2023-2024学年数学七年级二元一次方程单元测试试题（浙教版）提升卷含解析

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2023-2024学年数学七年级二元一次方程（浙教版）
单元测试 提升卷 含解析
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）2024年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．则1艘大船可以满载游客的人数为（ ）

A．15 B．16 C．17 D．19
2．（本题3分）方程，，，，中，二元一次方程的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（本题3分）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣小组的同学购买了一根长度为120cm的导线，将其全部截成和两种长度的导线（每种长度的导线至少一根）用于实验操作，则截取方案共有（ ）
A．8 种 B．7种 C．6种 D．5种
4．（本题3分）二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
5．（本题3分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶各几何？意思是：今有好田亩价值钱，坏田亩价值钱．今用钱购入好、坏田共顷（顷亩）．问好田、坏田各有多少亩？如果设好田为亩，坏田为亩，那么可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）小丽家离动物园1200米，其中有一段路为上坡路，另一段路为下坡路．她步行去动物园一共需要20分钟．假设小丽上坡的平均速度是千米时，小丽下坡的平均速度是千米时，若小丽上坡用了小时，下坡用了小时，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
7．（本题3分），则的值是（ ）
A．2 B．0 C． D．0或
8．（本题3分）二元一次方程组的解是二元一次方程的解，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）若方程组的解是，则方程组的解是( )
A． B． C． D．
10．（本题3分）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项。把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算．《九章算术》第八章名为“方程”，其中有一例为： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程， 表示的方程是 ．
12．（本题3分）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ．
13．（本题3分）方程组的解是 .
14．（本题3分）已知方程组的解满足，则a的取值范围是 ．
15．（本题3分）如图1所示的长方形是一种小礼盒的俯视图，其长为4，宽为1．现将若干个小礼盒如图2所示摆放到一个俯视图为正方形的大礼盒中，若留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，则大正方形边长最小是 ．
16．（本题3分）若是三元一次方程组的解，则的值是 ．
17．（本题3分）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为 ．
18．（本题3分）如果一个五位数的万位数字与个位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“星星数”，如果一个五位数的千位数字与十位数字之和等于其百位数字的2倍，则称这个五位数为“月亮数”；一个五位数A，规定其末三位数字组成的数与其前两位数字组成的数的和为；若为“星星数”，为“月亮数”（其中，，，，且a，b，c，d为整数），则的值为 ；在此条件下，若的值能被13整除，则满足条件的M的值为 ．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）解二元一次方程组
(1) (2)
20．（本题8分）解下列方程组：
(1) (2)
21．（本题10分）小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？
22．（本题10分）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，若设小长方形的长为厘米、宽为厘米，请你求出图中阴影部分面积．
23．（本题10分）某商场用相同的价格分两次购进匹和匹两种型号的立地式空调，两次购进情况如下表．
匹（台） 匹（台） 总进价（元）
第一次
第二次
(1)求该商场购进匹和匹立地式空调的单价各为多少元？
(2)已知商场匹立地式空调的标价为每台元，匹立地式空调的标价为每台元，两种立地式空调销售一半后，为了促销，剩余的匹立地式空调打九折，匹立地式空调打八折全部销售完，问两种立地式空调商场获利多少元？
24．（本题10分）若一个三位数m，百位数字是a，十位数字比百位数字大1，个位数字比十位数字大1． 另有一个三位数n，百位数字为b，十位数字比百位数字小2，个位数字比十位数字小2． 若（，且a、b为整数）
(1)当时，则 ， ；
(2)若p能被11整除，求的值．
25．（本题10分）一个正整数，由N个数字组成．若它的第一位数可以被1整除，它的前面两位数可以被2整除，前三位数可以被3整除，……，一直到前N位数能被N整除，则这样的数叫做“精巧数”．如：246的第一位数“2”可以被1整除，前两位数“24”可以被2整除，“246”可以被3整除，则246是一个“精巧数”
(1)请直接写出最小四位数“精巧数”是__________；最大的四位“精巧数”是__________
(2)若一个三位“精巧数”各位数字之和为一个完全平方数，请求出所有满足条件的三位“精巧数”
参考答案：
1．D
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人，列出二元一次方程组，解方程组，即可求解，
【详解】
解：设1艘大船可以满载游客人，1艘小船可以满载游客人，
依题意得：，
解得：，
即1艘大船可以满载游客的人数为人，
故选:．
2．B
【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别即可.
【详解】解：，不是二元一次方程，
，是二元一次方程，
，不是二元一次方程，
，是二元一次方程，
，不是二元一次方程，
∴二元一次方程的个数是2
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用．设和两种长度的导线分别为根，根据题意，得出，进而根据为正整数，即可求解．
【详解】解：设和两种长度的导线分别为根，根据题意得，
，
即，
∵为正整数，
∴，3，5，7，9，11，13，
则，6，5，4，3，2，1，
故有7种方案，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出方程的解即可．
【详解】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴二元一次方程组的解为，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设好田为亩，坏田为亩，
由题意可得，，
故选：．
6．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设小丽上坡用了小时，下坡用了小时，根据题意可知：上坡路程下坡路程总路程，上坡时间下坡时间总时间，即可列出相应的方程组，注意单位要统一，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【详解】解：设小丽上坡用了小时，下坡用了小时，由题意得，
由米千米，
，
故选：．
7．C
【分析】本题考查了解二元一次方程组．先根据题意得出，再进行分类讨论，求出a和b的值，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
①当时，
联立，
解得：，
∴
②当时，
联立，
解得：，
∴
∴，
故选：C．
8．B
【分析】此题考查的知识点是二元一次方程组的解及二元一次方程的解，关键理解清楚题意，运用二元一次方程组的相关知识，解出的数值．先用含的代数式表示、，即解关于，的方程组，再代入中可得．
【详解】解：由得：
，
再代入方程得：
，
得：，
故选：B．
9．C
【分析】先将化简为，然后用“整体代换”法，求出方程组的解即可；
【详解】解：，
，
设，
，
方程组的解是，
方程组的解为，
，
解得：．
故选C．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，弄清阅读材料中的“整体代入”方法是解本题的关键．
10．C
【分析】根据，结合图1可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5；因此，设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，列出方程组求解即可.
【详解】由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，则有：
将代入可解得：
根据图形所表示的数字规律，可推出代表的图形为“|||”.
故答案为：C.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据图1和其方程组判断出图形所表示的数字是解题关键，此型题较为新颖，是近年来的常考点.
11．
【分析】
本题考查根据图意列方程，解题的关键是读懂图的意思．
【详解】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：．
故答案为：．
12．10岁和6岁
【分析】
本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得，
解得；
所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
故答案为：10岁和6岁．
13．，
【分析】
将①变形，代入②得，即可求解，
本题考查了，解二元一次方程组，解题的关键是：熟练掌握消元法．
【详解】解：
由①的：，代入②得：，即：，解得：，，
当时，，
当时，，
所以方程组的解为：，，
故答案为：，．
14．
【分析】
本题考查了已知二元一次方程组的解的情况求参数，正确求解方程组是解题关键．
【详解】解析：解方程组
得
解得．
15．10
【分析】
本题主要考查了列代数、整式的运算、配方法、二元一次方程的解等知识点，掌握二元一次方程的解成为解题的关键．设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒；然后根据留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的得到，然后运用列举法确定a的值成为解题的关键．
【详解】解:设下方竖着放的有a个（），上方竖着放的有b个（），则正方形的边长为，一共摆了个礼盒
这些礼盒的面积为，
∴阴影部分的面积为：，
∵留空的部分（阴影部分）的面积是整个正方形面积的，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
∴正方形的边长为．
故答案为：10．
16．
【分析】
本题考查了解三元一次方程组，把代入中即可求解，解题的关键是理解三元一次方程组的解．
【详解】解：∵是三元一次方程组的解，
∴将代入中得：
，
解得：，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程，求出是解题关键．先解二元一次方程组，得到，即可得到关于m的方程，求解即可．
【详解】解：
得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∵，
，
解得：，
故答案为：．
18． 17 或
【分析】
本题考查整式的加减运算，不定方程，根据星星数和月亮数的定义，得到，，进而求出的值即可，求出，根据的值能被13整除，得到能被13整除，设，得到，根据的范围，分类讨论进行求解即可，本题的难度大，属于填空题中的压轴题．
【详解】解：∵为“星星数”，
∴，
∴，
∵为“月亮数”，
∴，
∴，
∴；
∵的万位上数字为，千位上数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为；
∴
；
∵的万位上数字为，千位上数字为，百位上的数字为，十位上的数字为，个位上的数字为；
∴
，
∴
∵，
∴
∵的值能被13整除，
∴能被13整除，
设（x为正整数），
∴，
∴当时，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴不符合题意；
当时，，
∴当时，，此时：，；
当时，，此时：，；
当时，不存在满足题意；
综上：或；
故答案为：17，或．
19．(1)；
(2)．
【分析】
本题考查了解二元一次方程组．
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）整理后，利用代入消元法求解即可．
【详解】（1）解：，
得，，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：方程组整理得
由①得③；
将③代入②得，
解得，
将代入③，得，
∴方程组的解为．
20．(1)
(2)
【分析】
本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用代入消元法进行解方程组，即可作答．
（2）运用加减消元法进行解方程组，即可作答．
【详解】（1）解：
把①代入②，得
解得
把代入①，得
∴
（2）解：
，得
解得
把代入，得
解得
∴
21．小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时．利用“小明和小亮2小时路程和为20千米，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米”再建立方程组求解即可．
【详解】解：设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时．
，
解得：
答：小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时．
22．44平方厘米
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．观察图形得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分总面积=长方形的面积倍的小长方形的面积，即可求出结论．
【详解】
解：依题意，得：，
解得：，
∴阴影部分的面积为：（平方厘米）．
23．(1)匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元；
(2)两种立地式空调售出后商场获利元．
【分析】（）设A型电脑单价为元，型电脑的单价为元，根据题意，列出方程组求解即可；
（）分别计算出型电脑的获利和型电脑的获利，再相加即可；
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解．
【详解】（1）
设该商场购进匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
答：该商场购进匹立地式空调的单价为元，匹立地式空调的单价为元；
（2）根据题意得：（元），
答：两种立地式空调售出后商场获利元．
24．(1)；
(2)630或408或186或
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解：
（1）先根据题意求出，，则，进而得到，再由，，可得，则；
（2）由（1）得，再由p能被11整除，得到能被11整除，进而求出或或或，再由进行求解即可．
【详解】（1）解：解：由题意得，，
，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；；
（2）解：由（1）得
，
∵p能被11整除，
∴能被11整除，
∴能被11整除，
∵，，
∴或或或，
∵，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述，的值为630或408或186或．
25．(1)1020，9876
(2)306，324，342，360
【分析】（1）根据定义，结合最大的四位数和最小的四位数的特点，求解即可；
（2）根据题意可得，再由a是偶数，即可确定三位“精巧数”是306，324，342，360．
【详解】（1）解：∵1可以被1整除，10可以被2整除，102可以被3整除，1020可以被4整除，
∴最小的四位数“精巧数”是1020，
∵9可以被1整除，98可以被2整除，987可以被3整除，9876可以被4整除，
∴最大的四位数“精巧数”是9876，
（2）∵ 的各位数字之和为，
∵，，且a、b是整数，
∴，
∵ 各位数字之和为一个完全平方数，
∴或或，
∵的和可以被3整除，
∴，
∴，
∵a是偶数，
∴，2，4，6，
∴，4，2，0，
∴三位“精巧数”是306，324，342，360．
【点睛】本题考查数的整除性，熟练掌握整除的含义，二元一次方程的应用，理解定义，掌握可以被3整除，被2整除数的特征是解题的关键．
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