个．
故选：B．
7．（本题3分）（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当取，时，各个因式的值是:,，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取,时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（ ）
A．102030 B．103020 C．101030 D．102010
【答案】C
【分析】根据用“因式分解”法产生的密码的原理，先将因式分解，再模仿例子方法可得六位数密码．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴这个密码可以101030，
故选：C．
【点睛】本题考查因式分解，理解题中用“因式分解”法产生的密码的原理是解答的关键．
8．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
【答案】C
【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴，
∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大，
∴当时，；
当时，，
∴的最大值为76，
故选：C．
【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式．
9．（本题3分）（2023九年级·全国·专题练习）已知实数、y、满足：(，下列式子一定成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先将原式展开，然后重组后配方得到，从而得到正确的选项．
【详解】解：根据题意
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】考查了因式分解的应用，解题的关键是能够将原式进行适当的变形，难度不大．
10．（本题3分）（21-22七年级下·浙江衢州·阶段练习）对于正整数，若（p-q>0，且，为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定 （如的分解有，，），其中，为12的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】首先判断出是的最佳分解，再根据新定义逐项判断即可．
【详解】解：，，
∵n为正整数，
∴n≥1，
∴，
∴是的最佳分解，
A、当时，n=n+3，错误，故符合题意；
B、当时，3n=2n+6，∴n=6，可能出现，故不合题意；
C、当时，2n=n+3，∴n=3，可能出现，故不合题意；
D、当时，4n=n+3，∴n=1，可能出现，故不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了因式分解，关键是根据最佳分解列出方程确定方程有无解．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（22-23七年级下·浙江金华·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】直接利用提公因式法即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查利用提公因式法分解因式．掌握相关方法即可．
12．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）多项式应提取的公因式是 ．
【答案】/
【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【详解】解：∵各项系数3、6的最大公约数是3，各项都含有的字母是x与y，x的最低指数是1，y的最低指数是1，
∴该多项式的公因式为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．
13．（本题3分）（23-24八年级上·吉林·期末） ，，则 ．
【答案】
【分析】先利用因式分解把代数式变形，再整体代入数据求出代数式的值即可．
【详解】解：，
∵，
∴原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求代数式的值，解题的关键是掌握提公因式法分解因式．
14．（本题3分）（2023八年级上·全国·专题练习）已知实数x，y满足，则的立方根是 ．
【答案】4
【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再求出的立方根即可．
【详解】实数，满足，
，
，，
，，
，
的立方根是．
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是非负数的性质及立方根的定义，能根据非负数的性质求出、的值是解答此题的关键．
15．（本题3分）（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： ．
【答案】1
【分析】把分子因式分解后即可求解．
【详解】
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，正确因式分解是解答本题的关键．
16．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·期末）分解下列因式：，，．
（1）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想： ；
（2）若多项式和都是完全平方式，利用（2）中的规律求的值是 ．
【答案】 16
【分析】（1）根据题中给出的三个式子，结合多项式，由，，的形式即可猜想出答案；
（2）由（1）中的猜想，根据多项式是完全平方式，得到①；多项式是完全平方式，得到②，从而两式相乘即可得到的值．
【详解】解：（1），对比多项式有，
由可知；
同理，对于，，由，，均可得到；
用数学式子表示小明的猜想：，
故答案为：；
（2）由（1）中猜想，当多项式是完全平方式，得到①；当多项式是完全平方式，得到②，
，
和都是多项式，
与不能同时为，
若，则；不可能为完全平方式；
若，则；不可能为完全平方式；
，两边同时除以得到，
故答案为：．
【点睛】本题考查分解因式与完全平方式之间的规律，读懂题意，得到猜想结论，灵活利用结论求解是解决问题的关键．
17．（本题3分）（21-22七年级下·浙江杭州·期末）的三边长a、b、c满足，，则的周长等于 ．
【答案】14
【分析】首先利用c表示出b，代入已知的第二个式子中，整理后配方，然后根据非负数的性质即可求出a与c的值，进而求出b的值，得到三角形的周长．
【详解】解： ，
，
把代入得：，
整理得：，
配方得：，
即且，
解得：，，
，
则的周长等于；
故答案为：14．
【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，以及非负数的性质：偶次方，此题的技巧性比较强，熟练掌握完全平方公式的特点是解本题的关键．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用平方差公式即可进行因式分解；
（2）综合利用提公因式法和公式法即可进行因式分解；
（3）利用平方差公式、完全平方公式即可进行因式分解．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【点睛】本题考查了利用提公因式法和公式法分解因式．根据式子特点选择适用的方法即可．
19．（本题8分）（22-23七年级下·浙江杭州·期中）（1）已知，，求的值．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）10；（2），
【分析】（1）根据提公因式法可进行求解；
（2）根据乘法公式化简，然后代值求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴
；
（2）原式
；
当时，则．
【点睛】本题主要考查因式分解及乘法公式，熟练掌握因式分解及乘法公式是解题的关键．
20．（本题8分）（2023七年级下·浙江·专题练习）在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式分解因式，并请甲、乙两名同学在黑板上演算．
甲演算的过程：
．
乙演算的过程：
．
他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案．
【答案】不正确；
【分析】首先得出公因式，再利用提取公因式法分解因式得出即可．
【详解】解：不正确；
．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出公因式是解题关键．
21．（本题8分）（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知：如图长方体的长、宽、高分别为a、b、c，，，．则称“、、为长方体的特征数”．我们发现长方体的特征数具有如下关系：
(1)请你检验说明这个等式的正确性．
(2)若，，，你能很快求出的值吗？
(3)若，，．求长方体的特征数的值．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）利用完全平方公式变形，即可检验等式；
（2）由题意可知，，将、、代入计算，即可得到答案；
（3）根据已知，得出，进而求得，又因为，即可求出长方体的特征数的值．
【详解】（1）解：
（2）解：
；
（3）解：，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，长方体的性质等知识，解题关键是理解题意，探究规律，并利用规律解决问题．
22．（本题9分）（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：；
又例如：求代数式的最小值：∵，
又∵；
∴当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：_______．
(2)已知实数，满足，求的值；
(3)当______、______时，多项式的最大值______．
【答案】(1)
(2)16
(3)，，9
【分析】（1）根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算即可；
（3）把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答．
【详解】（1）解：
；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴；
（3）
，；
，
当，时，
即，时，取得最大值为9．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
23．（本题10分）（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：．
解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)请完成下列因式分解：
__________；__________．
(2)请你用“试根法”分解因式：；
(3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值；
②若多项式含有因式和，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)①；②100
【分析】（1）将展开得到，对应相等即可得到的值，从而得到答案，同理即可求出因式分解的答案；
（2）当时，，设，展开等式右边的括号之后，对应相等，即可得到的值，从而得到答案；
（3）①根据题意得，时，，把代入可得，由，进行计算即可得到答案；②根据题意得，和时，把和代入得关于的二元一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），
则，
，
，
把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，
可设（为常数），
则，
，
，
故答案为：，；
（2）解：当时，，
设，
则，
，
，
∴，
；
（3）解：①根据题意得，时，，
把代入，得，
∴，
∴；
②根据题意得，和时，
把和代入得，
，
整理得：，
解得：，
．
【点睛】本题考查了因式分解，解二元一次方程组，解本题的关键是理解试根法进行因式分解．
试卷第1页，共3页
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2023-2024学年浙江七年级数学下学期第四章《因式分解》常考题精选
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）（22-23七年级下·浙江丽水·期末）若多项式可因式分解为，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．1
3．（本题3分）（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（本题3分）（22-23八年级下·山东济南·期中）多项式分解因式时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（2023七年级下·浙江·专题练习）下列各多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（本题3分）（2023七年级下·浙江·专题练习）在多项式，，，中，能用平方差公式因式分解的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（本题3分）（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当取，时，各个因式的值是:,，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取,时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（ ）
A．102030 B．103020 C．101030 D．102010
8．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·阶段练习）已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（ ）
A．28 B．43 C．76 D．78
9．（本题3分）（2023九年级·全国·专题练习）已知实数、y、满足：(，下列式子一定成立的是( )
A． B． C． D．
10．（本题3分）（21-22七年级下·浙江衢州·阶段练习）对于正整数，若（p-q>0，且，为整数），当最小时，则称为的“最佳分解”，并规定 （如的分解有，，），其中，为12的最佳分解，则．若关于正整数的代数式也有同样的最佳分解，则下列结果不可能的是
A．1 B． C． D．
二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）
11．（本题3分）（22-23七年级下·浙江金华·期末）因式分解： ．
12．（本题3分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）多项式应提取的公因式是 ．
13．（本题3分）（23-24八年级上·吉林·期末） ，，则 ．
14．（本题3分）（2023八年级上·全国·专题练习）已知实数x，y满足，则的立方根是 ．
15．（本题3分）（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）计算： ．
16．（本题3分）（22-23七年级下·浙江宁波·期末）分解下列因式：，，．
（1）观察上述三个多项式的系数，有，，，于是小明猜测：若多项式是完全平方式，那么系数、、之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想： ；
（2）若多项式和都是完全平方式，利用（2）中的规律求的值是 ．
17．（本题3分）（21-22七年级下·浙江杭州·期末）的三边长a、b、c满足，，则的周长等于 ．
三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）
18．（本题6分）（22-23七年级下·浙江杭州·阶段练习）因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
19．（本题8分）（22-23七年级下·浙江杭州·期中）（1）已知，，求的值．
（2）先化简，再求值：，其中．
20．（本题8分）（2023七年级下·浙江·专题练习）在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式分解因式，并请甲、乙两名同学在黑板上演算．
甲演算的过程：
．
乙演算的过程：
．
他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案．
21．（本题8分）（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知：如图长方体的长、宽、高分别为a、b、c，，，．则称“、、为长方体的特征数”．我们发现长方体的特征数具有如下关系：
(1)请你检验说明这个等式的正确性．
(2)若，，，你能很快求出的值吗？
(3)若，，．求长方体的特征数的值．
22．（本题9分）（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：；
又例如：求代数式的最小值：∵，
又∵；
∴当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：_______．
(2)已知实数，满足，求的值；
(3)当______、______时，多项式的最大值______．
23．（本题10分）（22-23七年级下·浙江宁波·期末）[阅读材料]分解因式：．
解：把代入，发现此多项式的值为0，由此确定中有因式，可设（为常数），通过展开多项式或代入合适的的值即可求出的值．我们把这种分解因式的方法叫“试根法”．
根据以上阅读材料，完成下列问题：
(1)请完成下列因式分解：
__________；__________．
(2)请你用“试根法”分解因式：；
(3)①若多项式（，为常数）分解因式后，有一个因式是，求代数式的值；
②若多项式含有因式和，求的值．
试卷第1页，共3页
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