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分课时教学设计
《3.1.3 积的乘方》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的教学内容是在学生学习了同底数幂的运算性质和幂的乘方运算性质的基础上紧接着的第三种运算性质。它同有理数的乘方，乘法交换律、结合律有着紧密的联系。结合同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项等概念将幂的运算部分内容自然的引入到整式的运算，它是幂指数运算不可缺少的重要性质之一，它将为整式的运算打下基础和提供依据，是后继学习整式的运算的基础和桥梁。由此可以看出本节课的内容起着承上启下的重要作用。
学习者分析 初中阶段的学生已经具有一定的观察和想象等数学活动的能力和经验型的抽象逻辑能力。所以本节课以“学生为本”的思想为指导，结合本节课的教学目标，主要采用引导探究法。鼓励学生先独立思考、再与同伴相互交流和总结归纳其中的规律，真正掌握本节课的关键----熟练运用积的乘方这个幂的运算性质，深刻理解这种运算的意义，在运算中避免与其他幂的运算性质互相混淆。
教学目标 1.理解并准确掌握积的乘方的运算性质，并能熟练应用这一性质进行有关计算。 2.通过推导性质进一步训练学生的推理能力和抽象思维能力，通过应用积的乘方的运算法则解决数学问题，培养学生运用知识的解决问题的能力。 3.在学生探索数学知识的过程中渗透数学公式的结构美、简洁美，唤起学生对探索学习数学的兴趣。
教学重点 理解并准确掌握积的乘方的运算性质，并能熟练应用这一性质进行有关计算。
教学难点 通过应用积的乘方的运算法则解决数学问题，培养学生运用知识的解决问题的能力。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 教师出示问题： 想一想： 1.同底数幂的乘法： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am·an= ( m，n都是正整数). 2.幂的乘方： 幂的乘方，底数不变，指数相乘． (am)n= (m，n都是正整数）. 【思考】地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103km。它的体积大约是多少立方千米？你会列式吗？ 【想一想】（6×103）3是幂的乘方形式吗？ （6×103）3底数为两个因式相乘，积的形式. 所以它是积的乘方. 积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？ 学生活动1： 学生复习之前学习过的知识，回答教师提出的问题。 学生在教师的引导下理解积的乘方的形式，思考怎样运算。 活动意图说明： 通过复习学过的内容，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。环节二：解决课本“例2”教师活动2： 根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则填空： (1) (4×6)3=(4×6)·(4×6)·(4×6) =(4×4×4)·(6×6×6) =4( 3 )×6( 3 ). (2)(4×6)5 =(4×6)·(4×6)·(4×6)·(4×6)·(4×6) =4( 5 )×6( 5 ). (3)(ab)4=(ab)·(ab)·(ab)·(ab) =a( 4 )×b( 4 ). 你能归纳出积的乘方法则吗 一般地， 积的乘方法则 (ab)n = an bn （n为正整数） 积的乘方等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂________. 想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn （n为正整数）学生活动2： 学生自主探究积的乘方法则。 学生根据教师引导得出积的乘方法则。 活动意图说明：在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。环节三：解决课本例题教师活动3： 【例4】计算下列各式： (1) (2b)5. (2) (3x3 )6. (3) (-x3y2)3. 解: （1）(2b)5=25b5=32b5. （2） (3x3 )6=36(x3)6=36x18=729x18. （3）(-x3y2)3=-(x3)3(y2)3= -x9y6. 【总结提升】 1.运用积的乘方法则时，每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式； 2.系数应连同它的符号一起乘方，系数是-1时不可忽略． 【想一想】an bn=？ 积的乘方法则既可以正用，也可以逆用. 当其逆用时，即an bn =(a b)n (n为正整数) . 【例5】木星是太阳系八大行星中最大的一颗. 木星可以近似地看做球体，它的半径大约是7×104km. 求木星的体积(结果精确到1014位). 答：木星的体积大约是1.4×1015km3.学生活动3： 学生完成课本例题。 学生总结归纳计算时应注意的问题。 学生根据教师分析，根据公式列出算式，并运用法则计算。 活动意图说明：学生能够运用已学知识解决问题，这样既能提高学生解决问题兴趣，又培养学生观察、分析、归纳问题、逻辑理解的能力。
板书设计 课题：3.1.3 积的乘方 一、积的乘方法则 二、例题讲解
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.计算(ab2)3的结果是( D ). A.ab5 B.ab6 C.a3b5 D.a3b6 2. 计算(-2x2)3的结果是( A ) A. -8x6 B. -6x6 C. -8x5 D. -6x5 3.下列各式中，计算结果为-27x6y9的是( C ). A.(-27x2y3)3 B.(-3x3y2)3 C.-(3x2y3)3 D.(-3x3y6)3 4.计算： (1)(-3y)2=__9y2__ (2)(ab)2=_a2b2_ (3)(-2ab2)3=_-8a3b6__ 选做题： 5. 计算(3a2b3)3，正确的结果是( A ). A.27a6b9 B.27a8B27 C.9a6b9 D.27a5b6 6.判断下列算式是否计算正确，错误的请加以改正. (1)(-2a2b)3=-6a6b3; (2)(-xy3)3=-x3y6 ; (3)(3a2b)2=3a4b2. 解：(1)错. 错在(-2)3=-6，将底数与指数相乘了. 正解：(-2a2b)3=-8a6b3. (2)错. 忘记了（y3)3应是幂的乘方，指数应当相乘. 正解：(-xy3)3=-x3y9. (3)错. 只注意了字母的乘方，而忘记了系数的乘方. 正解：(3a2b)2=9a4b2. 【综合拓展类作业】 7.某环保局将一个长为2×103dm，宽为4x102dm，高为8x10 dm的长方体废水池中的满池废水注入贮水池净化，那么请你考虑一下，能否恰好有一个正方体贮水池可以将这些废水刚好装满？若有，求出该正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由. 解：长方体中废水体积为 (2×103)×(4×102)×(8×10)=64×106( dm3). ∵(4×102)3=43×(102)3=64×106, ∴存在一个正方体贮水池可以将该池废水刚好装满，该正方体贮水池的棱长为4×102dm.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列计算中，正确的是( D ). A. 3a+2b=5ab B. a ·a4=a4 C. (5x)3=5x3 D. (-a3b)2=a6b2 2.直接写出结果. (1)(2x3)3=_8x9_; (2)(-b2c)3=_-b6c3_; (3)(3×104)3=_27×1012__; (4)(-t)3 · (-2t)2=__-4t5__. 选做题： 3.-9x6y2 等于( C ). A.(-9x3y)2 B.(-3xy3)2 C.-(3x3y)2 D.(-3x4y)2 4.下列计算正确的是( D ). A. x4 x4=x16 B. (a3)2=a5 C. (ab2)3=ab6 D. a+2a=3a 【综合拓展类作业】 5.计算下列各式，结果用幂的形式表示. (1) (-a2)2·(-2a3)2 · a; (2) (-5a6)2+(-3a3)3 · a3; (3)a4· a5· a6 - (-2a5)3+(-a3 ) 5. 解：(1)(-a2)2·(-2a3)2 · a = a4·(-2)2a6 ·a=4a10. (2) (-5a6)2+(-3a3)3 · a3=(-5)2 (a6 )2+(-3)3 (a3)3·a3 =25a12-27a9 · a3=25a12-27a12=-2a12. (3)a4 · a5 · a6-(-2a5)3+(-a3)5=a15-( -8a15)-a15=a15+8a15-a15 =8a15.
教学反思 本节课是让学生以“观察―归纳―概括”为主要线索，在自主探索与合作交流中获得知识，使不同层次的学生都能有所收获与发展.从教学反馈来看，学生的学习兴趣比较浓厚，给学生分析了幂的乘方与同底数幂的乘法的区别和幂的乘方与积的乘方公式的本质。不足之处是部分学生在做题的时候对公式的理解不到位，容易出错。这也在意料之中，还需要我在课上继续引导学生分析式子的结构，让学生养成分析思考的习惯，在课上“多动嘴多动手多动脑”，熟悉每个公式的正用、逆用与推广.
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 浙教版 册、章 下册第三章
课标要求 1.了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示)。2.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式乘法运算（多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法)。3理解乘法公式(a+b)(a—b)= a2—b2，(a士b)2=a2士2ab+b2，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理。4.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次)进行因式分解（指数为正整数)。5.会进行同底数幂相除的运算.6.会进行单项式除以单项式，多项式除以单项式的计算.7.会综合运用整式的运算解决一些简单的实际问题.
内容分析 整式的乘除是在学生学习了有理数的运算、列简单的代数式、一元一次方程及整式的加减等知识的基础上安排的。主要内容包括幂的运算法则、整式的乘法、乘法公式以及整式除法。这些知识是初中数学的重要内容，是“数与代数”领域的基本知识和基本技能，是今后将要学习分式、一元二次方程、函数等内容的基础。学习本章重要的是通过探究公式和应用公式的活动，提高学生观察问题、探索问题、分析问题和解决问题的能力。
学情分析 一、知识经验基础:之前学生学过有理数的运算、整式及整式的加减运算，为学习本章内容奠定基础。二、活动经验基础:学习本章时，学生已经掌握了有理数的运算，会用代数式表示一些简单问题中的数量关系；能进行简单的整式加减运算；特别是对有理数乘方的认识为学习幂的运算性质打下基础，在前面的学习中经历了探索有理数运算法则、整式的加减的活动过程，积累了一定的数学活动经验，具有了一定抽象概括能力，能比较有条理地表达自己的思考，这些都为学习整式的乘除运算提供了条件。三、学生学习困难：七年级学生，善于观察、发现、猜想，合情推理能力较强，但演绎推理能力不足对幂的运算性质的一般性结论的推导存在一定困难；本章运算法则繁多，学生易出现运算法则的混淆问题.
单元目标 （一）教学目标1.经历推导正整数指数幂的运算性质的过程，能说出整数指数幂的意义、并能运用它们进行简单计算.2.经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力.会进行简单的整式加减乘除运算(其中整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式).3.会推导乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2，（a±b)2=a2±2ab+b2,能解释公式的几何背景，并能运用公式进行简单运算.4.在数学活动中，通过观察、实验、归纳、类比、获得数学猜想，运用已有知识证明猜想的正确性，获得成功体验，建立学好数学的自信心,在解决问题的过程中，体悟数学的价值，发展“数学运算”与“数学抽象”的核心素养.（二）教学重点、难点重点：1.了解整数指数幂的意义和整数指数幂的运算性质，会进行简单的整式乘、除运算.2.经历探索整式乘、除运算法则的过程，理解整式乘、除运算的算理，积累数学活动经验。3.进一步用科学记数法表示0到1之间的数（包括在计算器上表示），能用生活中的实例体会这些数的意义，发展数感。4.推导平方差公式和完全平方公式，并能利用公式进行简单的计算，了解公式的几何背景，发展几何直观。难点：1.能熟练的运用运算法则进行运算.2.正确理解乘法公式的意义，认识乘法公式的结构以及明确字母的广泛意义。3.进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算，发展运算能力，并进一步体会字母表示数的意义，发展符号意识。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数3.1同底数幂的乘法33.2单项式的乘法13.3多项式的乘法23.4乘法公式23.5整式的化简13.6同底数幂的除法13.7整式的除法1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务同底数幂的乘法1.理解同底数幂的乘法法则的由来，掌握同底数幂相乘的乘法法则；2.学会并熟练地运用同底数幂的乘法法则进行计算。在探究“性质”的过程中，培养学习观察，概括与抽象的能力。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够发现运算法则。1.经历探索幂的乘方的法则，进一步体会幂的意义；2.了解幂的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题。发展推理能力和有条理的表达能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力推导法则时，适当设置与本课内容相关的挑战性问题，学生可以进一步体会幂的意义。1.理解并掌握积的乘方法则及计算；2.会进行简单的幂的混合运算；3.注意积的乘方、幂的乘方与同底数幂的运算的指数变化。运算中有积的乘方，幂的乘方，同底数幂相乘等多种法则，能准确运算。理解法则的探索过程和掌握并正确运用积的乘方法则。单项式的乘法1.理解并掌握单项式与单项式相乘的法则；2.理解并掌握单项式与多项式相乘的法则；3.能运用单项式乘法解决简单的实际问题。掌握单项式与单项式和单项式与多项式相乘的运算法则及其应用。在经验过程中主动探索，学生在运算的过程中能够理解单项式的乘法法则。多项式的乘法1.经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则。2.学会用多项式乘法法则进行计算。3.培养用几何图形理解代数知识的能力和复杂问题转化为简单问题的转化思想。理解多项式乘法法则的推导过程，掌握多项式的乘法法则并加以运用。利用几何图形来解释多项式乘以法则，并通过分配律的应用加以解释，学生能够体会数形结合和转化的思想。1.会进行多项式与多项式相乘的计算；2.能综合运用多项式乘法进行化简与计算．掌握多项式与多项式相乘的法则，综合运用多项式乘法进行化简与计算。通过积极探索，寻求规律，发展归纳推理能力。乘法公式1.掌握平方差公式，会利用平方差公式计算；2.能运用平方差公式进行简便计算．掌握平方差公式，会利用平方差公式计算。通过面积拼图，理解平方差公式。运用平方差公式时要注意化为两数和与这两数差的积的形式．1.掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算；2.能运用完全平方公式解决有关问题．理解完全平方公式的结构特征，掌握完全平方公式，能运用完全平方公式进行计算。通过面积拼图，理解平方差公式，理解完全平方公式的结构特征。整式的化简1.能利用加、减、乘、乘方将整式化简；2.能利用整式运算解决简单的实际问题．掌握整式化简的运算顺序，应遵循先乘方、再乘除、最后算加减的顺序。通过计算掌握整式化简的运算顺序。同底数幂的除法1.掌握同底数幂相除的法则及运算；2.能逆用同底数幂相除的法则；3.理解并掌握零指数幂与负整数指数幂。掌握同底数幂相除的法则及运算，理解并掌握零指数幂与负整数指数幂，会用科学记数法表示绝对值较小的数。经历探索负整数指数幂和零指数幂的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.整式的除法1.理解并掌握单项式除以单项式法则并能运用；2.理解并掌握多项式除以单项式法则并能运用；3.会进行简单的乘除混合运算．理解并掌握单项式除以单项式的法则及多项式除以单项式法则并能运用通过计算理解并掌握单项式除以单项式法则，并会进行简单的乘除混合运算。
《整式的乘除》 单元教学设计
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3.1.3 积的乘方
浙教版七年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
学习目标
1.理解并准确掌握积的乘方的运算性质，并能熟练应用这一性质进行有关计算。
2.通过推导性质进一步训练学生的推理能力和抽象思维能力，通过应用积的乘方的运算法则解决数学问题，培养学生运用知识的解决问题的能力。
3.在学生探索数学知识的过程中渗透数学公式的结构美、简洁美，唤起学生对探索学习数学的兴趣。
复习回顾
想一想：
1.同底数幂的乘法：
am·an= ( m，n都是正整数).
(am)n= (m，n都是正整数）.
am+n
amn
2.幂的乘方：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
新知讲解
【思考】地球可以近似地看做是球体，地球的半径约为6×103km。
它的体积大约是多少立方千米？你会列式吗？
【想一想】（6×103）3是幂的乘方形式吗？
（6×103）3底数为两个因式相乘，积的形式. 所以它是积的乘方.
积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？
新知讲解
根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则填空：
(1) (4×6)3=(4×6)·(4×6)·(4×6)
=(4×4×4)·(6×6×6)
=4( )×6( ).
（乘方的意义）
（乘法交换律、结合律）
（乘方的意义）
3
3
新知讲解
根据乘方的意义和同底数幂的乘法法则填空：
(2)(4×6)5=_____________________________________
=4( )×6( ).
(3)(ab)4=______________________
=a( )×b( ).
你能归纳出积的乘方法则吗
(4×6)·(4×6)·(4×6)·(4×6)·(4×6)
5
5
(ab)·(ab)·(ab)·(ab)
4
4
新知讲解
n个a
(ab)n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n个ab
= (a·a· ··· ·a) · (b·b· ··· ·b)
n个b
=anbn（n是正整数）
一般地，
新知讲解
(ab)n = anbn （n为正整数）
积的乘方法则
乘方
相乘
想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n为正整数）
积的乘方等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂________.
新知讲解
【例4】计算下列各式：
(1) (2b)5. (2) (3x3 )6. (3) (-x3y2)3. (4)
解: （1）(2b)5=25b5=32b5.
（2） (3x3 )6=36(x3)6=36x18=729x18.
（3）(-x3y2)3=-(x3)3(y2)3= -x9y6.
新知讲解
1.运用积的乘方法则时，每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式；
2.系数应连同它的符号一起乘方，系数是-1时不可忽略．
【总结提升】
新知讲解
积的乘方法则既可以正用，也可以逆用.
当其逆用时，即an bn =(a b)n (n为正整数) .
【想一想】an bn=？
新知讲解
【例5】木星是太阳系八大行星中最大的一颗. 木星可以近似地看做球体，它的半径大约是7×104km. 求木星的体积(结果精确到1014位).
答：木星的体积大约是1.4×1015km3.
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.计算(ab2)3的结果是( ).
A.ab5 B.ab6
C.a3b5 D.a3b6
D
课堂练习
A
2. 计算(-2x2)3的结果是( )
A. -8x6
B. -6x6
C. -8x5
D. -6x5
课堂练习
3.下列各式中，计算结果为-27x6y9的是( ).
A.(-27x2y3)3 B.(-3x3y2)3
C.-(3x2y3)3 D.(-3x3y6)3
C
课堂练习
4.计算：
(1)(-3y)2=______
(2)(ab)2=_______
(3)(-2ab2)3=_______
9y2
a2b2
-8a3b6
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
5. 计算(3a2b3)3，正确的结果是( ).
A.27a6b9
B.27a8B27
C.9a6b9
D.27a5b6
A
课堂练习
6.判断下列算式是否计算正确，错误的请加以改正.
(1)(-2a2b)3=-6a6b3; (2)(-xy3)3=-x3y6 ; (3)(3a2b)2=3a4b2.
解：(1)错. 错在(-2)3=-6，将底数与指数相乘了.
正解：(-2a2b)3=-8a6b3.
(2)错. 忘记了（y3)3应是幂的乘方，指数应当相乘.
正解：(-xy3)3=-x3y9.
(3)错. 只注意了字母的乘方，而忘记了系数的乘方.
正解：(3a2b)2=9a4b2.
课堂练习
【综合实践类作业】
7.某环保局将一个长为2×103dm，宽为4x102dm，高为8x10 dm的长方体废水池中的满池废水注入贮水池净化，那么请你考虑一下，能否恰好有一个正方体贮水池可以将这些废水刚好装满？若有，求出该正方体贮水池的棱长；若没有，请说明理由.
课堂练习
【综合实践类作业】
解：长方体中废水体积为
(2×103)×(4×102)×(8×10)=64×106( dm3).
∵(4×102)3=43×(102)3=64×106,
∴存在一个正方体贮水池可以将该池废水刚好装满，该正方体贮水池的棱长为4×102dm.
课堂总结
本节课你学到了哪些知识？
(ab)n = anbn （n为正整数）
积的乘方法则
积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
(abc)n = anbncn （n为正整数）
板书设计
课题：3.1.3 积的乘方
教师板演区
学生展示区
一、积的乘方法则
二、例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题
1.下列计算中，正确的是( ).
A. 3a+2b=5ab
B. a ·a4=a4
C. (5x)3=5x3
D. (-a3b)2=a6b2
D
作业布置
2.直接写出结果.
(1)(2x3)3=______;
(2)(-b2c)3=_______;
(3)(3×104)3=__________;
(4)(-t)3 · (-2t)2=__________.
8x9
-b6c3
27×1012
-4t5
作业布置
选做题：
3.-9x6y2 等于( ).
A.(-9x3y)2 B.(-3xy3)2
C.-(3x3y)2 D.(-3x4y)2
C
作业布置
选做题：
4.下列计算正确的是( ).
A. x4 x4=x16
B. (a3)2=a5
C. (ab2)3=ab6
D. a+2a=3a
D
作业布置
【综合实践类作业】
5.计算下列各式，结果用幂的形式表示.
(1) (-a2)2·(-2a3)2 · a; (2) (-5a6)2+(-3a3)3 · a3;
(3)a4· a5· a6 - (-2a5)3+(-a3 ) 5.
解：(1)(-a2)2·(-2a3)2 · a = a4·(-2)2a6 ·a=4a10.
(2) (-5a6)2+(-3a3)3 · a3=(-5)2 (a6 )2+(-3)3 (a3)3·a3
=25a12-27a9 · a3=25a12-27a12=-2a12.
(3)a4 · a5 · a6-(-2a5)3+(-a3)5=a15-( -8a15)-a15=a15+8a15-a15 =8a15.
谢谢
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